一次函数 易错训练与压轴训练（13易错+8压轴）解析版-2024-2025学年沪教版八年级数学下册

一次函数易错训练与压轴训练（13易错+8压轴）

01思维导图

目录

易错题型一正比例函数的相关概念..............................................................1

易错题型二根据一次函数的定义求参数..........................................................3

易错题型三求一次函数解析式..................................................................5

易错题型四一次函数的图象与性质..............................................................7

易错题型五一次函数图象与坐标轴交点问题.....................................................10

易错题型六一次函数图象平移问题.............................................................13

易错题型七一次函数与方程...................................................................15

易错题型八一次函数与不等式.................................................................18

易错题型九一次函数与反比例函数.............................................................21

易错题型十一次函数应用之分配方案问题.......................................................25

易错题型十一一次函数应用之最大利润问题....................................................29

易错题型十二一次函数应用之行程问题.........................................................33

易错题型十三一次函数应用之几何问题.........................................................38

压轴题型一一次函数图象与性质压轴........................................................42

压轴题型二一次函数中的旋转问题（45度）....................................................51

压轴题型三一次函数的翻折问题...............................................................57

压轴题型四一次函数的新定义问题.............................................................63

压轴题型五一次函数中最值问题...............................................................69

压轴题型六一次函数中动点问题...............................................................78

压轴题型七一次函数的存在性问题.............................................................86

压轴题型八一次函数中应用压轴...............................................................94

02易错题型

易错题型一正比例函数的相关概念

例题：下列说法中正确的有（）

①了二船是正比例函数；

②如果夕=（。+3卜+/一9是正比例函数，那么。=±3；

③如果V与X+2成正比例，那么V是X的正比例函数；

④如果>=那么了与f成正比例.

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】D

【分析】本题考查正比例函数的定义，一般地，形如了=船（上是常数，k#0）的函数叫做正比例函数,

由此即可判断.

【详解】解：①当上*0时，>=船是正比例函数，原说法错误；

②如果V=（a+3）x+/-9是正比例函数，那么。=3,原说法错误；

③如果了与x+2成正比例，那么了=上卜+2）不是x的正比例函数，原说法错误；

④如果>=gx2,那么V与v成正比例，说法正确.

正确的只有1个，

故选：D.

巩固训练

1.如果/=丘+2左+x是关于x的正比例函数，贝同的值为（）

A.-1B.2C.0D.1

【答案】C

【分析】本题考查了正比例函数的定义.熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键.

由>=履+24+x是关于x的正比例函数，可知>=（左+l）x+2左中左+1*0,2左=0,求解作答即可.

【详解】解：•.•>=履+2后+%是关于x的正比例函数，

y=（左+1）x+2k中左+1w0,2k=0,

解得，k=0,

故选：c.

2.已知函数y=（加-l）x+/-i是正比例函数，则加=.

【答案】-1

【分析】该题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数一般形式：歹=履（左W。），依据正比例函数的定义

求解即可.

根据正比例函数的定义列出方程求解即可；

【详解】解：=+是正比例函数，

加2-1=0且机-1H0.

解得：m=—1.

故答案为：-1.

3.如果y=。-2卜+化2-2司是V关于x的正比例函数，求上的值.

【答案】k=Q

【分析】本题考查正比例函数的定义，根据形如了=履（左手。），这样的函数叫做正比例函数，进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：上一2/0且左,一？左=0,

・•・左=0.

易错题型二根据一次函数的定义求参数

例题：若函数了=（加-2）靖~+3是一次函数，则私〃应满足的条件是（）

A.〃？32且"=0B.："=2且〃=2C.7〃w2且〃=2D.机=2且〃=0

【答案】C

【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数>=履+6的定义条件是：k、6为常数，k手0,自变

量次数为1.根据一次函数的定义列出计算解答即可.

【详解】解：由题意得"-1=1,m-2^0,

二7〃w2且力=2,

故选：C.

巩固训练

1.函数了=（"1）铲+3是一次函数，则左的取值范围是（）

A.k=1B.k=±\C.k=0D.k=—1

【答案】D

【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数〉=履+6的定义条件是:鼠6为常数，且后*0,自变

量次数为1.根据一次函数定义可得限=1且左-1*0,即可求解.

【详解】解：由题意得：冏=1且"1W0,

解得:左=-1,

故选:D.

2.当加时，函数y=(%+2)x+l-加是正比例函数；当加时，函数y=(加+2)x+l-加是一

次函数.

【答案】=1#-2

【分析】本题考查正比例函数及一次函数的定义，根据正比例函数定义“形如V=h(左片0)的函数”及一次函

数的定义“形如y=kx+b(k^0)的函数”求解即可求得答案.熟练掌握其定义是解题的关键.

【详解】解：已知函数丁=(%+2)x+l-加，

若该函数为正比例函数，则加+2片0,Ml-m=0,

解得mW-2,且m=1,

当优+2=1+2=3H0,则机=1符合题意；

若该函数为一次函数，则加+2w0,

即加大一2；

故答案为：=1,w-2.

3.已知函数了=(加+3)x+/w；

(1)当加取何值时，这个函数是正比例函数？

(2)当加在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？

【答案】(1)当机=0时，这个函数为正比例函数

(2)当加w-3时，这个函数是一次函数

【分析】(1)根据正比例函数的定义求解即可；

(2)根据一次函数的定义求解即可.

【详解】(1)解：:函数y=(m+3)x+机是正比例函数，

J加+3w0

[m=0

.冽=0,

.当冽=0时，这个函数为正比例函数；

（2）解：,函数y=（w+3）x+m是一次函数，

.加+3w0,

•加w-3,

,当加。—3时，这个函数是一次函数.

【点睛】本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，熟知二者的定义是解题的关键.

易错题型三求一次函数解析式

例题：直线y=2x+b向右平移2个单位长度，所得图象恰好过点（-1,-3）,则6的值为（）

A.2B.4C.3D.5

【答案】C

【分析】本题主要考查一次函数与几何变换的知识，将直线V=2x+6向右平移2个单位长度后直线的解析

式为：y=2（x-2）+6,又该直线经过点将点代入直线即可求出答案.

【详解】解：将直线V=2x+6向右平移2个单位长度后直线的解析式为：y=2（x-2）+b,

将点（T-3）代入了=2（x-2）+6,得-3=2X（-1-2）+6,

解得：b=3.

故选：C.

巩固训练

1.在平面直角坐标系中有两条直线4、4,直线4所对应的函数关系式为v=x+i,如果将坐标纸折叠，使4

与4重合，此时点（1⑼与点（。，1）也重合，则直线4所对应的函数关系式为（）

A.y=-x-1B.y=-x+\C.y=x-lD.y=x+l

【答案】C

【分析】本题考查了直线的平行，待定系数法，轴对称的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键.根据

坐标纸折叠，点（1,0）与点（0,1）重合，且点（L。）与点（0,1）关于直线对称，得出折痕为直线^=盯根据

直线4〃直线y=x,得出直线4〃直线v=x，利用待定系数法求出解析式即可.

【详解】解：•.•点(1,0)与点(0,1)重合，

又••,点(1,0)与点(0,1)关于直线了=x对称,

•••折痕为直线V=x,

・・・直线4与4关于直线y=X对称，

・・•直线4所对应的函数关系式为y=x+i,

直线4〃直线了=》，

直线4〃直线了=》，

••・设直线4的解析式为y=x+6，

•••(0,1)是直线4上的点，

点(i,o)是直线4上的点，

.•・0=1+6,

解得6=-1,

・・・直线4的解析式为y=x-i.

故选：c.

2.写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、四象限和点仅,3),则这个一次函数可以是.

【答案】＞=r+3(答案不唯一)

【详解】设一次函数解析式为＞=依+6,根据一次函数的性质得上＜0,6=3,据此写出函数解析式即

可.本题考查了一次函的图象和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

【解答】解：•.・函数图象经过第一、二、四象限和点（0,3）

••・左v0,b=3,

不妨人=-1,则一次函数解析式为＞=-x+3

故答案为：V=-x+3（答案不唯一）.

3.已知：一次函数＞=履+6的图象经过“（0,2）,N（l,3）两点.

⑴求上,6的值；

（2）若4凡5）在一次函数y=h+b的图象上，求线段/N的长.

【答案】（1））=1,b=2

（2）272

【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，平面上两点间的距离

公式的应用.根据待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.

（1）直接把"N两点的坐标代入一次函数＞=6+6,求出后,6的值即可；

（2）根据（1）中左力的值得出一次函数的解析式，再把4。,5）代入求出。的值即可；再利用平面上两点间

的距离公式求线段/N长.

【详解】（1）•・一次函数歹=履+6的图象经过M（0,2）,N（l,3）两点

J2=6

[3=^+6

[b=2

解得：,1

[K=1

・・・左力的值分别是1和2

（2）由（1）得：一次函数解析式为V=x+2

•.•4（25）在一次函数y=x+2的图象上，

:.5=a+2

a=3

「.4（3,5）

由平面上两点间的距离公式得：AN=7（3-1）2+（5-3）2=272,

故线段ZN的长为2行.

易错题型四一次函数的图象与性质

例题：在同一平面直角坐标系中，P,0分别是＞=x-3与y=-3x+5的图象上的点，且尸，。关于原点。

成中心对称，则点P的坐标是（）

1_13

B.(-2,5)」_z

A.2'TC.-2，-2D.-5,-y

【答案】C

【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，求一次函数的函数值,

设点P的坐标，再根据中心对称表示点。的坐标，然后代入关系式求出答案即可.

【详解】解：设点尸（生。一3）,

■:点P,0关于原点对称,

・••点0(-。,3-a).

•.•点0（-。,3-。）在直线＞=-3》+5上,

3—a——3x(—Q)+5,

解得

c1c7

：.a—3=------3=—

22

17

・••点"一下一/

故选：C.

巩固训练

1.已知一次函数%二a%+b和%=6x+a（abwO且QWb）,这两个函数的图象可能是（）

【答案】D

【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象与比例系数的关系是解题的关键.

根据一次函数y=h+b任W0)中，左>0,6>0图象经过第一、二、三象限；左>0)<0图形经过第一、三、

四象限；上〈0,6〉0图形经过第一、二、四象限；后<0,6<0图形经过第二、三、四象限；由此即可求解.

【详解】解：当。>0,6>0时，入,％的图象经过第一、二、三象限，D选项符合题意；

当a>()/<()时，必的图象经过第一、三、四象限，%的图象经过第一、二、四象限，A,B,C选项不符

合题意；

当。时，九%的图象经过第二、三、四象限，A,B,C选项不符合题意；

当。(0,6)0时，%的图象经过第一、二、四象限，%的图象经过第一、三、四象限，A,B,C选项不符合

题意；

故选：D.

2.关于一次函数>=-3x+2,下列说法正确的有.(直接填序号)

①y随x的增大而增大；②图象与直线V=-3x-3平行；

③函数图象与夕轴的交点为(0,2)；④函数图象经过第一、二、三象限

【答案】②③/③②

【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数与坐标轴的交点.根据一次函数的性质逐个判

断即可.

【详解】解:①,.%=-3<0,

.可随x的增大而减小，故本项错误，不符合题意；

②・；y=-3x+2与直线y=-3x-3中左值相同，

・••图象与直线>=-3x-3平行，故本项正确，符合题意；

③当尤=0时，y=2,

・•・函数图象与y轴的交点坐标是(0,2),故本项正确，符合题意；

④二左=-3<0,6=2>0,

二函数的图象经过第一、二、四象限，故本项错误，不符合题意；

综上分析可知：正确的有②③.

故答案为：②③.

3.如图，一次函数y=；x+2与x轴、夕轴分别相交于点/和点8.

(1)求点A和点B的坐标；

(2)点C在V轴上，若△/BC的面积为6,求点C的坐标.

【答案】⑴4-4,0),8(0,2)

(2)当点C在点5上方时，C(0,5);当点C在点5下方时，C(0,-l)

【分析】本题考查一次函数的综合应用.正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论

的思想，进行求解，是解题的关键.

(1)令P=0,求出x的值，得到点/的坐标，令x=0,求出了的值，得到点3的坐标；

(2)分点C在点8上方和点C在点8下方两种情况讨论.

【详解】(1)解：当x=0时，y=1x0+2=2,

.•项0,2),

当y=0时，—x+2=0,x=-4,

2

/(-4,0)；

(2)点C在V轴上，若△NBC的面积为6,

:.-xOAxBC=6,

2

•••CM=4,

BC=3,

•・・当点C在点8上方时，C(o,5).

当点C在点8下方时，C(0,-l).

易错题型五一次函数图象与坐标轴交点问题

例题：一次函数y=；x-l图象与y轴交点是（）

A.（-1,0）B.（2,0）C.（o,l）D.（0,-1）

【答案】D

【分析】本题考查了一次函数与v轴的交点.熟练掌握一次函数与了轴的交点是解题的关键.

当x=0时，y=—1,进而可求交点坐标.

【详解】解：当x=0时，y=—1,

京一次函数y=gx-l图象与y轴交点是（0,T）,

故选：D.

巩固训练

1、在平面直角坐标系中，若将直线y=-2x+机向下平移3个单位长度后，恰好经过原点，则直线y=-2x+加

与X轴的交点坐标（）

A.（1.5,0）B.（-1,0）C.（-1.5,0）D.（2,0）

【答案】A

【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质.根据一次函数了=-2x+机的图象向下平移左不变，可得

平移后的函数解析式为：y=-2x+m-3,把点（0,0）代入可求得加，进一步计算即可求解.

【详解】解：••・若将一次函数＞=-2x+加的图象向下平移3个单位长度，

二平移后的函数解析式为：y=-2x+加-3,

•••函数解y=-2x+m-3的图象经过点（0,0）,

•••加-3=0,

解得：m=3,

・•・一次函数的解析式为＞=-2X+3,

3

当y=o时，x=|,

•・・直线y=-2龙+机与x轴的交点坐标为（1.5,0）,

故选：A.

2.直线〉=如+6过（0,2）点，且与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则。的值为.

【答案】±1

【分析】本题考查了一次函数＞=依+方（左w0，k、b为常数）与两坐标轴交点的坐标的求法、等腰直角三

22

角形的性质.令y=o可以求出％=—-,所以一次函数与X轴的交点坐标的横坐标为-一，直线＞过

aa

(0,2)点，所以直线与y轴交点的纵坐标为(0,2),根据图象与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，可得

2

方程——=2,解方程即可求出。的值.

a

【详解】解：把点(0,2)代入一次函数了=办+6,

得到：6=2,

2

当V=0,可得:％=—，

a

直线＞=履+6与x轴的交点坐标为，

•­•图象与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，

--=2,

a

整理得：同=1,

Q=±1.

故答案为：±1.

3.如图，直线歹=-2x+4与x轴相交于点A,与V轴相交于点5.

(1)求45两点的坐标；

(2/轴上有一点且。尸二2。4,求△/吕尸的面积.

(提示：尸可能在。的左边，也可能在。的右边)

【答案】(1)/(2,0),5(0,4)

(2)A4BP的面积为4或12

【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形：

(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点/、8的坐标.

(2)由点/、2的坐标得出。4的长，结合。夕=20/可得出尸点坐标，进而求出心的长，再利用三角形

的面积公式求出尸面积.

【详解】(1)解：在y=-2x+4中，当》=0时，y=4,当y=-2x+4=0时，x=2,

4(2,0),5(0,4)；

(2)解：•；OP=2OA,OA=2,

OP=4,

・•・尸点坐标为(4,0)或(-4,0),

.•./P=2或6,

・应9=2x4+2=4或工陋＞=6*4+2=12,

的面积为4或12.

易错题型六一次函数图象平移问题

例题：若要把直线V=；x-4的图象变为直线y=；(x+4)的图象，则下列平移方法正确的是()

A.向下平移10个单位B.向上平移10个单位

C.向上平移8个单位D.向下平移8个单位

【答案】B

【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移法则：左加右减，上加下减，求解即可，熟练

掌握一次函数的平移是解此题的关键.

【详解】解：•••y=/x+4)=；x+6,

・,.要把直线y=；x-4的图象变为直线y=；(x+4)的图象，原图象向上平移了6-(-4)=6+4=10个单位，

故选：B.

巩固训练

1.将一次函数＞=；x+3的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新图

象对应的函数解析式为()

1

A.尸—x+8B.y=—x+

22

1，113

y=—x+

C.y二—x+6D.

22T

【答案】B

【分析】此题考查了一次函数图象的平移.根据左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.

【详解】解:将一次函数＞=gx+3的图象沿x轴向左平移2个单位长度得到y=g(x+2)+3=；x+4,

一次函数)，=!》+4再向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为y=gx+7.

故选：By=—x+7.

2.若直线了=(2加+3)x+5与直线y=-x+1■互相平行，则加的值为.

【答案】-2

【分析】由平行可得2加+3=-1,解得即可.本题考查了一次函数的性质，两条直线平行问题，两条直线平

行一次项系数相等，常数项不等.

【详解】解：.•・直线：了=(2加+3)x+5与直线y=+；互相平行，

2m+3=—1,

解得〃?=-2,

故答案为：-2.

3.已知一次函数y=x-2.

▲y

41

3r

2L

1-

-4-3-2T0]I234x

-lb

-2L

-3卜

-4i

(1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象；

(2)把该函数图象向上平移3个单位，判断点(-3,-2)是否在平移后的函数图象上.

【答案】(1)见解析

⑵在

【分析】(1)根据函数图象与无，V轴的坐标交点坐标，画出图象即可；

(2)根据平移的特点得出解析式，进而解答.

【详解】⑴解:列表：

0□

0S

过点(2,0)和点(0,-2)画出直线y=x-2,

(2)解：把函数＞=x-2图象向上平移3个单位,

得函数的解析式为，=x+l,

当x=—3时，y=-3+1=-2,

.•.点(-3,-2)在平移后的直线上.

【点睛】本题考查一次函数与几何变换，关键是根据函数图象与x,V轴的坐标交点画出图象.

易错题型七一次函数与方程

例题：若关于X的方程3x+6=0的解是x=l,则直线y=3x+6一定经过点()

A.(3,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)

【答案】C

【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题

的关键；根据方程可知当X=1时，y=o,从而可判断直线y=3x+6经过点(1,0)即可.

【详解】解：由方程的解可知：当X=1时，3x+6=0,即当x=l时，y=o,

・•.直线y=3x+6一定经过点(1,0),

故选：C.

巩固训练

1.如图是一次函数必=履+6与％=x+a的图象，则下列结论：①人<0；②a>0；③6>0：④方程

Ax+b=x+a的解是x=3,正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与性质，根据一次函数的性质和一次函

数与一元一次方程的关系进行判断即可；准确分析判断是解题的关键.

【详解】•••一次函数%经过第一、二、四象限，

■.k<0,b>0,故①③正确；

•••直线为=x+a的图象与了轴的交点在x轴下方，

■•-a<0,故②错误；

,一'次函数%=履+分与%=x+a的图象的交点横坐标为3,

.,.当x=3时，kx+b=x+a,故④正确；

综上所述，正确的有①③④，共3个.

故选：C.

2.如图，直线y=与y=h+6相交于点尸(1,2),则关于X的方程6+6=蛆的解是.

【分析】本题主要考查一次函数图象与一元一次方程的综合，根据题图示，两条直线的交点即为方程的解,

由此即可求解，掌握一次函数的交点与一元一次方程的解的知识是解题的关键.

【详解】解：根据题意，两直线的交点坐标为尸(1,2),

•・・关于％的方程丘+6=加工的解为：x=1,

故答案为：x=1.

3.请根据函数相关知识，对函数了=2,-3|-1的图象与性质进行探究，并解决相关问题.

①列表；②描点；③连线.

X01234567

y53m-1135n

(1)表格中：rn=,n=

(2)在直角坐标系中画出该函数图象.

-----

-3-2-10123456x

台2

(3)观察图象:

①当X时，了随X的增大而增大；

②若关于X的方程2归-3|-1=。没有实数根，则a的取值范围是.

【答案】(1)1,7

(2)详见解析

(3)①23；②"T

【分析】本题是函数以绝对值的综合运用，掌握绝对值的性质，观察列表中的数，并找出规律，用描点,

连线的方法画函数图象是解题的关键.

(1)将x=2,x=7代入了=2,-3|-1,即可求解；

(2)利用描点，连线的方法即可求解函数图象；

(3)①从(2)中图象可求解；②根据图象的最值即可求解.

【详解】(1)解：当x=2时，m=j；=2x|2-3|-l=l；

当x=7时，H=J?=2X|7-3|-1=7；

故答案为：1,7；

(2)解：根据表中数据，描点，连线如图所示：

(3)解：①根据函数图象可得，当X23时，函数值随自变量的增大而增大;

故答案为：＞3;

②根据函数图象可得，若关于x的方程2卜-3卜1=“没有实数根，

则了=2,-3|-1与尸。没有交点,

•.•y=2忖一3卜1的最小值为_1,

，。＜-1时，方程21-3卜1=。没有实数根,

故答案为：a<—\.

易错题型八一次函数与不等式

例题：如图，直线了=h+6交坐标轴于，(-3,0)、8(0,1)两点，则不等式-履-6>0的解集为()

A.x>-3B.x>3C.x<-3D.x<3

【答案】C

【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求-h-6>0的解集，即为履+分<,就是求函数值小于0时，x

的取值范围，解题时应结合函数和不等式的关系找出正确的答案.

【详解】•••要求-质-6>0的解集，即为求履+6<0的解集，

.•・从图象上可以看出等了<0时，x<-3,

故选：C.

巩固训练

1.如图，已知一次函数了=履+6的图象经过点48,0)和点2(0,-6),那么关于x的不等式依+方>0的解集

是()

A.x>8B.x<8C.x>-6D.x<-6

【答案】A

【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，首先利用图象可找到图象在x轴上方时x>8,进而

得到关于x的不等式就+6>0的解集是x>8.

【详解】由题意可得：一次函数了=h+6中，了>0时，图象在x轴上方，x>8,

则关于x的不等式kx+b>0的解集是x>8,

故选：A.

2.一次函数的图象如图所示，观察图象回答问题：当x=0时，y=,当X时，了>0,当

X时，y<3.

【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象和性质、函数图象解不等式等知识,

根据一次函数的性质结合函数图象，按要求逐步求解即可得到结论.正确地识别图象是解题的关键.

【详解】解：观察图象:

当x=o时，是图中一次函数图象与y轴交点的纵坐标，则y=3；

y>0,是指一次函数图象在X轴上方图象，则此情况x<2；

是指一次函数图象在直线y=3下方图象，也就是y轴右侧的一次函数

图象，则此情况X>O;

故答案为：3,<2,>0.

3.已知函数歹=船+6的图象，利用图象回答下列问题:

⑴直接写出方程区+8=0的解；

(2)直接写出不等式履+b>0的解集；

(3)若0Vy<4,直接写出x的取值范围.

【答案】⑴x=_2

(2)x>-2

(3)-2<x<0

【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数图象解不等式，

(1)根据图示，x=-2时，y=0,结合图象可求解；

(2)根据图示，当x>-2时，图象在x轴上方，由此即可求解；

(3)根据图示，结合(2)的结果，当-24尤<0时，满足条件，即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，当久=2时，了=0,

■■-kx+b-0的解为％=2；

(2)解：根据图示，当x>-2时，图象在x轴上方，即y>,

二不等式依+6>0的解集为尤>-2；

(3)解：由(2)可得，当x2-2时，了20,当x=0时，y=4,

—2«x<0时，0<y<4.

易错题型九一次函数与反比例函数

例题：己知一次函数必=h+6与反比例函％=一在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，x的

X

取值范围是()

A.x<—1B.一l<x<0或x>3

C.x<-l或0<x<3D.—1<x<3

【答案】C

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，掌握函数与不等式的关系是解答关键.

根据图象确定出它们的交点，利用交点坐标来确定出不等式的解集.

【详解】解：由图象可知，一次函数与反比例函数的交点是（-1,3）和（3,-1）,

所以当x<-l或0<x<3时，%

故选：C.

巩固训练

1.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药

物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当44xwio时，y与x成反比例）.血液

中药物浓度不低于6微克毫升的持续时间为（）

AK微克室升）

7]6

A.—B.3C.4D.—

33

【答案】A

【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用>=6分别得出x的值，进而得出答案.

【详解】解：当0g4时，设直线解析式为：y=kx,

将（4,8）代入得：8=4左，

解得：k=2,

故直线解析式为：y=2x,

当4<x<10时，设反比例函数解析式为：夕=-，

X

将(4,8)代入得：8=£,

4

解得：。=32,

故反比例函数解析式为：》=丝32；

X

因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x(0<x<4),

下降阶段的函数关系式为y=J32(4<x<10).

当y=6,则6=2%,解得：x=3,

当尸6,贝！J6=%，解得：1=工

,•,"一3=二(小时)，

33

一7

・•・血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间§小时

故选4.

【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键.

一3

2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数必=1-2与反比例函数为=—的图象交于A,B两点,当

时，X的取值范围为.

【答案】T<x<0或x>3

【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题.根据一次函数的值小于反比例函数的值时,

一次函数图象在反比例函数图象的上方，可得自变量x的取值范围.

【详解】解：••・一次函数必=》-2的图象与反比例函数%=:的图象交于/(-1,-3)、8(3,1)两点，

根据图象可得，当时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，

■­•自变量x的取值范围是-l<x<0或x>3.

故答案为：-l<x<0或x>3.

3.如图，平面直角坐标系中，直线必=h+b分别与X,V轴交于点aB,与双曲线场=—分别交于点C,

X

。(点C在第一象限，点。在第三象限)，作CELx轴于点E,。4=4,OE=OB=2.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)当必〉％时，求x的取值范围；

(3)在〉轴上是否存在一点J使邑政>=邑尊。？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)%=£

X

(2)x>2或-6<x<0

⑶〔吟或陷

【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用绝对

值的方法确定版的长度，

(1)在RtANOB中，。/=4,OE=OB=2,再用待定系数法即可求解；

(2)求出点。坐标，观察函数图象即可求解；

(3)设点尸的坐标为(0J),则4cEP=；CExOE=gx2x3=3,

5搭防=：8尸'。4=：|2-力*4=2|2-力=3，即可求解.，

【详解】(1)在RtA408中，。4=4,OE=OB=2,

故点48的坐标分别为(-4,0)、(0,2),

[6=2

将点42的坐标代入直线必=区+6的表达式得，八“八，

[0=-4左+/?

/口k=-

解得：，2

b=2

故直线AB的表达式为夕=；X+2；

当x=2时，y=gx+2=3,

.・•点C的坐标为(2,3),

将点C的坐标代入反比例函数表达式得3=5，

解得：m=6,

故反比例函数的解析式%=9;

X

(2)•.•直线6分别与x,»轴交于点4B,与双曲线%=—分别交于点C,D,

X

'1c

y=—x+2

2

・••联立(，

6

y=-

IX

•・•点。在第一象限，点。在第三象限，

•e•点。坐标为

观察图象知，当时，x的取值范围是1>2或—6<x<0；

(3)设点尸的坐标为(0/),

则ScE°=gcExOE=；x2x3=3,

十PxO/=j2T|x4=2|2T|=3,

解得：「=彳1或:7，

22

点尸的坐标［。，£|或

易错题型十一次函数应用之分配方案问题

例题：甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论数量多少，价格均为6元/kg,在乙批发店,

一次购买数量不超过20kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过20kg时，超过部分的价格为5元/kg.设

小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg(x>0).

(1)设在甲批发店花费必元，在乙批发店花费%元，分别求必，%关于x的函数解析式:

(2)若只在一个批发店购买，你认为在哪家更划算？

7x(0<x<20)

【答案】(1)M=6尤,%=<

5x+40(x>20)

⑵当x<40时，到甲批发店购买更划算；当x=40时，甲、乙两个批发店购买一样划算；当x>40时，至IJ乙

批发店购买更划算

【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式，

对于(1),甲批发店根据数量乘以单价可得关系式，乙批发店分两种情况：0<xW20,x>20,可得关系

式；

对于(2),分三种情况计算讨论即可.

【详解】(1)解：根据题意得：”=6x；

当0<xW20时，%=7x；

当x>20时，乂=7x20+5(x-20)=5x+40,

_(7x(0<x<20)

‘%一［5x+40(x>20)；

(2)解：设他在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg,根据题意得，6尤=7x20+5(x-20),

解得x-40,

当尤<40时，到甲批发店购买更划算；

当x=40时，甲、乙两个批发店购买一样划算；

当x>40时，到乙批发店购买更划算.

巩固训练

1.为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，

按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区.因而我县高考全部安排在祥云一中进行,

执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正.据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约

700人，经过研究，学校决定租用/、3两种型号共30辆客车作为交通工具将师生载至目的地.下表是租

车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：(注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生

的人数)

型号载客量租金单价

A34人/辆850元/辆

B19人/辆500元/辆

（1）设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数解析式及自变量》的取值范围；

（2）请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用.

2

【答案】（1）>=350X+15000（8J<X<30,且x为整数）

（2）当租用A型号客车9辆，8型号客车21辆时，租车费用最低，最低费用为18150元

【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次一不等式组，根据题意列出函数关系式以及熟练掌握一

次函数增减性是解题的关键，

'x>0

（1）根据题意，可得函数关系式，根据30-x>0,即可求自变量取值范围；

34x+19（30-x）>700

（2）在自变量取值范围内根据一次函数增减性即可求出最低费用及其方案.

【详解】（1）解：设租用A型号客车x辆，则租用3型号客车（30-x）辆，

由题意得：y=850x+500（30-x）=350x+15000,

即y与X的函数解析式为：y=350x+15000,

'x>0

2

由题意得：30-x>0,解得：8-<x<30,

34x+19（30-x）>700'

2

即自变量x的取值范围为8§WxW30,且x为整数；

2

（2）解：由（1）得：费用为y=350x+15000（8-<x<30,且x为整数）

,.,左=350>0,

•,J随x的增大而增大，

.•.当x=9时，费用了最小，

最低为^=350x9+15000=18150（元），

答：当租用A型号客车9辆，3型号客车21辆时，租车费用最低，最低费用18150元.

2.周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元.为满足客户需求，该杨梅

园现推出两种不同的销售方案：

甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；

乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按

原价收费，超过部分按原价的五折收费.

设张洋的采摘量为x(x>0)千克，按甲方案所需总费用为乂元，按乙方案所需总费用为％元.

(1)当采摘量超过10千克时，分别求出M、%关于x的函数表达式；

(2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由.

【答案】(1)弘=28x+30,y2=20x+200

(2)选择乙方案更划算，见解析

【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键.

(1)根据甲、乙收费方案即可求解；

(2)令x=30,分别求出必，%,即可进行判断.

【详解】(1)解：由题意得：必=40X0,7X+30=28X+30,

y2=40xl0+40x0.5(x-10)=20x+200；

(2)选择乙方案更划算

理由：当x=30时，

必=28x30+30=870,

y2=20x30+200=800.

­,•870>800,

••・选择乙方案更划算.

3.计划将甲、乙两厂的生产设备运往42两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，/地需70台，B

地需30台，每台设备的运输费(单位：百元)如表格所示，设从甲厂运往/地的有x台