一元一次不等式（组）及其应用 -2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第二单元方程（组）与不等式（组）

《第8讲一元一次不等式（组）及其应用》

【知识梳理】

1.不等式的概念

用符号（或"W”），“>"（或"A’）,“W”连接而成的数学式子，叫做不等式.这些

用来连接的符号统称不等号.

2.不等式的基本性质

（1）不等式的基本性质b<a<c.

（2）不等式的基本性质2:不等式的两边都加上（或减去）同一个数,所得到的不等式仍成立.

（3）不等式的基本性质3:不等式的两边都乘（或都除以）同一个正教，所得的不等式仍成立;

不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立.

3.一元一次不等式

⑴一元一次不等式:不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是

——次，这样的不等式叫做一元一次不等式，其一般形式为ax+6>0或奴+。<0（存0）.

⑵不等式的解集:能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称为不等式的

解.

⑶解一元一次不等式的一般步骤:①去分母;②去括号;③移项：④合并同类项；⑤系数

化为1.

4.一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组:由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元

一次不等式组.

（2）不等式组的解:组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.

⑶不等式组的解可分为下表的四种情形（假设。<。）：

一元一次不等式组解图示记忆口诀

x>a,Ja

x>bab同大取大

x<a,W__]A

12Vaab同小取小

x>a,大小小大

a<x<bab

<x<b中间找

小小大大

x<a,---

无解ab

1、x>b找不到

5.一元一次不等式（组）的应用

列不等式（组）解应用题的一般步骤：

（1）找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）.

（2）解不等式（组）.

（3）从不等式（组）的解中找出符合题意的答案.

【考题探究】

类型一不等式的有关概念和基本性质

【例1】已知mb,c,d是实数，若c=d,贝！J（A）

A.〃+c〉b+dB.〃+b>c+d

C.a-\~c>b—dD.a-\-b>c—d

变式1—1:2023•台州]不等式x+122的解在数轴上表示为（B）

--------1---------1----1-------1->1------1--------L.

012012

AB

--------1---------1----1——।->1------1——L.

012012

CD

变式1—2[2024•烟台]实数mb,c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（B

-3-2-1~01~2~34~5

变式1—2图

A.Z?+c>3B.a-c<0

C.|a|>|c|D.—2QV—2Z?

【解析】由教轴，得一3VaV—2V-lV3VcV4,\c\>\a\>\b\,故C不正确，b+c<3,

故A不正确，a—cVO,故B正确，-2。>一2b,故D不正确.

类型二一元一次不等式的解法

【例2】解不等式9x—2W7x+3,并把解表示在数轴上.

IIIIIIIII-

-4-3-2-101234

典例2图

解:移项，得9x—7xW3+2.

合并同类项，得2xW5.

两边同除以2,得xW］

解在数轴上表示如答图.

I________|________|________|________|________|________I.I________

-4-3-2-1012534

彳

典例2答图

变式2—1:2023•绍兴］解不等式:3x—2>x+4.

解:移项，得3x—x>4+2,即2x>6,/.x>3.

变式2—2:2024•连云港］解不等式并把解在数轴上表示出来.

IIIIIIIII.

-4-3-2-101234

变式2—2图

解

去分母，<x-l<2(x+l).

去括号，得x—l<2x+2.

移项，得x—2x<2+l.

合并同类项，得一x<3.

两边同除以一1,得x>一3.

不等式的斛在数轴上表示如答图.

IJIIIIII_____I»

-4-3-2-101234

变式2—2答图

类型三解一元一次不等式组

2r—I>1

-'的解在数轴上表示为（A）

（3（2-%）>-6

2

AB

_I____I___________I____I_____I______

-1012345

CD

2x-l21,①

【解析】

3(2—%)>—6.②

斛不等式①，得xNL

斛不等式②，<x<4,

二原不等式组的解为l<x<4,

故选A.

3x—2<2%,①

变式3—1解不等式组时,不等式①和不等式②的解在数轴上表示正确的

2(%+1)>%—1②

是（C）

-J_।_*—►J----1----6-^

0202

AB

—4—1--1--11d">

-302

CD

2%+1<3,®

变式3-2:2024•天津］解不等式组

3%—1>第一7.②

请结合题意填空，完成本题的解答.

(1)解不等式①，得E.

(2)解不等式②，得x、一3.

(3)把不等式①和②的解在数轴上表示出来.

(4)原不等式组的解为一3WxWl.

1IIIIII

-4-3-2-1012

变式3—2图

解：(3)不等式①和②的将在教轴上表示如答图.

i.iII.1A

-4-3-2-102

变式3—2答图

类型四与一元一次不等式(组)的解有关的问题

7v—1

的解为XV3,则m的取值范围是

(x<m+l

(B)

A.m>2B.加22

C.m<2D.znW2

%+lv2

-5一'无解，则m的取值范围是

(x<4m

【解析】斛不等式号V；—1,得x>8.

•.,不等式组无将，.•.4»iW8,斛得mW2.

4—2%>0,

变式4—2[2024•黑龙江]若关于x的不等式组1恰有3个整数解，则。的取值范

-x-a>0

12

围是一工.

----2---------

【解析】斛不等式4一2%>0,得xW2.

斛不等式/一a>0,得x>2a.

又;不等式组恰有3个整教解,

・••这3个整数解为x=2,1,0,

:.—1W2aVO,

斛得一］WaV0.

类型五一元一次不等式(组)的应用

［例5］［2024•湖南］某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富.已知购买1棵脐橙

树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元;购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.

(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价.

(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以

购买脐橙树苗多少棵？

解:⑴设脐卷树祐的单价为x元〃果，黄金贡柚树的的单价为y元〃果，

fx+2y=110,fx=50,

由题意，得解得

(2%+3y=190,ly=30.

答:脐卷树苗的单价为50元〃果，黄金贡柚树的的单价为30元/猿

(2)设可以购买脐梯树苗用才果，则购买黄金贡柚树的(1000—M,果，

由题意，得50m+30(1000—MW38000,解得/nW400.

答:最多可以购买脐卷树的400棵.

变式5—1:2023•聊城改编］某热门景点的门票价格规定如下表：

票的种类ABC

购票人数1~5051-100100以上

票价(元)504540

一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为46人时,购买3种门票比购买A种门

票节省.

【解析】设游客人数为m人.

由题意，得50m>45X51,

斛得m>45.9.

又•帆为正整教,

•'•m的最小值为46,

即当游裒人数最低为46人时，购买5种门票比购买A种门票节省.

变式5—2［2024•成都］推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.

某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购

进A,3两种水果共1500千克进行销售，其中A种水果收购单价10元/千克，3种水果收购

单价15元/千克.

(1)求A,3两种水果各购进多少千克.

(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%,若合作社计划A种水果至少要获得20%的

利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价.

解:(1)设A种水果购选x千克，5种水果贿选y千克，

,>(x+y=l500,

由题意，得《

(10%+15y=17500,

(x=l000,

斛得

ly=500.

答:A种水果购址1000千克，5种水果购址500千克.

(2)设A种水果的销售单价为m元/千克，

由题意，得1000X(1-4%-10X100010X1000X20%,

将得利212.5,

：.m的最小值为12.5.

答:A种水果的最低销售单价为12.5元/千克.

【课后作业】

“2024•上海］如果x>y,那么下列关系正确的是(C)

A.x+5Wy+5B.%—5<y—5

C.5x>5yD.-5x>—5_y

2.［2024•河北］能使不等式5x—l<6成立的x的值可以为(A)

A.1B.2

C.3D.4

3.不等式x+l》2的解在数轴上表示为（A）

IIjI

-1012

A

―I----------1-----------6----------L_

-1012

C

r-ki>n

（一工。的解在数轴上表示正确的是（c）

B

0

CD

5.[2024•西湖区模拟]某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量/应不少于2.5%,蛋

白质的含量2应不少于2.3%.据此情境，列出的不等式组为（A）

Af/>2.5%,B[/<2.5%,

Ip>2.3%Ip<2.3%

cr/<2.5%,dr/>2.5%,

lp<2.3%lp>2.3%

6.[2024•包头]若2加一1,m,4—机这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则

机的取值范围是（B）

A.m<2B.m<1

C.l<m<2D.l<m<-

3

2???-1777

'斛得加VI.

（m<4—771,

7.如果不等式组『十5<八—1，的解为》>2,那么根的取值范围是（A）

{x>m

A.mW2B.加N2

C.m>2D.m<2

Y-1-2>1

一,的一个整数解一1（答案不唯一）.

（2x-l<5

卜+221,①

【解析】

(2%-1<5.(2)

由①，得*三一1.

由②，得xV3,

.•.不等式组的将为一1WXV3,

.•.不等式组的一个整数群可以为一1.

9.某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售.“五一节”期间，商店为让利于

顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价32元.

【解析】设该护眼灯可降价x元，

由题意，得32。：：；240X100%220%,

解得xW32,即该护眼灯最多可降价32元.

10.已知点A(2加—5,6—2加)在第四象限，则m的取值范围是/〃>3.

【解析】VAA(2m—5,6—2⑼在第四象F艮，

.f2m-5>0,

(6—2m<0,

解得m>3.

11.在RtZkABC中，两边长Q,6分别为3,4,第三边长为c,且c不大于Q,b,c的平均值,

则c=_V7_.

【解析】由题意，得

斛得cWr

V3<|<4,：.RtAABC的斜边长为4,

，c=[42-32=位.

12.解下列不等式(组)：

(1)[2023•陕西]*>2x.

解:去分母，得3x—5>4x.

移项，得3x—4x>5.

合并同类项，得一%>5.

两边都除以一1,得“V—5.

(2%+3>—1,①

解:斛不等式①，得》三一2.

斛不等式②，得xV9,

,不等式组的解是一2WxV9.

(3(久一1)<4+2%，①

(3)[2024•4匕京]<久_9_

(牙<2%.②

解:斛不等式①，得xV7.

将不等式②，得工>一1,

，不等式组的解为一1VXV7.

13.[2024•武汉]求不等式组『+3>1，①的整数解.

12%-1<x②

解:由①，得x>—2.

由②，得xWL

故此不等式组的斛为一2VxWL

故它的整数斛为一1,0,1.

■y--aQ

,

(-3%<4+x.

(1)当。=1时，求该不等式组的解.

(2)若该不等式组有且只有三个整数解，求。的最大值.

(x—K0,①

解:(1)将。=1代人不等式组，得l、

(一3%<4+%.②

斛不等式①，得xVL

将不等式②，得%>一1,

...不等式组的解为一IVxVL

(2)将不等