2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之点与圆的位置关系

第20页（共20页）2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之点与圆的位置关系一．选择题（共5小题）1．（2024秋•嘉兴期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2024秋•宿城区期末）已知⊙O的半径为3，当OP＝5时，点P与⊙O的位置关系为（）A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定3．（2024秋•招远市期末）在△ABC中，∠A＝40°，点0是△ABC的外心，则∠BOC的度数是（）A．40° B．80° C．100° D．80°或100°4．（2024秋•江汉区期末）在平面中，已知⊙O的半径为8cm，OP＝4cm，点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上或⊙O外 C．点P在⊙O内 D．点P在⊙O上5．（2024秋•莱州市期末）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是（）A．25+1 B．5+1 C．4 二．填空题（共5小题）6．（2024秋•通州区期末）已知⊙O的直径为8cm，如果在⊙O所在平面内有一点P且OP＝5cm，那么点P在⊙O.（填内、外或上）7．（2024秋•莱州市期末）已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为．8．（2024秋•集贤县期末）已知O为△ABC的外心，∠BOC＝70°，则∠A＝．9．（2024秋•阳谷县期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，BC＝6，则⊙O的直径为．10．（2024秋•阳谷县期末）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM长的最大值是．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•沈丘县期末）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，若∠BAC＝90°，BD＝4．求△ABC外接圆的半径．12．（2024秋•杭州期末）如图是一条弧形道路和两块三角形的空地组成的区块．A，E，B三点在一条直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝60°，BE＝AD．（1）求证：△ADE≌△BEC；（2）若DE=3且E点在弧CD所在的圆上，在劣弧CD上找一点P，使得四边形13．（2024秋•崇川区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径DE⊥AC，垂足为点F，连接AD，BD．（1）求证：∠ABD＝∠DAC；（2）若tan∠ABD＝2，⊙O的半径为5，求AC的长．14．（2024秋•迪庆州期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作BD⊥AB交AC的延长线于点D，点E在⊙O上，连结AE，CE，∠CAE＝∠D．（1）求证：AC＝CE．（2）若∠CAB＝25°，求∠ACE的度数．15．（2024秋•天津期末）如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE⊥BC，垂足为D．（1）求证：∠ABO＝∠CAE；（2）已知⊙O的半径为5，DE＝2，求BC长．

2024-2025学年下学期初中数学华东师大新版九年级期中必刷常考题之点与圆的位置关系参考答案与试题解析题号12345答案DBBCB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•嘉兴期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】点与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系．【答案】D【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外，∴OP＞5，故选：D．【点评】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．2．（2024秋•宿城区期末）已知⊙O的半径为3，当OP＝5时，点P与⊙O的位置关系为（）A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【专题】常规题型；与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】B【分析】根据题意得⊙O的半径为4，则点P到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在⊙O外．【解答】解：∵OP＝5、r＝3，∴OP＞r，则点P在⊙O外，故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．3．（2024秋•招远市期末）在△ABC中，∠A＝40°，点0是△ABC的外心，则∠BOC的度数是（）A．40° B．80° C．100° D．80°或100°【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【专题】运算能力．【答案】B【分析】已知点O是△ABC的外心，那么∠A、∠BOC即为同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可求解．【解答】解：∵点O是△ABC的外心，∴在△ABC的外接圆⊙O中，∠BAC、∠BOC同对着弧BC；由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝2×40°＝80°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理的相关知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．4．（2024秋•江汉区期末）在平面中，已知⊙O的半径为8cm，OP＝4cm，点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上或⊙O外 C．点P在⊙O内 D．点P在⊙O上【考点】点与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】C【分析】直接根据点与圆的位置关系解答即可．【解答】解：∵⊙O的半径为8cm，OP＝4cm，8＞4，∴点P在⊙O内．故选：C．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；①点P在圆内⇔d＜r是解题的关键．5．（2024秋•莱州市期末）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是（）A．25+1 B．5+1 C．4 【考点】点与圆的位置关系；三角形三边关系；勾股定理；三角形中位线定理；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．【解答】解：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O′，因此CO′交⊙O′于点M，此时CM的值最大，由题意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′=12OA＝1＝O′在Rt△O′OC中，OC＝2，OO′＝1，∴O′C=2∴CM＝CO′+O′M=5+故选：B．【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，理解“圆外一点到圆上任意一点的最大距离”的计算方法是解决问题的关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•通州区期末）已知⊙O的直径为8cm，如果在⊙O所在平面内有一点P且OP＝5cm，那么点P在⊙O外.（填内、外或上）【考点】点与圆的位置关系．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】外．【分析】点与圆心的距离d．则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：∵⊙O的直径为8cm，⊙O的半径为4cm，因为5＞4，即点到圆心的距离大于半径，则该点在圆的外部．故答案为：外．【点评】此题考查了点和圆的位置关系与数量关系之间的联系：设圆的半径是r，点到圆心的距离是d，若d＜r，则点在圆内；若d＞r，则点在圆外；若d＝r，则点在圆上．7．（2024秋•莱州市期末）已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为2或3．【考点】点与圆的位置关系．【答案】见试题解答内容【分析】解答此题应进行分类讨论，点P可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部．【解答】解：当点P在圆内时，则直径＝5+1＝6，因而半径是3；当点P在圆外时，直径＝5﹣1＝4，因而半径是2．所以⊙O的半径为2或3．故答案为：2或3．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意进行分类讨论．8．（2024秋•集贤县期末）已知O为△ABC的外心，∠BOC＝70°，则∠A＝35°或145°．【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】三角形；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】分圆心O与点A在BC的同侧和圆心O与点A在BC的两侧两种情况解答，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得结论；延长BO交⊙O于点D，连接CD，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得∠D，再利用圆内接四边形的性质即可求得结论．【解答】解：如图，当圆心O与点A在BC的同侧时，∴∠BAC如图，当圆心O与点A在BC的两侧时，延长BO交⊙O于点D，连接CD，∵∠D∴∠D＝35°．∵四边形ACDB为圆的内接四边形，∴∠BAC+∠D＝180°．∴∠BAC＝180°﹣∠D＝180°﹣35°＝145°．综上，∠BAC＝35°或145°．故答案为：35°或145°【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．9．（2024秋•阳谷县期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，BC＝6，则⊙O的直径为62．【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】连接OB，OC，利用“同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”得出∠BOC＝90°，再用勾股定理即可求解．【解答】解：如图，连接OB，OC，∵∠A＝45°，∴∠BOC＝2∠A＝90°，∴OC2+OB2＝BC2＝62，∵OB＝OC，∴OB=3∴⊙O的直径为62，故答案为：62．【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．10．（2024秋•阳谷县期末）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM，若⊙O的半径为4，则CM长的最大值是25+2【考点】点与圆的位置关系；三角形三边关系；三角形中位线定理；圆周角定理．【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可．【解答】解：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O'，因此CO′交⊙O'于点M，此时CM的值最大，由题意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′=12OA=2=在Rt△O′OC中，OC＝42，OO′＝2，O'C=∴CM＝CO′+O′M＝25+2故答案为：25+2【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，正确进行计算是解题关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•沈丘县期末）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，若∠BAC＝90°，BD＝4．求△ABC外接圆的半径．【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【答案】22【分析】先根据圆周角定理可知∠BDC＝90°，BC为⊙O的直径，再结合题意得到BD＝CD，利用勾股定理求出BC的长，从而得出答案．【解答】解：连接CD．由题意可得：BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，由题意可得：BD=∴BD＝CD，∵BD＝4，∴BC=∴△ABC外接圆的半径为12【点评】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理等知识，正确进行计算是解题关键．12．（2024秋•杭州期末）如图是一条弧形道路和两块三角形的空地组成的区块．A，E，B三点在一条直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝60°，BE＝AD．（1）求证：△ADE≌△BEC；（2）若DE=3且E点在弧CD所在的圆上，在劣弧CD上找一点P，使得四边形【考点】点与圆的位置关系；全等三角形的判定与性质；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】（1）证明见解析；（2）2+23【分析】（1）由已知条件得出∠ADE＝∠BEC，即可证明△ADE≌△BEC；（2）连接CD，过点E作EF⊥CD于点F，EF交CD于点P'，即为所求点P，用垂径定理、勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠DEC＝60°，∴在△ADE中，∠ADE+∠AED＝120°，∠BEC+∠AED＝120°，∴∠ADE＝∠BEC，∵∠A＝∠B＝60°，BE＝AD，∴△ADE≌△BEC（ASA）；（2）解：由（1）知，△ADE≌△BEC，∴DE＝EC，∵C四边形CPDE＝CP+PD+DE+EC＝CP+PD+2DE，连接CD，过点E作EF⊥CD于点F，EF交CD于点P'，即为所求点P，∵E点在CD所在的圆上，∴EP'是直径，CD是弦，∴∠EDP'＝∠ECP'＝90°，∵DE＝EC，∠DEC＝60°，EF⊥CD，∴∠DEP'＝∠CEP＝30°，∴DP'＝CP'，在Rt△EDP'中，设DP'＝x，则EP′＝2x，由勾股定理得x2解得，x＝1，∴DP'＝CP'＝1，最大值为CP+综上所述，周长最大值为2+23【点评】本题主要考查了全等三角形的判定、勾股定理、垂径定理的推论及30°角三角形的性质，熟知相关性质定理、正确作出辅助线是正确解答此题的关键13．（2024秋•崇川区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径DE⊥AC，垂足为点F，连接AD，BD．（1）求证：∠ABD＝∠DAC；（2）若tan∠ABD＝2，⊙O的半径为5，求AC的长．【考点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）8．【分析】（1）连接DC，根据垂径定理、线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，得到∠DAC＝∠DCA，根据圆周角定理得到∠DBA＝∠DCA，证明∠ABD＝∠DAC；（2）连接OA，设AF＝x，根据正切的定义得到DF＝2x，根据勾股定理列式计算即可．【解答】（1）证明：如图，连接DC，∵直径DE⊥AC，∴AF＝CF，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，由圆周角定理得：∠DBA＝∠DCA，∴∠ABD＝∠DAC；（2）解：如图，连接OA，∵tan∠ABD＝2，∠ABD＝∠DAC，∴tan∠DAC＝2，即DFAF=设AF＝x，则DF＝2x，∴OF＝2x﹣5，在Rt△AOF中，OA2＝OF2+AF2，即52＝（2x﹣5）2+x2，解得：x1＝0（舍去），x2＝4，∴AF＝4，∵直径DE⊥AC，∴AC＝2AF＝8．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、解直角三角形，掌握圆周角定理、正切的定义是解题的关键．14．（2024秋•迪庆州期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作BD⊥AB交AC的延长线于点D，点E在⊙O上，连结AE，CE，∠CAE＝∠D．（1）求证：AC＝CE．（2）若∠CAB＝25°，求∠ACE的度数．【考点】三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）首先根据“直径所对的圆周角为直角”可得∠ACB＝90°，进而可得∠BCD＝90°，即有∠CBD+∠D＝90°，结合BD⊥AB，可得∠CBD+∠CBA＝90°，进一步可得∠D＝∠CBA，然后根据∠CBA＝∠E，∠CAE＝∠D可知∠CAE＝∠E，即可证明结论；（2）首先确定∠CBA＝65°，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知∠E＝∠ABC＝65°，结合AC＝CE易得∠CAE＝65°，然后根据三角形内角和定理求解即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠CBD+∠D＝90°，∵BD⊥AB，∴∠CBD+∠CBA＝90°，∴∠D＝∠CBA，∵∠CBA＝∠E，∠CAE＝∠D，∴∠CAE＝∠E，∴AC＝CE；（2）解：∵∠CAB＝25°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝90°﹣25°＝65°，∵AC=∴∠E＝∠ABC＝65°，∵AC＝CE，∴∠CAE＝65°，∴∠ACE＝180°﹣∠CAE﹣∠E＝50°．【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．15．（2024秋•天津期末）如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE⊥BC，垂足为D．（1）求证：∠ABO＝∠CAE；（2）已知⊙O的半径为5，DE＝2，求BC长．【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由垂径定理得出BD＝CD，AB＝AC，由等腰三角形的性质得出∠BAE＝∠CAE，由OB＝OA得∠BAE＝∠ABO，即可得出结论；（2）求出OD＝OE﹣DE＝3，利用勾股定理求出BD＝4，由垂径定理即可得BC＝2BD＝8．【解答】（1）证明：∵AE是⊙O的直径，AE⊥BC，∴BD＝CD，∴AB＝AC，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝∠CAE，∵OB＝OA，∴∠BAE＝∠ABO，∴∠ABO＝∠CAE；（2）解：∵⊙O的半径为5，DE＝2，∴OD＝OE﹣DE＝3，∵AE⊥BC，∴BD=OB∵AE是⊙O的直径，AE⊥BC，∴BC＝2BD＝8．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理，三角形的外接圆，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解决问题的关键．

考点卡片1．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．2．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．3．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．4．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．6．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=127．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂