中考数学重难点复习：几何动点及最值、存在性问题（原卷版+解析）

重难点突破05几何动点及最值、存在性问题

目录

题

型

01将军饮马问题

型

题

02胡不归问题

型

题

03阿氏圆问题

型

题

04隐圆问题

型

题

05费马点问题

型

题

06瓜豆原理模型

型

题

07等腰（边）三角形存在问题

型

题

08直角三角形存在问题

型

题

平行四边形存在问题

型

题09

型

题10矩形、菱形、正方形存在问题

型

题11全等/相似存在性问题

12角度存在性问题

【命题趋势】动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与几何图

形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题.随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，

伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题.

【基本原理】

1)基本原理（定点到定点）:两点之间，线段最短.

2)三角形两边之和〉第三边

3)基本原理（定点到定线）:垂线段最短.

4)平行线的距离处处相等.

5)基本原理（定点到定圆）:点圆之间,点心线截距最短（长）.

6)基本原理（定线到定圆）线圆之间,心垂线截距最短.

7)基本原理（定圆到定圆）:圆圆之间,连心线截距最短（长）.

【解题思路】

1）动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和

曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题.有点动、线动、面

动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等.根据其运动的特点，又可分为（1）动点类（点

在线段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点；（2）动直线类；（3）动图形问题.

2）解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的“变量”和“定量”动中求

静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从

而找到“动与静”的关系；这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出

结论.解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静

制动.解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住

其中的等量关系和变量关系，并特别关注一一些不变量和不变关系或特殊关系.

3）动态几何形成的存在性问题，重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类，包括等

腰（边）三角形存在问题，直角三角形存在问题，平行四边形存在问题，矩形、菱形、正方形存在问题.全

等三角形存在问题，相似三角形存在问题等.

题型01将军饮马问题

1.（2023•辽宁盘锦・中考真题）如图，四边形2BCD是矩形，AB=V10,AD=4五,点尸是边AD上一点（不

与点4。重合）,连接PB,PC.点M,N分别是PB,PC的中点，连接MN,AM,DN,点E在边4D上,ME\\DN,

则4M+ME的最小值是（）

A.2V3C.3V2D.4V2

2.（2023•广东广州•中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4,点£在边BC上，且BE=1,歹为对角线8。上

一动点，连接CF,EF,贝UCF+EF的最小值为.

BEC

3.（2023・四川宜宾•中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形A8C的直角顶点C（3,0）,

顶点A、B（6,巾）恰好落在反比例函数y=§第一象限的图象上.

Cx

（1）分别求反比例函数的表达式和直线4B所对应的一次函数的表达式；

（2）在无轴上是否存在一点尸，使AABP周长的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

题型02胡不归问题

4.（2022•内蒙古鄂尔多斯•中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=4,ZCAB=30°,AD1BC,垂足为

尸为线段上的一动点，连接P8、PC.则B4+2PB的最小值为

5.（2023・湖南湘西•中考真题）如图，。。是等边三角形4BC的外接圆，其半径为4.过点B作于

点E,点尸为线段BE上一动点（点尸不与8,E重合），则CP+^BP的最小值为

6.（2023•辽宁锦州•中考真题）如图，在RtAABC中，乙4c8=90。，乙48c=30。，AC=4,按下列步骤作

图：①在4C和4B上分别截取力。、AE,使②分别以点。和点E为圆心，以大于抄E的长为半径

作弧，两弧在ABAC内交于点M.③作射线力M交BC于点凡若点P是线段4F上的一个动点，连接CP,则

CP+的最小值是

题型03阿氏圆问题

7.（2023・山东烟台・中考真题）如图，抛物线y=a/+"+5与久轴交于4B两点，与y轴交于点C,48=4.抛

物线的对称轴x=3与经过点力的直线y=kx-1交于点D,与x轴交于点E.

备用图

（1）求直线2。及抛物线的表达式;

(2)在抛物线上是否存在点M,使得△力DM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若

不存在，请说明理由；

(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为OB上一个动点，请求出PC+^PZ的最小值.

8.(2023・山东济南•一模)抛物线旷=一3久2+6-1)久+2(1与无轴交于4(h0),B(4,0)两点，与y轴交于点

C(0,c),点P是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧.

(2)如图1,连接BC、AP,交点为M,连接P8,若受妲=；,求点p的坐标；

^LAMB4

(3)如图2,在(2)的条件下，过点P作％轴的垂线交x轴于点E,将线段OE绕点。逆时针旋转得到。E',旋转

角为a(0。<a<90。)，连接E'B,E'C,求+|E£的最小值.

题型04隐圆问题

9.(2022•山东泰安.中考真题)如图，四边形力BCD为矩形，AB=3,BC=4.点尸是线段8c上一动点，点

M为线段4P上一点.^ADM=/.BAP,则8M的最小值为()

A.|B.fC.V13-|D.V13-2

10.（2022.安徽蚌埠•一模）如图，RtAABC中，AB1BC,AB=8,BC=6,P是△28C内部的一个动点,

满足NP48=NPBC,则线段CP长的最小值为()

A

C.2V13-6D.2V13-4

11.(20-21九年级上.江苏盐城•期末)如图，OM的半径为4,圆心M的坐标为(5,12),点P是OM上的任意

一点，PALPB,且P4P8与x轴分别交于4、B两点，若点4、点B关于原点。对称，贝以8的最小值为

12.(2021九年级•全国・专题练习)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点8的坐标分别是(1,0),(7,

0).

(1)对于坐标平面内的一点P,给出如下定义：如果乙4尸2=45。，则称点尸为线段的“等角点”.显然，

线段A8的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆.

①设A、B、P三点所在圆的圆心为C,直接写出点C的坐标和。C的半径；

②y轴正半轴上是否有线段A8的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；

(2)当点尸在y轴正半轴上运动时，/AP8是否有最大值？如果有，说明此时NAPB最大的理由，并求出

点尸的坐标；如果没有请说明理由.

13.(21-22九年级下•福建厦门•期中)如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的。O,点尸在圆弧上

以2倍速度从2向A运动，点。在圆弧8C上以1倍速度从C向8运动，当点P,O,。三点处于同一条直

线时，停止运动.

A

(1)求点。的运动总长度；

(2)若〃为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值.

题型05费马点问题

14.(2023・湖北随州•中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直

线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里

拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点)

当4ABC的三个内角均小于120。时，

如图1,将AAPC绕，点C顺时针旋转60。得到连接PP',

由PC=P(,/-PCP'=60°,可知APCP'为①三角形,故PP，=PC,又=故P2+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P',A在同一条直线上时，P4+PB+PC取最小值，如图2,最小值为力'B,此时的

尸点为该三角形的“费马点”，且有乙4PC=/.BPC=乙4PB=③：

已知当△力BC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若NH4C2120。,

则该三角形的“费马点”为W点.

(2)如图4,在△ABC中，三个内角均小于120。，且2C=3,BC=4,乙4cB=30。，已知点尸为△4BC的“费

马点”，求P4+PB+PC的值；

AA

A

-------------------B

图4图5

（3）如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km,BC=2V3km,^ACB=60°.现欲

建一中转站尸沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站尸到村庄A,B,C的铺设成本分别为a

元/km,。元/km,元/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元.（结果用

含a的式子表示）

15.（2021•山东济南•三模）如图（1）,尸为AABC所在平面上一点，且/AP8=N3PC=NCE4=120。，则

点尸叫做△ABC的费马点.

（1）若点尸是等边三角形三条中线的交点，点尸—（填是或不是）该三角形的费马点.

（2）如果点P为锐角A4BC的费马点，且/ABC=60。.求证：AABP-ABCP；

（3）已知锐角AABC,分别以A8、AC为边向外作正AABE和正AAC。，CE和8。相交于尸点.如图（2）

①求NCPO的度数；

②求证：P点为△A8C的费马点.

图(1)图(2)

题型06瓜豆原理模型

16.（22-23九年级上•江苏扬州•阶段练习）如图,A是OB上任意一点，点C在。1外,已知4B=2,BC=4,

△2CD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）

D

A.4V3+4B.4C.4V3+8D.6

17.（2022•广东河源.二模）如图，已知AC=2AO=8,平面内点P到点。的距离为2,连接AP,若NAPB=60°

且BP=3aP,连接A3,BC,则线段8C的最小值为

18.（23-24九年级上.江苏宿迁•阶段练习）如图，线段A8为。。的直径，点C在4B的延长线上,28=4,BC=2,

点P是。。上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作RSPCD,且使ADCP=60。，连接。D,贝U。。长

的最大值为

19.（20-21九年级•陕西西安•开学考试）在菱形4BCD中，乙BAD=120°,E是对角线BD上的一点，连接4E.

（1）当E在力B的中垂线上时，把射线EA绕点E顺时针旋转90。后交CD于F,连接BF.如图①，若AB=4,

求EF的长.

（2）在⑴的条件下，连接8F,把ABEF绕点B顺时针旋转得到ABUK如图②，连接CH,点N为CH的中

点，连接4V,求4V的最大值.

20.(21-22八年级上•广东湛江•阶段练习)在平面直角坐标系中，4(a,0)、B(b,0),且a,b满足(a+b)2+

|3+6|=0,C。两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点：

(1)如图1,若C(0,4),求△ABC的面积；

(2)如图1,若C(0,4),BC=5,BD=4E,MzCBX=ACDE,求。点的坐标；

(3)如图2,若NCB4=60。，以CD为边,在CD的右侧作等边△CDE,连接。凡当。E最短时，求A,E两

点之间的距离；

题型07等腰(边)三角形存在问题

21.(2022•黑龙江•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形4BC。的边AB在x轴上，顶点。在

y轴的正半轴上,M为8C的中点，OA,OB的长分别是一元二次方程/一7久+12=。的两个根(04<OB'),

tanzJMB=%动点P从点。出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC-CB向点B运动，到达8点停止.设

运动时间为f秒，△4PC的面积为S.

(1)求点C的坐标；

(2)求S关于/的函数关系式，并写出自变量/的取值范围；

(3)在点尸的运动过程中，是否存在点P,使ACMP是等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不

存在，请说明理由.

22.(2023・广东广州•中考真题)如图，在正方形2BCD中，E是边4D上一动点(不与点A,。重合).边BC关

于BE对称的线段为BF,连接力F.

(1)若N48E=15。，求证：AABF是等边三角形；

(2)延长凡4,交射线BE于点G；

①ABGF能否为等腰三角形？如果能，求此时乙48E的度数；如果不能，请说明理由;

②若AB=陋+显,求ABGF面积的最大值，并求此时4E的长.

题型08直角三角形存在问题

23.(2022.贵州安顺・中考真题)如图1,在矩形48CD中，AB=10,AD=8,E是4。边上的一点，连接CE,

将矩形4BCD沿CE折叠，顶点。恰好落在2B边上的点F处，延长CE交84的延长线于点G.

(1)求线段4E的长；

(2)求证四边形DGFC为菱形；

(3)如图2,M,N分别是线段CG,DG上的动点(与端点不重合)，且ADMN=设DN=X,是否存

在这样的点N,使AOMN是直角三角形？若存在，请求出久的值；若不存在，请说明理由.

24.(2024•山东东营.二模)在人教版八年级下册教材“实验与探究——丰富多彩的正方形”中，我们研究正方

形的性质时用到了图①、图②两个图形，图②为大小不等的两个正方形如图排列，整个图形被切割为5部

分，受这两个图形的启发，三个数学兴趣小组分别提出了以下问题，请你回答：

【问题一】“启智”小组提出问题：如图①，正方形力BCD的对角线相交于点。，点。又是正方形久&&。的一

个顶点，。公交4B于点E,OCi交BC于点、F,贝ME与BF的数量关系为；

【问题二】受图①启发，“善思”小组继续探究，画出了图③：直线6、n经过正方形ABCD的对称中心。，直

线m分别与力D、BC交于点E、F,直线也分别与AB、CD交于点G、H,且爪1n，若正方形2BCD边长为10,

求四边形。E4G的面积；

【问题三】受图②启发，“智慧”小组继续探究，画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形4BCD的边CD上，

顶点E在8c的延长线上，且BC=12,CE=4.在直线BE上是否存在点P,使△4PF为直角三角形？若存在，

请直接写出BP的长度；若不存在，说明理由.

25.(2024■新疆乌鲁木齐•一模)如图，在△ABC中，AB=AC,4D1BC于点。，BC=10cm,AD=8cm,

点尸从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于4D的直线机从底边BC

出发，以每秒2cm的速度沿方向匀速平移，分别交4B、AC,4。于£、F、H,当点尸到达点C,点尸与

直线机同时停止运动，设运动时间为f秒(t>0).

(1)XW=，EF=(用含f的式子表示).

(2)在整个运动过程中，所形成的APEF的面积存在最大值，当APEF的面积最大时，求线段BP的长；

(3)是否存在某一时刻f,使APEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由.

题型09平行四边形存在问题

26.(2022•湖北荆州.一模)如图，抛物线y=a/+bK—3与x轴交于4、B两点，点2在点B的左侧，且

X(-1,0),5(4,0),与y轴交于点C,连结BC,以BC为边，点。为中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,

设点P的坐标为(血,0).

(1)求该抛物线对应的函数解析式；

(2)久轴上是否存在一点P,使4PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由;

(3)当点P在线段08上运动时，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q,交BD于点M.试探究：当小为何值时，

四边形CQMD是平行四边形？请说明理由.

27.(2023•黑龙江鸡西•模拟预测)在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点B,C在x轴上，。在y轴上,

如图，已知乙4=60°,C(2,0).

(1)求点。的坐标

(2)动点P从点2出发，以每秒1个单位速度沿射线4。运动，过点P作PE1x轴于E,直线PE交直线CD于点Q,

设APCQ的面积为S,点P的运动时间为t秒，当点Q在工轴上方时，求S与t的关系式，直接写出t的取值范围.

(3)在(2)的条件下，连接CP,当点Q在第一象限，APCQ为等腰三角形时，作NPQC的平分线交射线力。于

点M,此时是否存在点N,使以点D,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标，

若不存在，说明理由.

题型10矩形、菱形、正方形存在问题

28.(2023•黑龙江•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边。C在x轴上，N&OC=60。，。。的

长是一元二次方程/-4%-12=0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线。B于点D,直线AD分别交x轴

和y轴于点尸和点E,动点M从点。以每秒1个单位长度的速度沿。。向终点。运动，动点N从点尸以每

秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动.两点同时出发，设运动时间为/秒.

(1)求直线4D的解析式.

(2)连接MN,求AMON的面积S与运动时间f的函数关系式.

(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点。.使得以A,C,N,。为项点的四边形是矩形.若

存在，直接写出点。的坐标，若不存在，说明理由.

29.(2024.河北张家口•一模)如图，在RtAABC中，^ABC=90°,AB=6,tan/CAB=*动点M以每秒2

个单位的速度从点4出发，沿着4一8一。的方向运动，当点M到达点C时，运动停止.点N是点M关于点B的

对称点，过点M作MQ14C于点Q,以MN,MQ为邻边作平行四边形MNPQ,设点M的运动时间为t秒.

(1)求BC的长；

(2)当t=2时，求证：QP=AM；

(3)是否存在这样的t值，使得平行四边形MNPQ为菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由.

30.综合与探索

【探索发现】如图1,等腰直角三角形48C中，ZXCB=90°,CB=CA,过点4作4。11交于点D,过点B作

BE交于点E,易得AaDC三ACEB,我们称这种全等模型为“型全等”.(不需要证明)

图1

【迁移应用】如图2,在直角坐标系中，直线=2x+4分别与y轴，久轴交于点4B,

(1)直接写出。4=,OB=；

(2)在第二象限构造等腰直角△ABE,使得NH4E=90。，则点E的坐标为；

图2

(3)如图3,将直线I1绕点4顺时针旋转45。得到%，求％的函数表达式;

(4)如图4,直线=2x+8分别交%轴和y轴于4B两点，点C在第二象限内一点，在平面内是否存在

一点。，使以4B、C、D为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明

图4

题型11全等/相似存在性问题

31.(2023广西南宁•二模)如图，在△ABC中，AD为高，力C=18.点E为4c上的一点，CE=2aE,连接BE,

交4。于。，若△BD。三

(1)猜想线段B。与4C的位置关系，并证明；

(2)有一动点Q从点力出发沿射线AC以每秒6个单位长度的速度运动，设点Q的运动时间为t秒，是否存在t的

值，使得ABOQ的面积为27?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；

⑶在(2)条件下，动点P从点。出发沿线段0B以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出

发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，点F是直线BC上一点，且CF=4。，当

△20P与AFCQ全等时，求t的值.

32.(2023•北京海淀•模拟预测)如图，在平面角坐标系中，点力在x轴的正半轴上，点B的坐标(0,-2b),

过原点的直线OC与直线力B交于C,Z.COA=AOCA=NOB4=30°,AB=4

(1)点C坐标为，OC=，AB。。的面积为

S&OAB

⑵点C关于无轴的对称点C'的坐标为

(3)过。点作。E1OC交力B于E点，则AOAE的形状为,请说明理由；

(4)在坐标平面内是否存在点尸使△40F和AAOB全等，若存在，请直接写出F坐标，若不存在，请说明理由

33.(2023•广西桂林•二模)如图，在平面直角坐标系中，矩形A8C。的边。4在无轴上，边OC在y轴上，且8

点坐标为(4,3).动点M、N分别从点O、8同时出发，以1单位/秒的速度运动(点M沿。4向终点A运动，

点N沿BC向终点C运动)，过点N作NP||48交47于点尸，连接MP.

(1)直接写出。4、4B的长度；

(2)在运动过程中，请求出△MP力的面积S与运动时间f的函数关系式；

(3)在运动过程中，△MP4的面积S是否存在最大值？若存在，请求出当t为何值时有最大值，并求出最大值;

若不存在，请说明理由.

(4)在运动过程中，以点A,P,〃为顶点的三角形与A40C能相似吗？若能相似，请求出运动时间/的值;

若不能相似，请说明理由.

题型12角度存在性问题

34.(2023・陕西西安•模拟预测)如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形

为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边.

图1

⑴如图1,在AABC中.按如下做法：

①作BC的中垂线1：

②作N4BC的角平分线与中垂线1交于点0；

③连接C0并延长与4B交于点P,得到ABCP.

若按上述作法，得到的ABCP是倍角三角形.则NP8C与NPC8的等量关系；

(2)如图2,在矩形ABCD中，以BC为底边做一个倍角三角形顶点P恰好落在力。边上.若BC=4,BP=2.求

CP的长度.

(3)如图3,现有一块梯形板材4BCD,ADWBC,乙4=90。，AB=AD=3,BC=12.工人师傅想用这块板

材裁出一个ABCP型部件，使得点P在梯形ABC。的边CD上，A8CP为以BC为底边且“BP=2/C的倍角三

角形.是否存在满足要求的ABCP?若存在，请确定点P位置(求出CP的长)；若不存在，请说明理由.

35.(2023•上海浦东新•二模)已知：。。的直径4B=10,C是AB的中点，。是。。上的一个动点(不与点

A、B、C重合)，射线CD交射线48于点E.

(1)如图1,当BE=48,求线段CD的长；

(2)如图2,当点。在BC上运动时，连接BC、BD,△BCD中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指

出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；

(3)连接0D,当△ODE是以DE为腰的等腰三角形时，求4ODE与△CBE面积的比值.

36.(2023•浙江金华•一模)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点P是射线BC上的动点，连结AP,

在4P的右边作NPAQ=l^BAC,交射线BC于点Q.

(1)当BP=1时，求点尸到4B的距离.

(2)当点尸在线段8c上运动时，记BP=x,CQ=y,求y关于x的函数表达式和自变量尤的取值范围.

(3)在点尸的运动过程中，不再连结其他线段，当图中存在某个角为45。时，求BQ的长，并指出相应的45。角.

重难点突破05几何动点及最值、存在性问题

目录

题型01将军饮马问题

题型02胡不归问题

题型03阿氏圆问题

题型04隐圆问题

题型05费马点问题

题型06瓜豆原理模型

题型07等腰（边）三角形存在问题

题型08直角三角形存在问题

题型09平行四边形存在问题

题型10矩形、菱形、正方形存在问题

题型11全等/相似存在性问题

题型12角度存在性问题

【命题趋势】动态几何问题是近年来中考的一个重难点问题，以运动的观点探究几何图形或函数与几何图

形的变化规律，从而确定某一图形的存在性问题.随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，

伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题.

【基本原理】

1)基本原理（定点到定点）:两点之间，线段最短.

2)三角形两边之和〉第三边

3)基本原理（定点到定线）:垂线段最短.

4)平行线的距离处处相等.

5)基本原理（定点到定圆）:点圆之间,点心线截距最短（长）.

6)基本原理（定线到定圆）线圆之间,心垂线截距最短.

7)基本原理（定圆到定圆）:圆圆之间,连心线截距最短（长）.

【解题思路】

1）动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和

曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题.有点动、线动、面

动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等.根据其运动的特点，又可分为（1）动点类（点

在线段或弧线上运动）也包括一个动点或两个动点；（2）动直线类；（3）动图形问题.

2）解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的“变量”和“定量”动中求

静，即在运动变化中探索问题中的不变性；动静互化抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从

而找到“动与静”的关系；这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出

结论.解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静

制动.解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住

其中的等量关系和变量关系，并特别关注一一些不变量和不变关系或特殊关系.

3）动态几何形成的存在性问题，重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类，包括等

腰（边）三角形存在问题，直角三角形存在问题，平行四边形存在问题，矩形、菱形、正方形存在问题.全

等三角形存在问题，相似三角形存在问题等.

题型01将军饮马问题

1.(2023•辽宁盘锦・中考真题)如图，四边形2BCD是矩形，AB=V10,AD=4五,点尸是边AD上一点(不

与点4。重合),连接PB,PC.点M,N分别是PB,PC的中点，连接MN,AM,DN,点E在边4D上,ME\\DN,

A.2V3B.3C.3V2D.4或

【答案】C

【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得4M=|BP,DN=gCP,通过证明四边形MMDE是平行四边

形，可得ME=DN,则AM+ME=+DN=](BP+CP),作点C关于直线AD的对称点M,贝!]BP+CP=

BP+PM,点、B,P,M三点共线时，BP+PM的值最小，最小值为BM.

【详解】解：•••四边形48CD是矩形，

ABAP=乙CDP=90°,ADWBC,

•・•点M,N分别是PB,PC的中点，

111

/.AM=-BP,DN=-CPMN=-BC,

222f

•・,AD\\BC,MN\\BCf

・♦.MNII8C,

又•・•MEWN,

・•・四边形MNDE是平行四边形，

・•.ME=DN,

AM+ME=AM+DN=(BP+CP),

如图，作点。关于直线40的对称点M,连接尸M,BM,

M

当点2,P,Af三点共线时，BP+PM的值最小，最小值为BM,

在Rt△BCM中，MC=2CD=2AB=2V10,BC=AD=4vL

22

BM=>JBC2+MC2=（4V2）+（2V10）=6V2,

AM+ME的最小值=|BM=3V2,

故选C.

【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质,

轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思

想.

2.（2023・广东广州•中考真题）如图，正方形4BCD的边长为4,点E在边BC上，且BE=1,尸为对角线BD上

一动点，连接CF,EF,则CF+EF的最小值为

【答案】V17

【分析】连接4E交BD于一点凡连接CF,根据正方形的对称性得到此时CF+EF=4E最小，利用勾股定

理求出力E即可.

【详解】解：如图，连接4E交8。于一点R连接CF,

:四边形4BCD是正方形,

.•.点A与点C关于BD对称,

：.AF=CF,

CF+EF=AF+EF=AE,此时CF+EF最小,

正方形4BCD的边长为4,

：.AD=4,^ABC=90°,

•.•点E在48上，且8E=1,

：.AE=7AB2+BE2=<42+I2=V17,即CF+EF的最小值为VT7

故答案为：V17.

【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键.

3.(2023・四川宜宾•中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形A8C的直角顶点C(3,0),

顶点A、B(6,爪)恰好落在反比例函数y=m第一象限的图象上.

(1)分别求反比例函数的表达式和直线4B所对应的一次函数的表达式；

(2)在x轴上是否存在一点尸，使AABP周长的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】(Dy=：，y=-|x+4

(2)在无轴上存在一点P(5,0),使△4BP周长的值最小，最小值是2西+4V2.

【分析】(1)过点A作4E_Lx轴于点E,过点8作BD_Lx轴于点。，证明A4CESACBD(AAS),贝!]CD=AE=

3,BD=EC=m,由。E=3-巾得到点A的坐标是(3-3),由A、B(6,巾)恰好落在反比例函数y=三第

一象限的图象上得到3(3-m)=6m,解得m=l,得到点A的坐标是(2,3),点8的坐标是(6,1),进一步用

待定系数法即可得到答案；

(2)延长4E至点4,使得E4=4E,连接4B交x轴于点P,连接4P,利用轴对称的性质得到2P=&P,

4(2,—3),则4P+PB=4B,由48=2有知AB是定值,此时A2BP的周长为4P+PB+2B=4E+4B最

小，利用待定系数法求出直线48的解析式，求出点尸的坐标，再求出周长最小值即可.

【详解】(1)解：过点A作4Elx轴于点E,过点B作BDlx轴于点。，

则乙4EC=4CDB=90°,

•.,点C(3,0),B(6,m),

OC=3,OD=6,BD=m,

：.CD=OD-OC=3,

•••△ZBC是等腰直角三角形，

：./-ACB=^°,AC=BC,

V^ACE+乙BCD=乙CBD+乙BCD=90°,

A^ACE=乙CBD,

：.△ACE三△CBO(AAS),

/.CD=AE=3,BD=EC=m,

/.OE=OC-EC=3—m,

・••点A的坐标是(3-m,3),

•••A、B(6,m)恰好落在反比例函数y=E第一象限的图象上.

.,.3(3—rri)=6m,

解得m=1,

・••点A的坐标是(2,3),点3的坐标是(6,1),

/.k=6m=6,

...反比例函数的解析式是y=：,

设直线2B所对应的一次函数的表达式为y=px+q,把点A和点2的坐标代入得,

:.直线4B所对应的一次函数的表达式为y=-jx+4,

(2)延长4E至点4,使得E4=4E,连接4B交x轴于点尸，连接4P,

/.点A与点4关于无轴对称,

：.AP=A'P,4(2,—3),

'：AP+PB=A'P+PB=A'B,

：.AP+PB的最小值是4B的长度，

AB=J(2—6(+(3—=2西，即4B是定值，

此时A4BP的周长为ZP+PB+AB=AB+AB最小,

设直线48的解析式是y=nx+t,

解得｛=25，

，直线4B的解析式是y=%-5,

当y=0时，0=x—5,解得x=5,

即点尸的坐标是(5,0),

此时4P+PB+AB=AB+A'B=+7(2-6)2+(-3-I)2=2A/5+4vL

综上可知，在无轴上存在一点P(5,0),使AABP周长的值最小，最小值是2祈+4>②

【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求

两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键.

题型02胡不归问题

4.(2022•内蒙古鄂尔多斯•中考真题)如图，在AABC中，A8=AC=4,ZCAB=30°,AD±BC,垂足为D

尸为线段AQ上的一动点，连接尸8、PC.则附+2PB的最小值为

【答案】4V2

【分析】在NBAC的外部作NCAE=15。，作BP_LAE于R交AD于尸，此时出+2尸2=26。4+PB)=

：(PF+PB)=2BF,通过解直角三角形A2R进一步求得结果.

【详解】解：如图，

在NBAC的外部作/CAE=15。，作BF_LAE于R交AZ)于尸，

此时B4+2PB最小，

ZAFB=90°

"：AB=AC,AD±BC,

：.ZCAD^ZBAD^-ABAC=1X30°=15°,

22

：.ZEAD=ZCAE+ZCAD=30°,

：.PF^-PA,

2

：.PA+2PB=2(^PA+PB片(PF+PB)=2BF,

在RtAABb中，AB=4,ZBAF=ZBAC+ZCAE=45°,

.,.BF=AB«sin45°=4x—=2鱼，

2

・•・(M+2PB)最大=2BF=4V2,

故答案为：4V2.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线.

5.(2023•湖南湘西•中考真题)如图，。。是等边三角形4BC的外接圆，其半径为4.过点8作BE14C于

点E,点P为线段BE上一动点(点P不与8,E重合)，则CP+|BP的最小值为.

A

【答案】6

【分析】过点尸作PD14B,连接C。并延长交4B于点R连接4。，根据等边三角形的性质和圆内接三角形

的性质得到CM=OB=4,CF12B,然后利用含30。角直角三角形的性质得到。E=［。4=2,进而求出BE=

BO+EO=6,然后利用CP+^BP=CP+PD<CF代入求解即可.

【详解】如图所示，过点P作PD14B,连接C。并延长交4B于点尸，连接2。

是等边三角形，BE1AC

1

:•(ABE=乙CBE=-/.ABC=30°

2

•••。。是等边三角形的外接圆，其半径为4

AOA=。8=4,CFLAB,

：.^OBA=^LOAB=30°

：.AOAE=Z,OAB=-2LBAC=30°

2

*：BELAC

：.OE=-OA=2

2

：.BE=BO+EO=6

9：PDLAB,Z.ABE=30°

i

：.PD=-PB

2

：.CP+-BP=CP+PD<CF

2

；.CP+匏P的最小值为CF的长度

ABC是等边三角形，BE1AC,CF1AB

：.CF=BE=6

...CP+^BP的最小值为6.

故答案为：6.

【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30。角直角三角形的性质等知识，解题的

关键是熟练掌握以上知识点.

6.（2023•辽宁锦州•中考真题）如图，在RtAABC中，ZXCB=90°,^ABC=30°,AC=4,按下列步骤作

图：①在力C和2B上分别截取力D、AE,使4D=4E.②分别以点。和点£为圆心，以大于的长为半径

作弧，两弧在ABAC内交于点③作射线交BC于点尸.若点P是线段4F上的一个动点，连接CP,则

CP+34P的最小值是.

【答案】2V3

【分析】过点尸作PQ于点。，过点C作CH148于点先利用角平分线和三角形的内角和定理求出

ABAF=30°,然后利用含30。的直角三角的性质得出PQ=1AP,贝!]CP+|&P=CP+PQ2CH,当C、P、

。三点共线，且与4B垂直时，CP+^AP最小，CP+^AP最小值为CH,利用含30。的直角三角的性质和勾股

定理求出4B,BC,最后利用等面积法求解即可.

【详解】解：过点尸作PQ148于点。，过点C作CH148于点

\'Z.ACB=90°,/.ABC=30°,

/.Z.BAC=60°,

：.2LBAF=-^BAC=30°,

2

1

：.PQ=“尸，

ACP+^AP=CP+PQ>CH,

...当C、P、。三点共线，且与48垂直时，CP+JP最小，CP+^AP最小值为CH,

"：Z.ACB=90°,/.ABC=30°,AC=4,

：.AB=2AC=8,

：.BC=^JAB2-AC2=4V3,

,-'S^ABC=^AC-BC=^AB-CH,

即CP+14P最小值为2b.

故答案为：2靠.

【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等

积法求三角形的高或点的线的距离的方法.

题型03阿氏圆问题

7.(2023・山东烟台・中考真题)如图，抛物线y=a/+版+5与X轴交于4B两点，与y轴交于点C,4B=4.抛

物线的对称轴x=3与经过点力的直线y=kx-1交于点D,与x轴交于点E.

(1)求直线4D及抛物线的表达式；

(2)在抛物线上是否存在点M,使得AADM是以4D为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若

不存在，请说明理由；

(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为。8上一个动点，请求出PC+3P4的最小值.

【答案】(1)直线4。的解析式为y=x-1；抛物线解析式为y=%2-6%+5

(2)存在，点M的坐标为(4,一3)或(0,5)或(5,0)

⑶同

【分析】

(1)根据对称轴x=3,48=4,得到点A及8的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；

(2)先求出点。的坐标，再分两种情况：①当ND4M=90。时，求出直线AM的解析式为y=—久+1,解方

程组卜二装二；；5'即可得到点”的坐标；②当乙=90时求出直线DM的解析式为y=-久+5,

解方程组[即可得到点M的坐标；

iy=%—6x+5

(3)在ZB上取点F,使BF=1,连接CF,证得好=—,又乙PBF=乙48P,得至以PBF2BP,推出PF=-PA,

PBAB2

进而得到当点C、P、/三点共线时，PC+[P4的值最小，即为线段CF的长，利用勾股定理求出CF即可.

【详解】(1)解：：抛物线的对称轴％=3,AB=4,

4(1,0),8(5,0),

将4(1,0)代入直线y=kx-l,得k-1=0,

解得々=1,

，直线40的解析式为y=%-1；

将4(1,0),8(5,0)代入y=ax2+bX+5,得

■匚蓝葭%解得

125a+5b+5=0S=—6

抛物线的解析式为y=/一6久+5；

(2)存在点M,

•.•直线2。的解析式为y=x-l,抛物线对称轴x=3与x轴交于点E.

当x=3时，y=x—1=2,

；.0(3,2),

①当=90°时，

设直线4M的解析式为y=-x+c,将点A坐标代入，

得—1+c=0,

解得c=1,

，直线2M