重庆市渝北区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（解析版）

数学试题

（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；

2.作图（包括作辅助线）请一律用黑色25铅笔或黑色签字笔完成.

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面都给出了代号为

4、5、C、。的四个答案，其中只有一个是正确的，请将等断卡上题号右侧正确答案所对应

的方框涂黑.

1.日常生活中，我们会看到很多标志，在以下四个标志中，是轴对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,

这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键.

【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；

B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；

C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；

D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；

故选：C.

2.下列图形中具有稳定性的是（）

A.三角形B,正方形C.长方形D,五边形

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性解答即可.

【详解】解：在三角形、正方形、长方形、五边形中具有稳定性的是三角形，

故选：A.

3.下列计算中，结果正确的是（）

A.V.彳3=2%3B.%2.%4=%8C.3x-5x=15xD.犬+2%2=3尤2

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了同底数幕的乘法、单项式乘以单项式、合并同类项，根据同底数塞的乘法、单项式乘

以单项式、合并同类项的法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键.

【详解】解：A、/.%3=%6,故原选项计算错误，不符合题意；

B、％2.%4=%6,故原选项计算错误，不符合题意；

c、3X-5X=15%2,故原选项计算错误，不符合题意;

D、X2+2X2=3X2,故原选项计算正确，符合题意；

故选：D.

4.要使分式二-------有意义，则无需满足的条件是（）

尤2+2X+1

A.xwlB.C.x>lD.x>-l

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列不等式进行求解即可.

x+2x+l=（x+l）-rO,

解得：xw—1,

故选:B.

5.三角形的其中两边长分别是1和9,则第三边的长可能等于（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了三角形三边关系，设第三边长为x,由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小

于第三边可得出8<%<10,从而得到答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键.

【详解】解：设第三边长为心

由三角形三边关系可得：9-1<%<9+1,即8<x<10,

.••第三边的长可能等于9,

故选：C.

6.已知772-〃=2,〃，一“2=2，则相+〃的值为（）

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】先利用平方差公式分解因式，再运用整体的思想求代数式的值，熟练掌握和运用平方差公式是解

本题的关键.

【详解】解:m2—77271)=2,m—n=2,

m+n=l

故选：A

7.某城市进行道路整改，需要重新铺设一段全长为6千米的道路，为尽量减少施工队对城市交通所造成的

影响，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,结果提前25天完成这一任务，设原计划每天铺设

道路尤米，根据题意可列方程为（）

66

A.--——=25B.-——=25

x(1+20%)%x(1-20%)%

60006000«60006000«

C.------------------------=25D.二23

x(l+20%)xx(l-20%)x

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，由实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际施工时每

天铺设管道（1+20%）%米，利用工作时间=工作总量+工作效率，结合实际比原计划提前25天完成任务,

可得出关于x的分式方程，此题得解.

【详解】解：实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,且原计划每天铺设管道无米,

.•・实际施工时每天铺设管道（l+20%）x米,

60006000

根据题意得：——

x(l+20%)x

故选：C.

8.如图，将一副三角板如图放置，则图中N1的度数为（

A.50°B.65°C.75°D.80°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，根据三角形的外角的性质即可得出结论，熟练掌握三角形

的外角等于不相邻的两个内角的和是解此题的关键.

【详解】解：观察一副三角板得：Zl=30o+45°=75°,

故选：C.

9.如图，在等腰直角..ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D为BC边上一点,鹿，AD于E,

BE=2AE,若=则/ACE等于（

B.aC.a+45°D.a—45°

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理等，取

助的中点尸，连接A尸，先证△AEF为等腰直角三角形，从而得NAEE=NE4石=45°,进而得

ZBAF+ZEAC=45°,再根据=尸=45°,得4B4=NEAC,由此可依据

“SAS”判定_从而得出44尸=NACE,由此可得NK4C+NACE=45°,即

ZEAC=45°-ZACE,然后证明NAC3=45°,再由三角形外角定理/ADfi=NACB+/E4C,据此

可得出/ACE的度数，正确地作出辅助线构造全等三角形，灵活利用三角形的外角定理找出相关角的关

系是解决问题的关键.

【详解】解：取BE的中点尸，连接A尸，如图所示:

BE=2AE,

■.BF=EF=AE,

BE±AD,

.「A石下为等腰直角三角形，

:.ZAFE=ZFAE=45°,

ZBAC=9Q°,

:.ZBAF+ZFAE+ZEAC=90°,即4AF+NEAC=45。,

ZAFE=ZFBA+ZBAF=45°,

\1FBA2EAC,

在,和E4C中，

BF=AE

<ZFBA=ZEAC,

AB=AC

:...FBA^EAC（SAS）,

:.ZBAF=ZACE,

ZBAF+ZEAC=45°,

:.ZACE+ZEAC=45°,即44C=45。—NACE,

AB=AC,/B4C=90。，

ACS=45°,

ZADB=ZACB+ZEAC,

口=45。+45。—NACE,即NACE=90°—1，

故选：A.

10.如图，点A,B,。在同一条直线上，点B在点A,C之间，点。，E在直线AC同侧,

AE=2CD,NC4E=NACD=90°,ZAEB=ZBDC,连接OE，给出下面三个结论：

®AC<DE；

②ZA£D=ZADC；

@CE+CD>BE+BD.

上述结论中，所有正确的结论序号是（）

B

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】如图，过点。作。/〃AC,交AE于点产，延长所交。C的延长线于点“，可知四边形ACDE

为矩形，从而.DEE匕OE4（SAS）,可得①②正确；在,ECH中，EC+CH>EH,可得

CE+CD>BE+BD,故③正确；

【详解】解：如图，过点。作。/〃AC,交AE于点尸；延长石B交。C的延长线于点“；

DF//AC,

四边形ACDF为平行四边形，

ZCAE=ZACD=90°,

，四边形AC"为矩形，

AF=DC,ZDFA=NDFE=90°,DF=AC

是直角三角形，

:.DF<DE

故①AC<DE；

AE=2CD,

:.EF=AF

DF=DF

DFE%DFA（SAS）

:.ZAED=ZEAD

AF//DC

■■/FAD=/ADC

：.ZAED=ZADC

故②NAED=NADC正确；

AE//DC

:.ZAEB^ZH

ZAEB=ABDC

;.ZH=ZBDC

:.BD=BH

BCLDH

DC=HC

•；在，ECH中,EC+CH>EH

：.CE+CD>BE+BD,

故③CE+CD>BE+BD正确.

故①②③正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟

练运用这些知识解决问题是解题的关键.

二、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填在管博卡

中对应的横线上.

11.分解因式.

【答案】a(a-l).

【解析】

【分析】直接提取公因式。即可.

【详解】解：cr-a=a(a-\)

故答案：«(a-1).

【点睛】本题考查提公因式法因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因

式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法

继续分解因式.

12.“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花.单个雪花的重量其实很轻，只有

0.00000003克左右，0.00000003用科学记数法可表示为.

【答案】3x10-8

【解析】

【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中n

为整数确定九的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，

当原数绝对值。〉10时，”是正整数，当原数的绝对值＜1时，”是负整数.

【详解】解：0.00000003=3xio-8

故答案为：3x10^.

13若4,=9，2,=3，则22"=.

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查了同底数幕的除法，幕的乘方与积的乘方，根据同底数幕的除法，塞的乘方与积的乘方计

算即可.

【详解】解：#=22*=9，2y=3，

,2%Q

.-.22x-y=—=-=3,

2y3

故答案为：3.

14.若w边形的每个外角都等于20。，则边数”=.

【答案】18

【解析】

【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出多边形的边数.

【详解】•.多边形的外角和为360。,每个外角都等于20。，

.值是360+20=18,

故答案为：18.

【点睛】本题考查多外角和边形的为360。，正确理解多边形外角和定理是关键.

nm

15.若—I—=3,且阴+〃=2,则机〃的值为.

mn

4

【答案】y

【解析】

Y!rn

【分析】本题求代数式的值、运用完全平方公式进行计算，先根据一+—=3得出/+加2=3m〃，再利

mn

用完全平方公式变形得出（根+〃）2=m2+2mn+n1=3mn+2mn=5mn，结合加+〃=2,即可得出答

案，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键.

【详解】解：.*+'=3,

mn

n2+m~2

-----=3,

mn

n2+nr=3mn>

+n)-=m2+2mn+H2=3mn+2mn=5mn，

m+n=2,

4=5mn，

4

mn=—,

5

4

故答案为：—■

16.如图，在RtZXABC中，AB1BC,ZA=75°,AC边的垂直平分线DE交AC于点。，交BC于

点、E,CE=3,则AB的长度为.

3

【答案】一

2

【解析】

【分析】此题考查了含30。角的直角三角形，三角形外角性质，线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性

质，连接AE,利用线段垂直平分线的性质得出AE=CE=3,利用三角形外角求出NA£B=30°,利用含

30°角的直角三角形特征求出最后结果即可.

【详解】解：如图，连接AE,

在RtZVLBC中，AB±BC,NA=75°,

.•.ZC=90°-75°=15°,

AC边的垂直平分线。E交AC于点交BC于点E,

AE=CE=3,

ZCAE=ZC=15°,

ZAEB=ZCAE+ZC=30°,

ZB=90°,

13

:.AB=-AE=-.

22

3

故答案为：一.

2

n2y~^——6

17.若数。使得关于无的分式方程——+——=1有正数解，且使得关于y的不等式组",有

x-22-x[y+2a<6

解，那么符合条件的所有整数。的和为.

【答案】4

【解析】

【分析】主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程，根据分式方程的解为正数解，求出。>0且

aw2,根据关于y的不等式组有解，得出a<4,从而可得符合题意的整数。的值有1,3,即可得出答

案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：解分式方程一匕+——=1得：x=a,

x-22-x

分式方程的解为正数解，

且a。2,

y-a>-6y>a-6

解不等式组<

y+2a<6y<6-2a

y-aN-6

关于y的不等式组｛c'有解，

y+2a<6

:,6-2a>a-6,

解得：a<4,

符合题意的整数〃的值有1,3,

符合条件的所有整数。的和为1+3=4,

故答案为：4.

18.如果一个四位自然数法五的各数位上的数字均不为①且满足a-b=c-d,那么称这个四位数为

“阶梯数”，并规定尸（嬴7）=；（c—人―10）,例如四位数4725,：4—7=—3=2—5,二4725是“阶

梯数”，5.F（4725）=|（2-7-10）=-5；又如四位数5324,：5—3=2,2-4=-2，2#—2,即

5—3/2—4,5324不是“阶梯数”；若一个“阶梯数”为拓5,则网访5）=；若丽，

嬴都是“阶梯数"，其中lWaW8,1W〃W9,a,w都是整数，且尸（诙）—4P巧丽）的值是某

个正整数的平方，则满足条件的〃的平均数为.

131

【答案】①.##—4—②.6

33

【解析】

【分析】本题考查了数字类规律探索、有理数的混合运算、求一组数据的平均数，根据坊5是“阶梯

数”可得3—a=l—2=—1,求解即可得出。的值；由应为，函而都是“阶梯数”得出人=。+1,在将

其代入网商§)-44嬴卜+61,结合网场)—4网函网的值是某个正整数的平方，可

得〃的值，即可得出九的平均数，理解题意，正确列式计算即可.

【详解】解：拓工是“阶梯数”，

3—a=l—2=-1,

.•.F(3al2)=1(l-4-10)=-y,

莅良，嬴都是“阶梯数”，

:.a—2=b—3,即b=a+l,8—8二0=〃一n,

F(^2b3)-4F(88^)=1(a+l-2-10)-4x1(zi-8-10)="—*+61的值是某个正整数的平方，

，a=2,〃=9时，/(〃2/73)—4尸(88加Z)=9=32,

a=3,〃=4时，F^a2b3^-4F^88nn^=16=42,

a=7,〃=5时，—4_F(88wz)=16=4?,

9+4+5

An的平均数为=--------=6,

3

13

故答案为：----，6.

3

三、解答题：(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)解答时每小题

必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写

在答博卡中对应的位置上.

19.计算：

(1)Q(Q+2)—(Q+1)(Q—1)；

X2(Xy

(2)—石------------%-----------.

x—3x+2[1—x)

【答案】19.2。+1

【解析】

【分析】本题考查了分式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关

键.

(1)根据单项式乘以单项式以及平方差公式去括号，再合并同类项即可；

(2)根据分式的混合运算法则进行计算即可得出答案.

【小问1详解】

解：+2)—(a+l)(a-1)=cr+2a—ci+1—2a+1；

【小问2详解】

(x-l)(x-2)[x-1J

22

XX

(x-l)(x-2)x-1

x-2

20.学习了等腰三角形后，小明发现等腰三角形顶角顶点处的外角正好是其底角的两倍，于是他对作一个

角等于已知角的两倍有了新的思路，请根据他的思路完成以下作图与推理证明填空，注明其中蕴含的数学

依据：

用直尺和圆规，作线段OP的垂直平分线分别交04于点交0B于点N,连接(只保留作图

痕迹)

求证：ZAMP=2ZAOB.

证明：是0P的垂直平分线

OM=①，(依据:②)；

ZAOB=@,（依据：等边对等角）.

VZAMP是AMOP的外角

ZAMP=ZAOB+ZMPO（依据：④）；

/.ZAMP=2ZAOB.

【答案】解：作图见解析①MP；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③NMPN；

④三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和；

【解析】

【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分线

的性质.先利用基本作图作出0P的垂直平分线得到MN,则根据线段垂直平分线的性质得到OM=MP,

则ZAOB^ZMPO,然后根据三角形外角性质可得到结论.

【详解】解：作答如图；

证明：是0P的垂直平分线

：.OM=MP,（依据：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）；

AZAOB^ZMPO,（依据：等边对等角）.

,/ZAMP是AMOP的外角

ZAMP=ZAOB+ZMPO（依据：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和）;

ZAMP^2ZAOB.

Y2-2x+lx-2

21.先化简，再求值：-——-----x+2+——，再从0,1,2三个数中选择一个你认为合适的数作

、xJx

为x的值代入求值.

【答案】」一，将x=l代入原式得-1

x—2,

【解析】

【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则、分式有意义的条件是解题的关键，先去括号,

再算分式的乘除法化简式子，再根据无力0,x手2,故x=l,代入求值即可.

-2x+lx2-2xyx

【详解】解：原式=

XX7x-2

1

X

xx-2

1

由题知xwO,x—2w0,即xwO,x丰2,

将无=1代入原式得，原式='=—1.

1-2

22.如图，在平面直角坐标系中，4(2,3),5(-2,-1),C(3,O).

产

r———1———।—r*——-r———i———r~——n

III3'III.II

2

234

:7"

(1)作出关于y轴的对称图形二A?C',并直接写出A的坐标:

(2)若P(—1,。)在第二象限内，且以=PB,求PBC的面积.

【答案】⑴作图详见解析，(-2,3)

'乙)。4PBC~'•

【解析】

【分析】本题考查了轴对称作图，勾股定理.

(1)利用轴对称的性质作出.ABC关于y轴的对称点，即可求解;

(2)利用勾股定理求得a=2,再利用割补法求解即可.

【小问1详解】

解：_A3'C'如图，

A的坐标为(—2,3)；

故答案为:(-2,3)；

【小问2详解】

解：•••2(—1,在第二象限内，且=

(2+1)+(3-a)=(—2+1)+(-1-a),

解得a=2,

...点尸坐标为(一1,2),

S&pBc=5义3—x1x5—x1x3—x4x4=7.

23.如图，为等边三角形，D为BC上一点,E为AC上一点，BD=CE,连接ADBE交于点

F.

(1)求NAFE的大小；

(2)G为AF上一点，BF=GF,连接CF,若NCFE=30°,求证：AF=2BF.

【答案】(1)ZAFE=6Q°

(2)证明详见解析

【解析】

【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角的性质，证明

AABG之ABCF和，ABg5CE是解此题的关键.

(1)由等边三角形的性质可得A5=6C,ZABC=ZACB^60°,证明二得出

ZBAD=NCBE,再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案；

(2)证明.ABG^BCF(AAS),即可得出答案.

【小问1详解】

解：—ABC为等边三角形，

：.AB=BC,ZABC=ZACB^60°,

:在△AB。和_3CE中，

AB=BC

<ZABD=ZBCE,

BD=CE

：.△ABD0Z\BCE（SAS）,

：.ZBAD=NCBE,

•/NAFE是△ABF的外角,

：.ZAFE=ZABF+ZBAD^ZABF+ZCBE=ZABC^600■,

【小问2详解】

证明：BF=GF,

:,ZBGF=NGBF,

ZBGF+ZGBF=ZAFE,

/.NBGF=-ZAFE=30°,

2

ZAGB=1800-ZBGF=150°,

ZCFE=30°,

ZBFC=150°

在，ABG和△BCE中，

ZAGB=ZBFC

<ZBAG=ZCBF,

AB=BC

：.ABG会BCF（AAS）,

AG=BF=GF,

/.AF=2BF.

24.“过了腊八就是年.”过腊八节，人们会喝“腊八粥”，嗦“腊八面”，腊八节当天，某餐馆腊八粥

销售额是2400元，腊八面的销售额是1800元，且卖出腊八粥的份数比腊八面的份数多6份.已知一碗

“腊八面”的售价要比一碗“腊八粥”的售价便宜20%.

（1）求“腊八粥”，“腊八面”的销售单价各是多少元；

（2）若每碗腊八粥的利润为5元，该餐馆当天售卖完所有腊八粥和腊八面最终总盈利660元，求每碗腊八

面的制作成本.

【答案】（1）“腊八粥”的销售单价是25元，“腊八面”的销售单价20元.

（2）每碗腊八面的制作成本为18元

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键.

(1)设“腊八粥”的销售单价为X元，则“腊八面”的销售单价为(1-2O%)X元，根据题意列分式方程求

解，检验后即可得到答案；

(2)设每碗腊八面的制作成本为y元，根据题意列一元一次方程求解即可.

【小问1详解】

解：设“腊八粥”的销售单价为x元，则“腊八面”的销售单价为(1—20%)%元，

24001800

由题意得：——+6,

x(1-20%)%

解得：x=25,

经检验x=25是原方程的解，且符合题意，

25x(1-20%)=20(元)，

答：“腊八粥”的销售单价是25元，“腊八面”的销售单价20元.

【小问2详解】

解：设每碗腊八面的制作成本为y元，

由题意得：少见义5+史”义(20—y)=660,

2520

解得3=18,

答：每碗腊八面的制作成本为18元.

25.如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，B,C,石三点在同一直线上，将图中阴影部分的

(1)若BE=6,求梯形的面积；

(2)若AD=3x,CE=2y,3x+2y=10,且盯=1,求A+S2的值;

(3)若H为上一点，BH=1,ZkEEH的面积记为S3,设CE=〃，满足

14^-23^-2=452+853，求〃的值.

【答案】(1)S梯形A际=18

(2)1+$2=47

(3)H=1

【分析】本题考查了整式的加减以及其应用、运用完全平方公式进行计算，采用数形结合的思想是解此题

的关键.

(1)根据梯形的面积公式即可得到结论；

(2)根据三角形的面积公式即可得出结论；

(3)设3C=m,根据三角形的面积列方程即可得出结论.

【小问1详解】

111

解：s梯形钻£尸=3(45+即)必£=38£29=5义67-=18；

【小问2详解】

111g

2222

解：=—(3x+2y)---(3x)=2y+6xy,S2=--3x-(3x-2y)=—x-3xy,

22

S]+S2=|%2+2/+3孙=g[(3x+2y)-6xy]=|x(10-6)=47；

【小问3详解】

1

91212

解：设BC=m,则SI=3(7〃+〃)2—m=—n+mn,

22

1,、1211/1、1211

/.^c2~m(m—n)=—m——mn,c=—n(m+n—l)=—n+—mn—n,

32222

2

•：14Sl-23n-2=4S2+8S3,

22

7孔2+14mn—23H2—2=2m—2mn+47?+4mn—4n，

2

整理得，10H2—6mn—2n+m+1=0,

配方得，(加一3〃)2-Q,

m=3Jn=l.

26.如图，在一ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D,E是平面内两点，ZADC=135°

(1)如图1,若AD=BE，ZABE=ZBCD=20°,求/B4E的大小;

(2)如图2,若BD=CE,ZAEC+ZADB=180°,CD交AD延长线于产，求证:

AD+AE=DF；

(3)如图3,若BD=CE,ZAEC+ZADB=180°,CD=3,直接写出△CED的面积.

【答案】（1）NBAE=25。

9

⑵证明详见解析

【解析】

【分析】（1）利用"SAS”证明1dAeBAE,即可得出答案;

（2）在。尸上取点G,使DG=AE,过G作GHLDF交BF于H,可证得二，再证明

ACD^GBH,即可得出结论；

（3）将A4CE和,ACD分别绕点。顺时针旋转90。，得至UAA3E'和一ABN,连接DE',DN,

EE',EE'交CD于M,延长AD交BE'于产，先证明A