重庆市某中学2024-2025学年下学期八年级数学第一次自主作业（含解析）

重庆市育才中学校2024-2025学年下学期八年级数学第一次自

主作业

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.中国传统文化博大精深，源远流长.传统文化之剪纸更是闻名中外，巧妙利用轴对称性

质进行剪纸会使操作更加容易，图案更加美观.下列前纸图案中，是轴对称图形的是（）

D.

2.以下列各组线段为边,能组成三角形的是（)

A.2cm,3cm,7cmB.3cm,4cm，7cmC.1cm，2cm，5cm

D.5cm,12cm,13cm

3.下列计算正确的是（）

A.a6a2-a1B.(—2/)=4/C.3crb-a2b-2D.(tz+Z?)2=a2+b2

4.已知分式二的值为0,那么x的值为()

3x+6

A.x=—2且％=2B.x=—2或兀=2C.x=—2D.x=2

5.实数石-1的值在（）

A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间

6.如图，点、C,尸在线段上，AF=CDAB=ED,使/\ABC当△DEF,还需添加的

一个条件是（）

E

A.ZB=ZEB.ZAFE=ZBCDC.AB//EDD.EF//BC

7.桥梁工程中需要制作一个具有特殊构造的工件，工件的特征如图所示.按照这样的规律,

若第〃个图案中“□”的个数是28,则〃的值为（）

D.10

8.多项式（办+6）（2-3x）展开后不含尤的一次项，则。为（）

A.0B.3C.9D.18

9.如图，在等腰Rt^ABC中，CA=CB=2,NC=90。，点。是AC的中点，E、尸分别是

BC、AB边上的动点，连接DE、DF、EF,则4）砂的周长最小值为（）

A.V10B.3C.瓜D.77

10.已知VABC的三边分别为a、b、c.例如：若ab-bc=U,则VABC为等腰三角形.理

由如下：方程整理为：b（a-c）=。，a=c,那么VABC是等腰三角形.对于a、b、c

满足的条件给出下列说法：

①若a6+6c=62+ac,那么这个三角形是等腰三角形；

②若储+从+02一仍一℃-秘=0,那么这个三角形是等边三角形；

③若a3-a2b+ab2-ac2+bc2^0，那么这个三角形是直角三角形.

以上说法中正确的是（）

试卷第2页，共8页

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题

11.2025年中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》的收视情况非常出色，多项数据创

下新高.截至1月29日2时，总台春晚全媒体累计触达16800000000人次，将16800000000用

科学记数法表示为：.

12.|兀一3|+1；=―.

13.若一个多边形的内角和与外角和之差为360。，那么此多边形的边数为.

14.若/_30+1=0,则-2/+6a+l的值是.

15.如图，在等边VABC中，点。、E分别在AC、BC边上,且=则NDFE=

,6+y

16.若机使关于y的不等式组”,有且只有四个整数解，且使关于x的分式方

〔312

程1一，一=手的解为非负数，则所有满足条件的整数机的和为_____.

x-11-x

17.如图，在RtZkABC中，ZB=90°,AB=5,点。在边BC上，将AADB沿翻折得到

NADE,连接EC,若EC〃AB且加＞=2.5,则CE=.

18.一个四位自然数各个数位上的数字均不为0,若满足千位数字和百位数字的积加

上十位数字和个位数字的积，所得的和为25,则称四位数M为“25快乐数”.如4611,

•.•4x6+1x1=25,，4611是“25快乐数”,最大的“25快乐数”是；若一个“25快乐数”M，

百位数字与个位数字相等，千位数字与百位数字的和减去十位位数字与个位数字的和，所得

的差是3的整数倍，则满足条件的所有四位自然数M的和为.

三、解答题

19.计算题

(1)<32—3^—+.

⑵当"一（后+旬（百

20.(1)计算：x(x+2)-(x-3)2.

（2）因式分解：3加2-18ww?+27〃2.

21.如图，已知VABC的顶点分别为A（-2,2）,3（T,5）,C（-5,l）.

试卷第4页，共8页

⑴作出VABC关于x轴对称的图形△ABC],再将△A|B|G沿工轴向右平移6个单位得到

,并直接写出Cp层的坐标；

(2)求△AGB2的面积.

22.如图，在VABC中，AB=AC,8。为边AC的中线.

(1)尺规作图：求作A3边的中垂线交于点E,连接CE；(只作图，不写作法)

⑵求证：CE=BD.

证明：-.AB=AC

①，

,边ABAC的中线为CE,BD,

:.BE=-AB,CD=-AC,

22

②,

在AEBC和△DC3中，

BE=CD

,③_____

BC=CB

AEBC^ADCB(®)

CE=BD.

23.先化简,再求值：「一六卜人J,化简后,将＞3代入求值.

24.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,以BC为直角边，往下方构造一个等腰直角△BCD,

NBCD=90°,过点。作DE工AB于E,交BC于F.

试卷第6页，共8页

⑴若/AfiC=30。，求ZBDF的度数;

⑵求证：FD=AB.

25.2025年新春佳节，杨家坪商圈喜庆的大红灯笼随处可见，家住杨家坪的陈大爷和老伴

站在天桥上，凭栏赏景：“红红火火的大灯笼，看着真是让人喜气洋洋！”据悉：杨家坪商圈

计划挂1200个大红灯笼，由于临近春节工作人员热情高涨，实际每天挂的灯笼数量比原计

划每天挂的灯笼数量多20%,结果提前一天完成任务，

(1)求原计划每天挂多少个灯笼？

(2)从相关管理部门了解到购进这批灯笼总花费576000元，春节过后有商家以管理部门购进

单价的35%全部回收并进行维护翻新，翻新过程中预估损坏且无法修缮的灯笼占所有灯笼

数量的5%,商家翻新后的灯笼将重新定价并售完，若每个灯笼的维护翻新费用是商家再次

售卖定价的10%,请问商家定价最少为多少才能维持利润率不低于14%?

26.如图，在VABC中，点。在AB边上；连接CD,AZ)=CE>,点E在AC边上，连接DE

并延长OE到尸，满足£>R=OC,连接AF,NAD尸的角平分线交AC于交AF于G.

⑴如图1,若？B90?,N&4c=30。且AD=1,求线段80的长；

(2)如图2,连接FH,当麻=CE时，探究跖与用的数量关系并证明；

(3汝口图3,在VABC中，AD=1,ZBAC=30°,K在线段山上，连接。K,交AC于尸,

KF=CE.T是直线AC的一动点，连接7F,以下为直角顶点，7F直角边作等腰RtZ^TQF,

若NCHF=30。，请直接写出PQ的最小值.

试卷第8页，共8页

《重庆市育才中学校2024-2025学年下学期八年级数学第一次自主作业》参考答案

题号12345678910

答案ADBDBCBCAC

1.A

【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这

条直线（成轴）对称，据此判断即可求解，掌握轴对称的定义是解题的关键.

【详解】A、是轴对称图形，故本选项符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选：A.

2.D

【分析】本题考查了构成三角形的条件，由构成三角形的条件：“任意两边之和大于第三边”

逐一进行判断，即可求解；掌握构成三角形的条件是解题的关键.

【详解】解：A.<2+3<7,.•.不能组成三角形，故不符合题意；

B.;3+4=7,.•.不能组成三角形，故不符合题意；

C.<l+2<5,.,•不能组成三角形，故不符合题意；

D.<5+12>13,...能组成三角形，故符合题意；

故选：D.

3.B

【分析】本题考查了事的运算、合并同类项、完全平方公式，由=心一"，（劭）'",

合并同类项法则，（。+6）2=£+2必+〃，进行逐一运算，即可求解；掌握塞的运算公式及

完全平方公式是解题的关键.

【详解】解：4/+/=/,结论错误，故不符合题意；

B.（-2fl3）2=4a%结论正确，故符合题意；

C.3a2b-a2b=2a2b,结论错误，故不符合题意；

D.（a+Z?）2=a2+2ab+b2,结论错误,故不符合题意；

答案第1页，共18页

故选：B.

4.D

【分析】本题考查了分式的值为0的条件，根据分式的值为0,分子的值为0且分母的值不

等于。解答即可求解，掌握分式的值为0的条件是解题的关键.

【详解】解：•••分式不二^的值为0,

3x+6

工/一4=0且3%+6w0,

%=2,

故选：D.

5.B

【分析】先判断百的取值，再求出君-1的取值.

【详解】〈行〈3,

.1.1<75-1<2,

故选B.

【点睛】此题主要考查实数的估算，解题的根据是熟知实数的大小判断.

6.C

【分析】本题考查了全等三角形的判定，

A.由SSA不能判断三角形全等，即可判断；

B.由SSA不能判断三角形全等，即可判断；

C.由SAS即可判断；

D.由SSA不能判断三角形全等，即可判断；

掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

【详解】解：,•,AF=CD,

AF+CF=CD+CF,

：.AC=DF,

A.AC=DF,AB=ED,NB=NE不能判断△ABC9△DEF,故不符合题意；

B.vZAFE=ZBCD,

：.180°-ZAfE=180°-ZBCD,

:.ZDFE=ZACB,AC=DF,AB=ED,=不能判断△ABC/ZVJEF,故不

符合题意；

答案第2页，共18页

C.AB//ED,

:.ZA=ZD,

-：AC=DF,ZA=ZD,AB=ED,

AABC^A£>EF（SAS）,故符合题意；

D.•••EF//BC,

：.ZACB=NDFE,AC=DF,AB=ED,NACB=/DFE不能判断△ABC四△DE尸，故

不符合题意；

故选：C.

7.B

【分析】本题考查了图形的规律变化，一元一次方程的应用，由已知图形可得第〃个图案中

有10=3（"+1）+1=3〃+4个正方形，进而可得方程3"+4=28,解方程即可求解，找到图形

的变化规律是解题的关键.

【详解】解：由图可知，第1个图案中有7=3x2+l个正方形，

第2个图案中有10=3x3+1个正方形，

第3个图案中有13=3x4+1个正方形，

L,

第〃个图案中有10=3（〃+1）+1=3〃+4个正方形，

当若第，个图案中正方形的个数为28时，则3〃+4=28,

解得〃=8,

故选：B.

8.C

【分析】本题考查了多项式与多项式乘法的展开式不含某一项的问题，先对（依+6）（2-3x）

展开合并同类项，再令x的系数为零即可求出.

【详解】解：（依+6）（2—3x）

=2czx+12—3ar2—18元

=—3tzx2+（2a-18）x+12

:结果中不含x的一次项，

2d—18=0,

答案第3页，共18页

a—9,

故选：C.

9.A

【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握运用

轴对称求最值的方法成为解题的关键.

由等腰直角三角形的性质可得=45。、CD=AD=1,如图：作D关于直线的对称

点2,作D关于直线48的对称点。°,则

CD,=CD=1,DE=DtE,DF=FD2,AD2=AD=1,ZFAD2=NFAD=45°；进而得到当

2、E、F、&共线时，AD所的周长最小，最后根据勾股定理求解即可.

【详解】解：•••等腰Rt^ABC中，CA=CB=2,ZC=90°,

"45=45。，

:点。是AC的中点，

CD=AD=-AC=1,

2

如图：作D关于直线BC的对称点，，作D关于直线AB的对称点Q，

/.CD,=CD=1,DE=DtE,DF=FD2,AD2=AD=1,ZFAD2=NFAD=45°,

/.ZD2AD=NFAD+ZFAD2=90°,AD,=AC+CD,=2+1=3,

由ADEF的周长为DE+D尸+E尸+E尸+。2/，则当2、E、F、2共线时，ADEF的

周长最小，

ZD2AD=90°,AD,=3,AD2=1,

22

D]D2=7AD1+AD2=M.

答案第4页，共18页

故选A.

10.C

【分析】本题考查了因式分解的应用，特殊三角形的判定；

①等式左边进行因式分解得他-。乂。-C)=0,即可判断；

②等式左边进行因式分解得(a-Op+(a-c)2+e-c)2=0,即可判断;

③等式左边进行因式分解得(。-9+廿_°2)=0,即可判断；

能熟练进行因式分解是解题的关键.

【详解】解：①由题意得：ab-ac+bc—b2—0>

q(b-c)-6(b-c)=0,

。-c)(a-c)=0,

b-c=0或a-c=0,

〃=c或"C,

・•・这个三角形是等腰三角形；

故此项正确；

②•：a2+Z?2+c2—ab—ac—bc=0，

,,2a2+26?+2c2—2ab—2ac—2bc=0,

「.(a-+(々—0)2+他―0)2=o,

a-b=0,a—c=0,b-c=0,

a=b,a=c,b=c,

a=b=c,

・••这个三角形是等边三角形；

故此项正确；

③由题意得：/(〃一，)+Z?2(a—5)—c?(a—/?)=0,

(〃_Z?)(Q2+/_02)=0,

222

「•a-b=0^la+b-c=0,

22

〃-/?=0或〃2+b=C,

・•・这个三角形是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形；

答案第5页，共18页

故此项不正确；

故选：C.

11.1.68X1O10

【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为axIO"的形式,

其中1＜忖＜10,鼠为整数即可求解，解题的关键要正确确定。的值以及〃的值.

【详解】解：16800000000=1.68xlO10,

故答案为：1.68xl0i°.

12.71+6

【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值的性质、负整数指数累计算即可求解，掌

握实数的运算法则是解题的关键.

【详解】解：|兀-3|+g[=兀-3+9=兀+6,

故答案为：兀+6.

13.6或六

【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理.根据多边形的内角和公式

(«-2)-180°,外角和等于360。列出方程求解即可.

【详解】解：设多边形的边数是"，

根据题意得，(〃-2)/80°-360°=360°,

解得n=6.

故答案为：6.

14.3

【分析】本题考查了代数式求值，由已知可得4―=进而整体代入代数式计算即可

求解，掌握整体代入法是解题的关键.

【详解】解:Va2-3a+l=0,

,•Q2—3Q——1,

-24+6。+1--2(a~-3〃)+1=-2x(-1)+1=3,

故答案为：3.

15.120

答案第6页，共18页

【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，由等

边三角形的性质可得AB=C4,/及S=/C=60。，进而可得△AB。丝A。山(SAS),即得到

ZABD=ZCAE,进而由三角形外角性质可得NA£D=NBA。=60。，即可求解，掌握以上知

识点是解题的关键.

【详解】解：:VASC为等边三角形，

：.AB^CA,Za4D=/C=60°,

•/AD=CE,

：.△A&D/AC4£（SAS）,

ZABD^ZCAE,

：.ZAED=ZABD+NBAF=ZCAE+ZBAF=ZBAD=60°,

ZDFE=180°-ZAFD=180°-60°=120°,

故答案为：120.

16.8

【分析】本题考查了由不等式组和分式方程解的情况求参数，先求出不等式组的解集，由不

等式组的解集有且只有四个整数解可得T<〃z<4,再求出分式方程的解，由分式方程的解

为非负数可得力20,进而根据分式方程的分母不等于0得相片2,即得m的取值范围为

0W〃出4且相甘2,据此即可求解，由不等式组和分式方程求出"2的取值范围是解题的关键.

1+1<等①

由①得，y<4,

由②得，y上『，

O

m—4

•••不等式组的解集为7<y<4,

O

•••不等式组有且只有四个整数解，

.,m-4八

・・-1<----W0,

8

解得-4<m<4,

rrj

解分式方程得，x=y,

\•分式方程的解为非负数，

答案第7页，共18页

m>0,

又•・・1—IwO,

••YYlW2,

・••加的取值范围为04加44且加w2,

•••所有满足条件的整数加的和为0+1+3+4=8,

故答案为：8.

17.2

【分析】过点D作。尸〃交AE于点尸，过点E作EHJ-DF于H,由平行线和折叠的

性质可得/FDA=/EAD,即得AF=DF,设EF=x,贝|AF=。/=5-x,在RtADEF中,

利用勾股定理可得/+2.52=(5-4,即得x=*得到跖=*AF=DF=^-,进而由

888

33

三角形面积得硝=彳，又由四边形CD/汨是矩形得cr>=E〃=5,最后根据勾股定理即可

求解.

【详解】解：如图，过点。作£>?〃AB,交AE于点歹，过点E作£W_LOF于H,贝U

NCDH=NB=90°,ZEHD=90°,

•/DF//AB,

ZFDA=ZBAD,

由折叠得，NEAD=ZBAD,/AED=4=90。，AE=AB=5,ED=BD=2.5,

，ZFDA=ZEAD,

，AF=DF,

设EF=x,则AF=£)/=5—x,

在Rt^DEF中，EF~+ED2=DF2，

答案第8页，共18页

Z.X2+2.52=(5-%)2,

解得x=F

o

/.EF=—,AF=DF=5--=-

88E

•：SaEF=；DF-EH=*F-ED,

.125.1150<

・・—x-xEH=—x-x2.5,

2828

3

・・・EH=-,

2

EC//AB,

・•・ZECB=1800-ZB=90°,

・・・ZCDH=ZEHD=ZECD=90°,

・・・四边形CDHE是矩形，

3

CD=EH=—,

2

故答案为：2.

【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判

定和性质，正确作出辅助线是解题的关键.

18.92716060

【分析】设四位数为1000a+100b+10c+d,由新定义得必+cd=25,当〃=9时，

3x9=27>25,6=2或1,即可求解；由新定义可设〃=1000a+100Z7+10c+d,可得

Z?(a+c)=25,(Q+Z?)-伍+c)=33结合。、b、。的取值范围，即可求解.

【详解】解：设四位数为1000a+100H10c+d,

ab+cd=25,

当a=9时，

・.・3x9=27>25,

「2=2或1,

当b=2时，

「.9x2+cd=25,

答案第9页，共18页

..cd=7,

c=7,d=l,

或。=1,d=7,

故这个四位数是9217或9271,

•••最大的“25快乐数”是9271；

・・・“25快乐数”百位数字与个位数字相等，

二.可设M=1000〃+100匕+10。+d,

-e*ab+be=25,

/.Z?(〃+c)=25,

vl<a<9,

l<c<9,

l<b<9,

a+cw25,

••b=5,a+c=5,

c=5-a,

1<5—a<9,

1<6Z<4,

•・•千位数字与百位数字的和减去十位位数字与个位数字的和，所得的差是3的整数倍，

(a+5)—0+c)=3左，上为整数，

•>-a—c=3k,

72。—5

k=--------,

3

当a=1时，k=—lf

一.c=4；

当a=4时，k=l,

。=1;

,河为1545或4515,

.-.1545+4515=6060；

故答案为：9271,6060.

【点睛】本题考查了新定义，方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解新定义是解题的

答案第10页，共18页

关键.

19.（1）-V2

2

⑵。

【分析】（1）利用二次根式的性质和运算法则计算即可；

（2）利用二次根式的性质和运算法则及平方差公式计算即可；

本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键.

【详解】（1）解：原式=484亚+2夜

=沁

原式=2君/

(2)解:

3V5

=¥-（3-2）

3V5'7

=1-1

=0.

20.（1）8x-9（2）3（m-3ra）2

【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解，掌握整式混合运算及因式分解的方法是解

题的关键.

（1）先进行单项式乘以多项式和完全平方公式运算，再进行加减运算，即可求解；

（2）先提取公因式3,再利用完全平方公式进行分解，即可求解；

【详解】解：（1）原式=炉+2%-（--6%+9）

=X2+2%—x2+6x9

=8%-9；

（2）原式=3（＞-6帆〃+9叫

=3（根-.

21.⑴作图见解析，G（-5,-1）,B2（2,-5）

（2）16.5

【分析】（1）根据轴对称和平移的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可；

答案第11页，共18页

（2）利用割补法解答即可.

【详解】（1）解：如图所示，△ABC和△4与G即为所求，由图形可得G（-5,-l）,与（2,-5）；

（2）解：\AC.B2=7X7-1X7X4-1X4X7-|X3X3=16.5.

【点睛】本题考查了作轴对称图形，平移作图，坐标与图形，三角形的面积，掌握轴对称和

平移的性质是解题的关键.

22.（1）画图见解析

（2）ZABC=ZACB,BE=CD,NEBC=NDCB,SAS

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的画法作图即可；

（2）由等腰三角形的性质可得/ABC=/ACB,由三角形中线的性质得=进而由

SAS证明色EBC%ADCB即可求证；

本题考查了线段垂直平分线的画法，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确画

出图形是解题的关键.

【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；

(2)证明：-：AB=AC,

：.ZABC^ZACB,

:边AB,AC的中线为CE,BD,

：.BE=-AB,CD=-AC,

22

BE=CD,

答案第12页，共18页

在和△QC5中,

BE=CD

</EBC=NDCB,

BC=CB

：.△EBC^ADCB(SAS),

:.CE=BD,

故答案为：/ABC=ZACB,BE=CD,NEBC=NDCB,SAS.

【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把工的值

代入化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键.

一(x-21)(x+l『

【详解】解:原=T-I~X

1%—2x—2)

(X+If

x-2(x+l)(x-l)

x+1

~x-2,

当九=3时，

H—IX3+1

原式=~-=4.

3-2

24.(1)15°

(2)证明见解析

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得/CBD=45。，即得/03石=30。+45。=75。，再

根据直角三角形的性质即可求解；

(2)证明AEDC丝AABC(ASA)即可求证；

本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以

上知识点是解题的关键.

【详解】(1)解：VZACB=90°,

：.ZBCD=90°,

1/△38是等腰直角三角形，

ZCBD=45°,

答案第13页，共18页

ZABC=30°,

・•・NOBE=30。+45。=75。，

DELATE,

：./BED=90。,

・•・ZBDF=90°-ZDBE=90°-75°=15°

(2)证明：・・・△58是等腰直角三角形，4c0=90。，

ADC=BC,ZFCD=ZACB=90°.

*.*DEJ.AB于E,

：.ZBEF=90°,

：.ZABC+/BFE=9。。,

VZFDC+zero=90°,ZBFE=ZCFDf

：.ZFDC=ZABC,

：.△FDC/△ABC(ASA),

・•・FD=AB.

25.(1)原计划每天挂200个灯笼

239

(2)商家定价最少为227”元才能维持利润率不低于14%

443

【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；

(1)等量关系式：原计划需要的天数-实际需要的天数=1天，列方程，即可求解；

(2)由不等关系式：利润2成本X14%,列出不等式，即可求解；

能找出等量关系式和不等关系式是解题的关键.

【详解】(1)解：原计划每天挂x个灯笼，由题意得

12001200,

-----;----:-=1

尤(1+20%)彳'

解得：x—200,

经检验：x=200是所列方程的解，且符合实际意义；

答：原计划每天挂200个灯笼；

(2)解：设商家定价为每个。元，由题意得

1200(1-5%)^-576000x35%-1200(1-5%)6ZX10%>[576000x35%+1200(l-5%)ax10%]x14%

答案第14页，共18页

整理得：1140(7-201600-114a>(201600+114o)x14%,

.\1010.04o>229824,

解得：a>227.54,

答：商家定价最少为227.54元才能维持利润率不低于14%.

26.(1)|

Q)EF=2HG,理由见解析

⑶手

2

【分析】(1)由等边对等角可得/ZMC=NDC4=30。，求出N8CD=30。，再由直角三角形

的性质即可得解；

(2)延长阳到K,使得HG=GK,连接及F,由等腰三角形的性质可得DG,Ab,G是

AF的中点，即DG垂直平分AF,证明,得出DH=DE,证明AAHG'FKG,

得出NA//G=NK,推出AH〃相，即HE〃FK,从而可得NK=NDFK,推出=

进而可得HK=£F,即可求证；

(3)先证明△皿7/再求出/"K=4)CE=NZMH=30。，再得出

NCDE=ZEHF=30。,求出/ACF=45。，连接CQ,过点尸作而C,交AC于点

证明△z™刍△。产C,得出N7MF=NQC尸=45。，贝I］可得CQUC,则点。的轨迹为过点

C垂直于AC的直线/,由点到直线的距离可得，当尸Q，/时，即点。与点C重合时尸。最小，

再求出尸C即可.

【详解】(1)解：在AACD中，AD^CD=1,

：.ZDAC^