中考数学专项复习：相似三角形（6类重点考向）含答案与解析

专题16相似三角形

目录一览

知识目标（新课程标准提炼）

中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）

重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）

A考向一黄金分割

A考向二平行线分线段成比例

A考向三相似三角形的判定与性质

A考向四相似三角形的应用

A考向五位似变换

A考向六相似形综合题

最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）

知识目标

1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割；

2.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

3.了解相似三角形的判定定理和性质定理；

4.通过具体实例认识图形的相似；了解相似多边形和相似比；

5.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.

,中考解密

该板块内容主要考查相似的性质和判定，2024年各地中考仍以考查基础为主，在选择题中单独考查，是

广大考生的得分点，相似应用的考查，主要体现在综合题中，作为综合题的一部分，在解决求线段长问题

时和勾股定理、三角函数一起运用，此时解答题的难度变大，综合性就较强了，分值在15分左右，为避

免丢分，应扎实掌握，灵活应用。

重点考向

A考向一黄金分割

1.(2023•绵阳)黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫

黄金构图法.其原理是：如图，将正方形ABC。的底边取中点E,以£为圆心，线段。E为半径作

圆，其与底边的延长线交于点R这样就把正方形ABC。延伸为矩形称其为黄金矩形.若

CP=4a,则AB=()

A.(巡-1)aB.(275-2)aC.(V5+1)aD.(275+2)a

2.(2023•泰安)如图，AABC是等腰三角形，AB=AC,ZA=36°.以点B为圆心，任意长为半径作

2

弧，交AB于点F,交8c于点G,分别以点尸和点G为圆心，大于受FG的长为半径作弧，两弧相交

_1

于点H,作射线8”交AC于点。；分别以点8和点。为圆心，大于工5。的长为半径作弧，两弧相交

于M、N两点，作直线交48于点E,连接。E.下列四个结论：®ZAED=ZABC；②BC=AE；

③ED=2BC；④当AC=2时，AD=4S1.其中正确结论的个数是()

3.(2023•黄石)关于x的一元二次方程^+iwc-1=0,当机=1时，该方程的正根称为黄金分割数.宽

与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著

名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数.

(1)求黄金分割数；

(2)已知实数8满足：次+M〃=1,2mb=4,且厚-2a,求出?的值；

(3)已知两个不相等的实数p,q满足：p2+np-l=q,q2+nq-l=p,求pq-〃的值.

A考向二平行线分线段成比例

解题技巧/易错易混

1.比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做

比例的内项.

2.对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如

a：b=c：d（即ad=bc）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

3.判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之

比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系.

4.（2022•丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,

B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是（）

A.3B.1C.2D.2

5.（2022•襄阳）如图，在AABC中，。是AC的中点，AABC的角平分线AE交8。于点孔若BF：FD

=3：1,AB+BE=3M,贝！U4BC的周长为.

6.（2023•岳阳）如图，在。。中，为直径，BD为弦,点C为BD的中点，以点C为切点的切线与A3

的延长线交于点E.

（1）若/A=30。，AB=6,则前的长是（结果保留兀）；

CF2CE

(2)若AF=3,则AE=

A考向三相似三角形的判定与性质

解题技巧/易错易混

1.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相

似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似

三角形的面积的比等于相似比的平方.由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以

推出相似三角形面积的比等于相似比的平方.

2.相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原

三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比

相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

3.相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；

4.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

5.如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个

图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

7.（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4,则这两个三角形对应边的比是（）

A.1：2B.1：4C.1：8D.1：16

8.（2023•绍兴）如图，在AABC中，。是边8C上的点（不与点8,C重合）.过点。作。交AC

于点E;过点。作。/〃AC交A8于点尸、N是线段8尸上的点，BN=2NF：M是线段DE上的点，DM

=2ME.若已知ACMN的面积，则一定能求出（）

B.ABDF的面积

C.A8CN的面积D.AOCE的面积

9.（2023•苏州）如图，AABC是。。的内接三角形，A8是。。的直径，AC=V5,BC=2相，点、F在

AB上，连接CF并延长，交。。于点。，连接B。，作垂足为E.

（1）求证：ADBEs^ABC；

（2）若AF=2,求即的长.

A考向四相似三角形的应用

10.（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然

后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲

的眼睛离地面高度为L6〃z,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,则

pc0D2

11.（2023•镇江）如图，用一个卡钳（AO=8C,0B=0A=3'）测量某个零件的内孔直径AB,量得CQ

长度为6c7“，贝！JAB等于cm.

12.（2023•攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存

最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品.某数学兴趣小

组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度.东塔的高度为

AB,选取与塔底2在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为15〃的标杆所和

GH,两标杆间隔EG为46m,并且东塔AB,标杆EF和GH在同一竖直平面内.从标杆所后退2m到

D处（即成）=2冽）,从。处观察A点，A、F、。在一直线上；从标杆G8后退4加到C处（即CG=

4m）,从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且2、E、D、G、C在同一直线上，请你根据

以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度.

A考向五位似变换

解题技巧/易错易混

位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图

形对应点的坐标的比等于k或-k.

13.(2023•朝阳)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,2)，B(4,1),以原点O为位似中心,

C.(4,4)D.(4,4)或(-4,-4)

14.(2023•绥化)如图，在平面直角坐标系中，AABC与的相似比为1：2,点A是位似中心，己

知点A(2,0),点C(a,b),ZC=90°.则点。的坐标为.(结果用含①6的式

子表示)

y

B'一

Bx

C'

15.(2023•盘锦)如图，2AB0的顶点坐标是A(2,6),B(3,1),。(0,0),以点。为位似中

心，将AABO缩小为原来的3,得到90,则点4的坐标为

1

A考向六相似形综合题

16.(2023•蒲泽)(1)如图1,在矩形ABC。中，点E,尸分别在边。C,BC上,AE±DF,垂足为点

G.求证：AADES^DCF.

【问题解决】

(2)如图2,在正方形ABC。中，点E,尸分别在边DC,BC±.,AE=L)F,延长8C到点〃，使CH

=DE,连接08.求证：ZADF^ZH.

【类比迁移】

(3)如图3,在菱形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF=11,DE=8,ZAED=

60°,求CF的长.

_____________________PADAD

3

BFcB-------F-------c--------HBFC

图1图2图3

17.(2023•湖州)【特例感知】

(1)如图1,在正方形A2C£＞中，点尸在边AB的延长线上，连结PD,过点。作@W_LPZ),交BC

的延长线于点M.求证：4DAP会4DCM.

【变式求异】

(2)如图2,在R3ABC中，ZABC=90°,点。在边AB上，过点。作。Q_L4B,交AC于点0,点

尸在边AB的延长线上，连结尸。，过点0作QW_LPQ,交射线2C于点M.己知BC=8,AC=10,

A£)=

PQ

2DB,求QM的值.

【拓展应用】

(3)如图3,在RtA4BC中，N8AC=90。，点P在边AB的延长线上，点。在边AC上(不与点A,

C重合)，连结尸。，以。为顶点作NPQM=NPBC,NPQM的边QW交射线BC于点M.若AC=

PQ

Si图2图3

最新直朕三奉

1.（2023•济南）如图，在AABC中，AB^AC,NBAC=36。，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于

点、D,再分别以2,。为圆心，以大于28。的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线CP交AB于点

E,连接。E.以下结论不正确的是（）

B.BC^AE

S2kAECV5+1

BE型-1

C.AC=2SABEC

2.（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，

再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片

ABCD,其中/A=90。，AB=9,BC=1,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能

是（）

A.2B.4C.10D.4

3.（2022•连云港）AABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形。其最长边为12,

则AOEF的周长是（）

A.54B.36C.27D.21

4.（2023•东营）如图，AABC为等边三角形，点D,E分别在边BC,AB±,ZADE=60°.若BD=

4DC,OE=2.4,贝的长为（）

A

C.3D.3.2

5.（2023•东营）如图，正方形A8CD的边长为4,点、E,尸分别在边。C,8c上，且Bb=CE,AE平分

ACAD,连接。F,分别交AE,AC于点G,M.P是线段AG上的一个动点，过点尸作PNLAC,垂足

为N,连接PM.有下列四个结论:

①AE垂直平分。M；

②RW+PN的最小值为3&；

③CF?=GE・AE；

④SAADM=6.

其中正确的是（）

6.（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，AABC的三个顶点分别为A（1,2）,8（2,1）,C（3,

2）,现以原点O为位似中心，在第一象限内作与AABC的位似比为2的位似图形AAbC,则顶点C

7.（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为AAOB的0A边上一点，AC：0c=1：2,过C作

C£>〃OB交AB于点。，C、。两点纵坐标分别为1、3,则2点的纵坐标为（）

8.（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB=SOcm,两个端点A,B固定在乐器面板上，支撑点C是靠

近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C,D之间的距离为

cm.（结果保留根号）

BE

9.（2023•北京）如图，直线AD,BC交于点、O,AB//EF//CD,若AO=2,。尸=1,FD=2,则EC的值

为

10.（2023•怀化）在平面直角坐标系中，AAOB为等边三角形，点A的坐标为（1,0）.把AAOB按如图

所示的方式放置，并将AAOB进行变换：第一次变换将AAOB绕着原点。顺时针旋转60。，同时边长扩

大为AAOB边长的2倍，得到AAiOB；第二次旋转将AAiOBi绕着原点。顺时针旋转60。，同时边长扩

大为△4031边长的2倍，得到△42。&,….依次类推，得到△A2023OB2023，则△A2023O&023的边长

11.（2023•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是0（0,0）,A（1,

0）,8（2,3）,C（-1,2）,若四边形与四边形OABC关于原点。位似，且四边形

049。的面积是四边形O4BC面积的4倍，则第一象限内点夕的坐标为

12.(2023•黑龙江)如图①，ZkABC和zVlOE是等边三角形，连接。C,点FG,H分别是。E,0c和

BC

的中点，连接尸G,FH.易证：FH=«FG.

若A48C和AWE都是等腰直角三角形，且/8AC=NZME=90。，如图②；若“BC和AAOE都是等腰

三角形，且/A4c=/ZME=120。，如图③；其他条件不变，判断切和EG之间的数量关系，写出你

的猜想，并利用图②或图③进行证明.

D/F\E

13.(2023•娄底)鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都

是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深

入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形ABCDE

的边BA、OE的延长线相交于点孔NEAF的平分线交于点

(1)求证：AE^=EF,EM；

(2)若AE=1,求AE的长；

S正五边形ABCDE

(3)求SAAEF的值.

F

14.（2023•江西）课本再现

思考

我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？

可以发现并证明菱形的一个判定定理；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

定理证明

（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1）,并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过

程.

已知：在。4BCD中，对角线8D_LAC,垂足为。.

求证：nABCD是菱形.

图I

知识应用

(2)如图2,在口ABCQ中，对角线AC和80相交于点。，AD=5,AC=8,BD=6.

①求证：口ABC。是菱形;

1OF

②延长8C至点E,连接OE交CD于点R若NE=2/ACD求EF的值.

15.(2023•内蒙古)已知正方形ABC。，E是对角线AC上一点.

(1)如图1,连接BE,DE.求证：4ABE咨AADE；

(2)如图2,尸是QE延长线上一点，。F交A8于点G,BFLBE.判断AEBG的形状并说明理由;

AE

(3)在第(2)题的条件下，BE=BF=2.求AB的值.

图I图2

16.(2023•常州)如图1,小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABC。和矩形所G8,点

ABEF

E、尸在边AB上(EFVAB),且点C、D、G、X在直线AB的同侧；第二步，设AD=m，EH=n,矩

形EBG8能在边上左右滑动；第三步，画出边所的中点O,射线08与射线AD相交于点尸(点

P、。不重合)，射线0G与射线BC相交于点。(点。、C不重合)，观测。尸、C。的长度.

(1)如图2,小丽取AB=4,斯=3,相=1,”=3,滑动矩形EFGH,当点E、A重合时，CQ=

7_

I；

(2)小丽滑动矩形EFGH,使得。恰为边48的中点.她发现对于任意的DP=CQ总成立.请

说明理由；

(3)经过数次操作，小丽猜想，设定m.n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH,DP=CQ总成

立.小丽的猜想是否正确？请说明理由.

（图1）

专题16相似三角形

考点回归

线段的比L定义：两条线段的比是两条线段的长度之比.

2.判定四条线段是否成比例：只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比

与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结

果与所选取的单位无关系.

比例中项

如果即b?=ac,我们就把b叫做a,c的比例中项.

比例的性质ac

性质1乃二d=ad=be(a,b,c,d声0).

aca±bc±d

性质2：如果b=那么bd

acma+c+...+mm

性质3:如果b=d=…="(b+d+…+n*0),则b+d+...+〃=曾(不唯一).

平行线分线段1.三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

成比例定理2推论：

(1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比

例。

逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那

么这条直线平行于三角形的第三边。

(2)平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三

边对应成比例。

黄金分割把线段AB分成两条线段AC,BC(AC>BC),并且使AC是AB和BC的比例中

项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中

\/5—1

AC=2AB«0.618AB

相似三角形的1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应

判定及性质边的比叫做相似比.

2.性质：

(1)相似三角形的对应角相等；

(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；

(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

3.判定：

(1)有两角对应相等，两三角形相似；

(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

(3)三边对应成比例，两三角形相似；

(4)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.

【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：

(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)；

(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角［用判定(1)］或再找夹边成比例［用判定

(2)］；

(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；

(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；

(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成

比例.

相似多边形1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应

边的比叫做它们的相似比.

2.性质：

(1)相似多边形的对应边成比例；

(2)相似多边形的对应角相等；

(3)相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方.

A字型及其变1.如图1,公共角所对的边平行(DE〃BC),则△ADEs^ABC；

形2.如图2,公共角的对边不平行，且有另一组角相等(4AED=4ABC或/ADE=

ZACB),则△AEDS/\ABC.

-4A

△A

BC"图2

8字型及其变1.如图1,对顶角的对边平行(AB〃CD),则△ABOYDC。；

形2.如图2,对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(4B=2D或4A=4C),则

△ABO^ACDO.

共边共角型

已知：N1=N2,结论：A/CDsA45c

已知，如图①②③中：ZB=ZACE=ZD.

结论：△ABCs2XCDE

旋转型

如图①，已知DE〃BC,将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE,得到

如图②，结论：△ABDs2\ACE。

垂直型

如图，在Rt三角形ABC中，4C=90°,CD为斜边AB上的高

结论：A245cs△BCD

定义如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在

同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫

做位似比.

性质1.在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k,那么位似图形对

应点的坐标的比等于k或-k;

2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比.

找位似中心的将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位

方法似中心.

画位似图形的L确定位似中心；

步骤2.确定原图形的关键点；

3.确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；

4.作出原图形中各关键点的对应点；

5.按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.

相似三角形的L利用影长测量物体的高度.

应用①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角

形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.

②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长

度.

2.利用相似测量河的宽度（测量距离）.

①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，

三点应在一条直线上.必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角

形.

②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽

度.

3.借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的

高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应

边

的比相等的性质求物体的高度.

专题16相似三角形

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知识目标（新课程标准提炼）

中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）

重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）

A考向一黄金分割

A考向二平行线分线段成比例

A考向三相似三角形的判定与性质

A考向四相似三角形的应用

A考向五位似变换

A考向六相似形综合题

最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）

知识目标

1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割；

2.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

3,了解相似三角形的判定定理和性质定理；

4.通过具体实例认识图形的相似；了解相似多边形和相似比；

5.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.

士中考解密

该板块内容主要考查相似的性质和判定，2024年各地中考仍以考查基础为主，在选择题中单独考查，是

广大考生的得分点，相似应用的考查，主要体现在综合题中，作为综合题的一部分，在解决求线段长问题

时和勾股定理、三角函数一起运用，此时解答题的难度变大，综合性就较强了，分值在15分左右，为避

免丢分，应扎实掌握，灵活应用。

皂

三重点考向

A考向一黄金分割

1.(2023•绵阳)黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫

黄金构图法.其原理是：如图，将正方形A8CD的底边取中点E,以E为圆心，线段。E为半径作

圆，其与底边的延长线交于点R这样就把正方形ABC。延伸为矩形称其为黄金矩形.若

D.(2V5+2)a

AB

【思路点拨】设AB=x,根据正方形的性质可得AB=BC=x,然后根据黄金矩形的定义可得而=

娓-1xV5-1

2,从而可得x+4a2,最后进行计算即可解答.

【规范解答】解：设AB=x,

.四边形ABCD是正方形，

•\AB=BC=x,

•.•矩形ABFG是黄金矩形，

ABV5-1

.•.丽=2,

x一］

x+4a=2,

解得：x=(2+2V5)a,

经检验：尤=(2+275)。是原方程的根，

：.AB=(2+2V5)a,

故选：D.

【真题点拨】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的

关键.

2.(2023•泰安)如图，AABC是等腰三角形，AB=AC,ZA=36°.以点B为圆心，任意长为半径作

弧，交于点尸，交BC于点G,分别以点尸和点G为圆心，大于2FG的长为半径作弧，两弧相交

于点

_1

H,作射线交AC于点。；分别以点2和点。为圆心，大于22。的长为半径作弧，两弧相交于M、N

两点，作直线A/N交A8于点E,连接DE.下列四个结论：①/AED=/ABC；②BC=AE；③ED=

2BC；④当AC=2时，AD=yj5-1.其中正确结论的个数是()

A

B.2C.3D.4

【思路点拨】根据角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，可得到△5CO也是含有36。角的等腰三

角形，进而得出AD=BD=BC,再根据三角形内角和定理和等腰三角形的判定，进一步得出AE=AD

=BD=BC,对①作出判断；在根据平行线的判定方法可得出DE//BC,对①作出判断；由AE丰BE,

可得OE不是AABC的中位线，对③作出判断，最后再根据相似三角形的判定和性质，得出

△BCDsAABC,进而求出5C,即即可对④作出判断.

【规范解答】解：由题意可知，3。是NA3C的平分线，是线段的中垂线，

'：AB=AC,NA=36。，

1800-36°

JZABC=ZACB=2=72。,

•・・5D是N45C的平分线，

・•・ZABD=ZCBD=2ZABC=36°=ZAf

：.AD=BD.

在△SCO中，ZC=72°,ZCBD=36°,

：.ZBDC=1SO0-36°-72。=72。="

:.BD=BC,

：.AD=BD=BC,

・・・MN是3。的中垂线，

：.EB=ED,

：.ZBDE=480=36。=ZCBD,

：.DE//BC,

：.ZAED=ZABC,

因此①正确，

：.AE=AD=BD=BC,

因此②正确；

由于DE不是△ABC的中位线，

因此③不正确；

ZCBD=ZBAC=36°fZBCD=ZACB=72°,

AABCD^AABC,

ACBC

.-.BC=CD,

即BC1=AC*CD,

设BC=x,则CD=2-X,

.'.x2=2x(2-x),

解得尤=-1-V5(舍去)或尤=旄-1,

即2C=遍-1=A£),

因此④正确，

综上所述，正确的结论有①②④，共有3个，

故选：C.

【真题点拨】本题考查角平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及相似三角形的判

定和性质，掌握角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和是180。以及相似三角形的

判定和性质是正确解答的前提.

3.(2023•黄石)关于x的一元二次方程^mx-1=0,当机=1时，该方程的正根称为黄金分割数.宽

与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著

名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数.

(1)求黄金分割数；

(2)已知实数a,b满足：cr+ma-1,b2-2mb=4,且厚-2a,求ab的值；

(3)已知两个不相等的实数p,q满足：p2+np-l=q,q2+nq-l=p,求pq-w的值.

【思路点拨】(1)依据题意，将巾=1代入然后解一元二次方程炉+无-1=0即可得解；

_b_bb_

(2)依据题意，将b2-2mb=4变形为(-'2)2+m-(-3)-1=0,从而可以看作a,-5是一元

二次方程f+优尸1=0的两个根，进而可以得解；

(3)依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq,进而可以得解.

【规范解答】解：(1)由题意，将机=1代入/+"吠-1=0得，x2+x-1=0,

-1±IF-4X(-1)-1士巡

.,.xi,2=2=2

・・•黄金分割数大于0,

・,・黄金分割数为-2一.

(2),・・〃-2皿=4,

J/-2mb-4=0.

b_b_

(-2)2+m*(-2)-1=0.

又厚-2a,

b_

・•・〃，-2是一元二次方程/+皿-1=0的两个根.

_b

,,.4・（-2）=1.

•*ab~~2.

（3）由题意，令优+np_l=q①，q2+nq-l=p②，

.••①+②得，（p?+q2）+几（p+g）-2=p+q,

（〃+q）2-2pq+n（p+q）-2=p+q.

又①一②得，（pz-/）+n（〃—q）=—（〃—q）,

,・》，9为两个不相等的实数，

:.p一妙0,

（p+q）+几=-1.

；・p+q=-n~1.

又（p+q）2-2pq+n（p+q）-2=p+q.

（一九一1）2-2pq+n（-n-1）-2=一n-1.

n2+2n+l-2pq-n2-n-2=-n-1.

:*pq=n.

pq-n=0.

【真题点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活

运用所学知识解决问题.

A考向二平行线分线段成比例

解题技巧/易错易混

1.比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做

比例的内项.

2.对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如

a：b=c：d（即ad=bc）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

3.判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之

比

是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系.

4.（2022•丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,

B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段8c的长是（）

23_

A.3B.1C.2D.2

【思路点拨】过点A作平行横线的垂线，交点2所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于E,

根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.

【规范解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点2所在的平行横线于£>,交点C所在的平行横线于

E,

ABAD3

则BC=DE,即BC=2,

3

解得：BC=2,

【真题点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

5.（2022•襄阳）如图，在AABC中，。是AC的中点，AABC的角平分线AE交出）于点R若2月：FD

=3：1,AB+BE=3M,贝！U4BC的周长为5M.

【思路点拨】如图，过点F作FMLAB于点M,FN1AC于■点、N,过点。作。T〃AE交8c于点T.证

明A8=3AD,设A£）=CD=a,证明ET=CT,设ET=CT=b,则BE=3Zb求出。+6,可得结论.

【规范解答】解：如图，过点尸作PMLAB于点M,FNLAC于WN,过点。作。T〃AE交BC于点

T.

平分NBAC,FMLAB,FN1AC,

：.FM=FN,

y-AB-FM

,△ABFBF1

WF=DF=T，AD，FN=3,

：.AB=3AD,

设AO=Z）C=a,则AB=3a,

"：AD=DC,DT//AE,

：.ET=CT,

BEBF

...方=市=3,

设ET=CT=b,则BE=36,

■:AB+BE=3M,

.•.3。+36=3近，

/.a+b="43,

：./\ABC的周长=A8+AC+8C=5a+56=5«,

故答案为：573.

【真题点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利

用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

6.（2023•岳阳）如图，在。。中，为直径，BD为弦,点C为俞的中点，以点C为切点的切线与

的延长线交于点E.

（1）若NA=30。，AB=6,则BC的长是.（结果保留兀）；

CF1CE1

（2）若AF=3,则AE=_2_.

【思路点拨】（1）连接OC,根据圆周角定理可得NBOC=60。，利用弧长公式即可求出BC的长；

（2）连接OC,根据垂径定理得到0CL2。，再由切线得到EC//BD,利用平行线分线段成比例得出

型」

AB-3,再根据勾股求出EC=2x,代入比例式即可解决问题.

【规范解答】解：（1）如图，连接OC,

VZA=30°,AB=6,

：.ZBOC=6Q°,OB=3,

—60兀X3

BC的长=180=7t；

故答案为：兀；

（2）如图，连接OC,

•.•点C为面的中点，

BC=DC,

OCLBD,

又「EC是。。的切线，

二OCLEC,

：.EC//BD,

CF2

VAF=I,

EB1

.••瓦而，

3.5_

设班=x,贝A2=3x,BO—OC—^x,EO—2.r,AE—4x,

...EC=V^?J（fX）2-（fX）2=2x,

CE2x1

AE=4x=2.

1

故答案为：2.

【真题点拨】本题考查的是平行线分线段成比例定理、圆周角定理、切线的判定与性质，勾股定理,

弧长的计算，掌握圆周角定理、切线的判定与性质是关键.

A考向三相似三角形的判定与性质

解题技巧/易错易混

1.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相

似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似

三角形的面积的比等于相似比的平方.由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以

推出相似三角形面积的比等于相似比的平方.

2.相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原

三角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比

相等且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

3.相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；

4.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

5.如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个

图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

7.（2023•重庆