直角三角形（练习）【3大考点14大题型】-2025年中考数学一轮复习（含答案）

第19讲直角三角形13大考点14大题型】

【题型1由直角三角形的性质求解】

（2024•山西•中考真题）

1.如图，已知ZUBC,以48为直径的。。交2C于点。，与NC相切于点/,连接8.若

ZAOD=80°,则/C的度数为（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

（2024・湖南长沙•中考真题）

2.如图，在菱形中，AB=6,=30。，点£是8c边上的动点，连接NE,DE,

过点工作"，小于点尸.没DE=x,AF=y,则歹与X之间的函数解析式为（不考虑自

变量X的取值范围）（）

）

EC

9121836

A.y=—B.y=—C.y=——D.y=——

XXXX

（2024•海南・中考真题）

3.如图，菱形/BCD的边长为2,48c=120。，边48在数轴上，将NC绕点/顺时针旋

转，点C落在数轴上的点£处，若点E表示的数是3,则点/表示的数是（）

*

试卷第1页，共18页

A.1B.1-V3C.0D.3-273

（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）

4.如图，△4BC内接于。。，ND是直径，若48=25。，则NC4。°.

（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）

5.矩形4BCD的面积是90,对角线4C,3。交于点。，点E是8C边的三等分点，连接

点P是DE的中点，OP=3,连接CP,则尸C+PE的值为.

【题型2判断直角三角形】

（2024•山东临沂•中考真题）

6.如图所示，在菱形4BC。中，对角线/C与3。相交于点。，过点。作CE〃助交的

延长线于点E,下列结论①=②“CE是直角三角形；③=®BE=CE

正确的个数（）

A.1B.2C.3D.4

（2024•山东•中考真题）

7.在△NBC中，8c=3,/C=4,下列说法错误的是（）

A.1<AB<7B.S“BC46

C.△4BC内切圆的半径r<lD.当4B=g时，△ABC是直角三角形

（2024•山东•中考真题）

8.△/BC的三边长a,b,c满足（a-bp+J2a-6-3+|c-3"=0,则△4BC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形

（2024•湖南益阳•中考真题）

9.已知"、N是线段上的两点，AM=MN=2,NB=\,以点/为圆心，/N长为半径

试卷第2页，共18页

画弧；再以点8为圆心，8M长为半径画弧，两弧交于点C,连接NC,BC,则八45。一定

是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【题型3由勾股定理求线段长度】

（2024•浙江绍兴•中考真题）

10.如图，矩形4BCD中，48=26,2C=8.点尸是边上一动点，点M为线段/P上

一动点.ZADM=ZBAP,贝的最小值为（）.

A.2B.VC.2.4D.V21-4

21

（2024•辽宁丹东•中考真题）

11.如图，在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，已知点4（3,0）,8（0,4）,点C在x轴

负半轴上，连接BC,若tan48c=2,以为边作等边三角形BCA,则点C的坐

（2024•四川绵阳•中考真题）

12.如图，在△4BC中，ZACB=90。，NC=8,将4ABC绕点C按逆时针方向旋转得到A44c,

满足44IMC,过点2作垂足为E,连接若5&迦=35“£,则N8的长

为—,

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（2024•山东青岛•中考真题）

13.如图，菱形ABCD中，BC=10,面积为60,对角线NC与AD相交于点。，过点”作

AELBC,交边BC于点E,连接EO,则EO=.

（2024•江苏南通・中考真题）

14.如图，在中，ZACB=90°,AC=BC=5.正方形DEFG的边长为石，它的

顶点D,E,G分别在△4BC的边上，则2G的长为.

【题型4由勾股定理求面积】

（2024•浙江温州•中考真题）

15.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形

和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股

定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3,b=4,则该矩形的面积为（）

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53

A.20B.24D.

C谓T

（2024・西藏•中考真题）

16.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知乙43。=60。，则阴影部分的面积是

()

A.|B.373C.竽D.6后

（2024•山东淄博•中考真题）

17.如图，在边长为10的菱形/BCD中，对角线NC,2。相交与点。，点E在8c延长线

OF5

上，OE与CD相交与点尸.若ZACD=2/OEC,==:，贝IJ菱形ABCD的面积为________.

FE6

（2024・广东广州•中考真题）

18.如图，在RtZX/BC中，ZACB=90°,AB=10,AC=6,点M是边/C上一动点，点

D,E分别是M3的中点，当/M=2.4时，OE的长是.若点N在边2c上,

且OV=M,点尸，G分别是MN,4N的中点，当4M>2.4时，四边形DEFG面积S的取

值范围是.

试卷第5页，共18页

（2024•四川资阳•中考真题）

19.如图，在ZUBC中（NB<8C）,过点C作CD〃4B,在CD上截取CD=CB,C2上截取

CE=AB,连接DE、DB.

D

AC

（1）求证：△N8Cg△ECD；

（2）若乙4=90。,48=3,8。=2石，求△BCD的面积.

【题型5勾股数、勾股树】

（2024•四川泸州•中考真题）

20.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数。，b,c的计算公式:

a=3（"/-a?）,b-mn,c=^m~+??2）,其中加>〃>0,加，正是互质的奇数.下列四组

勾股数中，不熊由该勾股数计算公式直接得出的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.7,24,25

（2024•湖北黄冈・中考真题）

21.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾股

数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差

为1,柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,

17；若此类勾股数的勾为2加（%N3,仅为正整数），则其弦是（结果用含加的

式子表示）.

（2024・河北・中考真题）

22.已知：整式/=（〃2-炉+（2"『，整式3>0.

试卷第6页，共18页

尝试：化简整式A.

发现：A=B2，求整式B.

联想:由上可知，B2=（小1）2+⑵）2,当〃>1时-1,2”,8为直角三角形的三边长，如

图.填写下表中8的值:

直角三角形三边n2-lInB

勾股数组I/8—

勾股数组n35/—

（2024•福建莆田•中考真题）

23.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形，若正方形/、B、C、。的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是

【题型6由勾股定理求两线段的平方和（差）】

（2024•江苏盐城•中考真题）

24.RtzX/BC中，斜边/8=1,则//的值是.

（2024・贵州贵阳・中考真题）

25.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美"四边形/8CZ）,对

角线/C,AD交于点O.

试卷第7页，共18页

D

A

B

C

(1)若NO=2,80=3,CO=4,DO=5,请求出/公，BC^的值.

⑵若4B=6,CD=10,求8c2+4)2的值.

⑶请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论.

（2024・河北邢台・中考真题）

26.四边形是边长为行的正方形，E为对角线NC上一点，连接。E.过点E作

(1)求证：DE=EF.

（2）如图2,以。£,石户为邻边作矩形。EFG,连接CG.

①若C尸=:，求/炉+0炉的值.

CE+CG

②探究是否存在最大值，若存在，请直接写出这个定值；若不存在，请说明理

AE2+CE2

由.

【题型7由勾股定理证明线段间的平方关系】

（2024•山东淄博•中考真题）

27.如图，在AABC中，AD,BE分另1J是BC,AC边上的中线，且AD1BE,垂足为点F,

设BC=a,AC=b,AB=c,则下列关系式中成立的是（）

试卷第8页，共18页

c

A.a2+b2=5c2B.a2+b2=4c2C.a2+b2=3c2D.a2+b2=2c2

（2024•山东东营•中考真题）

28.如图，在正方形中，点尸是A8上一动点（不与48重合），对角线NC、8D相

交于点。，过点尸分别作NC、8。的垂线，分别交4C、BD于点、E、尸，交4D、BC于点、

M、N.下列结论：①MPE2AAME；②PM+PN=AC；@PE2+PF1=PO2④

△POFfBNF；⑤点。在朋\N两点的连线上.其中正确的是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤D.③④⑤

（2024•浙江台州•中考真题）

29.如图，已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC上一点（不与B,C重合），PE是

AABP的外接圆OO的直径.

C

（1）求证：4APE是等腰直角三角形；

（2）若。0的直径为2,求PC2+PB2的值.

（2024•江苏常州•中考真题）

30.己知：如图，AABC和△£（二）都是等腰直角三角形，NACB=NDCE=90°,D为AB边

试卷第9页，共18页

上一点.

求证：(1)AACE=/\BCDi(2)AD2+AE2=DE2.

【题型8勾股定理的证明方法】

(2024・江苏盐城•中考真题)

31.【经典回顾】

梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是

其中一种方法的示意图及部分辅助线.

图1图2

在ZUBC中，NACB=90°,四边形4DE3、/C7〃和8FGC分别是以必A4BC的三边为一

边的正方形.延长田和尸G,交于点A,连接CC并延长交于点J,交幺B于点K,延

长ZU交\于点M.

(1)证明：AD=LC；

(2)证明：正方形/C印的面积等于四边形/CLM的面积；

(3)请利用(2)中的结论证明勾股定理.

(4)【迁移拓展】

如图2,四边形NCm和8/GC分别是以△NBC的两边为一边的平行四边形，探索在下

方是否存在平行四边形/。砂，使得该平行四边形的面积等于平行四边形8尸GC的

面积之和.若存在，作出满足条件的平行四边形NDE2(保留适当的作图痕迹)；若不存在,

请说明理由.

(2024•四川攀枝花•中考真题)

试卷第10页，共18页

32.如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注

时给出的，它标志着中国古代的数学成就.它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，

恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为。、b,斜边为c.请你运用此

图形证明勾股定理：a2+b2=c2.

（2024•山东济宁•中考真题）

33.如图，在平面直角坐标系中，有一RtaABC,且A（—l,3）,B（—3,—1）,C（-3,3）,

已知AAiACi是由4ABC旋转得到的.

（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；

（2）以⑴中的旋转中心为中心，分别画出AAiACi顺时针旋转90。、180。的三角形；

（3）设RtaABC两直角边BC=a、AC=b、斜边AB=c,利用变换前后所形成的图案证明

勾股定理.

【题型9勾股定理的应用】

（2024•四川广安•中考真题）

34.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处

有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点8处,

则蚂蚁从外壁3处到内壁A处所走的最短路程为cm.（杯壁厚度不计）

试卷第11页，共18页

R

（2024•山东东营・中考真题）

35.一艘船由/港沿北偏东60。方向航行30km至3港，然后再沿北偏西30。方向航行40km

至C港，则/,C两港之间的距离为km.

（2024・湖南湘潭•中考真题）

36.《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有

竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图△NBC中，ZACB=90°,AC

与48的和为10尺，BC为3尺,求NC的长，AC=尺.

（2024•贵州六盘水•中考真题）

37.如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河

岸边选取点A,在点A的对岸选取一个参照点C,测得NCAD=30。；小丽沿岸向前走30m

选取点B,并测得NCBD=60。.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的

试卷第12页，共18页

【题型10由勾股定理的逆定理求值】

（2024•江苏南京•中考真题）

38.直三棱柱的表面展开图如图所示，NC=3,BC=4,AB=5,四边形/施\石是正方形,

将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（）

A.点MB.点NC.点PD.点。

（2024・湖南•中考真题）

39.如图，点。是等边三角形48c内一点，04=2,OB=1,OC=y/3,则"OB与A50C

的面积之和为（）

3百

rD.V3

4

（2024・湖南岳阳•中考真题）

40.在AABC中8c=2,AB=2用，AC=b,且关于x的方程/-4x+b=0有两个相等的实

数根，则AC边上的中线长为

（2024•四川内江•中考真题）

41.在△4BC中，44、ZB、/C的对边分别为a、b、c,且满足

a2+|c-10|+V^8=12a-36,则sin8的值为.

【题型11由勾股定理的逆定理证明直角三角形】

（2024•湖南永州•中考真题）

42.如图，已知四边形/3O是平行四边形，其对角线相交于点。，OA=3,BD=8,AB=5.

试卷第13页，共18页

(1八/。8是直角三角形吗？请说明理由；

(2)求证：四边形ABCD是菱形.

(2024•内蒙古呼和浩特•中考真题)

43.如图，在△4BC中，内角4B、C所对的边分别为。、b、c.

(1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出//与的和与的大小关系；

(2)求证：△NBC的内角和等于180。；

(3)若a求证：A/gc是直角三角形.

a-b+cc

(2024•内蒙古赤峰•中考真题)

44.已知二次函数y=ax?+bx-3a经过点A(-1,0)、C(0,3),与x轴交于另一点B,抛

物线的顶点为D,

(1)求此二次函数解析式；

(2)连接DC、BC、DB,求证：4BCD是直角三角形；

(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△「口(:为等腰三角形？若存在，求出符

合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(2024・四川绵阳•中考真题)

45.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一

试卷第14页，共18页

条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.

（1）请用a表示第三条边长；

（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a的取值范围；

（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;

若不能，说明理由.

【题型12网格中判定直角三角形】

（2024•广西贵港•中考真题）

46.如图，在4x4网格正方形中，每个小正方形的边长为1,顶点为格点，若△N3C的顶点

均是格点，贝UcosNR4c的值是（）

264

Vr/•---D.-

55

（2024•吉林・中考真题）

47.图①，图②均为4x4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.在图①中已画出

线段N8,在图②中已画出线段CD,其中4B、C、。均为格点，按下列要求画图：

⑴在图①中，以48为对角线画一个菱形且瓦厂为格点；

⑵在图②中，以8为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH,且G,”为格点，

ZCGD=ZCHD=90°.

48.如图，这是5x5的正方形网格，小正方形的顶点为格点，请仅用无刻度的直尺按要求完

成以下作图（保留作图痕迹）.

试卷第15页，共18页

连接/c,使N8/C=45。；

(2)在图2中作四边形/8OE,使点。、E在格点上，且四边形/2AE既是中心对称图形，又

是轴对称图形.

【题型13确定构成直角三角形的点的个数】

(2024江苏扬州•中考真题)

57

49.如图，在平面直角坐标系中，直线48：y=-：x+：与x轴交于点C,且点4(-1,机),

44

8(〃,-2).

(1)点C的坐标为

(2)求原点O到直线42的距离；

(3)在x轴上是否存在一点尸，使得尸是直角三角形?若存在，求出点尸的坐标.

(2024•广东江门•中考真题)

50.如图，在平面直角坐标系中，过原点。及点40,2),。(6,0)作矩形0/8C,N/OC的

平分线交42于点。，点P从点。出发，以每秒百个单位长度的速度沿射线移动；同

时点0从点。出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为/秒.

试卷第16页，共18页

zf—W产

p/

。f0c

（1）当点尸移动到点。时，求出此时/的值；

（2）当/为何值时，△尸03为直角三角形？

【题型14由勾股定理的逆定理解决实际生活问题】

（2024•广西玉林・中考真题）

51.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方

向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A,8处,

且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40。方向航行，则乙船沿—方向航行.

（2024•海南海口・中考真题）

52.深秋已至，稻客张师傅在一块四边形（如图）的田地里收割稻谷.已知四边形中,

ZC=90°,5C=15m,CD=20m,AB=24m,AD=lm,若张师傅的收割价格为0.65元

/m2,请你计算这块田地张师傅应该收费多少元?

（2024•江苏苏州•中考真题）

53.如图1,图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信

息：滑竿。£、箱长3C、拉杆的长度都相等，即。£=2。=48=500I1,点2、尸在线

试卷第17页，共18页

段NC上，点C在DE上，支杆。尸=30cm.

(1)若EC=36cm时，B,。相距48cm,试判定8D与。E的位置关系，并说明理由;

⑵当/。匿=45。，CF=：/C时，求CD的长.

试卷第18页，共18页

1.D

【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定

理可得出N3=gN/OO=40。，有圆的切线定理可得出NA4c=90。，由直角三角形两锐角

互余即可得出答案.

【详解】M："AD=Aby

：.AB=-AAOD=^°.

2

•••以AB为直径的OO与AC相切于点A,

ABAC=90°,

.-.ZC=90°-40°=50°.

故选：D.

2.C

【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质,

利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键.过。作。H_L8C,交8c延长线

于则//»汨=90。，根据菱形的性质和平行线的性质得到=

ZADF=ZDEH,ZDCH=ZB=30°,进而利用含30度角的直角三角形的性质

1ApAf)

DH=-CD=3,证明汨得到=然后代值整理即可求解.

2DHDE

【详解】解：如图，过。作。交8。延长线于7/,则/。/汨=90。，

・・•在菱形45CD中，AB=6,Z5=30°,

AB//CD,AD//BC,CD=AD=AB=BC=6,

ZADF=ADEH,NDCH=/B=30。,

在RtZ\CD"中，DH=-CD=3,

2

•.AFLDE,

；.NAFD=NDHE=90°,又ZADF=ZDEH,

•••小AFDs小DHE,

AFAD

答案第1页，共45页

DE=x,AF=y,

.y=i

3x'

18

•・・»=——,

x

故选：c.

（法二：同理，DH=3,BC=6,

■：AD]\BC,

,,_2。菱彩4BCD，

：.-DEDF=-BC'DH,

22

•・•DE=x,AF=y,

・,.孙=6x3=18,

18

・•・y=——,

x

故选：C.）

3.D

【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理.作于点尸，利

用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可.

【详解】解：作C尸，/E于点产，

-ZABC=120°,

・•.ZFBC=60°,

•；BC=2,

；.BF=；BC=l,CF=^BC2-BF2=V3,

：.4F=AB+BF=3,

...AE=AC=^AF2+CF2=52+(73)2=2G，

点E表示的数是3,

.,.点/表示的数是3-26，

答案第2页，共45页

故选：D.

4.65

【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接根据直径所对的

圆周角是直角得出//。=90。，根据同弧所对的圆周角相等得出ND=/8=25。，进而根据

直角三角形的两个锐角互余，即可求解.

【详解】解：如图所示，连接8,

B

•・•△4BC内接于4D是直径，

//CD=90°,

AC=AC^B=25°'

:"D=NB=25°

.-.ZCAD=90°-25°=65°,

故答案为：65.

5.13或加^

【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理.当时，利用三角

形中位线定理求得CE=12,再求得矩形的边长，利用勾股定理求得DE的长，再根据斜边中

线的性质即可求解；当CE<8E时，同理求解即可.

【详解】解：当时，如图，

•.•矩形ABCD,

•••点。是AD的中点,

•・•点尸是DE的中点,

BE=20P=6,CP=PE=PD,

答案第3页，共45页

•.•点E是2C边的三等分点，

CE=2BE=12,BC=3BE=18,

•.•矩形/BCD的面积是90,

BCxCD=90,

CD=5,

•■­DE=V52+122=13>

：.PC+PE=DE=\3；

当时，如图，

•.•矩形/BCD,

•••点。是AD的中点，

•・•点尸是DE的中点，

BE=2OP=6,CP=PE=PD,

•・•点E是3c边的三等分点，

CE=—BE=3,BC=3+6=9,

2

•.•矩形/BCD的面积是90,

BCxCD=90,

.-.CD=10,

•1•DE=A/32+102=V109，

■-PC+PE=DE=4iO9i

故答案为：13或加.

6.C

AC)1

【分析】由菱形的性质及垂线的性质可得//OB=90。，-^=-,由平行线的性质可证得

△AOBSAACE,于是可得O8=gcE,点3为/£中点，NACE=9Q°,于是可得是

答案第4页，共45页

直角三角形，由直角三角形的性质可得=由于由题意无法得出BE=CE,因而可

得结论.

【详解】解：：四边形42C。是菱形，

：.AO=CO=-AC,AC1BD,

2

AO1

ZAOB=90°,——=一,

AC2

・・・CE//BD,

:.ZACE=ZAOB=90°,ZAEC=AABO,

:JOBs^ACE,

.ABOBAO

\4E~~CE~^4C~2f

:.OB=-CE,AB=-AE,

22

・•.点B为NE中点，

NACE=90°,

.n/CE是直角三角形，

又；点B是/£中点，即8c为斜边/£上的中线，

BC=-AE,

2

由题意无法得出BE=CE,

二结论①②③正确，结论④不一定正确，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，垂线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性

质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键.

7.C

【分析】根据三角形三边关系、三角形面积、内切圆半径的计算以及勾股定理逆定理逐一求

解即可.

【详解】解：•，5C=3,/C=4,

.•.4-3<48<4+3即1</8<7,故A说法正确；

当BC±/C时，SAABC=AB-BC=6,

若以8c为底，高</C=4,

答案第5页，共45页

S4ABe<6,故B说法正确;

设△4BC内切圆的半径为r,

则3“2"+320〃+3/0厂=邑，叫，

SdBe&6,

12

.-.^(AB+BC+AC)<6fr<------------

AB+BC+AC

vl<AB<7,BC=3,AC=4

•••8<45+5C+4Cvl4,

・•〃1<2?=?3，故C说法错误；

o2

当43=近时，BC2+AB2=AC2,

.•.△4BC是直角三角形，故D说法正确；

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形面积，三角形内切圆半径以及勾股定理的逆定

理，掌握内切圆半径与圆的面积周长之间的关系厂=]■是解题的关键.

8.D

【分析】由等式可分别得到关于“、b、c的等式，从而分别计算得到。、6、c的值，再由

/+62=c2的关系，可推导得到△N8C为直角三角形.

【详解】解•:(a-b)2+J2a-b-3+1c一3行|=0

(a-/?)2>0

又•；-j2a-6-3>0

|C-3A/2|>0

(a-Z?)2=0

,Y2a-6-3=0,

1-3闽=0

a—b=0

<2a—b—3=0

C-3A/2=0

答案第6页，共45页

a=3

解得，6=3,

c=3y/2

■■a2+b2=c2,且a=b,

△NSC为等腰直角三角形，

故选：D.

【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为

0,每一个非负数均为0,和勾股定理逆定理.

9.B

【分析】依据作图即可得到/C=/N=4,BC=BM=3,48=2+2+1=5,进而得到/C+BC?

=/"，即可得出△ABC是直角三角形.

【详解】如图所示，

AC=AN=4,BC=BM=3,A8=2+2+l=5,

：.AC2+BC2^AB~,

是直角三角形，且乙4c2=90。，

故选B.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a,b,c满足。2+〃=C2,

那么这个三角形就是直角三角形.

10.A

【分析】设/。的中点为。，连接。8,1W,证明/4MD=90。，得出加=；/。=4,点、M

在。点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案.

【详解】解：设ND的中点为。，连接。民。川，

答案第7页，共45页

•・・四边形力BCD为矩形，

/BAD=90°,AD=BC=8,

ZBAP+ZMAD=90°,

/ADM=ZBAP,

/.ZMAD+ZADM=90°,

/./AMD=90°,

•.•40=00=4,

:.OM=-AD=4,

2

.••点〃在。点为圆心，4为半径的圆。上.

•/OB=y/AO2+AB2=^42+（275）2=6,

:.BM>OB-OM=2,

・•・BM的最小值为2.

故选：A.

【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质,

圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题.

11.（-2,0）（-1-26,2+6）或（2君-1,2-右）

【分析】过点。作。£1/3于点£,根据tan/48c=2,设BE=x,CE=2x,贝U2C=J?x,

根据勾股定理可得求出［8=1。42+。炉=5,用等面积法推出。C=gx-3,最后在

RtZ\OBC中，根据勾股定理可得：OC2+OB2=BC2,列出方程求出x的值，即可得出点C的

坐标；易得8c2=20,设。（用，"），根据两点之间的距离公式得出84=/+伪-4）2,

CO?=（加+2『+/,根据等边三角形的性质得出802=2加=82,即可罗列出方程组

答案第8页，共45页

m2+(n-4)2=20

，\2,，求解即可.

(m+2)+n2=20

【详解】解：过点C作CE/N8于点E,

tanZABC=2,

CEc

----=2,

BE

设BE=x,CE=2x,

根据勾股定理可得：BC=NBE、CE2=&,

・“(3,0),8(0,4),

OA=3,OB—4,

在RtA/OB中，根据勾股定理可得：AB=^OA2+OB2=5.

■.-S^c=^AB-CE=^AC-OB,

.-.1x5x2x=1x4x(OC+3),整理得：OC=|x-3,

在RtZkOBC中，根据勾股定理可得：OC'OB?=Bd,

+42=^>/5x),

解得：再=2,/=10(舍去)，

.­,OC=-x-3=-x2-3=2,

22

...C(-2,0)

•••5(0,4),C(-2,0),

.•.O8=4,OC=2,

■■BC2=OB2+OC2=42+22=20,

设。(加，篦),

答案第9页，共45页

则31)2=/+(“-4)2,cr>2=(m+2)2+n2,

•・•△BCD为等边三角形，

•••BC2=BD2=CD2,

m2+(n-4)2=20

即,，

(m+2)+n2=20

..,[m2+n2-8n=40

整理得22,台，

[m+〃+4m=16(2)

②一①得:4加+8〃=12,则加=3-2几，

将机=3-2〃代入①得：(3-2〃)2+/_即=4,

解得：4=2+6,%=2-6,

当"=2+VJ时，7W=3-2/7=-1-2A/3,即。卜1-2班,2+6),

当〃=2-百时，心=3-2"=2百-1,即。(26-1,2-6)，

故答案为：(-2,0)；(-l-2®2+君)或(26-1,2-百).

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边三角形的性质，解题的关键是正确画出辅助线,

构造直角三角形，掌握等边三角形三边相等，以及勾股定理.

12.4A污

【分析】设4c交于。，由AXBXIIAC，由旋转可得CD=AD，而ZACB=90。,即可得

-IS2z~»jy°

BD=CD=4D,故S3邑皿=-其被，因以独=3L虚,即有—=可，而一，设

2MADEiDE3

CE=2x，则DE=lx,CD=5x=BD=/Z),求出

BE=^BD2-DE2=4X,BC=^BE2+CE2=2底，证明ABCESA/BC,即可得竺=撞£，进

8AB

而即可得解.

【详解】解：设4c交于。，如图，

答案第10页，共45页

=NA】CA,

・・•将AABC绕点C按逆时针方向旋转得到△44。,

NA、=NBAC,

NA[CA=NBAC,

:.CD=AD,

•・•^ACB=90°,

ZCBD+NBAC=90°=ZAXCA+NBCD,

ZCBD=NBCD,

BD=CD,

BD=CD=AD,

•C_C_J_Q

…3BDE~Q"DE—2AABE，

••C—QC

,n"BE-J。△ACE，

-c_c__3c

一八BDE~3ADE_2AACE，

.S“CE_2

=,，

4"DEJ

•CE_2

*DE'-35

设CE=2x，贝UDE=3x,CD=5x=BD=AD,

BE=ylBD2-DE2=4x，

BC=yjBE2+CE2=2氐，

•/ZBCE=ZCBA,/BEC=90°=ZBCA,

:ABCESAABC,

.BE_BC

•,就一罚’

•・・4C=8,

,4x_2y/5x

••一，

8AB

AB=475

答案第11页，共45页

故答案为：475.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，平行线性质及应用，勾股

定理，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转的性质和相似三角

形的判定定理.

13.V10

【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱

形的性质求出/c、的长度.根据菱形的面积公式结合8。的长度即可得出2。、NC的

长度，在RMBOC中利用勾股定理即可求出C。的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半即可得出结论.

【详解】解：••,四边形N2C。为菱形，

AC-LBD,OA=OCQB=ODyAB=BC=CD=DA=10,

S^ABCD=^ACBD=60,

.-.AC-BD=nO,

.-.BOOC=30.

■-BO2+CO2=BC2=IOO,

(BO+OC)2-2BO-CO=100,

■-BO+CO=4y/l0(负值已舍去)，

■■BO=4y/i5-OC,

■■BO2+CO-=1()2,

.•.(4^TO-(9C)2+C(92=100,

•••co=VTo,co=3Vio(舍去).

■.■AELBC,AO=CO,

•••EO=CO=y/w.

故答案为：Vio.

14.3A/2

【分析】过点G作GHL/C,易得为等腰直角三角形，设AH=HG=x,得到

答案第12页，共45页

CH=AC-AH=5-x,证明△G/ffi也△OCE,得到CD=G7/,进而得到CZ>=x,

D"=5-2x,在RMDHG中，利用勾股定理求出工的值，根据平行线分线段成比例，求出5G

的长即可.

【详解】解：过点G作G//LZC,贝（J：ZAHG=ZGHD=90°,

ZDGH+ZHDG=90°,

-ZACB=90°fAC=BC=5,

・•.AB=5g/A=/B=45。,

ZAGH=45°=,

・•.AH=HG,

设AH=HG=x,贝1J：CH=AC-AH=5-x,

•・•正方形DEFG,

・•.DG=DE,/GDE=90。,

/HDG+NCDE=90。,

・•・ZHGD=ZCDE,

•：NC=/GHD=90。,

MGHDADCE,

：,CD=GH=x,

.-.DH=CH-CD=5-2x,

在RMG/TO中，由勾股定理，得：GD2=DH2+GH2,

.*.(V5)2=(5-2X)2+X2,解得：x=2,

・•.AH=2,CH=3,

•••NC=/AHD=90。，

答案第13页，共45页

:.HG//BC,

AGAH2

**_CH-3?

BG=-AB=-x5y[2=3y/2；

55

故答案为：3vL

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形

的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形.

15.B

【分析】设小正方形的边长为x,则矩形的一边长为(a+x)，另一边为(b+x)，根据矩形的

面积的即等于两个三角形的面积之和，也等于长乘以宽，列出方程，化简再代入a,b的值,

得出X2+7X=12,再根据矩形的面积公式，整体代入即可.

【详解】设小正方形的边长为x,则矩形的一边长为(a+x),另一边为(b+x),根据题意得：

2(ax+x2+bx)=(a+x)(b+x),

化简得：ax+x2+bx-ab=0,

又a=3,b=4,

•••x2+7x=12;

;该矩形的面积为=(a+x)(b+x)=(3+x)(4+x)=x2+7x+12=24.

故答案为B.

【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长

是解题的关键.

16.D

【分析】首先过点8作于点£,决口_C。于点尸，由题意可得四边形/8C。是平

行四边形，继而求得=的长，判定四边形是菱形，则可求得答案.

【详解】过点8作BE，40于点E,BF±CD于点/，

根据题意得：AD//BC,AB//CD,BE=BF=3,

答案