坐标平面上的直线单元复习与测试（解析版）

专题05坐标平面上的直线单元复习与测试

三目录

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基础知识：知识点全面梳理，掌握必备

♦学以致用：考点剖析，提升能力

一：小试牛刀：过关检测，成果评定

直线的倾斜角

1.定义：当直线/与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线/向上方向之间所成的角a叫

做直线/的倾斜角.

2.取值范围：直线的倾斜角a的取值范围是0。<0<180。.，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角

为0°.

(2)对直线的倾斜角的理解

①倾斜角直观地表示了直线相对于x轴正方向的倾斜程度..

②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角.

二.直线的斜率

1.定义一条直线的倾斜角c的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母女表示，即左=tanc.

注意：当直线的倾斜角为90。时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于尤轴(平

行于y轴或与y轴重合).因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.

2.倾斜角与斜率上的关系

由左向右上

直线情况平行于X轴垂直于X轴由左向右下降

升

a的大小0°0°<«<90°90°90°<«<180°

后的范围0左>0不存在左<0

随a增大而随夕增大而增

k的增减性

增大大

补充：斜率和倾斜角的特点

①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的；

②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90。时，倾斜角相同的直线，其

斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同；

③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90。的直线没有斜率，倾斜角不是90。的直线都有斜率..

三.直线斜率的坐标表示

公式：经过两点《（为,％）,固（羽,%）（芯/々）的直线的斜率公式为左="=.

————--

四.直线斜率与直线方向向量

1.若直线/的斜率为左，它的一个方向向量的坐标为（x,y）,则左=上.

X

2.若直线/的斜率为左且直线过两点2（々，%），6（%1，%），它的一个方向向量的坐标为

利=（%-%,%-X）,则左

五.直线的点斜式方程

已知直线/经过点4（%,为），且斜率为左，则直线/的方程为y-%=左（%-%）.

这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式.

当直线/的倾斜角为0。时（如图1）,tanO=0,即仁0,这时直线/与无轴平行或重合，/的方程就

是y一%=0，或〉=%・

当直线/的倾斜角为90。时（如图2）,直线没有斜率，这时直线/与y轴平行或重合，它的方程

不能用点斜式表示.因为这时/上每一点的横坐标都等于与,所以它的方程是刀-%=0,或

#

p\y

—1

02

图1图2

六.直线的斜截式方程

我们把直线/与y轴交点(01)的纵坐标b叫做直线I在y轴上的截距.

如果直线/的斜率为左，且在y轴上的截距为6,则方程为y-6=左(％-0),即丁=履+人叫做直线的斜截

式方程，简称斜截式.

当6=0时，y=H表示过原点的直线；当仁。且厚0时，y=6表示与x轴平行的直线；当;0且

b=0时，y=0表示与x轴重合的直线.

七.直线的两点式方程

1.直线的两点式方程的定义

已知直线/过两点片(%1，%),£02，%)，当玉W片为时，直线/的方程为

之二21=上二.这个方程是由直线/上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式.

%一M工2一七

2.直线的两点式方程的推导

已知直线/过两点片(为，％),鸟(々，％)(其中石片々，％/%)，此时直线的位置是确定的，也就

是直线的方程是可求的.

当X]WX,时，所求直线的斜率左

%2~X\

任取4K中的一点，例如取块和％),由点斜式方程，得y-%=丝=(％-七)，

x2_%]

当％/乃时，可写为。口工=土心.

y2f々一七

八.直线的截距式方程

1.直线的截距式方程的定义

已知直线/过点A(a,0),3(0/)(a/0力/0),则由直线的两点式方程可以得到直线/

的方程为2+』=1.

ab

我们把直线/与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是匕.

这个方程由直线/在两个坐标轴上的截距。和〃确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式.

2.直线的截距式方程的推导

已知直线/与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为3(0/)，如图，其中

将两点A(a,O),3(0/)的坐标代入两点式，得匕9=土二0,即土+2=1.

b-00-aab

九.中点坐标公式

若点耳,鸟的坐标分别为(和%),(%,%),且线段片鸟的中点”的坐标为(x,y),贝U

‘%+/2

•X——

/.此公式为线段片鸟的中点坐标公式.

y=A±A

r2

十.直线的一般式方程

在平面直角坐标系中，任何一个关于X,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于尤，y的二元

一次方程不+为+。=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.

直线的一般式、斜截式、截距式如下表：

一般式斜截式截距式

A「"cT菅=KAB,C都不为0)

Ac+gy+C=0(A,5不同时为0)y=--x--(B^O)

DD

直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进

行如下转化：

Ar1rA

(1)当BwO时，瓜+3丫+。=0可化为y=——x——,它表示在y轴上的截距为——，斜率为一一

BBBB

的直线.

(2)当A,3,C均不为零时，瓜+为+。=0可化为当+当=1,它表示在无轴上的截距为在

“A

y轴上的截距为的直线.

十一.两直线平行

1.特殊情况下的两条直线平行的判定

两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90。，故它

们互相平行.

2.两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定

两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相

等，那么它们平行，即/]〃/2=匕=左2・

十二.两直线垂直

1.特殊情况下的两条直线垂直的判定

当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为。时，即一条直线的倾斜角为90。，另一条

直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直.

2.两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定

如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率

之积等于T,那么它们互相垂直，即秘2=—L

十三.两条平行直线间的距离

1.两条平行直线间的距离

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长.

2.两条平行直线间的距离公式

一般地，两条平行直线A：Ax+By+C^O,^：Ax+By+C2^0(其中A与8不同时为0,且

G力C2.)间的距离d=1JJ.

十四.直线关于直线对称

(1)直线4与/2关于直线/对称，它们具有以下几种几何性质：

①若4与乙相交，则直线/是4、6夹角的平分线；

②若乙与4平行，则直线/在乙、4之间且到4、4的距离相等；

③若点A在4.上，则点A关于直线/的对称点2一定在乙上，此时4B，/，且线段AB的中点M在/上

(即/是线段A8的垂直平分线).充分利用这些性质，可以找出多种求直线"的方程的方法.

(2)常见的对称结论有：设直线/为及+By+C=0,

①/关于x轴对称的直线是Ax+8(-y)+C=0；

@l关于y轴对称的直线是A(―x)+By+C=0；

③/关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0；

④/关于直线产-x对称的直线是A(->)+B(-%)+C=0.

十五.两点间的距离

两点间的距离公式平面上任意两点《(西,%),鸟(%2,%)间的距离公式为

IPXP21={(%2-芯)2+(%-%『•

特别地，原点。(0,0)与任一点尸(x,y)的距离|。。|="干.

十六.对称问题

对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称.

1.点关于点对称

点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种

对称问题.

xQ+x

二a

x=2a-x0

设点「（公,%）关于点M（a,b）的对称点为P（尤，y）,则有〈,所以<即点

y=2b-y

%+y=b0

.2

P'（2a-x0,2b-y0）.特别地，点尸关于坐标原点。的对称点为%）.

2.点关于直线对称

对于点关于直线的对称问题，若点尸关于直线/的对称点为P,则直线/为线段PP的中垂线，于是

有等量关系：

①%）,/=-1（直线/的斜率存在且不为零）；

②线段PP的中点在直线/上；

③直线/上任意一点M到尸，P的距离相等，即|MP|=|MP'|.

常见的点关于直线的对称点：

①点P（XO,%）关于X轴的对称点P'（-Xo,%）；

②点P（x（）,%）关于y轴的对称点P'（-x0,y0）；

③点尸（%,%）关于直线>=无的对称点P'（y0,^0）；

④点尸（x0,%）关于直线y=-x的对称点P'（―y0,—x0）；

⑤点「（玉），%）关于直线（%和）的对称点P'（2/"-%,%）；

⑤点产（%,%）关于直线y=w（存0）的对称点尸'（%,2”-为）.

十七.点到直线的距离

1.点到直线的距离

点兄到直线/的距离，是指从点不到直线/的垂线段凡Q的长度，其中。为垂足.实质上，点到直线的

距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值.

2.点到直线的距离公式

平面上任意一点6（飞,兄）到直线/：Ax+Bv+C=0（A,B不同时为0）的距离为8=IAXO+.O+Q.

VA2+B2

【点拨】用向量法推导点P到直线/的距离IPQ公式的向量法推导，在直线上取任意一点与直线方向

向量垂直的单位向量为〃，则有=，所以有,0=俨四・9.

十八.点到直线的距离问题

（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应

用点到直线的距离公式求解即可.

(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线或kb,求点(%，为)到它们的距离时，既可以用点到直

线的距离公式，也可以直接写成d=14-。|或d=|%-61.

(3)若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即

可.

S@@@

一.直线的倾斜角(共1小题)

1.(2023春•上海市奉贤中学高二第二学期期中)直线x=l的倾斜角为

【答案】90

【分析】根据直线的方程可得出直线的倾斜角.

【详解】直线x=l垂直于x轴，故直线x=l的倾斜角为90.故答案为：90.

二.直线的斜率(共1小题)

2.(2022•徐汇区校级开学)若直线/的倾斜角为120。贝心的斜率是.

【答案】-^3

【分析】直接利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.

【详解】解：直线/的倾斜角为120°贝心的斜率是：tanl20°=故答案为：-F.

三.直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系(共2小题)

3.(2022春•金山区期中)经过A(1,0),B(0,M)两点的直线斜率为.

【答案】-V3

【分析】把两个点的坐标代入公式k=71,计算即可求得结论.

xl-x2

【详解】解：；直线经过点A(1,0),B(0,A/3)1

直线的斜率为卜=返二。=-

0-1

故答案为：-Vs.

四.直线斜率与直线方向向量(共1小题)

4.过A(4,y),2(2,-3)两点的直线的一个方向向量为“=(-1,-1),则＞=()

V3V3

A.-------B.-----------C.-lD.1

22

【答案】c

【分析】由A,B坐标，可以求得48,然后与方向向量平行，可以求得y值

【详解】解法一:由直线上的两点A(4,y),B(2,-3),得AB=(-2,-3-y),

又直线AB的一个方向向量为"=(-1,-1),因此n//AB,

(-2)x(/)-(-3-y)x(-1)=0,解得y=-l,故选C.

-1y—(-3)

解法二:由直线的方向向量为GL-l)得，直线的斜率为一=1,所以」1)=1,解得y=-l.故选C.

-14-2

五.直线的点斜式方程(共1小题),

5.(2023春上海市・虹口•期中)设点”(2,3),若直线/经过点H,且与直线垂直(O为坐标原点)，贝U

直线/的方程为.

【答案】2x+3y-13=0

【分析】由直线1与直线垂直，求出直线斜率，再根据点斜式方程即可求直线1的方程.

【详解】因为“(2,3),所以％3又直线1与直线垂直，所以直线1斜率为-2:，

又因为直线1经过点H,所以直线1的方程为y-3=-("-2),lip2x+3y-13=0.

故答案为：2x+3y-13=0.

六.直线的斜截式方程(共1小题)

6.(2023春•上海市青浦区•二模)过点尸(1,-3)与直线x+VJy+l=0垂直的直线方程为.

【答案］A/3x—y-3—\［3=0

【分析】设所求直线方程为5-y+c=0,将点P的坐标代入所求直线方程，求出。的值，即可得出所求直

线的方程.

【详解】设所求直线方程为抬x-y+c=0,将点P的坐标代入所求直线方程可得6+3+c=0,

解得c=-3-A/3，

故所求直线方程为底-y-3-g=0.

七.直线的两点式方程(共1小题)

7.(2022秋•上海浦东新•高二上海市川沙中学校考阶段练习)已知△ABC中，S(2.11.C(-23)

求8C边所在直线的方程

【答案】r+2y-4=0

【分析】可以通过两点式求直线方程，也可以通过点斜式求方程

［详解］的斜率为昼=-:，直线方程为y-1=—/一2),即久+2y-4=0；

八.直线的一般式方程(共1小题)

8.(2022春•上海杨浦•高二上海市杨浦高级中学校考阶段练习)已知直线/经过点C(2,l),且与x轴、y轴

的正半轴分别交于点A、点B,。是坐标原点.

(1)当。R的面积最小时，求直线/的一般式方程；

（2）当|C4|・|CB|取最小值时，求直线/的一般式方程，并求此最小值.

［答案］（l）x+2y_4=0

⑵x+y-3=0,|C4|・|C8|的最小值为4

21

【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标，得到W+；=1,结合基本不等式求出面积最值，得

ab

到/的方程；

（2）表达出y-1=左。-2）伏<0）,得至i］|CA|=1Zi,|尸例="7正，由基本不等式得至力/|-1•1的

最小值，得到％=-1,得到直线方程，

【详解】（1）设/的方程为二+：=1（。>0,6>0）,

ab

21

由直线过。（2,1）得一+丁=1,

ab

由基本不等式得：-+->2.f4，即122、区，解得：ab>8,

abVabvab

当且仅当a=4,6=2时取等号，此时/的方程为［+1=1,即x+2y-4=0；

42

（2）因为直线/与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、点3,

所以直线/的斜率存在，

可设直线I的方程为y-l=k（x-2）（k<0）,

所以4（2-三,0）,B（0,l-2k）,所以|CA|=Jg+1，|PB\=\/4+4k2>

所以|CA|-|C8|=J（，+l）（4+4/）=2j^+，+224,

当且仅当左2=g时取等号，此时左=—1,

此时直线的方程为尤+，-3=0,IC4MCBI的最小值为4.

九.直线方程的综合应用（共2小题）

9.（2023春•浦东新区•模拟预测）过点（3,-2）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为

【答案】2x+3y=0和尤+>—1=0

【分析】根据斜率是否为0,分两种情况，结合直线的截距式方程即可求解.

【详解】当直线经过原点时，此时直线方程为2x+3y=0,且在x轴，）轴的距离均为0,符合题意，

当直线在尤轴，》轴均不为。时，设直线方程为2+）=1（。*0）,

aa

o_r）

将（3,-2）代入得3+」=l,解得。=1,故直线方程为无+，一1=0,

aa

故答案为：2x+3y=0和％+>-1=0

10.(2023春上海市•浦东新区•阶段练习)方程N+|y|=l所表示的图形围成的区域的面积是.

【答案】2

【分析】由曲线的方程可得，曲线关于两个坐标轴及原点都是对称的，画出曲线的图象，知曲线围成的区域

是边长为行的正方形，进而求解

【详解】方程|x|+|y|=l,即x+y=l(xN0,yN0),x-y=l(xN0,y<0),

—x+y=l(x<0,^>0),—x—j=l(x<0,y<0),

故方程表示的曲线围成的图形是正方形，其边长为血，如图所示：

所以方程|x|+|y|=i所表示的图形围成的区域的面积为0x&=2

十.两条直线的平行关系(共2小题)

11.(2023春•上海市崇明•一模)已知方程组二。无解，则实数加的值等于___.

[mx+loy=6

【答案】-4

fx+my=2

【分析】方程组J。无解，转化为直线X+冲=2与直线如+16y=8平行，即可解决.

[mx+loy=6

[x+my=2

【详解】由题知，方程组M。无解，

[mx+16y=8

所以直线x+2X=2与直线+=8平行，

所以16—〃，=o,解得〃?=±4,

当机=4时，两直线重合，方程组有无数解，不满足题意，

当加=T时，两直线平行，方程组有无解，满足题意，

故答案为：-4

12.(2023春•上海市复旦附中高二第二学期期中)直线/过点(-1,2)且与直线2x—3y+4=0平行，则直

线/的方程是.

【答案】2x-3y+8=0

【分析】设与直线2x—3y+4=0平行的直线方程为2x—3y+c=0,代入已知点计算即可.

【详解】设与直线2光一3y+4=0平行的直线方程为2x—3y+c=0,

带入点（一1,2）得—2—3x2+c=0,得c=8,所以直线/的方程是2x—3y+8=0.

故答案为：2x—3y+8=0.

十一.两条直线的垂直关系（共2小题）

13.（2023春•上海市徐汇区•三模）已知直线4：x+y=0,公依+2y+l=0,若/J/?，贝.

【答案】-2

【分析】根据给定的条件，利用两直线的垂直关系列式计算作答.

【详解】若贝hxa+lx2=0,解得。=—2.

故答案为：-2.

14.（2023春•上海市长宁区•三模）己知直线[：x+y=0和4：2x——+3=0（aeR）,若则

a—,

【答案】2

【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.

【详解】直线4：x+y=。和乡：2%—到+3=0（aeR），/11Z2,

贝!|lx2—axl=0,解得a=2.

故答案为：2.

十二.根据直线的位置关系求参数（共1小题）

15.（2023春•上海市奉贤中学高二第二学期期中）直线y=ax—2与直线y=Gx的夹角0,g],则a

的取值范围是.

【答案】

[3J

【分析】利用两条直线的夹角公式求解即可.

【详解】由题知直线y=ax—2的斜率为左=a,直线y=氐的斜率为左2=6，

一与直线的夹角

因为直线y=双2y=6%0€0,^-j,

J^le>即3(a—6)2<(1+若(2)2,

2

所以tan。='zz

1+勺42

解得a〉.故答案为：+c0.

3I3）

十三.两直线位置关系的应用（共2小题）

16.（2023秋,上海市嘉定区•阶段练习）直线y=2与直线3x-y+l=0的夹角的正弦值为.

r答窣】

io

【分析】依题意得到两直线的倾斜角的正切值，设两直线夹角为，，则tan8=3,再根据同角三角函数的

基本关系计算可得.

【详解】设>=2的斜率为勺，由y=2得匕=tanq=。，

设3%—>+1=0的斜率为左2,由3%—〉+1=0得左2=1@11<92=3,

71

设两直线夹角为。，0,—,则tan8=tan%=3,

Xtan0==3Hsin20+cos23=1^解得sin。=3或八。?如。（舍去）.

cos。1010

17.（2023・上海市静安•二模）设直线小工-2y-2=0与4关于直线4=0对称，则直线4的方程是

A.llx+2y-22=0B.llx+y+22=0

C.5x+y-ll=0D.10x+_y-22=0

【答案】A

【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线6上一点，即可求解.

[x-2y-2=0[x-2

【详解】联立c./c，得C，

[2尤一4=0[y=0

取直线4：%-2y-2=0上一点（0,-1）,设点（0,-1）关于直线/：2x-y-4=。的对称点为（。涉），则

b+l_1

a2々刀乙曰1211

\，解得：a=-,b=--,

。ab-\.55

2x-------------4=0n

[22

直线4的斜率左=-?，所以直线4的方程为y=~（x-2）,

整理为：lU+2y-22=0.

十四.两直线位置关系的综合应用（共2小题）

18.（2023秋上海市•浦东新区•开学考试）己知定点P（6,4）与定直线3y=4x,过尸点的直线/与《交于第

一象限。点，与x轴正半轴交于点M,求使0QM面积最小的直线方程为.

【答案】x+y-10=0

【分析】分斜率存在与不存在两种情况，分别求出。,加坐标，从而表示出0QM的面积，进而可求出0QM

的面积的最小值，得出结果.

\x=6

【详解】当直线/斜率不存在时，直线/的方程为x=6,由“，得到x=6,y=24,

即Q(6,24),又易知M(6,0),所以，OQM的面积为S=！X6X24=72,

2

(2)当直线/斜率存在时，不妨设直线/为＞-4=左。-6),

4

令y=0,得到％=6-7,

K

y=4x24Z—16

又由消x得到y=

y-^-k{x-6)k—4

4

6——>0

k

由题知＜，得到七＜0,

24^-16八

------->0

、七一4

此时，OQM的面积为S=[X(6_.)X(24*T68(4一2)2,

2k左一4k2-4k

令3k-2=t,得到左=.,

S_8(3%-21_8产_72tl_72

贝U、~k2-4k~(f+2)24(1+2)一/一8"20一।820,

12

93tt

又因为1_§_a=_20仕+工]+-,又由/=孚<0,得至！k<—2,故一!<!<0,

tt15532t

j+2/,故$=小而4=4。

所以0<—20155「7下5止匕时［=-5,左=-1,

因为40＜72,所以使OQM面积最小的直线方程为、-4=-4-6),即x+y-10=0,

19.(2023春•上海市控江中学高一下期末)已知直线/：x-2y+l=0.

(1)若直线4：2x+y+l=0求直线/与直线4的夹角；

(2)若直线4与直线/的距离等于1，求直线的一般式方程.

兀

【答案】(1)-(2)x-2y+l±&=0

【分析】(1)求出直线/、乙的斜率，利用斜率判断两直线垂直，从而得出两直线的夹角;

（2）依题意设直线的一般式方程为X-2y+%=。，利用两平行直线间的距离公式求解即可.

【详解（1）】因为直线/:%—2y+l=0,斜率A=

直线4:2x+y+l=0,斜率匕=—2,因为的=一1,所以/，小

7T

即直线/与直线4的夹角为,；

【详解（2）】若直线4与直线/的距离等于1，则〃4，

Im-11

设直线的一般式方程为无一2y+m=。，则M,二六二1，

+（-2）-

解得〃z=1土A/5，

所以直线4的一般式方程为尤-2y+l士石=0.

十五.两点间的距离（共1小题）

20.在平面直角坐标平面内有四点A（T,0）,8（2,1）,C（l,5）,£>（-2,2）,尸为该平面内的动点，贝1］尸到

A、B、C、。四点的距离之和的最小值为（）

A.1072B.741+729C.14^D.717+729

【答案】D

【分析】根据R4+PC之AC和尸3+/>£>25£>可知当尸为两条对角线的交点时，「尸到A、B、C、。四点

的距离之和取得最小值，经计算可得结果.

【详解】依题意，四点A（-l,0）,6（2,1）,C（l,5）,0（-2,2）构成一个四边形ABC。，

因为PA+PC2AC,当且仅当P在对角线AC上时取得等号，

因为PB+PD2BD,当且仅当P在对角线上时取得等号，

所以B4+PC+P8+PD2AC+aD=7（-1-1）2+（0-5）2+7（-2-2）2+（2-1）2=咽+后，

当且仅当尸为两条对角线的交点时取得等号.

故P到A、B、C、。四点的距离之和的最小值为回+&7

十六.对称问题（共1小题）

21.如图，一束平行光线从原点0（0,0）,出发，经过直线/:8%+6丁=25反射后通过点？（-4,3）,求反射光线

所在的直线的方程.

【答案】y=3

【分析】作出入射光线关于直线1的对称光线AQ,求得对称点A点坐标，又该对称光线经过点P,进而求

解得反射光线直线方程

【详解】如图，过原点关于/的对称点A的坐标为(a,与，由直线Q4与/垂直和线段AO的中点在/上.得

aI3)a=4

解得|，所以点A的坐标为(4,3),因为反射光线的反向延长线过A(4,3),又因

b=3

8x—+6x—=25

I22

为反射光线过尸(T,3),所以两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为y=3

十七.求点到直线的距离(共2小题)

22.(2023春•上海市松江区•阶段练习)斜率为人的直线/过点4(0,2),〃为直线/的一个法向量，坐标平面上

的点3满足条件|n-AB\=\n\,则点B到直线I的距离为.

【答案】1

【分析】根据条件求向量AB在法向量〃上的投影数量的绝对值即可.

【详解】\n-AB|=||w|-|AB|-cos<n,AB>|n||AB\-cos<n,AB>|=1,即洋在力上的数量投影的绝对值等于

1,所以点8到直线/的距离为1.故答案为：1

23.(2023春上海市・徐汇•一模)已知正实数a力满足3。+2。=6,则人+TZ万^71的最小

值_________.

【答案】i2f9

【分析】利用代数式和几何图形的关系，将问题转化为距离之和的最小值即可求解.

【详解】设直线3x+2y=6,点尸(。力)在直线3x+2y=6上，且在第一象限，

设点A(0,l),/(a,0),

所以/2b+i=/+业+伍―叶+,

如图所示,

yt

3x+2y—6

\B

40,1)P(a,b)

o\M(a,o)X

点A关于直线3无+2y=6对称的点设为B（m,ri）,

n-1_2

24

m3m=——

则有“13

A解得'

-----+l=O29

2n=——

13

24

所以尸加+以=尸加+依，由图可知，当氏在直线％=五时，

29-------------------29

PM+PB最小，最小值为力=正，即b+Qa2+廿-2耳+1的最小值为yy，

29

故答案为：—.

十八.综合应用（共2小题）

24.（2023春・上海市•阶段练习）平行直线x+百y+石=0与Jir+3y-9=0之间的距离为

【答案】2石

【分析】直接由平行线的距离公式求解即可.

【详解】直线氐+3y-9=0即为x+石y-3g=0,

贝U平行直线x+退y+石=。与6+3y-9=0之间的距离为忸土2^=2G•故答案为：2道

A/T+3

25.（2023•上海市松江区•阶段练习）若对一个角/目0,2兀），存在角/40,2兀）满足

cos（«+/?）=cosa+cos/3,则称夕为a的"伴随角”.有以下两个命题：

①若。谓3

,则必存在两个"伴随角"e[0,2兀）;

，则必不存在"伴随角〃«0,2n）；

则下列判断正确的是（）

A.①正确②正确；B.①正确②错误;

C.①错误②正确；D.①错误②错误.

【答案】B

【分析】将已知方程变形为(cose-l)cos/7+(-sina)sin；0=cos(z,则(cos月,sin/7)为直线

(cosa-l)x+(-sina)y=coso与单位圆V+y?=1的交点用圆心到直线的距离解决问题

【详解】将已知方程变形为(cosa-l)cos/?+(-sina)sin尸=cos(z,

则(85月同11万)为直线(850；-1)彳+(-5m1)>=851与单位圆/+丁=1的交点.

考虑圆心到直线的距离

COS6Zcosa1.a

--si心=

八一二---才，其中/=sm—

J(cosa-1)2+(-sina)22sin12sin122t---------------2

则用,于是咤-，

对于①，若〃襄《

，即d<1,

直线与圆必有两个不同交点，

(cos^sin^)为直线(cosa-l)x+(-sina)y=cosa与单位圆x2+y2=1的交点,

故必存在两个“伴随角，，/目0,2兀)，即①正确；

对于②若ae[o,。，则于是d=

即直线与圆可能公共点，故可能存在“伴随角”/?武。,2兀)，即②错误；

综上，①正确②错误，故选:B.

s@®0

一、填空题

1.(2023春•上海市奉贤中学高二第二学期期中)直线x=l的倾斜角为

【答案】90

【分析】根据直线的方程可得出直线的倾斜角.

【详解】直线1=1垂直于X轴，故直线1=1的倾斜角为90.故答案为：90.

2.(2023春•上海市普陀•阶段练习)设”=(1,1)是直线/的一个法向量，贝心的倾斜角的大小为

【答案】135

【分析】由题意求出直线斜率，进而可求出结果.

【详解】因为“=(1,1)是直线/的一个法向量，

所以直线/的斜率为：k=-l,所以/的倾斜角的大小为135.故答案为：135.

3.(2022•上海市新中高级中学高三期中)直线丫+1=6(*-1)的倾斜角为.

【答案】|

【分析】由斜率直接求出倾斜角.

【详解】由直线y+l=^（x-l）可得：斜率为k=若.

设倾斜角为仇（0＜，＜兀），所以tan9=6,解得：。=方.故答案为：!

4.（2023春•上海市复旦附中高二第二学期期中）直线2x-y-l=0的倾斜角是.

【答案】arctan2

【分析】直接根据斜率可得倾斜角.

【详解】2x_y_l=0即y=2x—l,

设倾斜角为。,0＜。＜兀，则tana=2所以夕=arctan2.故答案为：arctan2.

5.（2023春•上海市黄浦区•期中）过尸（-2,租）、Q（租,4）两点的直线的倾斜角为45,那么加=.

【答案】1

【分析】根据给定条件，利用直线斜率的定义及坐标公式求解作答.

【详解】依题意，直线尸。的斜率原g=tan45=1,又左=上与，贝1]==1,解得m=1,

m+2m+2

所以根=1.故答案为：1

6.（2023秋・上海市松江区•阶段练习）若直线/的一个方向向量d=（3,l）,则直线/的倾斜角是.

【答案】arctan!

【分析】根据直线/的一个方向向量d=（3/），设直线/的倾斜角为a,贝hana=；,由此得到直线的倾斜角.

【详解】直线/的一个方向向量2=（3,1）,

设直线/的倾斜角为a,贝i]tana=g,

又因为0Va<7i,且tana=g>0,7T

所以0＜。＜万,所以a=arctan—.

故答案为：arctan!.

7.（2023春•上海市奉贤中学高二第二学期期中）己知直线/：（a+3）x+y-5=0,则原点到直线/的距离

的最大值是.

【答案】5

【分析】求出动直线所过定点，可知原点与定点的距离即为所求.

【详解】直线/：（a+3）x+y-5=0可化为依+3尤+丁-5=0,

x=0%二0

当时，即《厂时方程恒成立,

3x+y-5=03=5

所以直线/恒过定点M（0,5）,

所以当直线/与垂直时，原点到直线/的距离最大，最大值为|OM|="2+52=5.

故答案为：5

8.（2023春•上海市奉贤中学高二第二学期期中）直线y=ax—2与直线丁=氐的夹角0,巳；则”的

取值范围是.

【答案】一，+s

[3J

【分析】利用两条直线的夹角公式求解即可.

【详解】由题知直线y=ax—2的斜率为％=%直线y=氐的斜率为左2=6，

因为直线y=—2与直线丁=石》的夹角0，W]，

所以tan8=，i]：=|---0,-^-,即3（。-6）2<（1+6。）2,

1+k1k2|l+V3t?|3J

解得a〉Y3.故答案为：~~~>+c0.

3I3）

9.（2022•上海•曹杨二中模拟预测）直线y=2与直线y=2x-l的夹角大小等于.

【答案】ai-ctan2

【分析】求出两直线的倾斜角，从而得到夹角的大小.

【详解】y=2x-1的斜率为2,倾斜角为6=arctan2,

>=2的斜率为0,倾斜角为e=0,故两直线的夹角为e-a=arctan2故答案为：arctan2

10.（2023春•上海市复旦附中高二第二学期期中）直线/过点（-1,2）且与直线2x—3y+4=0平行，则直

线/的方程是.

【答案】2x-3y+8=0

【分析】设与直线2x—3y+4=0平行的直线方程为2x—3y+c=0,