轴对称常规题训练（解析版）-2023-2024学年人教版八年级数学上学期复习分类汇编

专题06轴对称常规题训练

轴对称

等腰三角形

垂直平分线

等边三角形

画对称轴图形

三轴对称图形

1.下列美术字中，从数学的角度可以看作是轴对称图形的是（）

美好东明

【答案】A

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称

图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：B,C,D选项中的美术字都能不找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线

两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

A选项中的美术字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以

是轴对称图形.

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重

合.

2.下列汽车标志中不是轴对称图形的是（）

【答案】B

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称

图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：A,C,D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁

的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,

所以不是轴对称图形；

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重

合.

3.山西戏曲历史悠久、种类繁多，在我国戏曲舞台上占有重要地位.其中，晋剧经国务院批准被列

入第一批国家非物质文化遗产名录.下列4个晋剧脸谱中，不是轴对称图形的是（）.

【答案】A

【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做

轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得到答案.

【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重

合.

反射关系问题

4.通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）.在图2中，光线自点P

射入，经镜面E尸反射后经过的点是（

【答案】B

【分析】根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可.

【详解】根据直线的性质补全图2并作出法线0K,如下图所示：

故选：B.

【点睛】本题主要考查轴对称的性质，垂线的画法，根据轴对称的性质得相等的角是补全光线的关

键.

5.光线以如图所示的角度。照射到平面镜工上，然后在平面镜I,II之间来回反射.若Na=50。,

/〃=60。，则々等于（）

【答案】B

【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用

三角形的内角和是180。求解.

文:Zl+Z2+Z3=180°

180o-2Z^+Za+Z/=180°,

:.2"=Na+Ny

即2x60°=50°+N/

々=120。-50。=70。.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线

的夹角是解题关键，注意隐含的180。的关系的使用.

6.根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等.如图，d力是两

面互相平行的平面镜，一束光线相通过镜面a反射后的光线为n,再通过镜面”反射后的光线为k.光

线m与镜面a的夹角的度数为x。,光线n与光线k的夹角的度数为y°.则x与y之间的数量关系

是_____.

—

【答案】2x+y=180

【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得.

【详解】解：；入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，

反射后的光线力与镜面。夹角度数为廿，

a,方是两面互相平行的平面镜，

二反射后的光线〃与镜面夕夹角度数也为产，

又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等，

反射后的光线及与镜面夕的夹角度数也为彳°,

...x°+x°+y°=180°,

2x+y=180.

故答案为：2x+y=180.

【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及

两直线平行内错角相等是解题的关键.

I题型03折叠问题

1

7.如图，长方形纸片ABCD,点E,尸在AD边上，点G,H在BC边上，分别沿EG,FH折叠,

使点。和点A都落在点M处，若a+£=119。，则NEMF的度数是.

【答案】58°方8度

【分析】利用长方形纸条对边平行进行角度转换，再利用折叠对应角相等和平角180。进行计算，得

到AEFM中除AEMF外的两个角度和，最后由三角形内角和180。得到NEMF.

【详解】解：•••长方形纸条,

AD//BC,

:.ZDEG=ZEGH=a,ZAFH=ZGHF=,

由折痕EG,FH得到/DEG=NGEM=a,ZAFHZMFH=,

ZFEM+2a+ZEFM+2/3=360°,

ZFEM+ZEFM=360°-2(a+£)=360°-2x119°=122°,

ZEMF=180°-(ZFEM+ZEFM)=58°,

故答案为:58°.

【点睛】本题考查折叠图形中角度的计算，利用折叠对称的性质得到角度关系，计算时综合其他角

度计算是常考题，解题时须注意对应关系和复杂计算，找到对应关系和正确的计算是解题的关键.

8.在折纸游戏中，小颖将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点折

叠后的对应点分别为2'、D',若NbAO=12。，则NE4尸的度数为.

［分析］根据折叠的性质得出/BAE=ZB'AE,ZDAF=ZD'AF,根据“AD=12。,得出

ZBAE+ZB'AE+ZDAF+ZD^AF=102°,进而得出—E4产+N?AD，=51。，即可求解.

【详解】解：1.折叠

NBAE=NB'AE,ZDAF=ZD'AF,

ZBAE+AB'AE+ZDAF+ZZJAF=ABAD+ZBM=90。+12。=102°,

ZEAF+AB'AD'=51°

^JE4F=90°-51°=39°,

故答案为：39°.

【点睛】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键.

9.如图，把一张长方形的纸条ABCD沿所折叠，若N班C'比ZBEE多6。，则/EFC=1

E

Ai------z----------iD

cr

【答案】122

【分析】设NEFC=X,Zl=y,则=根据NBFC'比®E多6。得到x与y的关系，再

根据邻补角的性质得到尤+y=180°联立二元一次方程组求解.

［详解］解：设NEPC=x,Zl=y,则/班C'=x_y,

/BFC'比NBFE多6。，

x-y-y=6,

-：尤+y=180°,

可得x=122。，y=58°,

故答案为：122.

【点睛】本题重点考查了邻补角的性质及折叠问题，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决

问题.

垂直平分线

10.如图，在AABC中，AB.AC的垂直平分线分别交3c于点E、/，若AABC的周长是20,AB=4,

【答案】C

【分析】先根据AABC的周长公式求得3c=9,再根据线段垂直平分线的性质得到E4=£B,

E4=PC,根据△AEF的周长公式计算，即可得到答案.

【详解】解：；AASC的周长是20,

AB+AC+BC=2.0

AB=4,AC=1,

BC=9,

•••EG是线段AB的垂直平分线,

EA=EB,

同理，FA=FC,

.•AEF的周长=E4+£F+E4=EB+£F+FC=BC=9,

故选：C.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点

的距离相等是解题的关键.

11.如图，在AABC中，4平分/B4C,3/平分/ABC,点。是AC、BC的垂直平分线的交点,

连接AO、B0,若则NA/B的大小为()

C

一422

【答案】B

【分析】连接CO并延长，根据线段垂直平分线的性质得到。4=OC,03=OC,根据等腰三角形

的性质得到NOC4=NQ4C,Z.OCB=Z.OBC,根据三角形的外角性质计算，得到

ZAOB=1(ZOCA+ZOCB)=a.根据三角形内角和定理得到ZZ4B+ZffiA=180。-ZAZB,根据角平分线

的定义得到NNB+NZBA=90。-=,求出ZAZB.

4

【详解】解：连接CO并延长，

C

•・•点。是AC、BC的垂直平分线的交点,

:.OA=OC,OB=OC,

：.ZOCA=ZOAC,ZOCB=ZOBC,

ZAOD是AAOC的一个外角，

ZAOD=ZOCA+ZOAC=2Z.OCA,

同理，/BOD=2NOCB,

/.ZAOB=ZAOD+ZBOD=2ZOCA+2ZOCB=a,

cc

ZOCA+ZOCB=—,

2

:.ZACB=-,

2

・.・4平分/84。，3/平分/ABC,

/.ZIAB=-ZCABZIBA=-ZCBA

2f2f

11(X

,ZIAB+AIBA=-(ZCAB+ZCBA)=-(180°-ZACB)=90°--,

a

ZAIB=180°-(ZIAB+ZIBA)=90°+—,

故选：B.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段

的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

12.如图，在AABC中，BDLAC,垂足为D,PQ是BC边的垂直平分线，交8c于点Q,交AC

于点尸，AD=PD.若AABC的周长是28cm,CQ=6cm,则钻+4)的长是.

【答案】8cmR厘米

【分析】先根据垂直平分线的性质得到=CP=PB,BC=2CQ=12Cm,再求出

AB+AC=16cm,AB+AP+BP=16cm,即可求出AB+AD=8cm.

【详解】解：3DLAC,AD=PD,

即是线段AP的垂直平分线，

••AB=PB，

尸。是5c边的垂直平分线，

/.CP=PBi5C=2CQ=12cm,

..AB=PB=PC,

41BC的周长是28cm,

AB+AC+BC—28cm,

・•.AB+AC=2S-12=16cm,

即AB+AP+PC=AB+AP+BP=16cm,

.AB=PB,AD=PD,

AB+AZ)=8cm.

故答案为：8cm

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟知线段垂直平分线的性质和定义，结合题意

进行线段的转化是解题关键.

13.如图，在AABC中，边48的垂直平分线交于点E,边8C的垂直平分线交BC于点先两条

垂直平分线交于点P,连接24、PB、PC,若NPEF=20°,则ZAPC的度数为

【分析】利用线段垂直平分线的对称特性与平角的定义来求解.

【详解】作出顶点尸周围各角的标签N1〜N5.如下图，

,・,点P是边A3、边3c垂直平分线的交点,

N4=N5,Z1+Z2=Z3.

•••NPEF=20。，

：.Z2=90°-ZPEF=70°.

Z3=Z1+Z2=Z1+7O°,

.­.Z4=180°-(Z2+Z3)=180°-(Zl+140°)=40°-Z1.

即：Z5=40°-Zl.

Nl+/5=40°.

ZAPC=180°-(Zl+Z5)=180°-40°=140°.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、邻补角的定义、三角形内角和等知识点，解题的关键

是善于把各个角之间的关系进行转化.

轴对称图形

14.如图，AABE和△ADC是"RC分别沿着AB,AC边翻折180。形成的，若N1:—2:—3=15:3:2,

则/a的度数为（）

A.80°B.60°C.90°D.45°

【答案】C

【分析】根据Nl：/2:/3=15:3:2,Zl+Z2+Z3=180°,可求得N2和N3的度数，根据图形折叠

的性质，可求得NEBC和NDC3的度数，根据Na=NEBC+NDCB即可求得答案.

【详解】•「Nl:12:/3=15:3:2,Zl+Z2+Z3=180°,

/.Zl=135°,N2=27。，Z3=18°.

V△河石和△ADC是AABC分别沿着相，AC边翻折180。形成的,

二.N石R4=/2=27。，NOC4=23=18。.

/.ZEBC=AEBA+Z2=54°,Z.DCB=ZDCA+^3=36°.

/./2=/£石。+/。8=54。+36。=90。.

故选：C.

【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质，牢记轴对称

图形的性质是解题的关键.

15.如图，直线/,机相交于点。，尸为这两条直线外一点，且OP=3.若点尸关于直线/,根的对称

点分别是点4，2,则4，2之间的距离可能是（）

m

P2

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】连接。&。£,根据对称性，得到鸟=。尸=3,利用三角形三边关系定理计算选择

即可.

【详解】如图，连接。&。舄，

根据对称性，得到OPl=OP2=OP=3,

-：+乙，

.­,65<3+3=6,

故选A.

【点睛】本题考查了对称性，三角形三边关系定理，熟练掌握对称性和三角形存在性是解题的关键.

16.如图，点P是/AO3内部一点，点P,尸〃分别是点尸关于Q4,的对称点，且PP'=8cm,

则APMN的周长为（）

P!A

uN\\B

P"

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

【答案】D

【分析】根据轴对称的性质可得尸M=P'M,PN=P"N,再根据三角形的周长计算方法即可解答.

【详解】解：,点P,尸"分别是点尸关于。4,的对称点，

PM=PM,PN=P"N,

.,.△PW的周长=PM++PN=PM+MZV+P"N=PP"=8cm,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴上的点与对应点连线相等.

17.如图，点P关于。4的对称点是。，点P关于QB的对称点是C,若N4C®=30。，则/OOC的度

数是.

【分析】根据对称性得到ZAOP^ZAOD,ZBOC=ZBOP,利用NAOB的度数得到ZAOD和NBOC,

相加可得/DOC.

【详解】解：连接。尸，

,点尸关于。4的对称点是点尸关于。3的对称点是C,

ZAOP=ZAOD,NBOC=NBOP,

：.ZAOD+ZBOC

=ZAOP+ZBOP

=ZAOB,

又ZAC®=30。，

ZDOC=ZAOD+ZBOC+ZAOB

=2ZAOB

=60。.

故答案为：60°.

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是根据题意得出

ZAOD+ZBOC=ZAOB.

题型06等腰三角形

1

18.若等腰三角形边长分别为6cm和3cm,则该等腰三角形的周长是（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.12cm或15cm

【答案】C

【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm,只能为6cm,然

后即可求得等腰三角形的周长.

【详解】解：①6cm为腰，3cm为底时，6+6+3=15cm；

②6cm为底，3cm为腰,

因为3+3<6,不符合三角形的两边之和大于第三边,

所以应舍去.

故其周长是15cm.

故选：C.

【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况.已知没有明确腰

和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,

这点非常重要，也是解题的关键.

19.如图，AABC的两个外角平分线BZ）与CE交于点P,过点尸作肱交AC于点交8C于

点、N,且AM=7,BN=5.

⑴求证：点尸在/A的平分线上.

⑵求MN的长.

【答案】⑴见解析；（2）2

【分析】（1）过点尸作PbLAC于点/，PH,3c于点尸Q1AS于点Q,根据角平分线的性

质定理，推理得「尸=「。，再根据角平分线的判定定理即可证点P在/A的平分线上；

（2）连接AP,根据角平分线和平行线，推出得NP=BN=5,中程出ZNBP=ZNPB,

得NP=BN=5,最后根据MN=MP-NP计算即可.

【详解】（1）如下图，过点尸作Pb,AC于点尸，PHLBC于点H,PQSAB于点Q,

•.'△ABC的两个外角平分线BD与CE交于点P,

PF=PH,PH=PQ,

：.PF=PQ,

又♦.•PF_LAC,PQ-LAB,

点尸在/A的平分线上

（2）如下图，连接AP,

^]ZMAP=ZPAB,

■.■MN//AB,

:.ZMPA=ZPAB,（两直线平行，内错角相等）

:.ZMPA=ZMAP,

，MP=AM=7,（在同一个三角形中，等角对等边）

又〈BP平分NCBQ,

:.ZNBP=ZPBQ,

-.-MN//AB,

.-.ZNPB=ZPBQ,（两直线平行，内错角相等）

:.ZNBP=ZNPB,

，NP=&V=5,（在同一个三角形中，等角对等边）

:.MN=MP-NP=1-5=2

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理、平行线、等腰三角形判定，熟练掌握相关定

理、推理证明是解题的关键.

20.如图，在AASC中，AS=AC,/BAC=90。.点。是3C上一点，以AD为边作使A£>=A£；,

NDAE=90。.连接CE并延长，过点A作AF的延长线于点H

备用图

⑴判断△ACF的形状，并说明理由；

（2）求证：CD=2EF+BD.

【答案】（1）等腰直角三角形，理由见解析

（2）见解析

【分析】（1）由"SAS"可证/△ACE,可得/3=/ACE=45。，即可求解；

（2）先证四边形AHCP是正方形，可得AF=.AH,由"HL”可证RtAAEF^RtAAOH，可得EF=DH,

即可求解.

【详解】（1）解：△ACF是等腰直角三角形,理由如下：

■.■ZDAE=90°=ZCAE,ACAB,

:.ZDAB=ZCAE,ZB=ZACB=45°,

在△ABD和△ACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

「.△AB。之△ACE(SAS),

.\ZB=ZACE=45°f

\-AFLCE,

:.AF=CFf

「.△ACb是等腰直角三角形；

(2)证明：如图，过点A作于H,

\-ZACE=ZACB=45°,

:.NFCB=90°,

又・.・AF_LC/，AH±BC,

:,AF=AH,

又・.・"=ZAHD=90。，AD=AE,

RtAAEF^RtAADH(HL),

.\EF=DH,

•••AB=AC,ABAC=9Q°,AHLBC,

:.BH=CH,

:.CD=CH+HD=BH+DH=BD+2EF.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的

关键.

21.数学课上，老师画出一等腰△ABC并标注：AB=AC=10fNA=30。，然后让同学们提出有效

问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答.

图1图2图3

⑴甲同学提出：/B=/C=度；

(2)乙同学提出：AABC的面积为：；

⑶丙同学提出：点。为边的中点，DEJ.AB,DF1AC,垂足为E、F,请求出DE+DF的值;

⑷丁同学说受丙同学启发，点。为边上任一点，DEJ.AB,DF1AC,CH±AB,垂足为E、

F、H,则有。E+。/=C”.请你为丁同学说明理由.

【答案】⑴75。

⑵25

⑶5

⑷见解析

【分析】(1)根据等腰三角形的性质求出结果即可；

(2)过点B作8HLAC,交AC于点H,根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求出

BH=^AB=5,根据三角形面积公式求出巨.0=34028=(><10'5=25即可；

(3)先证明。£=方，根据厂得出

=5(DE+DF),即5(DE+DF)=25,即可求出结果；

=SAABD+S^CD

(4)连接AD,根据三角形的面积公式得出

S^ACD=^ACDF,S^c=^ABCH,

根据以加+5.8=54枷，得出+•。歹=1人员。/,即尸)=即

可求出结果.

【详解】(1)解：■.-AB=AC=1O,ZA=30°,

ZB=ZC=1(180°-NA)=75°；

(2)解：过点2作交AC于点区贝IJ：ZBHA=9Q°,

A

-,-AB=AC=109ZA=30°f

:.BH=-AB=5,

2

•-5AABC=|AC.B/7=1X10X5=25；

（3）解：连接A£>,如图所示：

•.•AB=AC,点。为边BC的中点，

平分，B4C,

-.DE±AB,DF1AC,

：.DE=DF（角平分线的性质）；

AB=AC=10,

S>ABD=5AB,DE,SJen=3AC-DF,

AABC（）（）

S=S4ABD+S^CD=^ABDE+^ACDF=^ACDE+DF=5DE+DF

由（2）知S&ABC=25,

.*.5（DE+r）F）=25,

DE+DF-5；

（4）证明：连接A。，如图所示：

A

BDC

.DEJ.AB,DF，AC,CH上AB,

..SARD='AB.DE,SACD=—AC-DF,SABC=—AB-CH,

△ABD2AACIJ2△/IDC2

•'ABD+SAACD=AABC»AB=ACj

:.^ABDE+^ACDF=^ABCH,即：AB-(DE+DF)^AB-CH,

:.DE+DF=CH.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理，解题的关键

是熟练掌握等腰三角形的性质，准确计算.

II

I题型07等边三角形

■।

22.如图，AACD是等边三角形，若AB=DE=5,BC=AE,ZE=110°,贝='

【答案】130

【分析】由等边三角形性质得出AC=ARNG4D=60。，再由SSS证得AABC0AOEA,得出

ZBAC=ZADE,由三角形内角和定理求出NBAC+/ZME=/ZME+NADE=70。，即可得出答案.

【详解】解：：AACD是等边三角形，

AC=AD,ZCAD=6Q°,

在AABC和△DE4中，

AB=DE

<BC=AE,

AC=AD

AABC\ADEA(SSS),

/.ZBAC=ZADE,

：.Z.BAC+Z.DAE=ZDAE+ZADE=180°-110°=70°,

ZBAE=ABAC+ZDAE+ZCAD=10°+6Q°=13Q°,

故答案为：130。.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识；熟

练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

23.【问题提出】在AABC和AOEC中，ZACB=ZDCE=60°,ZCBA=ZCAB,ZCED=ZCDE,点£

在AABC内部，直线AD与3E交于点尸，探究线段之间的数量关系.

【问题探究】

⑴先将问题特殊化.如图(1),当点，尸重合时，写出一个等式表示AEBEC尸之间的数量关系，

并说明理由；

(2)再探究一般情形.如图(2),当点，尸不重合时，(1)中的结论是否仍然成立，请证明.

【答案】(1)AF+CR=3R,见解析

⑵跖+仃=3下成立，见解析

【分析】(1)根据等边三角形的判定与性质可知V3CE丝VACD(SAS),再根据全等三角形的性质即

可解答；

(2)根据旋转的性质及全等三角形的性质可知△CBM四△OW(ASA),再根据全等三角形的性质

即可解答.

【详解】(1)解：AF+CF=BF,理由如下：

在AABC和ADEC中，

Z.CBA=NCAB/CED=NCDE,ZACB=NDCE=60°,

AABC和是等边三角形，

AC=BC,CE=CD=DE,CF=DE.

-：ZACB=ZDCE=60。，

/.ZACB-ZACE=ZDCE-ZACE,

/.ZBCE=ZACD.

又「BC=AC,EC=DC,

/.VBCE^VACD(SAS),

BE=AD,

即BE=AF,AF+CF=BE+DE=BF,

即AF+CP=3P.

(2)证明：+B=3尸成立，理由如下：

如图(2),将CP绕，点C逆时针旋转60。交8尸于点

ZFCM=ZACB=6O°,

ZFCM-ZACM^ZACB-ZACM,

：.ZFCA=ZMCB,

由（1）可知，ABCE冬ACD,

NCBE=NCAD.

又：BC=AC,

Z\CBM^AC4F（ASA）,

CM=CF,BM=AF.

文:ZFCM=60°,

,ACMF是等边三角形，

,CF=CM=MF,

：.AF+CF=BM+MF=BF,

即AF+CFuBF.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定

与性质是解题的关键.

24.如图1,在等边AABC中，点。是边AC上的一点，连接B。，以为边作等边△3DE,连接

CE.

EE

图1图2

⑴求证：YBAD^VBCE；

（2）如图2,过A,D,E三点分别作Ab于点凡D暇，3C于点M,ENLBC于点、N.求证：

AF=DM+EN；

⑶如图3,AFIBC,垂足为点E若将点。改为线段"上的一个动点，连接8。，以为边作

等边ABDE,连接RE.当AB=1时，直接写出尸E的最小值.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】（1）由等边三角形的性质可得出34=3（7,BD=BE,ZABC=ZDBE=60°,即证明

ZABD=ZCBE,从而可由"SAS"证明VBAD^BCE；

（2）由全等三角形的性质可得出再根据S."C=SAABD+SADBC=S4BCE+SABCD'结合二

角形面积公式可得出即证明AF=DM+EN；

222

（3）连接EC,由全等三角形的性质可得出/3CE.再根据等边三角形的性质可得出

ZSAF=ZC4F=30°,BF=CF=-BC=-AB=-,即得出NBCE=N胴S=3。。，最后根据垂线段

222

最短即得当EC时，所的值最小，止匕时所

24

【详解】（1）证明：•：AABC,都是等边三角形，

BA=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=60°,

ZABD=ZCBE.

BA=BC

在△ABD和MBE中，NABD=乙CBE,

BD=BE

VABD^VCBE(SAS)；

(2)证明：；AABD%CBE,

•-•v^^ABD=~q。/BE•

•Q—q-4-v—q-i-v

•一°AABD于◎&DBC—。ABCE丁◎.BCD，

又;AF±BGDM±BC,EN工BC,

-BCAF=-BCDM+-BCEN,

222

AF=DM+EN；

(3)解：连接EC,如图

A

E

图3

•••AABD^ACBE,

ABAD=/BCE.

■.是等边三角形，AFIBC,

：.ZBAF=ACAF=3Q°,BF=CF=-BC=-AB=-,

222

ZBCE=ZBAF=30°,

二点E在射线CE上运动(ZBCE=30°),

.•.当EFJ_EC时，所的值最小，止匕时EF=』CP=!，

24

即所的最小值为。.

4

【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角

三角形的性质.熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键.

优选提升题

25.如图，在四边形A3CD中，AD//BC,AB=BC=4,AD=DC,连接BD,△BCD的面积为

20

y,点£是边AB边上一动点，点尸在线段2。上，连接尸APE,则A4+PE的最小值是.

【答案】y

【分析】连接AC,CP,根据A5=3C,AD=DC,可得8。垂直平分AC,从而得到AP=CP,进

而得到PC+PE的最小值为CE的长，且当CE_LAB时，CE最小，再根据△ABDVAeg。，可得

20

S.D=S瓯D=y，即可求解・

【详解】解：如图，连接AC,CP,

AB=BC,AD=DC,

..8。垂直平分AC,

AP=CP,

：.PA+PE=PC+PE>CE,

即PC+PE的最小值为CE的长，且当CELAB时，CE最小,

AB^BC,AD=DC,BD=BD,

:・&ABDS△CBD,

•qt-型

••-0ABCD-3，

/.-ABCE=-x4CE=—,

223

CE=},即PA+PE的最小值为了.

故答案为：—

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌

握线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键.

26.如图，边长为4的等边三角形ABC中，w是高CH所在直线上的一个动点，连接MB,将线段

绕点2逆时针旋转60。得到3N,连接EW.则在点M运动过程中，线段长度的最小值是.

［分析］取CB的中点G,连接MG,根据等边三角形的性质可得8H=BG,再求出NHBN=NMBG,

根据旋转的性质可得MB=A®,然后利用“边角边"证明AMBG当再根据全等三角形对应边相

等可得H2V=MG,然后根据垂线段最短可得MG，CH时最短，再根据NBCH=3O。求解即可.

【详解】解：取BC的中点G,连接MG,如图所示：

ZMBH+ZHBN=60°,

又ZMBH+NMBC=ZABC=60°,

:.ZHBN=Z.GBM,

•••CH是等边AABC的高线，

:.HB=-AB,

2

:.HB=BG,

又•.•△仍旋转到BN,

BM=BN,

在△MBG和ANBH中,

BG=BH

<NMBG=NNBH,

MB=NB

:.AMBG^NBH（SAS）,

\MG=NH,

根据垂线段最短，当MG_LS时，MG最短，此时即最短，

111

VZBCH=-x60°=30°,CG=-AB=—x4=2,

222

在Rt^CG"中，/MCG=30°,ZCMG^90°,MG=-CG^-x2^1,

22

：.HN=MG=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性

质，含30。的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是