中考数学提分专练：坐标系中的循环周期问题（选择压轴）（学生版+解析）

专题02坐标系中的循环周期问题（选择压轴）

1.如图，已知点〃的坐标为（1,0）,将点兄绕着原点。按逆时针方向旋转30。得到点片，

延长。4到鸟，使得。2=2。＜；再将点心绕着原点。按逆时针方向旋转30。得到。A,延

长到2,使得。△=2。4……如此继续下去，点2哨坐标为（）

y

4

2

OPQ

X

A.(-21010,^-21010)B.(O,21011)

C.(21010,^-2101(l)D.(>/3.21010,21010)

2.如图，已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点0逆时针旋转，每秒旋

转45。，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()

A.(1,-1)B.(-1,-1)C.(及，0)D.(0,-&)

3.在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60。的扇形组成一条连续

的曲线，点尸从原点。出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，尸点在直线上的速度为1个

A.(1011,0)B,1010,^-C.1011,-^-D.1010,-

4.如图所示，在平面直角坐标系中，将点/(-1,0)做如下的连续平移，A(-1,0)玲4

(-1,1)好山(2,1)玲4(2,-4)玲儿(-5,-4)-4J(-5,5)按此规律平移下去，

则出破的点坐标是()

y

A5(-5,5)

(LD小4(2,1)

(-1,0)AO

4(-5,-4)4(2,-4)

A.(100,101)B.(101,100)C.(102,101)D.(103,102)

5.如图，在一单位为1的方格纸上，△A【A2』3,^A3A4A5,^A5A6A7...,都是斜边在x轴上,

斜边长分别为2,4,6,...的等腰直角三角形，若4/2/3的顶点坐标分别为4(2,0),A2(l,

-1),出(0，0),则依图中所示规律，加切的坐标为()

A.(2,1010)B.(2,1011)C.(1,-1010)D.(1,-1011)

6.如图，边长为4的等边"LBC,AC边在x轴上，点8在,轴的正半轴上，以为边作

等边，边与AB交于点O],以。出为边作等边△。|即，边a4与AB交于点o2,

以QB为边作等边，边。24与交于点。3,L,依此规律继续作等边△。,1即,,

则4021的横坐标

7.如图，已知AJ1,0),A2(1,1),A3(-l,1),A4(-l,-1),A5(2,-1)...,则A2021的坐标

是.

40

A10

_________________.^6

43____A2

・<~>

-3~~OAl~4x

“445

4—24

8.如图，已知正方形ABC。的对角线AC,8。相交于点M,顶点A,B,C的坐标分别

为(1,3),(1,1),(3,1),规定"把正方形A5CD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变

换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为.

9.如图，在平面直角坐标系xQy中，正方形Q4BC的顶点A、C分别在x,y轴上，且

AO=\.将正方形Q4BC绕原点。顺时针旋转90。，且4。=240,得到正方形。4片£，再

将正方OA耳G绕原点。顺时针旋转90。，且4。=240,得到正方形04星C2，以此规律,

10.如图所示，一个机器人从。点出发，向正东方向走3m到达A点，再向正北方向走6m到

达4点，再向正西方向走9m到达4点，再向正南方向走12m到达&4点，再向正东方向走

15m到达4点，按照此规律走下去，相对于点。，机器人走到&时，点儿的坐标是

11.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形0/3C绕点顺时针旋转45°后得到

正方形依此方式，绕点。连续旋转2022次得到正方形。出必班022c2期，那么点

台2022的坐标是

12.如图，在平面直角坐标系中放置一菱形Q4BC,已知NABC=60。，点B在＞轴上，OA=1,

先将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60。，连续翻转2022次，点8的落点

依次为耳，B2,B3,…,则%)22的横坐标为

13.如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形。A8C,边CM、OC分别在x轴、y

轴上，如果以对角线。2为边作第二个正方形再以对角线。片为边作第三个正方形

OB,B2C2......照此规律作下去，则。与g的长为

专题02坐标系中的循环周期问题（选择压轴）

1.如图，已知点心的坐标为（1,0）,将点综绕着原点。按逆时针方向旋转30。得到点片,

延长。片到乙，使得。乙=2。4；再将点鸟绕着原点。按逆时针方向旋转30。得到。鸟，延

长。鸟到乙，使得。舄=2。4......如此继续下去，点2必坐标为（）

B.(0,21011)

1010^，1010)10101010

C.(22D.(73.2,2)

【答案】A

【分析】由题意可得。4=1,。《=。4=1,。6=。£=2。々=2|=2,

。舄=O4=20心=22=4,可以推出0P2n=。&+|=2"(〃=0,1,2...),则。"==。/必=2叫

再由每经过24个点就落到x正半轴上,推出鸟侬在第二象限，且与了轴正半轴的夹角为30。，

再由含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.

【详解】解:"(1,0),

回。痣=1,

回oq=0%=1,

回04=0鸟=204=21=2,

回。舄=。4=2。6=2?=4,

回可以推出。&=。&+1=2"(77=0,1,2...)

回。R023=。&22=21011,

回外在X轴正半轴，4在y轴正半轴，匕在无轴负半轴，片8在V轴负半轴，舄4在无正半轴，

以在直线。巴上，

团每经过24个点就落到x正半轴上，

回2022+24=84余6,

回点心叫是第85循环组的第7个点，在第二象限，与y轴正半轴的夹角为30。，

回鼻⑼的横坐标为：=-10^023=-1x210"=-210，°,

纵坐标y=J。*—=y/(21011)2-(-21010)2=6?1010,

即取23卜2⑼。，石-2皿°),故A正确.

故选：A.

【我思故我在】本题主要考查了旋转的性质，点坐标的规律探索，含30度角的直角三角形

的性质，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

2.如图，已知菱形OABC的顶点0(0,0),B(2,2),若菱形绕点。逆时针旋转，每秒旋

转45。，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()

A.(1,-1)B.(-1,-1)C.(0,0)D.(0,-V2)

【答案】B

【详解】试题分析：根据已知条件0(0,0),B(2,2),可求得D(1,1),OB与x轴、y轴的

交角为45。，当菱形绕点。逆时针旋转，每秒旋转45。，时，8秒可旋转到原来的位置，因

60+8=7….4,所以第60秒时是第8循环的地上个位置，这时点D的坐标原来位置点D的坐

标关于原点对称，所以为(-1,-1),故答案选B.

考点：规律探究题.

3.在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60。的扇形组成一条连续

的曲线，点P从原点。出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，P点在直线上的速度为1个

【答案】A

【分析】设第〃秒运动到P"("为自然数)点，根据点尸的运动规律找出部分Pn点的坐标，

根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论.

【详解】解：设第〃秒运动到P"("为自然数点)

观察，发现规律：吟亭，8(10)，门弓，-亭，片(2,0),皆,争，…

-P(4”+1昌pf4n+2(4n+3百)4n+4-

,,Mzi+P—2-，~2>'々"+2、—2—一2-'-三-^'41+八—Q-

•••2022=4x505+2

鸟022为(1011,0)

故选：A

【我思故我在】本题主要考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律，并加以

运用.

4.如图所示，在平面直角坐标系中，将点/(-1,0)做如下的连续平移，A(-1,0)-4

(-1,1)好山(2,1)玲4(2,-4)玲儿(-5,-4)玲儿(-5,5)按此规律平移下去，

则出破的点坐标是()

A5(-5,5)

(ID/-4(2,1)

(-1,0)AO~

A.(-5,-4)43(2,-4)

A.(100,101)B.(101,100)C.(102,101)D.(103,102)

【答案】C

【分析】根据题意可知，点/平移时每4次为一个周期，由102+4=25・・・2,可知点4破的

坐标与小"+2的点的坐标规律相同，分别求出42,A6,小。的坐标，找出规律，进而求解即

可.

【详解】解：由题意可知，将点/(-1,0)向上平移1个单位长度得到4(-1,1),再向

右平移3个单位长度得到(2,1),再向下平移5个单位长度得到(2,-4),再向左平

移7个单位长度得到4(-5,-4)；再向上平移9个单位长度得到4(-5,5)

圉点A平移时每4次为一个周期.

回102+4=25・22,

回点A102的坐标与A4n+2的点的坐标规律相同.

<SA2(2,1),A6(6,5),Aio(10,9),

以此类推，

的/+2(4〃+2,4〃+1),

的”2的点坐标是(102,101).

故选：C.

【我思故我在】本题考查了规律型：点的坐标.分析题意得出点/平移时每4次为一个周

期，进而得到点AI02的坐标与4〃+2的点的坐标规律相同是解题的关键.

5.如图，在一单位为1的方格纸上，△//小血，^A3A4A5,△出//7…，都是斜边在x轴上,

斜边长分别为2,4,6,...的等腰直角三角形，若小4^3的顶点坐标分别为4(2,0),A2(l,

-1),A3(0,0),则依图中所示规律，出m的坐标为()

A.(2,1010)B.(2,1011)C.(1,-1010)D.(1,-1011)

【答案】D

【分析】根据下标确定出下标为偶数时的点的坐标，得到规律：当下标是2、6、10...时，横

坐标为1,纵坐标为下标的一半的相反数，当下标是4、8、12....时，横坐标是2,纵坐标

为下标的一半，然后确定出第2022个点的坐标即可.

【详解】解：观察点的坐标变化发现：

当下标为偶数时的点的坐标，得到规律：

当下标是2、6、10...时，横坐标为1,纵坐标为下标的一半的相反数，

当下标是4、8、12....时，横坐标是2,纵坐标为下标的一半，

因为2022+4=505...2,

所以横坐标为1,纵坐标为=-ion,

故选：D.

【我思故我在】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2022是偶数，求出点的下标是偶

数时的变化规律是解题的关键.

6.如图，边长为4的等边ULBC,AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以为边作

等边,边。4与AB交于点a,以0出为边作等边△()&&，边与A,B交于点,

以0国为边作等边△0/4，边。2&与&B交于点Q,L,依此规律继续作等边△0,-84,

则A021的横坐标.

【分析】根据正三角形与旋转的特点得到旋转12次为一个循环，故可求出4()21的横坐标.

【详解】解：配L4BC是正三角形，BO^AC

^ABO=30°

同理NABA=NAB%==ZA^BA4=30°,

360°^30°=12,

回4的横坐标旋转12次为一个循环，

回2021+12=168…5,

回A2021与A在同一直线上，即y轴上，

回A2021的横坐标为0.

故答案为：0.

【我思故我在】此题主要考查坐标的旋转变换，解题的关键是根据图形的特点找到变换规律.

7.如图,已知A/1,0),A2(l,1),A3(-l,1),A4(-l,-1),A5(2,-1)...,则A2cBi的坐标

是.

4”

4i

A10

，7_________________

43____A2

・-•~>

-3~~OA1~4x

“445

4-24

【答案】(506,-505)

【分析】根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上（Ai和第四象限内的点除外），逐

步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点A2021的坐标.

【详解】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限，

回2021+4=505...1,

国点A2021在第四象限，纵坐标为-505,横坐标为505+1=506,

EIA2021的坐标是（506,-505）.

故答案为（506,-505）.

【我思故我在】本题考查规律型-点的坐标，解题的关键是注意观察，寻找规律，利用规律

解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

8.如图，已知正方形ABCD的对角线AC,50相交于点顶点A,B,C的坐标分别

为（1,3）,（1,1）,（3,1）,规定"把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位"为一次变

换，如此这样，连续经过2020次变换后，点/的坐标变为.

【答案】（2022,2）

【分析】根据正方形的性质和中点坐标公式求出点M坐标，然后根据轴对称与平移坐标变

换特征总结出点M坐标变换规律：第〃次变换后点/的对应点的坐标为：当”为奇数时，

（2+〃,-2）,当"为偶数时，（2+%2）,根据规律求解即可.

【详解】解：•.・正方形ABC。，顶点4（1,3）,5（1,1）,C（3,l）,

•••对角线交点/坐标为（2,2）.

根据翻折与平移的性质，

第1次变换后点M的对应点的坐标为（2+1,-2）,即（3,-2）；

第2次变换后点M的对应点的坐标为（2+2,2）,即（4,2）；

第3次变换后点M的对应点的坐标为（2+3,-2）,即（5,-2）；

第«次变换后点M的对应点的坐标为：

当〃为奇数时，点/的坐标为（2+-2）；

当〃为偶数时，点/的坐标为（2+,,2）,

•••连续经过2020次变换后，

点"的对应点的坐标为（2020+2,2）,即（2022,2）.

故答案为：（2022,2）.

【我思故我在】此题主要考查坐标的变换，解题的关键是根据题意找到变换的规律进行求解.

9.如图，在平面直角坐标系xQy中，正方形Q4BC的顶点A、C分别在x,y轴上，且

AO=].将正方形。45C绕原点。顺时针旋转90。，且4。=240,得到正方形OA瓦G，再

将正方月G绕原点。顺时针旋转90。，且得到正方形星Cz，以此规律，

得到正方形922019c2019,则点B2019的坐标为.

【答案】（-22。匕2刈9）

【分析】根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出与39的坐标位置即可.

【详解】解：回四边形0ABe正方形，且49=1,

配点的坐标为（1,1）,

将正方形OABC绕原点O顺时针旋转90°,且A1O=2AO,得到正方形片G，

此时Bi的坐标为（2,-2）,

再将正方片G绕原点。顺时针旋转90。，且A0=2A。，得到正方形。4222c”

此时B2的坐标为（4-4）,

依次类推得B3的坐标为（-8,8）,B4的坐标为（16,16）,

团每四次循环一周，

2019+4=504...3,

回点B2019与B3同在一个象限内，

0-4=-22,8=23,16=2%

回点B2019的坐标为（-22019,22019）,

故答案为：（一22019,22019）.

【我思故我在】本题考查了规律的探索，根据题意总结出规律是解题关键.

10.如图所示，一个机器人从。点出发，向正东方向走3m到达A点，再向正北方向走6m到

达4点，再向正西方向走9m到达4点，再向正南方向走12m到达4点，再向正东方向走

15m到达4点，按照此规律走下去，相对于点。，机器人走到&时，点4的坐标是,

点AO22的坐标是.

4

A3(LA2；

______|小r

-603~x

4-6

【答案】（9,12）（3033,3036）

【分析】根据题意求出点A的坐标为（3,0）；点儿的坐标为（3,6）；点的坐标为（-6,6）；点

4的坐标为（F-6）；点&的坐标为（9,-6）；点4的坐标为（9,12）,依此类推，从点为开

始，每走动4次一个循环，从而得到点人脸位于第一象限内，再由落在第一象限内的点每

个循环，横坐标增加6,纵坐标增加6,即可求解.

=3,A4=6,44=9,A3A4=12,A4A=15,&&=18,

回点4的坐标为（3,o）；

点4的坐标为（3,0+6）,即（3,6）；

点4的坐标为（3-9,6）,即（-6,6）；

点4的坐标为（-6,6-12）,即（-6,-6）；

点&的坐标为（-6+15,—6）,BP（9,-6）；

依此类推，可得点A的坐标为（9,-6+18）,即（9,12）.

由此发现，从点4开始，每走动4次一个循环，

肌2022TH4=505……匕

回点4期位于第一象限内，

回点4的坐标为（3,6）,点4的坐标为（9,12）,点4。的坐标为（15,18）,

回落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6,纵坐标增加6,

回点&。22的坐标为（505?63,505?66）,即（3033,3036）.

故答案为①（9,12）,②（3033,3036）.

【我思故我在】本题主要考查了坐标确定位置的运用，解题的关键是发现规律，利用规律解

决问题.

11.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形。N3C绕点顺时针旋转45。后得到

正方形OA山＜1，依此方式，绕点。连续旋转2022次得到正方形。加被汨2022c2022，那么点

史必的坐标是.

【答案】

【分析】根据图形可知：点B在以。为圆心，08为半径的圆上运动，再根据旋转可知：将

正方形CM3C绕点。顺时针旋转45。后得到正方形O///G,相当于将线段08绕点。顺

时针旋转45°,可得对应8的坐标，然后发现规律8次一循环，进而得出答案.

【详解】解：团四边形CMBC是边长为1的正方形，

回8（-L1）,

团将正方形0/5C绕点。顺时针旋转45。后得到正方形04小Q,相当于将线段绕点。

顺时针旋转45°,

国耳（0,夜），层（1，1），鸟（近，0），鸟（1，一1），风（°，一夜），《（TT）’禺（一夜,0）,B8（-l,l）,

以。，⑹，……，

发现是8次一循环，则2022+8=252...6,

回点B2022的坐标是（-L-1）,

故答案为：（T-1）.

【我思故我在】此题主要考查了旋转的性质，坐标与图形的变化，解题关键是学会从特殊到

一般的探究规律的方法.

12.如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC,已知ZABC=60。，点8在丁轴上，=1,

先将菱形Q4BC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60。，连续翻转2022次，点8的落点

依次为与，层，B3,■•则与吠的横坐标为.

【答案】1348

【分析】连接AC,根据条件可以求出AC,画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容

易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4,由于2022=336x7,因此点与向右平移1348（即

337x