2024-2025学年下学期初中数学北师大版七年级期中必刷常考题之乘法公式

第14页（共14页）2024-2025学年下学期初中数学北师大版（2024）七年级期中必刷常考题之乘法公式一．选择题（共5小题）1．（2025•长沙一模）下列计算正确的是（）A．a6÷a3＝a2 B．（a+2）2＝a2+4 C．（a5）2＝a10 D．a2+a3＝a52．（2024秋•山阳县期末）如图所示的图形由一个大正方形ABEF、一个小正方形ADGH和一个长方形ABCD不重合无缝隙得拼接在一起，已知长方形ABCD的面积是6，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为69，那么长方形ABCD的周长是（）A．12 B．18 C．16 D．143．（2024秋•衡东县期末）下列运算正确的是（）A．a6÷a2＝a3 B．（a2b）2＝a4b2 C．m2+m5＝m7 D．（a﹣b）2＝a2﹣b24．（2024秋•北碚区期末）下列各式中，能运用完全平方公式进行计算的是（）A．（a+2b）（a﹣2b） B．（2a+5b）（2a﹣5b） C．（2a+b）（a+2b） D．（2a+1）（﹣2a﹣1）5．（2024秋•孝感期末）已知x2+y2＝13，xy＝﹣6，则x﹣y的值为（）A．5 B．±5 C．1 D．±1二．填空题（共5小题）6．（2024秋•开封期末）x2y+xy2＝8，x+y＝4，则x2+3xy+y2＝．7．（2024秋•绵阳期末）已知a+b＝5，ab＝3，则（a﹣b）2的值为．8．（2024秋•梁山县期末）计算：1002﹣992＝．9．（2024秋•定州市期末）计算：11862﹣1185×1187＝．10．（2024秋•庆云县期末）某同学在计算4（5+1）（52+1）时，把4写成（5﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式计算：4（5+1）（52+1）＝（5﹣1）（5+1）（52+1）＝（52﹣1）（52+1）＝252﹣1＝624．请借鉴该同学的经验，计算：(1+12)(1+12三．解答题（共5小题）11．（2024秋•南漳县期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy与x2+y2的值．12．（2024秋•咸安区期末）利用乘法公式计算：（1）（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2；（2）3.992﹣4.01×3.97．13．（2024秋•庄浪县期末）阅读理解：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝5，∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19．参考上述过程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2．①x2+y2＝；②求（x+y）2的值；（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值．14．（2024秋•襄城县期末）已知ax•ay＝a4，（ax）2•（ax）y•（ay）2＝a9．（1）直接写出结果：x+y＝；（2）求xy的值；（3）利用乘法公式计算：（x﹣y）2的值．15．（2024秋•南山区校级期末）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如1+2i的共轭复数为1﹣2i．（1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝；②（2+i）2＝；（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）的值．

2024-2025学年下学期初中数学北师大版（2024）七年级期中必刷常考题之乘法公式参考答案与试题解析题号12345答案CBBDB一．选择题（共5小题）1．（2025•长沙一模）下列计算正确的是（）A．a6÷a3＝a2 B．（a+2）2＝a2+4 C．（a5）2＝a10 D．a2+a3＝a5【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【专题】整式；运算能力．【答案】C【分析】利用同底数幂除法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则及完全平方公式将各式计算后进行判断即可．【解答】解：a6÷a3＝a3，则A不符合题意；（a+2）2＝a2+4a+4，则B不符合题意；（a5）2＝a10，则C符合题意；a2，a3不是同类项，无法合并，则D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．2．（2024秋•山阳县期末）如图所示的图形由一个大正方形ABEF、一个小正方形ADGH和一个长方形ABCD不重合无缝隙得拼接在一起，已知长方形ABCD的面积是6，正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为69，那么长方形ABCD的周长是（）A．12 B．18 C．16 D．14【考点】完全平方公式．【专题】整式；运算能力．【答案】B【分析】设AB＝a，AD＝b，则ab＝6，a2+b2＝69，然后利用完全平方公式求得a+b的值后再乘2即可．【解答】解：设AB＝a，AD＝b，则ab＝6，a2+b2＝69，那么（a+b）2＝a2+b2+2ab＝69+12＝81，∵a+b＞0，∴a+b＝9，∴长方形ABCD的周长是2×9＝18，故选：B．【点评】本题考查完全平方公式，设AB＝a，AD＝b，根据已知条件求得a+b的值是解题的关键．3．（2024秋•衡东县期末）下列运算正确的是（）A．a6÷a2＝a3 B．（a2b）2＝a4b2 C．m2+m5＝m7 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【专题】整式；运算能力．【答案】B【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项、完全平方公式进行计算，逐一判断即可．【解答】解：A．a6÷a2＝a4，故本选项不符合题意；B．（a2b）2＝a4b2，故本选项符合题意；C．m2+m5不能合并同类项，故本选项不符合题意；D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．4．（2024秋•北碚区期末）下列各式中，能运用完全平方公式进行计算的是（）A．（a+2b）（a﹣2b） B．（2a+5b）（2a﹣5b） C．（2a+b）（a+2b） D．（2a+1）（﹣2a﹣1）【考点】平方差公式；完全平方公式．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】根据完全平方公式、平方差公式分别计算判断即可．【解答】解：A、（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，故此选项不符合题意；B、（2a+5b）（2a﹣5b）＝4a2﹣25b2，故此选项不符合题意；C、（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，故此选项不符合题意；D、（2a+1）（﹣2a﹣1）＝﹣（2a+1）（2a+1）＝﹣（2a+1）2＝﹣4a2﹣4a﹣1，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了完全平方公式、平方差公式，熟练掌握这两个乘法公式是解题的关键．5．（2024秋•孝感期末）已知x2+y2＝13，xy＝﹣6，则x﹣y的值为（）A．5 B．±5 C．1 D．±1【考点】完全平方公式．【专题】整式；运算能力．【答案】B【分析】根据完全平方公式得到（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，然后把x2+y2＝13，xy＝﹣6整体代入计算即可．【解答】解：（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，当x2+y2＝13，xy＝﹣6时，原式＝13﹣2×（﹣6）＝25，∴x﹣y＝±5，故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式：（x±y）2＝x2±2xy+y2，熟练掌握该知识点是关键．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•开封期末）x2y+xy2＝8，x+y＝4，则x2+3xy+y2＝18．【考点】完全平方公式．【专题】整式；运算能力．【答案】18．【分析】先求出x+y＝4，再求出xy＝2，然后对原式进行变形，最后整体代入即可．【解答】解：∵x2y+xy2＝8，∴xy（x+y）＝8，∵x+y＝4，∴xy＝2，∴x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝42+2＝18．故答案为：18．【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．7．（2024秋•绵阳期末）已知a+b＝5，ab＝3，则（a﹣b）2的值为13．【考点】完全平方公式．【答案】见试题解答内容【分析】先根据完全平方公式进行变形，再整体代入，即可求出答案．【解答】解：∵a+b＝5，ab＝3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×3＝13．故答案为：13．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，注意：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．8．（2024秋•梁山县期末）计算：1002﹣992＝199．【考点】平方差公式．【专题】整式；运算能力．【答案】199．【分析】利用平方差公式进行计算即可．【解答】解：原式＝（100+99）×（100﹣99）＝199×1＝199．故答案为：199．【点评】本题考查平方差公式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是正确解答的关键．9．（2024秋•定州市期末）计算：11862﹣1185×1187＝1．【考点】平方差公式．【专题】整式；运算能力．【答案】1．【分析】利用平方差公式进行简算即可．【解答】解：原式＝11862﹣（1186﹣1）×（1186+1）＝11862﹣（11862﹣1）＝1．故答案为：1．【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是关键．10．（2024秋•庆云县期末）某同学在计算4（5+1）（52+1）时，把4写成（5﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式计算：4（5+1）（52+1）＝（5﹣1）（5+1）（52+1）＝（52﹣1）（52+1）＝252﹣1＝624．请借鉴该同学的经验，计算：(1+12)(1+12【考点】平方差公式．【专题】整式；运算能力．【答案】2．【分析】将要求的式子变形为2(1(1+1【解答】解：(1+＝2(1=2(1-=2(1-=2(1-=2(1-=2(1-=2-＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了平方差公式，理解题意正确变形是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•南漳县期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy与x2+y2的值．【考点】完全平方公式．【专题】整式．【答案】见试题解答内容【分析】根据完全平方公式间的关系，可得答案．【解答】解：∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，∴xy=14[（x+y）2﹣（x﹣y）2]=14×[25x2+y2=12[（x+y）2+（x﹣y）2]=12【点评】本题考查了完全平方公式，熟记法则并根据法则计算是解题关键．12．（2024秋•咸安区期末）利用乘法公式计算：（1）（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y）2；（2）3.992﹣4.01×3.97．【考点】平方差公式；完全平方公式．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）2xy﹣2y2；（2）0.0004．【分析】（1）利用平方差公式与完全平方公式先计算乘法运算，再合并即可；（2）把原式化为：3.992﹣（3.99+0.02）×（3.99﹣0.02），再利用平方差公式进行简便运算即可．【解答】解：（1）原式＝x2﹣y2﹣x2+2xy﹣y2＝2xy﹣2y2；（2）原式＝3.992﹣（3.99+0.02）×（3.99﹣0.02）＝3.992﹣（3.992﹣0.022）＝3.992﹣3.992+0.022＝0.0004．【点评】本题考查的是乘法公式的应用，熟记乘法公式是解本题的关键．13．（2024秋•庄浪县期末）阅读理解：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝5，∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19．参考上述过程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2．①x2+y2＝5；②求（x+y）2的值；（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值．【考点】完全平方公式．【专题】整式；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）①将x﹣y＝﹣3两边平方，利用完全平方差公式展开求解即可；②利用完全平方和公式将（x+y）2展开求解即可；（2）将x+y＝7两边平方，利用完全平方和公式展开，求出xy的值，再将（x﹣y）2利用完全平方差公式展开求解即可．【解答】解：（1）①∵x﹣y＝﹣3，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9，∵xy＝﹣2，∴x2+y2＝5；故答案为：5．②∵x2+y2＝5，xy＝﹣2，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1．（2）∵x+y＝7，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝49，∵x2+y2＝25，∴xy＝12，∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1．【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键．14．（2024秋•襄城县期末）已知ax•ay＝a4，（ax）2•（ax）y•（ay）2＝a9．（1）直接写出结果：x+y＝4；（2）求xy的值；（3）利用乘法公式计算：（x﹣y）2的值．【考点】完全平方公式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】整式；应用意识．【答案】（1）4；（2）1；（3）12．【分析】（1）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算，再比较即可；（2）根据同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算，再比较即可；（3）根据完全平方公式进行作答即可．【解答】解：（1）ax•ay＝ax+y＝a4，则x+y＝4．故答案为：4．（2）∵（ax）2•（ax）y•（ay）2＝a9，∴a2x+xy+2y＝a9，∴2x+xy+2y＝9，∴2（x+y）+xy＝9，∴xy＝9﹣8＝1．（3）原式＝（x+y）2﹣4xy＝42﹣4×1＝16﹣4＝12．【点评】本题主要考查完全平方公式、同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．15．（2024秋•南山区校级期末）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1．②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如1+2i的共轭复数为1﹣2i．（1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝5；②（2+i）2＝3+4i；（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）的值．【考点】完全平方公式；规律型：数字的变化类．【专题】整式；运算能力．【答案】（1）①5；②3+4i（2）（b﹣a）2＝1；（3）（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）＝5i．【分析】（1）按照定义及积的乘方计算即可；（2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可；（3）按照定义计算ab及a+b的值，再利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，4个一组，从而可得答案．【解答】解：（1）①原式＝4﹣i2＝4+1＝5，②原式＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i．故答案为：①5；②3+4i；（2）∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，a+bi是（1+2i）2的共轭复数，∴a＝﹣3，b＝﹣4，∴（b﹣a）2＝（﹣4+3）2＝（﹣1）2＝1；（3）由条件可知：ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i，即ab﹣1+（a+b）i＝1﹣3i，∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3，解得：ab＝2，a+b＝﹣3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣2×2＝5，∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，i2+i3+i4+…+i2025有2024个加数，2024÷4＝506，∴i2+i3+i4+…+i2025＝0，则i+i2+i3+i4+…+i2025＝i，∴（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）＝5×i＝5i．【点评】本题主要考查了完全平方公式，数字的变化，掌握完全平方公式的定义是关键．

考点卡片1．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．2．规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．3．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要