中考数学专项复习提升：分式（讲义2考点+2命题点8种题型（含4种解题技巧））（原卷版）

第一章数与式

第03讲分式

（思维导图+2考点+2命题点8种题型（含4种解题技巧））

01考情透视•目标导航•►题型02分式值为0的条件

02知识导图•思维引航命题点二分式的运算

03考点突破•考法探究•►题型01分式的运算

考点一分式及其性质＞题型02判断分式运算的错误步骤

考点二分式的运算＞题型03分式的化简求值

04题型精研•考向洞悉•►题型04分式运算的应用

命题点一分式及其性质•►题型05分式的规律探究

A题型01分式有、无意义的条件＞题型06与分式运算有关的新定义问题

考情透视•目标导航

中考考点考有频率新课标要求

分式的相关概念★了解分式和最简分式的概念.

分式的基本性质★★能利用分式的基本性质进行约分与通分.

分式的化简及求值★★★能对简单的分式进行加、减、乘、除运算.

【考情分析】本考点主要考查分式的化简和求值，考查形式多样，其中分式的考查以解答题为主，难度一

般.解分式化简、求值问题时，一要注意整体思想的应用，二要注意解题技巧（分母为多项式时，先分解因

式，进行约分，再计算），三要注意代入的值要使分式有意义.

知识导图•思维引航

分式的值不变/一--------\[分子、分母的符号

一^（改变其中任何两个）\----------------1❹符号法则

K------------------'[分式本身的符号卜=--------

除法与乘法是同级运算，除法可以转化为乘法

它们的混合运算不满足结合律，要按从左到右的顺序进行

定义整式A和B

或犯e除法转化为乘法后懿合❷运算B中有字母且不等于0

相关概念最简分式分子与分母没有公因式

例:4+/。=4电"="6工47+（J9）

各分母系数的最小公倍数

最简公分母I----------------------

—七’-----所有字母因式的最高次幕的积

1_11

M（n+l）-n-n+l曲裂项

同时|~~

学

知「基本性质分子^5?母I—L

法

识"相同非。整式

指

梳

导

找出分子和分母的公因式约分的关键理同分母分式分母不变分子相加减

-------------------------------------1约分与通分

确定几个分式的最简公分母通分的关键----------------------1异加分式先通分

、分子相乘作积的分子（（'

运用分式的基本性质时，要注意同乘（或除以）一个不等于0的整式

——।分母相乘彳傍的分母化为毒简分式,

不能区分分式何时有意义,无型尊值为q

约分孰底，使济彼殳有公因式分式的运算运算

除法颠倒除式的分子、分母与被除式相乘

确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的

字母及其指教乘方分子、分母分别乘方

先乘方，再球，最后加减

★混合运算有括号时，先进行括号内的运算

同级运算，按照从左到右的“腑进行

考点突破•考法探究

考点一分式及其性质

1.分式及其性质

A

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子片叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.

2.分式有意义、无意义或值为0的条件

对于分式A/B来说条件

分式有意义分母不等于零，即BW0

分式无意义分母等于零，即B=0

分式值为0A=0且BW0

注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的.

3.分式的基本性质

分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.

AAA—c

字母表示：2=2士或2=9,其中A,B,C是整式且B・CWO.

BB«CBB+C

分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.

【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数.

【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；

②隐含条件：分式的分母不等于0.

4.分式的约分

分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式

的约分.

最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.

【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式,约分要彻

底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等.

5.分式的通分

分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一

过程叫做分式的通分.

最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次累的积作为公分母，这样的分母叫

做最简公分母.在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数.

确定最简公分母的方法：

1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.

2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解；

②找出每个出现的因式的最高次基,它们的积为最简公分母；

③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

针对训练

1.（2022.湖南怀化.中考真题）代数式》，工，义，x2-1，殁中，属于分式的有（）

5nxz+43xx+2

A.2个B.3个C.4个D.5个

a2-5a/、

2.（2023•甘肃兰州•中考真题）计算:

Q—5

A.a—5B.a+5C.5D.a

3.（2024・四川雅安・中考真题）已知？+《=l（a+b40）.则弋=（）

aba+b

1

A.-B.1C.2D.3

2

4.（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）在函数、=高+圭中，自变量工的取值范围是.

5.（2023・四川南充・中考真题）若分式二的值为0,贝卜=

x-2

考点二分式的运算

1.分式的加减法

hch+c

1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为：一±—二=^

aaa

2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为：b±c=bd±ac

adad

2.分式的乘除法

1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即？h•上c二上be.

adad

2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即2+£=2・°=也.

adacac

3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即［色］=—（n为正整数，bWO）

IbJb"

3.分式的混合运算

运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的

运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.

针对训练

1.（2024.四川雅安.中考真题）计算（1—3）。的结果是（）

A.-2B.0C.1D.4

2.（2024•河北•中考真题）已知A为整式，若计算;——的结果为贝田=（）

%y+yxz+xyxy

A.xB.yC.x+yD.x—y

3.（2024.黑龙江大庆.中考真题）已知a+二=逐，则（^+与的值是

4.（2024.北京・中考真题）已知。-6-1=0,求代数式的值.

az-2ab+bz

5.（2024•黑龙江大庆•中考真题）先化简，再求值：（1+。）——三，其中x=-2.

\x-37xz-6x+9

题型精研•考向洞悉I

命题点一分式及其性质

A题型01分式有、无意义的条件

方法技巧

对于分式A/B来说条件

分式有意义分母不等于零，即BW0

分式无意义分母等于零，即B=0

1.（2023・湖北黄石・中考真题）函数y=与的自变量x的取值范围是（）

A.%>0B.%W1C.%N0且%H1D.x>l

2.（2024.安徽.中考真题）若代数式二有意义，则实数久的取值范围是.

3.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）在函数y=鬃中，自变量x的取值范围是.

4.（21-22八年级下•广东佛山•阶段练习）当x=1时，分式等无意义；当％=4时分式的值为0,贝卜6+n）2012

的值是.

＞题型02分式值为0的条件

方法技巧

对于分式A/B来说条件

分式值为0A=0且B#0

注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的.

2

1.（2023・四川凉山•中考真题）分式一的值为0,贝k的值是（）

X-1

A.0B.-1C.1D・0或1

2.（2021.四川雅安.中考真题）若分式中的值等于0,则x的值为（）

X-1

A.-1B.0C.1D.±1

3.（2021.江苏扬州.中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（）

A.x+1B./—1C.—D.(%+1)2

x+l'/

4.(2024.山东济南.中考真题)若分式?的值为0,贝k的值是

2x

命题点二分式的运算

A题型01分式的运算

:方法技巧

相关公式：1）匕£=巫bebd±acc、bcbe

2)一±—=-------3)一•一二—

aaaadadadad

.bcbdbd5)(31=—(n为正整数，bWO)

）；二一•一二—

4————n

adacacIbJb

混合运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号

内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.

1.（2024•河北•中考真题）已知A为整式，若计算;—-的结果为七匕贝"=（）

%y+yx^+xyxy

A.xB.yC.x+yD.x-y

2.（2024•江苏扬州•中考真题）（1）计算：|7r-3|+2sin30°-（V5-2）0；

（2）化简：-2）.

3.（2024.四川泸州•中考真题）化简：停+X-2y）+《

4.（2024.广东广州.中考真题）关于久的方程/一2久+4-6=0有两个不等的实数根.

（1）求TH的取值范围;

1-m2m-1m-3

（2）化简:

\m-3\2m+1

5.（2023•江西・中考真题）化简（喜+£）•宁.下面是甲、乙两同学的部分运算过程:

解：原式=1x(x-l)+x(x+l)

(x+l)(x-l)(x-l)(x+l).X

甲同学

解：原式=三・三1+三•日二

x+1Xx-1X9

乙同学

（1）甲同学解法的依据是,乙同学解法的依据是；（填序号）

①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.

（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.

＞题型02判断分式运算的错误步骤

方法技巧）

常见错误类型:

hhhbb

1）错在颠倒运算顺序，例如：一+-一）=—+Q-—+—,错误原因：运算顺序错误，应先算括号里的,

aaaaa

再算括号外的.

加2

2）错在去分母，例如：m-1----（--7-7--z--l）（/«+l）-m2=-l,错误原因：上述解法把分式通分与解方

m+1

程混淆，要注意分式计算式等式代换，不能去分母.

3）错在符号变化，例如：+2==加+2）

W4-1W+lW+1W+1n?+lWJ+1

,错误原因：去括号时没有注意前面的符号.

1.（2024・四川乐山・中考真题）先化简,再求值：目-£,其中尤=3.小乐同学的计算过程如下:

解.2x1=2%1①

用牛：7,

x2-4x-2(x+2)(x-2)xW

_2x%+2⑨

/、/....

~(x+2)(x-2)(%+2)(%-2)

_2x-x+2

..③

(x+2)(x—2)

_x+2..④

(%+2)(%—2)

=—...©

x-2

当久=3时，原式=1.

（1）小乐同学的解答过程中，第步开始出现了错误;

⑵请帮助小乐同学写出正确的解答过程.

2.（2024•江苏连云港.中考真题）下面是某同学计算看一高的解题过程:

解：土2m+12

m2-l(7n+l)(7n-l)(m+l)(m-l)

=(m+1)-2②

=m-1③

上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程.

3.12。23•内蒙古通辽•中考真题）以下是某同学化简分式一+1一中）的部分运算过程:

解：原式=T+a—二+些土.......第一步

CLCLCL

a-b1a-ba第二步

aaa2ab-b2

a-ba-b第三步

a22ab-b2

（1）上面的运算过程中第步开始出现了错误；

（2）请你写出完整的解答过程.

4.（2023•山东临沂・中考真题）（1）解不等式5-2尤＜言，并在数轴上表示解集.

（2）下面是某同学计算仁-a-1的解题过程：

a-1

解：--a-1

CL—1

Cl—1Q—1

=小一（即1）2②

CL—1

a2-a2+a-l否

a-1

a-1

1④

a-1

上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程.

＞题型03分式的化简求值

方法技巧

1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，

代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2）若题干中明确给出字母的数值，通常选用直接代入法.

3）若题干中未明确给出字母的数值，可考虑使用整体代入法.

1.（2024•江苏苏州•中考真题）先化简，再求值：（若暮.其中尤=—3.

2.（2024.湖南.中考真题）先化简，再求值：^-―+-,其中x=3.

*x+2x

3.（2024・四川广安・中考真题）先化简（a+1—三）+2空，再从-2,0,1,2中选取一个适合的数代入

求值.

4.（2024•山东淄博.中考真题）化简分式：事市+胃,并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的

b是大于1且小

于石的整数。

小丽

5.（2024・山东烟台・中考真题）利用课本上的计算器进行计算,按键顺序如下:

若zn是其显示结果的平方根，先化简：（」）+誓9）+匕警，再求值.

\rn-39-m2/m+3

6.（2023•山东滨州・中考真题）先化简，再求值:史等---三一），其中a满足a?—仁尸.a+6cos600=

a\a2-2aa2-4a+4/\4/

0.

＞题型04分式运算的应用

1.（2024濠江区一模）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还

可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：/+y3=（X+y）（%2—+y2）.

立方差公式：%3—y3=（%—y）（x2++y2）.

根据材料和已学知识解决下列问题

(1)因式分解：a3-8；

3xX2+2X+4'

(2)先化简，再求值:岛，其中久=3.

.X2-2XX3-8

2.(2022•湖北鄂州•一模)若三个实数x,y,z满足孙z丰0,且x+y+z=0,则有：J妥+京+*=|1+^+||

(结论不需要证明)

19

例如:++专=聆+专+旨=ll+l+^y

30

根据以上阅读，请解决下列问题:

【基础训练】

(1)求+q+q的值；

【能力提升】

(2)设S=J1+1+1+J1+J+1+…+小+短+高'求$的整数部分•

【拓展升华】

当生+/+/+F—工―工|取得最小值时，

(3)已知％+y+z=0(xyzH0,x>0),其中，且y+z=3yz.zzz

AIxyzlxyz\

求X的取值范围.

3.(2023•江苏盐城・中考真题)课堂上，老师提出了下面的问题:

已知3a>b>0,M=-,N=—,试比较M与N的大小.

bb+3

小华：整式的大小比较可采用“作差法”.

老师：比较/+1与2x-1的大小.

小华：(x2+1)—(2%-1)=x2+1—2%+1=(%—I)2+1>0,

.".%2+1>2%—1.

老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？

(1)请用“作差法”完成老师提出的问题.

(2)比较大小：-(填“>”"=”或“<”)

6865

4.(2024.内蒙古•中考真题)某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进

行研究，两块试验田共产粮1000kg,种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田

产粮量的1.2倍少100kg,其中“丰收1号”小麦种植在边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方

形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为(a-l)m的正方形试验田中.

(a-l)m

(1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；

(2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?

＞题型05分式的规律探究

1

1.(2023・湖北恩施•一模)对于正数X,规定/(X)=捻,例如:/⑵=*=|,-3)=总=|,/(£)=W=±

十2

1

/(1)=於=[…利用以上的规律计算：f(急)+/(急)+/(嘉)+…+/G)+/⑴+/⑵+■•­+

3

/(2021)+/(2022)+/(2023)=.

2.(2022.浙江舟山.中考真题)观察下面的等式：|=1+；=；；=；+去，……

23634124520

(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含”的等式表示，”为正整数)

(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的.

3.(2021.安徽合肥•一模)观察以下等式：

第1个等式：乙―^=工第2个等式：三―^=工

31X2X3282X3X43

第3个等式:411第4个等式：11

153X4X54244X5X65

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第5个等式：；

(2)写出你猜想的第〃个等式：(用含”的等式表示)，并证明.

4.(2020・安徽•中考真题)观察以下等式：

第1个等式：|x(l+g=2-1

第2个等式：|x(1+|)=2-1

第3个等式：jx(l+|)=2-|

第4个等式：：义(1+：)=2-：

6\4/4

第5个等式：^x(l+|)=2-|

按照以上规律.解决下列问题：

（1）写出第6个等式；

（2）写出你猜想的第九个等式：_（用含n的等式表示），并证明.

5.（2023・山东青岛•模拟预测）阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题.

设力是正整数，

材料1：

=1

_1_2_1

&=T+2=273=3

_1_2_1

%=1+2+3=3x4=6

121

%=1+2+3+4=4x5=10

问题：（1）用含九的代数式表示即=（写最简结果）

材料2：Si=的=1

211111114

$2=1+7；-----=2(------+-----)=2(-77+二—二)=2(1—―■)=~■

2122x311x22x3，,1223，,373

22111

So=%+劭+=1+------+------=2(-----—+-----