直线、平面垂直的判定与性质（解析卷）

专题31直线、平面垂直的判定与性质

【考点预测】

知识点1：直线与平面垂直的定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.

知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一1

个平面内的两条相a,bua

aLI

判断定理交直线都垂直，则>n/_L。

bU

该直线与此平面垂yacb=P

直

两个平面垂

直，则在一个平面a10

面_1面=线±acB=a

内垂直于交线的直>=0J-a

面bu/3

线与另一个平面垂7bla

直

一条直线与两_-a

/

平行平面中的一个_/

平行与垂直的a11P

平面垂直，则该直>n〃_L尸

关系a-La

线与另一个平面也

垂直

两平行直线中ab

平行与垂直的有一条与平面垂allb

>n。_La

关系直，则另一条直线aLa

与该平面也垂直

知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

abalia

垂直于同一平面au(3

性质定理

的两条直线平行ac0=b

文字语言图形语言符号语言

■a

垂直于同一

垂直与平行的a-La]

直线的两个平面\nal1/3

关系

平行

如果一条直

线垂直于一个平

线垂直于面的

面，则该直线与平/_Lua=>/_La

性质

面内所有直线都二

垂直

知识点4：平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂

直.（如图所示，若ec£=C，CE>_L/,且=AB,尸=,则aJ_4）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过b-l.a]

$=>a_L夕

另一个平面的垂bu队

线，则这两个平面

垂直

知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

两个平面垂直，aL(3

一

则一个平面内垂直ac0=a

-b}n〃_La

bu°

性质定理于交线的直线与另

一bla

一个平面垂直1

【方法技巧与总结】

判定定理)判定定理)

线,线<性质定理线_£面,性质定理面,面

(1)证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质(a_Lua=>a6)；

⑦平行线垂直直线的传递性(a_Lc,a//>=>b_Lc).

(2)证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定(a_L》,a_Lc,cu(z,Z?u(z,bcc=P=>aJ_a)；

③面面垂直的性质(a1B，ac0=b,a，b,aua=a1)3)；

平行线垂直平面的传递性(aJ_a,b//<7=>b_La)；

⑤面面垂直的性质(a_L7,a=/=>/_!_/).

(3)证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理Qa，B，aua=a，B).

空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位

置.

【题型归纳目录】

题型一：垂直性质的简单判定

题型二：证明线线垂直

题型三：证明线面垂直

题型四：证明面面垂直

【典例例题】

题型一：垂直性质的简单判定

例L（2022•江西•高三阶段练习（理））如图，在四面体A3CD中，AB1CD,AB=CD=1,BD=y/2,

BC=AD=也,则四面体中存在面面垂直关系的对数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】因为AB=1,BD=y/2,AD=C,所以AB?+即2=4兄所以的,助.XAB1CD,

BDcCD=D,BDu平面BCD,CDu平面BCD.所以AB_L平面BCD.

又ABi平面A5C,AB\平面的D,所以平面ABC_L平面BCD,平面ABD_L平面BCD.

因为CZ）=1,BD=^2,BC=^3,所以CO+B。？=3。2,所以⑺工加）.又CZ）_LAB,BDcAB=B,

BD_L平面ABD,AB_L平面ABD,所以CD_L平面ABD,又CDu平面ACO,所以平面ACDJ■平面ABD,

综上可知有3对.

故选：B.

例2.（2023・全国•高三专题练习）已知34是平面a内的两条直线，/是空间的一条直线，则

是“/口且/口”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当/_La时，4ua%ua,所以/_L且/_L/?；

当/用且34，《uc/ua,但34是否相交无法判断，所以Ua可能成立，也可能不成立.综

上，“/La”是“/，乙且的充分不必要条件.

故选：A.

例3.（2022•安徽省舒城中学三模（理））设加，〃是不同的直线，a,夕，/是不同的平面，则下面

说法正确的是（）

A.若a_L/,al/,则/?///

B.若a_L/,ml/a,则〃zJ■尸

C.若机_L&,m/1[3,则。_1_分

D.若加〃“，"ua,则机〃a

【答案】C

【解析】4由人,则分〃7或四7相交，错误；

B：由mlla,则相〃尸或相u/或私/?相交，错误；

C：由根//#,则存在直线/u£且/〃m，而机_Lc贝i]/_La,根据面面垂直的判定易知a，/?,正确；

D：由加〃*"ua,则机〃a或机ua,错误.

故选：C

例4.（2022•全国•高三专题练习（理））已知。是正方体A3C。-44GR的中心。关于平面A8C2的

对称点，则下列说法中正确的是（

A.QG与4c是异面直线B.0c〃平面ABC2

C.QQ±ADD.0]CJ平面

【答案】B

【解析】

Oi

连接A。、AC1，交于点o,连接AG、BR,交于点P.

连接AC、BD、、RC、0,0.

由题可知，a在平面4GC4上，所以qa与AC共面，故A错误；

在四边形。。。(中，OQ//CC且OQ=GC,所以四边形。0。。为平行四边形.

01cj/oc.

QOCu平面48c4，。60平面48<2，，。夕|〃平面48(&,故B正确；

由正方体的性质可得AG因为。4=00，所以又：0之口46=「，，与2，平

面Q4G，.•.玛DJOC，又•：BRHBD,

■而AD与8。所成角为45°,所以显然&G与AD不垂直，故C错误;

显然0C与。声不垂直，而O4U平面BDD4,所以QG与平面左不垂直，故Z）错误.

故选：B.

例5.（2023・全国•高三专题练习（文））如图，正方体ABCO-A4G2中，尸是4。的中点，则下列说

法正确的是（）

A.直线尸8与直线片。垂直，直线PB〃平面

B.直线尸B与直线QC平行，直线P3_L平面AG。

C.直线尸3与直线AC异面，直线PB_L平面

D.直线尸8与直线8Q相交，直线Mu平面ABG

【答案】A

【解析】连接AB2"2cB0；由正方体的性质可知2A="九尸是AQ的中点，所以直线尸3与

直线4。垂直;

由正方体的性质可知DBHDXBX,AB//RC,所以平面BD\〃平面,

又PBu平面8D4,，所以直线总〃平面4。。，故A正确；

以。为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1,而=&』,£|,麻=（0,1,-1）

显然直线尸8与直线2c不平行，故8不正确;

直线PB与直线AC异面正确，9=（1,0,0）,PBDA=^0,所以直线尸8与平面A£>G片不垂直，故C

不正确；

直线总与直线4A异面，不相交，故。不正确；

故选：A.

例6.（2021.浙江•高三专题练习）设如〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，则下列说法正

确的是（）

A.若机_L〃，n//a,则机_La

B.若m〃B，/3.La,则用_La

C.若机_L。，n邛,〃_La,则祖_LQ

D.若m_L〃,〃_L夕，P，\_a,则m.La

【答案】C

【解析】对于A,由根_1_几，九〃。可得m〃a或根与a相交或根_1_如故A错误;

对于3,由根〃£_La可得加〃1或加与a相交或加ua,故8错误；

对于C,由相_L"可得相〃小又〃_La,所以机_La,故C正确；

对于£）,由根_L〃，n±yS,p_La可得加〃a或m与a相交或mua,故。错误.

故选：C.

例7.（2022.四川.模拟预测（文））已知鬼，是两个不同的平面，/,用是两条不同的直线，有如下四个

命题：

①若2_L分,/_L/?,贝i"〃a；②若ml0,l〃m,lua,则a_L4；

③若a〃/3,mLa,lu8,贝｝|/_Lm；④若戊仆/?=九/〃a,则/〃加.

其中所有真命题的序号是（）

A.①③B.②③C.①②③D.②③④

【答案】B

【解析】①若尸，则/〃。或/ua,①错误；

②因为加，氏/〃机，所以/，月,又因为/ua,则由面面垂直的判定可得4，②正确；

③因为a〃民机_La,所以根_L〃，因为/u#,贝iJ/_Lm，③正确;

④若则/〃机或/，相异面，④错误.

故选：B

【方法技巧与总结】

此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除.

题型二：证明线线垂直

例8.（2023・全国•高三专题练习）如图，已知A3Q）和CDEF都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,

DC=3,EF=l,ZBAD=ZCDE=60°,二面角产-DC-3的平面角为60。.设M,N分别为AE,8C的中

点.证明：FN±AD

【解析】证明：过点E、。分别做直线DC、的垂线EG、斯并分别交于点G、H.

:四边形A3CD和EFCD都是直角梯形，

AB//DC,CD//EF,AB^5,DC^3,EF^1,ZBAD=ZCDE=60°,由平面几何知识易知，

DG=AH=2,ZEFC=ZDCF=ZDCB=ZABC=90°,则四边形所CG和四边形是矩形，，在用

△EGD和RtiJDHA,EG=DH=2>/3,

VDCLCF,DCLCB,且C尸cCB=C,

DC,平面BCEZBC「是二面角歹-DC-B的平面角，则/友万=60。，

是正三角形，由OCu平面ABCD,得平面平面3CR,

：N是BC的中点，AFN_L3C,又。C_L平面BC尸，RVu平面,可得FNJ_CD,而3CcCD=C,

FN_L平面ABCD,而ADu平面ABCD.・./W_LAD

例9.（2022・上海松江•二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，上4,平面43cO,

PA=AD=l,AB=y/3,歹是尸。的中点，点E在棱8上.

p

D

B

（1）求四棱锥尸-ABCD的全面积;

（2）求证：PEA.AF.

【解析】（1）,:BCHAD,4。工平面ABP,平面ABP,

：.BC±BP,：.ZPBC=90°,

同理可得NP£>C=90。，

••S全=S底+SVAB+SRPBC+SRPDC+SAPA。

=1X73+|X(1X^+1X2+^X73+1X1)=|+^I+^.

(2)：E4_L平面ABCD,CDu平面ABC。，ACDLPA.

又ABC。是矩形，.•.CDLAQ,

,：PAHAD=A,..(。_1_平面以。.

平面B4。，：.AF1,CD.

'：PA=AD,点尸是P£>的中点，：.AF±PD.

又CDC\PD=D,PDC.

平面PDC,：.PE±AF.

例10.(2023・全国・高三专题练习)已知空间几何体ABCDE中，△ACD与AABC均为等边三角形，平面

ACD_L平面ABC,BC=6,■BE=屈,Z>E=g,£)E〃平面^BC.求证：AC_L8D.

【解析】证明：取AC的中点M,连接

D

E

因为四。。与AABC均为等边三角形，所以AC，ZW,AC，8M,

又DMCBM=M,所以ACJ_平面

Q3£>u平面所以AC_L5£>.

例11.（2022•黑龙江・哈九中三模（文））如图，在三棱柱ABC-ABG中，CCJ平面ABC,AC±BC,

AC=BC=2,C£=4,点。，£分别在棱441和棱cq上，且4£>=1,CE=3,M为棱4月的中点.

(1)求证：C.M1BtD；

(2)求三棱锥4-OE耳的体积.

【解析】(1)：4弓=8©，

•/CC|_L平面ABG,CtMu平面A^iG,；.CG1CXM,•：BB\UCC\,；.BB1±QM,

,/BBlnA4=瓦，BBV4与u平面ABB^,

CM，平面44,g8,又耳。u平面ABgAI,

CXM1B.D,

(2)；CC|J_平面ABC,BCu平面ABC,.,.CG_L8C,

又・・・5C，AC,ACQCC^C,・・・5。，平面4。£4.

S^ADE=]X3X2=3,V%_DEBI=VB「ADE=gBCi■S^ADE=2

例12.（2022•全国•高三专题练习）如图，已知直三棱柱ABC-ABIG，0,M,N分别为线段BC,AA）,

8片的中点，尸为线段AG上的动点，M=16,AC=8.

若AO=：BC,试证C|N，CM；

【解析】在AABC中，

•••。为BC中点且AO=《BC,

2

AB±AC.

■：平面ABC1平面ACC0交线为AC,

AB_L平面ACC1A,ABLCM.

,：M,N分别为AA，8月的中点，

：.MN//AB.

：.CMA.MN.

在直角AAMC和直角△M&G中，

VAM=AM=8,AC=AiCl=8,

/.AAMC=,

：.CM=QM=464+64=8y/2,

2222

：.CM+CtM=128+128=16=CCj,

/.CM±QM,MNHQM=M.

CM±平面CtMN,C、Nu平面C\MN,

CM1C\N.

例13.（2022・全国•高三专题练习）如图，四棱锥尸一ABC。的底面ABC。是边长为2的正方形，PA=

PB=3.

【解析】证明：分别取AB,CD的中点E,F,连接尸E,EF,PF,

因为上4=尸3,所以

又因为AB||C。，所以CDLPE,

又因为CD_LE尸，PEcEF=E,所以CD_L平面尸EF,

因为尸产u平面P£F,所以CD_LPP,

在APa）中，因为尸尸垂直平分8,所以PC=PD,

又因为上4=PB,AD=BC,所以APADMAPBC,

从而可得"4D=NP8C；

例14.（2022•山东•肥城市教学研究中心模拟预测）如图，在三棱柱A8C-A与G中，平面ABC,平面

AA^B,AC=BC,四边形四反8是边长为2的菱形，ZBA4,=60°.

•.•△MB为正三角形，OA=OB-ABLOA,

又•••ocnoa=o,oc、OAu面AOC,面40c

又ACu面AOC,ABl^C

例15.（2022•浙江•模拟预测）已知梯形A3cD,A3〃CD,现将梯形沿对角线AC向上折叠，连接8D,

问:

若折叠前瓦）不垂直于AC,则在折叠过程中是否能使3。LAC?请给出证明;

【解析】假设折叠过程中能使8。，AC.

折叠前，假设DE_LAC,E为垂足，连BE,则BE与AC不垂直.①

折叠后，若FD_LAC,又与8E是平面BDE内的相交直线，

故人。_1平面瓦）E,又3Eu平面加电，从而有AC_L8E,

故折叠前也应有4CLBE②.显然，①与②矛盾.故假设不能成立.

即折叠过程中不能使_LAC.

例16.（2021.全国・高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCO是矩形，AB=2,BC=a,

PA_L底面A3co.

（1）当。为何值时，平面PAC?证明你的结论；

（2）若在BC边上至少存在一点M,使求。的取值范围.

【解析】（1）当a=2时，四边形ABC。为正方形，则3O_LAC.

因为PA_L平面A3cD,5£>u平面A3CD,

所以

又ACcR4=A,ACu平面PAC,Rlu平面PAC

所以8£>_L平面PAC.

故当a=2时，BD_L平面PAC.

（2）设M是符合条件的BC边上的点.

因为PA_L平面A3CD,DMu平面A3CD

所以

又PM1DM,PAcPM=P,B4u平面己4Af,平面PAAf

所以。0J_平面上4〃，

因为AMu平面上4〃，

所以ZW_LAAf.

因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点.

Ar）

贝。半径r=一>AB,即aZ4.

2

所以。€[4,+00）.

【方法技巧与总结】

三线合一（有等腰三角形就必用）

共面=>,勾股定理（题目中线段数据多）

其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）

异面=>考虑用线面垂直推导异面垂直=>找重垂线=>在重垂线对应平面内找垂直

题型三：证明线面垂直

例17.（2021•全国•高三专题练习（理））如图，三棱柱ABC—4SG的侧面BCGS是平行四边形,

BCiXCiC,平面AiCiCAL平面BCCiB,且E,尸分别是BC,45的中点.

BEC

（1）求证：BCiLAiC-

（2）求证：EP〃平面A/GCA；

AP

（3）在线段上是否存在点尸，使得BCiL平面Eb?若存在，求出不；的值；若不存在，请说明理

【解析】（1）证明：因为BG^GC，又平面AGC4,平面BCG耳，

且平面AG&4C平面BCQBi=GC,BC]U平面BCCXB{,所以2弓，平面ACC^.

又因为ACu平面AGC4,所以BG^AC.

（2）证明：取AG中点G,连FG,连GC.

在AA4G中，因为尸，G分别是人由，4G中点，

所以FG//BC，且FG=；4G.

在平行四边形BCC由中，因为E是BC的中点，

所以EC//BC，且EC=g4£.

所以EC〃FG,且EC=FG.

所以四边形FECG是平行四边形，所以FE//GC.

又因为庄仁平面AGa，GCu平面A£C4,所以所〃平面AGC4.

（3）在线段A8上存在点尸，使得BG，平面EFP.

取A3的中点P,连PE,连尸八

因为80，平面ACCH，ACu平面ACGA，CGu平面ACC、，

所以BCJAC,BQ±CG.

在AABC中，因为尸，E分别是A3,BC中点，所以PE〃AC.

又由（2）知FEUCG,所以BCt±EF.

由PEcEF=E,PE,EFu平面EFP,所以BG_L平面EFp.

AP1

故当点尸是线段AB的中点时，8和，平面跳P.此时三=：.

AD2

例18.（2022•山东•肥城市教学研究中心模拟预测）如图，圆台下底面圆。的直径为A3,C是圆。上异

于A,B的点，且NBAC=3O。，MN为上底面圆O'的一条直径，4c是边长为2班的等边三角形，MB=4.

证明：BC_L平面MAC；

【解析】•••A3为圆台下底面圆。的直径，C是圆0上异于A3的点,

故NACB=90°

又：NBAC=30°,AC=2A/3,

AB=4=MB

VAC=MC,BC=BC

^,ABC=^MBC,

/BCM=9(f

ABC.LMC,又・・・5C_LAC,AC?MCC,AC,MCu平面M4C

・•・BC_L平面M4c

.27r

例19.(2022•广东深圳•高三阶段练习)如图，在三棱柱ABC-A4G中，A4,_L平面ABC,=

且48=2^=244,,M为棱AG的中点.

求证：平面ABC；

【解析】方法一：取AC的中点N,连接B\M,BN,MN,B\N.

:8耳_L平面ABC,4。,8?/匚平面47?。，，84,4(^,BBt1BN.

27r1

•1•AB=BC=2AA,,ZABC=—,BN=-AB=A\=BB[,BN±AC,

又BB]CBN=B,BB「BNu平面BB]MN,

：.ACmBBxMN,且四边形2乌MV为正方形，又砌/u平面,

:.AC±BM,BM±BtN,

又ACnBN=N,AC,用Nu平面ABC，平面A4c.

方法二：取AC的中点N,连接B、M,BN,MN,B\N.

平面ABC,AC,BNu平面ABC,,2月，AC,BBJBN.

977"|

...AB=BC=2AA,,ZABC=—,BN=-AB=BB,,BNA.AC,

又BBQBN=B,BBpBNu平面BB]MN,

，AC，平面2片MN,且四边形22陷N为正方形，又ACu平面A^C,

平面AB。，平面2甲⑷V,又平面ABCn平面B为切V=B1N,BM±B.N,

，8W_L平面44c.

例20.（2023・全国•高三专题练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，AB=BC=l,DC=2,PD=PC,

ZDPC=90°,ZDCB=ZCBA=90°,平面即C_L平面A3C。.证明：尸D_L平面BBC

【解析】证明：由题设，BC±CD,又面尸£9_1面458,面PDC「面ABCD=CD,8Cu面ABCD,

所以8（7_1面尸。（7,而PDu面PDC,则3CJ_Pr>,

由/DPC=90。得：PCLPD,

又BCcPC=C,则P£）_L平面BBC.

例21.（2023・全国•高三专题练习）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。为矩形，平面

ABCO,点E在线段尸C上，「。_1平面8。£.证明：8。，平面/^3

【解析】证明：；以，平面ABCD,BDu平面ABCD

：.PA±BD.同理由PC_L平面可证得PC_L2D

XPAHPC=P,平面必C.

例22.（2022・四川成都.高三阶段练习（文））如图，在三棱锥尸-ABC中，已知平面ABC,ZS4C=90°,

。为PC上一点，且PC=3PD.

p

D

(1)若E为AC的中点，求三棱锥尸-ABC与三棱锥3-A⑦的体积之比；

(2)若24=2,AC=2五,证明：PC,平面

【解析】(1)由题意有-C

：E为AC的中点，S^ABE=^Z^ABC•

2

又PC=3PD,・,•点。到平面ABC的距离为］PA.

1121

X

,•VB—AED=^D-ABE=§*5,^AABC§PA=-S^ABC-PA.

V不^AABC,PA

•VP-ABC__5_________Q

••一―I—D.

VB-AED±S.PA

9Z\ADX^

三棱锥尸-ABC与三棱锥3-AED的体积之比为3:1

(2)证明：：PA，平面ABC,ABi平面ABC,

VZS4C=90°,AAC±AB.

VPA^\AC=A,PA,ACu平面PAC,

/.AB_L平面PAC.

又PCu平面PAC,APCI.AB.

在Rt^PAC中，由Bl=2,AC=2也,得PC=@+(2用=2币.

,?巧2道

又PC=3PD,得PD=±PC=-.:.PD_/6.

33-----=-------=—

PA23

pA9、回PDPA

,:——=-^=—,J——=——.又ZAPD=/CPA,•••△m4s△z^c.

PC2上3PAPC

：.ZPZM=90°,即PC_LAD.

又ADcAB=A,AD,A3u平面AB。，PC_L平面ABD.

例23.(2022.全国•高三专题练习)如图，在四棱锥A-3cDE中，四边形BC£>E为菱形，AB=AD=3,

BD=26，AE=AC,点G是棱AB上靠近点8的三等分点，点尸是AC的中点.

(1)证明：D尸//平面CEG；

(2)点H为线段30上一点，设丽=r瓦5,若A”_L平面CEG,试确定r的值.

【解析】(1)证明：取AG的中点/,记8£>nCE=0,连接27,DI,GO,

在AACG中，F,/分别是AC,AG的中点，所以FI//CG,

同理可得0G,

又因为F/cD/=/,CGcGO=G,

所以平面GC0〃平面/FD,

又。Fu平面出D,所以。尸〃平面CEG；

(2)因为底面BCDE是菱形，所以OCJLOD,

因为AE=AC,BC=BE,所以AABC三AABE,则GC=GE,

又因为。是EC的中点，所以OCLOG,

因为OGcOD=O,所以OC_L平面ABD,又AGu平面ABD,

所以OC_LAG,即OC_LA5

因为AB=AD=3,BD=2^,所以cos/ABD="=走，

AB3

贝!1OG=y]BG2+OB2-2BG-OB-cosZABD=Jl+3-2xlx&x等=应,

则OG2+8G2=OB2,所以BGLOG,即ABLOG

又因为OCcOG=O,

所以AB,平面CEG,

若平面CEG,

则H与B重合.故t=0.

例24.(2022•江西宜春•模拟预测(文))如图所示的五面体ABCDE尸中，平面CDE产，平面ABCD,

四边形CDE尸为正方形，AB//CD,ZADC=ZBCD=120°,AB^2AD.

(1)求证：BO_L平面ADE；

(2)若AD=1,求多面体ABCDE产的体积.

【解析】证明：如图，因为即LOC,平面CDE尸，平面A8CD,

平面CDEFfl平面ABCD=£)C,Dfu平面CDE/，所以ED_L平面ABCD.

因为BDu平面A8CD,所以BDLED.

在△AB。中，因为ZA£»C=120。，故ZZMB=60。，不妨设AB=2AD=2,

所以由余弦定理，得BD2=AB2+AD2_2.AB-ADCOS600=3,则B£»=g,所以AD?+BD?=AB?,所

以4?_L3r),

又EDcAD=D,所以BD_L平面ADE.

(2)如图，若AD=1,则OC=CB=1,由(1)知8D_L平面ADE,所以为三棱锥3—ADE的高，

而三棱锥B-CDEF的高为点B到平面CDEF的距离，因为平面CDEF±平面ABCD，所以点B到平面CDEF

的距离就是点B到直线CD的距离1,

2

VEFABCD=VB-ADE+VB-CDEF='gX1X1X指+gX1X1X等=^.

例25.(2021・全国•模拟预测(文))如图，在正方体ABCr>-A四C|R中，ADi^AlD=E,CD^QD=F.

(1)求证：EFVBD-,

(2)在线段BG上，是否存在点使得BG，平面DEH?并说明理由.

【解析】(1)如图，连接AC,因为AgnAD=E,CE>,nC1£>=F,所以E,尸分别为AQ,Cj的中点,

所以所//AC,

y,AC±BD,所以EF_L8D.

D,

(2)如图，取BG的中点a,连接E”，DH,

因为AB,平面BCG4，所以ABL8G，又EHHAB、所以EHLBG.

因为BCJ/AD],AD,DE,所以3C]_L£)E.

因为EHnOE=E,所以BC|_L平面Am,

所以在线段BC上，存在点使得BG，平面面九

例26.(2022•江西九江•三模(理))如图1,矩形PABC中，PC=3石，PA=46,■0为PC上一点且

CD=2DP.现将△上4£＞沿着AD折起，使得PD_LBD,得到的图形如图2.

证明：PA_L平面PBD;

【解析】••,四边形R4BC为矩形，PC=30"=而且CD=2OP,

BD=VBC2+CD2=J（何+仅扃=3&

PDYBD,：.PB=\lBD2+PD2=J卜何+（商=庖

VAB=3>/3,PA=#，,­'.PB1+PA2=AB1）；.PA_LPB

:四边形R4BC为矩形，,R4_LPD

VPB^]PD=P,BB,PDu平面尸3D,PA_L平面PSD

例27.（2023・全国•高三专题练习（理））如图，在三棱锥尸-ABC中，AB=3C=2,

PA=PB=PC=AC=26,。为AC的中点.

p

证明：尸。_L平面ABC；

【解析】证明：连接。氏

法一：；A8=8C=2,AC=2^,AAB2+BC2=AC2,即AABC是直角三角形，

又。为AC的中点，Q4=O3=OC

又：PA=PB=PC,

：.APOA三NPOB三APOC

ZPOA=ZPOB=NPOC=90°.

POVAC,POLOB,OB[\AC^O,OB、ACu平面ABC

；.PO_L平面ABC.

法二：连接。B,「24=PC,。为AC的中点POLAC

因为A8=BC=2,尸A=P8=PC=AC=20

AB1BC,BO=y/2,PO=y/6：.PO2+OB2=PB2,，PO±OB

：.POLAC,PO±OB,OBC\AC=O,OB、ACu平面ABC.

；.PO_L平面ABC.

例28.（2022・全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD,底面ABCD为梯形，且BC=gAD,BC//AD,

等边三角形PC。所在的平面垂直于底面ABCD,BC±PD.求证：平面PCD；

【解析】证明：如图所示，取8中点。，连接尸0,

QVPCO是正三角形，。为CO中点，二/3。，。。

又平面PCD_L平面A3CD,且平面PCD。平面ABCD=CD,

.•.尸。_1平面43。，

又3Cu平面A5QZ.•.PO_L3C,

vBCLPD,且尸。八尸。=P，PO,P£>u平面尸CD,

:.BCmPCD；.

例29.（2022・全国•高三专题练习）在平行四边形A5CD中AB=6,3。=4,过A点作C。的垂线交CD的

延长线于点E,AE=2y[3.连接£B交AD于点歹，如图1,将AADE沿AD折起，使得点E到达点尸的位

置.如图2.证明：直线AO_L平面跳P.

【解析】证明：图1中，在及ABAE中，43=6,4£1=2百,所以4£'3=60。.所以BE=4石

•;AADE也是直角三角形，；.DE=ylAD2-AE2=2--—=—=—

ABAE3

•.■ZAED=ZEAB=90°

:.AAEB〜AAEDZEAD=ZABE

:.ZDAB+ZABE=NDAB+/EAD=90。，BE，AD,

在图2中，「尸上友^台厂工人^^门台下二E所以加上平面BFP.

例30.（2022・全国•高三专题练习）如图，四棱锥3-AEDC中，平面AEDC，平面ABC,尸为BC的中

点，尸为的中点，且AE〃£）C,ZACD=9Q0,OC=AC=AB=2AE.证明：EPJ_平面BCD

【解析】证明：如图,

连接AF,

由题意知44BC为等腰三角形，

而尸为BC的中点，所以AFLBC.

又因为平面AEDC_L平面ABC,且NACD=9O。，平面AEDCfl平面ABC=AC，DCu平面A£DC,

所以DC_L平面ABC.

而小u平面A5C,所以AF_LDC.

而3CnOC=C，6C,£（Cu平面BCD,所以AT,平面BCD.

连接尸