中考数学解题方法专项训练：圆之三角形的内切圆（原卷版+解析）

39第7章圆之三角形的内切圆

一、单选题

1.若的外接圆半径为R,内切圆半径为小则其内切圆的面积与的面积比为（

nr7tr7ir7ir

A.B.---------C.-----------D.---------

2r+2R2R+r4R+2r4R+r

2.如图，。。是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点区F,D,P是DF上一点，则NE尸产

的度数是（）

A.65°B.60°C.58°D.50°

3.如图，已知矩形A5CD的周长为16,。石和。尸分别为AA3C和AADC的内切圆，连接AE,CE,

AF,CF,EF,若鼻邈邈竺=；,则石尸的长为（

)

A.3后B.2币C.2不D.4出

4.如图，AABC中，AB=3,AC=6,NA=90°,点。在AABC内，且。8平分NABC,DC平分NACB,

过点。作直线PQ,分别交A3、AC于点尸、Q,若AAPQ与AA3C相似，则线段PQ的长为（）

D

35

A.5B.——C.5或—D.6

66

5.正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为6：2,则这个多边形的内角和为（）

A.720°B.360°C.240°D.180°

二、填空题

6.如图，在MA43C中，ZC=90°,AC=8,BC=6,。。为A43C的内切圆，OA,03与。。分

别交于点。，E.则劣弧OE的长是.

7.如图，△ABC的内切圆。。与3CC4,A3分别相切于点。,E,尸，且A5=5,5。=13,C4=12,

则阴影部分的面积为（结果保留万）.

8.若△ABC的三边长为3、4、5,则△ABC的外接圆半径R与内切圆半径厂的差为

9.如图，O。是四边形A3CD的内切圆，连接。4、OB、OC，OD.若NAO3=108°,则NCOD的

度数是____________

10.如图，将边长为8的正方形纸片A3CD沿着所折叠，使点C落在A3边的中点/处。点。落在点OC

处，与A£）交于点G,则AAMG的内切圆半径的长为.

三、解答题

11.已知：AABC.

问题一：请用圆规与直尺（无刻度）直接在AA3C内作内切圆，（要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求

写画法）

问题二：若AA3C的周长是24,AA3C的面积是24,,求AA3C的内切圆半径.

12.已知：如图，ZkABC三边BC=a,CA=b,AB=c,它的内切圆。的半径长为r.求△ABC的面积S.

13.已知：如图，。。是R3ABC的内切圆，ZC=90°.

(1)^AC=12cm,BC=9cm,求。O的半径r；

⑵若AC=b,BC=a,AB=c,求。O的半径r.

14.(特例感知)

(1)如图(1),NABC是。。的圆周角，8C为直径，8。平分NABC交0。于点。，CD=3,BD=4,

求点。到直线AB的距离.

(类比迁移)(2)如图(2),NA5C是0。的圆周角，BC为0。的弦，BD平分NABC交于点D,

过点D作。EL3C,垂足为点E,探索线段AB,BE,8C之间的数量关系，并说明理由.

(问题解决)(3)如图(3),四边形ABC。为。。的内接四边形，NA3C=90°,BD平分NA5C,BD=772.

AB=6,求△ABC的内心与外心之间的距离.

B

图⑴图⑵图⑶

is.如图i,在平面直角坐标系中，边长为1的正方形。13。的顶点3在y轴的正半轴上，。为坐标原点,

现将正方形Q48C绕点。按顺时针方向旋转，旋转角为夕（0°<6><45°）

（1）当点A落到V轴正半轴上时，求边3C在旋转过程中所扫过的面积；

（2）若线段与y轴的交点为"（如图2）,线段3c与直线y=x的交点为N,当8=22.5°时，求

此时ABMN内切圆的半径；

（3）设AMVe的周长为/,试判断在正方形Q钻C旋转的过程中/值是否发生变化，并说明理由.

16.如图所示，等腰八45。，AB=AC=5,BC=6,求三角形的内切圆0。的半径R.

17.阅读材料：己知，如图（1）,在面积为S的/ABC中，8C=a,AC=b,A3=c,内切圆。的半径为r连接

0A,OB、0C,Z48C被划分为三个小三角形.

S=SROBC+S^OAC+SAOAB^^BCr+^ACr+^ABr=^(a+b+c)r

2S

r-----------

a+b+c

(1)类比推理：若面积为S的四边形ABC。存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图(2),各边长分别为

AB-a,BC-b,CD=c,AD=d,求四边形的内切圆半径r；

(2)理解应用：如图(3),在等腰梯形A8CD中，AB^DC,AB=21,CD=H,AD=13,0。/与。。2分别为

r,

△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为ri和厂2,求,的值.

r2

18.如图所示，在中，ZC=90°,AC=3,BC=4

(1)求NBQ4.

(2)求ZkABC内切圆半径.

39第7章圆之三角形的内切圆

一、单选题

1.若R以ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为广，则其内切圆的面积与的面积比为()

7ir7tr7ir7ir

A.---------B.--------C.---------D.--------

2r+2R2R+r4R+2r4R+r

【答案】B

【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：。5=。尸=r,4石=47=私3/=56=",结合勾股

2

定理可得：mn=2Rr+/,再求解直角三角形的面积S^ACB=^m+r)(n+r)=2/?r+r,从而可得直角三

角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比.

【详解】解：如图，由题意得：ZACB=90°,AB=2R,

OXE=O1F=O]G=r,

由切线长定理可得：

CE=CF=r,AE=AG.BF=BG,

设AE=AG=m,BF=BG=n,

.\(m+r)2+(n+r)2=(m,m+n=2R,

.,.mzz=(m+zz)r+r2,

/.mn=2/?r+r2,

而口⑦=；（加+「）（〃+「）=；（

mn+mr+nr+r2

二;(2Hr+/+2/?r+r2

=2Rr+r2

1

Soo】_兀r_兀丫

2

S△ADRCr2Rr+r2R+r

故选B.

【点评】本题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆，切线长定理，勾股定理的应用，掌握以上知识

是解题的关键.

2.如图，。。是等边△ABC的内切圆，分别切AB,BC,AC于点E,F,D,尸是上一点，则/EPE

的度数是（）

C.58°D.50°

【答案】B

【分析】连接OE,OF.求出/EOF的度数即可解决问题.

【详解】解：如图，连接OE,OF.

是△ABC的内切圆，E,F是切点,

AOEXAB,OF±BC,

.,.ZOEB=ZOFB=90°,

AABC是等边三角形，

.*.ZB=60°,

/.ZEOF=120°,

.\ZEPF=—ZEOF=60°,

2

故选：B.

【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本

知识，属于中考常考题型.

3.如图，已知矩形ABCD的周长为16,OE和。R分别为AA3C和AADC的内切圆，连接AE,CE,

AF,CF,EF,若个边形隹叱=：,则防的长为（）

3矩7

A.3行B.2A/3C.2币D.473

【答案】B

【分析】

设AB=x,BC=y,内切圆半径为r,由矩形的对称性知S四边形的废=S四边形ADCF，结合直角三角形内切圆半径

与三角形面积间的关系得到X、y、r的关系式，再由个边形AECF=；推导出X、y、r的关系，从而分别求出

r,xy、f+y2的值，最后由勾股定理求得EF值.

【详解】

如图，设AB=x,BC=y,内切圆半径为r,则AC=1炉+j?

•••矩形A3CD的周长为16,

x+y=8①

,/QE和。尸分别为AA3C和AADC的内切圆，

12

•*-5AA5c=—xy=—{x+y+^x+yyr®

由矩形的对称性知S四边形A3c石二S四边形AC，

..S四边形AECA_3

S矩7

.2s四边形ABCE_4

••，

v7

©矩形ABC。/

c/11、

.2%犷+彳”)4

,•NN_，

xy7

(%+y)r4…

即1一2二③

xy7

由①、②、③联立方程组，解得：

r=l,xy=14,x2+y2=36,

作EHLFH于H,由勾股定理得:

EF-=EH2+FH2

=(x-2)2+(y-2)2

=x2+j2-4(x+y)+8

=36-32+8

=12,

；.EF=25

故选：B.

【点评】

本题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形内切圆半径与面

积、周长间的关系是解答的关键.

4.如图，AABC中，AB=8,AC=6,NA=90°,点。在AABC内，且。8平分NABC,DC平分ZACB,

过点。作直线PQ,分别交46、AC于点尸、Q,若AAPQ与AA3C相似，则线段PQ的长为()

A.5B.—C.5或—D.6

66

【答案】B

【分析】分△APQsaABC,△APQs^ACB两种情况，结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.

【详解】解：若△APQs^ABC,

.*.ZAPQ=ZABC,

APAQPQ

・・・PQ〃BC,——==

ABACBC

AZPDB=ZDBC,

•「BD平分NABC,

AZPBD=ZCBD,

・・・NPBD=NPDB,

・・・PB=PD,同理，DQ=CQ,

・・・AB=8,AC=6,ZA=90。，

・・・BC工席*=10,

、“3gAPAQ,口APAB4

设AP=x,根据罚=就得而=益=*

,3

••AQ二一x,

4

.’3

・・PB=PD=8-x,CQ=DQ=6-—x,

7

.*.PQ=PD+QD=l4--x,

7

APPQ14-X

：.——,即an尤4

ABBC

810

解得:x=—,

3

35

..PQ=—；

o

若AAPQ^AACB,

由题意知：D为△ABC的内心，设△ABC的内切圆交AB于M,交AC于N,

可知四边形AMDN为正方形,

JZA=ZAMD=ZAND=ZMDN=90°,

・・・AM〃DN,AN//DM,

AZMPD=ZNDQ,NMDP=NNQD,

AMPD^ANDQ,

MPMD

~ND~~NQ

VAB=8,AC=6,BC=10,

6+8—10

ADM=DN==2,

2

二•AM=AN=2,

x2

设PM=x,则不=访，

4

・・・NQ=一,

..AP_AQ-+2

即x+2

•AC-ABX__

~~6~8

3

解得:x=7或-2（舍）,

2

,37

••AP=—F2=一,

22

综上：PQ的值为二.

6

故选B.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内切圆，角平分线的定义，有一定难度，解题的关

键是将三角形相似分两种情况讨论.

5.正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为6:2,则这个多边形的内角和为（）

A.720°B.360°C.240°D.180°

【答案】A

【分析】设AB是正多边形的一边，OCLAB,在直角AAOC中，利用三角函数求得NAOC的度数，从而

求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，求出边数，根据内角和公式即可求出多边形的内

角和.

【详解】如图:

•••正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为6：2，

半径之比为百:2,

设AB是正多边形的一边，OCLAB,0C=百k,0A=0B=2k，

在直角AAOC中，cos/AOC=^=显,

AO2

/.ZAOC=30°,

ZAOB=60°,

则正多边形边数是：二360°匕=6,

60°

多边形的内角和为:（6-2）x180°=720°,

故选：A.

【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、

以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算.

二、填空题

6.如图，在心A43C中，ZC=90°,AC=8,BC=6,。。为A43C的内切圆，0A,05与。。分

别交于点。，E.则劣弧OE的长是.

【分析】先利用勾股定理计算出AB=10,再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到

6+8-10

OD==2,接着三角形角平分线的性质得到ZAOB=135°,然后根据弧长公式计算劣弧DE的长.

2

【详解】解：•.•NC=90。，AC=8,BC=6,

AB=V62+82=10，

•.•0。为△ABC的内切圆,

=2,平分NBAC,QB平分NABC,

2

ZAOB=90°+-ZC=90°+-x90°=135°,

22

135x»x23

•・.劣弧。石的长=------------=-71.

1802

........3

故答案为一乃.

2

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三

角形顶点的连线平分这个内角.也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式.

7.如图，AABC的内切圆。。与5C,C4,A3分别相切于点。，及尸，且A5=5,5。=13,CA=12,

则阴影部分的面积为（结果保留兀）.

【答案】26—2%

【分析】

先根据勾股定理的逆定理得出AABC是直角三角形，再设。。的半径为r,根据三角形的面积公式得出r

的值，然后根据正方形的判定与性质、扇形的面积公式、三角形的面积公式即可得.

【详解】

...AB=5,BC=13,G4=12

：.AB2+C^=AB2

AABC是直角三角形，且NA=90°

设O。的半径为r,则00=0石=OF=厂

・•・内切圆0。与5C,C4,AB分别相切于点。，石，尸

OD±BC,OE±C4,OF±AB

..v=V+V+V

•°AABC_uAOBC丁°AOACTUQAB

:.-ABAC=-BCOD+-CAOE+-ABOF

2222

BP—x5xl2=—xl3r+—xl2r+—x5r

2222

解得r=2

又・・・O£，C4,OF_LAB,NA=90。

二.四边形AEOF是矩形，NEO尸=90。

•：OE=OF

二.矩形AEOF是正方形

1

贝JS阴影—S^ABC—S®+S扇形尸—S0A£。尸+S扇形EOF

=-AB-AC-7vr2+^^--—OEOF+^^-

2360360

f5x12一22x"年907x2?

—2x2+

360

=26—2乃

故答案为：26—2兀.

【点评】

本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点,

掌握三角形内切圆的性质与扇形的面积公式是解题关键.

8.若△ABC的三边长为3、4、5,则△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差为

3

【答案】一

2

【分析】先证明△ABC为直角三角形，然后可知外接圆的半径为斜边的一半，然后求出内切圆的半径，即

可得到答案.

【详解】解：如图所示：连接DF,EF.

•.•32+42=52,

AABC为直角三角形.

它的外接圆的半径为：R=工义5=9.

22

：AB是圆的切线，DF是圆的半径，

ADFXAB.

同理EF_LBC.

ZFDB=ZDBE=ZBEF=90°.

・・・四边形DBEF是矩形.

VDF=EF,

・•・四边形DBEF是正方形.

ADB=BE.

设圆F的半径为r,则4-r+3-r=5.

解得：r=l.

它的内切圆的半径为1.

3

故答案为：一.

2

【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆、外接圆，利用切线长定理列出方程是解题的关键.

9.如图，是四边形A3CD的内切圆，连接。A、OB、OC.OD.若NAO3=108°,则NCOD的

度数是.

【答案】72°

【分析】如图，设四个切点分别为点瓦凡G,H,分别连接切点与圆心，可以得到4对全等三角形，进而

得到N1=N2,N3=N4,N5=N6,Z7=Z8,根据这8个角和为360。，/1+/8=NAO3=108°,

即可求出NCOD=/5+N4=72°.

【详解】解:设四个切点分别为点及凡GH,分别连接切点与圆心，

则OELAB,OF±CB,OG1CD,07/，AD且OE=O尸=OG=O〃，

在RtABEO与RtABFO中

OE=OF

OB=OB

RtABEO^RtABFO,

/.N1=N2,

同理可得：Z3=Z4,N5=N6,Z7=Z8,

ZCOD=Z4+Z5=1(Z3+Z4+Z5+Z6)=([360°-(Zl+Z2+Z7+Z8)]

=-[3600-2(Z1+Z8)]=-[3600-2x108。]=72°.

22

故答案为：72。

【点评】本题考查了切线的性质，添加辅助线构造全等等知识点，一般情况下，已知直线为圆的切线，构

造过切点的半径是常见辅助线做法.

10.如图，将边长为8的正方形纸片A3CD沿着所折叠，使点。落在边的中点/处。点。落在点OC

处，与AD交于点G,则AAMG的内切圆半径的长为.

4

【答案】一

3

【分析】由勾股定理可求ME=5,BE=3,通过证明△AMGs/XBEM,可得AG=—，GM=—,即可

33

求解.

【详解】解：•••将边长为8的正方形纸片ABCD沿着所折叠，使点C落在A3边的中点加处,

1,

：.ME=CE,MB=-AB=4=AM,DD^IE=90°,

2

在RtAMBE中，ME2=MB2+BE2,

/.ME2=16+(8-ME)2,

.\ME=5,

；.BE=3,

:律血E=DAB=90°=ZB,

Z.ZEMB+ZBEM=90°,WMB+AMD^=90°,

：.7AMD^?BEM,5.7GAM8=90°,

AAMG^ABEM,

AMAGGM

BEMBME

4AGGM

345

1620

.\AG=—,GM

33

AG+AM-GM4

：.AAMG的内切圆半径的长=

23

4

故答案为:

【点评】本题考查三角形内切圆和内心、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三

角形的判定和性质求出AG、GM的长度.

三、解答题

11.已知：AABC.

问题一：请用圆规与直尺（无刻度）直接在AA3C内作内切圆，（要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求

写画法）

问题二：若AA3C的周长是24,AA3C的面积是24,,求AA3C的内切圆半径.

【答案】（1）见解析；（2）r=2

【分析】（1）先作/B和NC的平分线交于点0,再过点。作0HLAB于H,然后以点0为圆心，0H为

半径作圆即可;

(2)连结0A、OB、0C,作0DXAB于D,0E±BC于E,0F±AC于F,根据切线的性质得0D=0E=0F=r,

则利用SAABC二SAAOB+SAOBC+SAOAC得至!J—*r•ABH—•r*BCH—•r*AC=24,变形得到一r(AB+BC+AC)

2222

=24,然后把周长为24代入计算即可得到r的值.

【详解】解：（1）如图，。。为所求作的AABC的内切圆;

■

七

图1

（2）解：如下图，连结OA、OB、0C,作OD_LAB于D,OE_LBC于E,OF_LAC于F,

设它的内切圆的半径为r,贝|OD=OE=OF=r,

A

,**SAABC=SAAOB+SAOBC+SAOAC,

•111

..一AB+—•r・BC+—»r*AC=24,

222

・•・—r(AB+BC+AC)=24,

2

/.—r<24=24,

2

/.r=2.

即AABC的内切圆的半径为2.

【点评】本题考查了如何作三角形的内切圆与求三角形内切圆的半径，在作内切圆的时先要明确如何确定

三角形的内心，即三角形三个内角角平分线的交点，以及三角形的内心到三角形三边的距离是三角形内切

圆的半径，掌握以上要点是完成作图的关键；三角形的内心到三角形三边的距离相等和切线的性质，是解

答第(2)小题，建立等式的关键.

12.已知：如图，AABC三边BC=a,CA=b,AB=c,它的内切圆。的半径长为r.求△ABC的面积S.

【答案1S=—(a+b+c)r

【分析】设4ABC与。O相切与点D、E、F.连接0人、。8、。(2、0口、0£、(^,根据$“1^=$“0]3+$30]^+540人0

即可求解

【详解】如图，设△ABC与。。相切与点D、E、F.连接OA、OB、OC、OD、OE、OF.

贝！JOD±AB,OE±AC,OFXBC.

SAAOB=—AB«OD=—cr,同理，SAOBC=—ar,SAOAC=—br.

2222

SAABC=SAAOB+SAOBC+SAOAC,即S=-cr+—arH—br=—(a+b+c)r

2222

【点评】本题考查了三角形的内切圆的计算，正确作出辅助线，把△ABC的面积的计算分解成几个三角形

的面积的计算是关键.

13.已知：如图，。。是RSABC的内切圆，ZC=90°.

(1)若AC=12cm,BC=9cm,求。O的半径r；

⑵若AC=b,BC=a,AB=c,求。O的半径r.

【答案】(1)r=3cm.(2)r=：(a+b-c).

【分析】首先设AC、AB、BC与。O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切

线长定理可得：CD=CF=—(AC+BC-AB),由此可求出r的长.

2

【详解】(1)如图，连接OD,OF；

在RtAABC中，ZC=90°,AC=12cm,BC=9cm；

根据勾股定理AB=^/AC2+BC2=15cm；

四边形OFCD中，OD=OF,ZODC=ZOFC=ZC=90°；

则四边形OFCD是正方形；由切线长定理，得：AD=AE,CD=CF,BE=BF；

贝|CD=CF」(AC+BC-AB)；

2

即：r=—(12+9-15)=3cm.

2

(2)当AC=b,BC=a,AB=c,由以上可得：CD=CF=—(AC+BC-AB)；

2

即：r=L(a+b-c).则。O的半径r为：—(a+b-c).

22

【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法.利用切线长定理得出四边形OFCD是正方

形是解题关键.

14.（特例感知）

（1）如图（1）,NA3C是。。的圆周角，8C为直径，8。平分NA3C交0。于点。，CD=3,BD=4,

求点D到直线AB的距离.

（类比迁移）（2）如图（2）,NA5C是0。的圆周角，BC为0。的弦，8。平分NA3C交0。于点。，

过点。作。EL3C,垂足为点E,探索线段AB,BE,BC之间的数量关系，并说明理由.

（问题解决）（3）如图（3）,四边形A8C。为。。的内接四边形，//43。=90°，8。平分/43。，BD=16，

AB=6,求AABC的内心与外心之间的距离.

B

图(1)图(2)图⑶

【答案】(1)y(2)AB+BC=2BE,理由见解析；(3)有.

【分析】(1)如图①中，作上_LAB于歹，DEL3C于E.理由面积法求出。石，再利用角平分线的

性质定理可得DF=DE解决问题；

(2)如图②中，结论：AB+BC=2BE.只要证明=ADEC(A&4),推出AF=CE,

RtABDF=RtABDE(HL),推出AF=虚即可解决问题;

(3)如图③，过点D作DFLBA,交BA的延长线于点F,DE±BC,交BC于点E,连接AC,作△ABCAABC

的内切圆，圆心为M,N为切点，连接MN,0M.由(1)(2)可知，四边形2瓦不是正方形，3。是对角

线.由切线长定理可知：3=6+10-8=4,推出02=5-4=1,由面积法可知内切圆半径为2,在

2

RtAOMN中，理由勾股定理即可解决问题；

【详解】解：(1)如图①中，作于P,DELBC于E.

图①

Q3Z)平分ZABC,DF±AB,DE1BC,

:.DF=DE，

3C是直径,

:./BDC=90°,

BC=+CD2=>/42+32=5，

­.--.BC.DE=-.BD.DC,

22

DE=—,

5

:.DF=DE^—.

5

12

故答案为《

(2)如图②中，结论：AB+BC=2BE.

理由：作£方_1出于R,连接A。，DC.

Q3D平分ZABC,DELBC,DF±BA,

:.DF=DE，/DFB=ZDEB=90。,

vZABC+ZADC=180°,ZABC+ZEDF=180°,

:.ZADC^ZEDF,

:.ZFDA=ZCDE,

-,'ZDFA=ZDEC=90°,

:.ADFA=M)EC(ASA),

：.AF=CE,

BD=BD，DF=DE,

RtABDF=RtABDE(HL),

：.BF=BE，

:.AB+BC^BF-AF+BE+CE^2BE.

(3)如图③，过点D作DF_LBA,交BA的延长线于点F,DE±BC,交BC于点E,连接AC,作小ABCAABC

的内切圆，圆心为M,N为切点，连接MN,0M.由(1)(2)可知，四边形8即尸是正方形，20是对角

线.

-：BD=142，

•••正方形BEDF的边长为7,

由(2)可知：BC=2BE—AB=8,

AC=A/62+82=10-

由切线长定理可知：+8=4,

2

,-.ON=5-4=l,

设内切圆的半径为乙

则一xrxl0+—xrx6+—xrx8=—x6x8

2222

解得r=2，

即M?V=2,

在RtAOMN中，OMZMN?+ON?=d展=下.

故答案为君.

【点评】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角

三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属

于中考压轴题.

15.如图1,在平面直角坐标系中，边长为1的正方形。1BC的顶点3在y轴的正半轴上，。为坐标原点,

现将正方形。钻。绕点。按顺时针方向旋转，旋转角为d(0°<6><45°)

(1)当点A落到y轴正半轴上时，求边3C在旋转过程中所扫过的面积；

(2)若线段与y轴的交点为"(如图2),线段3c与直线y=x的交点为N,当8=22.5。时，求

此时ABMN内切圆的半径；

(3)设AMM5的周长为/,试判断在正方形Q钻C旋转的过程中/值是否发生变化，并说明理由.

【答案】(1)-；(2)3—2后；(3)不发生变化，理由见详解.

8

【分析】(1)由题意当点A落到y轴正半轴上时，边5C在旋转过程中所扫过的面积

=S扇形085,+SbocB，-S^OBC-S扇形0CC，由此计算即可.

(2)如图2中，在Q4取一点E，使得EM=EO,首先证明AAEM是等腰直角三角形，推出AM=M，

T^AE^AM=X,则£M=EO=JIr，可得无+JIx=l，解得x=0—1，推出

BM=AB-AM=l-(y/2-l)=2-y/2,同理可得BN=2-夜，推出==2夜一2，设ABA/7V的

内切圆的半径为广，则有g(MN+BM+3N).r=；8M.BN,由此求出厂即可解决问题.

(3)在正方形Q4BC旋转的过程中/值不发生变化.如图3中，延长到E使得AE=QV.只要证明

AOAE^AOCN,推出OE=ON,ZAOE=ZCON,再证明AMOEnAMON,推出即f=推

出ABNM的周长

=MN+BM+BN=EM+BM+BN=(AM+BM)+(AE+BN)=(AM+BM)+(CN+BN)=2AB=2.

【详解】解：(1)如图1中，

由题意当点A落到y轴正半轴上时，边3c在旋转过程中所扫过的面积=S^OBB.+SAOCB.-&OBC-S扇形"C，

=S扇形OBB'-S扇形OCC，

_45•力•(点)245•日•产

360360

_兀

(2)如图2中，在。4取一点E，使得EM=E0,

ZAOM=22.5°,

ZEOM=ZEMO=22.5°,

ZAEM=NEOM+NEMO=45°,

是等腰直角三角形，

：.AM=AE，设==则於=£0=岳，

x+=1<

x=5^2-1,

:.BM=AB-AM=\-(y[2-l)=2-yf2,同理可得BN=2-&，

:.MN=®BM=2a-2,

设ABMN的内切圆的半径为广，

则有工(肱V+BM+BNArJ.BN,

22

._BM.BN=(2g=3一2近

MN+BM+BN2^/2-2+2-应+2-应

(3)在正方形Q4BC旋转的过程中/值不发生变化.

理由：如图3中，延长B4到E使得AE=C7V.

•：AE=CN,ZOAE=ZOCN=90°,OA=OC,

:.△OAEw'OCN,

:.OE=ON,ZAOE=ZCON,

\'ZMON=45°,

ZMOA+ZCON=ZMOA+ZAOE=45°,

ZMOE=ZMON,OM=OM,

:.AMOEvAMON,

的周长=肱7+91+BN=£M+BW+3N

=(AM+BM)+(AE+BN)=(AM+BM)+(CN+BN)^2AB=2,

:.ABNM的周长为定值.

【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内切圆、等腰直角三角

形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于

中考压轴题.

16.如图所示，等腰八钻。，AB=AC=5,BC=6,求三角形的内切圆O。的半径R.

c

3

【答案】R=-

2

【解析】作ADJ_BC,根据等腰三角形的性质可得BD的长，利用勾股定理可求出AD的长，即可求出4ABC

的面积，设△ABC的内切圆与△ABC各边的切点为E、F、G,根据54人1^=$4人08+$48℃+54人℃歹!］方程即

可求出R的值，可得答案.

【详解】在图（1）中，作AD_L3C,垂足为。

VAB=AC=5,BC=6,

；.BD=CD=3,

AD=7AB2-BD-=4,

S^BC=-BC-AD=12

在图（2）中，设八45。的内切圆0。切点分别为E、F、G,连接OA、OE、OB、OG、OC、OF,

AOEXAB,OG±BC,OF±AC,

・^AABC=^MBO+^ABCO+^MCO=—(AB+BC+AC)R

A12=1(5+5+6)x7?

⑴⑵

【点评】本题考查了三角形的内切圆、等腰三角形的性质，熟练掌握面积法求三角形内切圆的半径方法是

解题的关键..

17.阅读材料：已知，如图(1),在面积为S的/ABC中,8C=4,AC="A3二G内切圆0的半径为厂连接

OA.OB、OC,ZA8C被划分为三个小三角形.

1/7、

=

,SS'OBC+Sxonc+0AB=5BCr+—AC-r+—AB-r=—{a+b+c)r

a+b+c

CHDE------p7c

AJA

、、\

八?|Q•)1,\

----------^2D

(1)(2)(3)

(1)类比推理：若面积为S的四边形ABC。存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图(2),各边长分别为

AB-a,BC-b,CD=c,AD=d,求四边形的内切圆半径r；

(2)理解应用：如图(3),在等腰梯形A8C。中，AB〃DC,A