中考数学二轮复习：数与式及方程（组）中的计算问题（8大题型）原卷版+解析

大题01数与式及方程（组）中的计算问题（8大题型）

考情分析•直击中考

数与式及方程（组）中的计算问题是中考的必考内容，该部分内容涉及知识点较多，但是考题相对简

单，所以需要学生在复习这部分内容时，扎实掌握好基础，在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心而

丢分.

琢题突破•保分必拿

解一元一次不等式组

根与系数关系和根的判别式综合应用

新定义问题

比较大小问题

题型一：实数与根式的计算

1.（2023,湖南张家界,中考真题）计算：V5]—（4-TT）°-2sin60。+（J.

2.（2023・湖北宜昌•一模）已知实数Q,b,c在数轴上的位置如图所示.

⑴若|a|=|力|,则a+匕=,-=

(2)化简：+^/(a+b)3-\c-b\.

1）a°=l（aWO）,a-n=4（aK0,n为正整数）

an

2）①|a-b|=a-bV>a>b②|a-b|=OU>a=b③|a-b|=b-aU>a<b

3）特殊的三角函数要记牢.

4）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：

①先算乘方，再算乘除，最后算加减；

②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号.

1.(2022・湖南娄底•中考真题)计算：(2022-7r)°+(1)-1+|1-V3|-2sin60°.

2.（2023・湖北宜昌•一模）已知a,b满足Va+1+2一1|=0,求（^必+办2。23一4油的平方根.

3.（23-24九年级上•四川眉山•阶段练习）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：后-|a+c|+

J（c-6）2—-a）2.

________I_______I_____I_____________I_______

ca0b

题型二：代数式的混合计算

1.（2023•青海西宁•中考真题）计算：（2a-3）2-（a+5）（a-5）.

2.（2023,湖北襄阳,中考真题）化简：（1—

3.（2024•黑龙江大庆•一模）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式.

⑴求整式p.

⑵将整式P因式分解.

⑶P的最小值为

1）帚的运算

易的玩■公式朴克说明

a”,尸「.逆用公式：ft

同庭敷格幅秉1A**-fl*•

(m.

2,【犷，】，—'一•广♦《■•n.»•*£**）

1负号在指号内时儡次力结祟为正奇次方为负负号在括号外结

果邳为负

帚的柬方

(m.2发用公式，aE=（fjn

3【¥星】&F-L-MiM）

(ab)n=aV1.渔用公式，aTb^tsbr

积的11方

(nAl*)

(KWJ[abc]r=a'bV

1关.看区依是否用同招做幅减是出港K的搔

『.丘厂式的指故

同底收界幅除

(•".m.n.为Mt)

2逆用公式‘・--"=・一+『（«fO.m.MB是正，数）.

2）乘法公式

餐送公式叟形

平方装公式缶+b)(a-b)・iT-bz

1.通过称事变形

(£)(aM>)**2nb第211b•(0♦b尸-(n)bU

用注,已Sf.・!>、/汨中的西旗求其一项的值(如.<-).

Z.a”与aft)”化

®(a*b)**•(A*b)*•lab②(.■(>)'-脑*b)*=4ab

3)(aH>)**(a*b)*—lab④(a*b)**(a~b)*

(■+b)'=*4+2®b+br用法i己如•»・n-b中的沟鹏求为■网的假(加.求,).

.特嫌饰构

文金平方公式口iA首平方,尾平方.3

二倍集枳放中央©(«>1)JJI，2♦白②

*1*t**

领(*与x'・2+±(3Dx'~白

Kr*r1r

i.riR

[1；(•±b>'=<■'±3n、+3ab‘士『

②(a*b*c),=az4-b*+c24-2Bb-F2«c4-2bc

3)因式分解

**

发公因式法■mb+acma(a+b+c)

方法

®运HI学力*公式i/一b'=(«+b)(a-b).

公式法

②垢用完全4f方公式g『±2nb+bt,Gi±b尸

(p*q)M*pq-(a*p)(a・q)

迸阶

【II快】白尾分解,上叉相乘,实舱啼墙.求抑修中.

力法十字的我法

【特鞅1岗大分［Bax*bi*c

①若》b，cP.则必有因式x1②若iMcf.购必有因式"1

分蛔分解漆tic*ad*bc*cd-a(c♦<1)♦b(c*d)=(a*b)(c*d)

如!B多项大中某IB分代数式底复出现,那么可将这部分代数式用另一个字母代瞥.

挨无法例：因式分*(*15**2)(/*5灯3)-12.改x>5x，2=l

(fl)-12=(t-3)<i*4)=(x*2)(x,3)(i:*5x-l>

1)如果多项式占用由公因式.应先提取公因其；

2)如里？frJ«没"公因就.可以会试使用公式法：①为两璃时.老班平方适公式：

n②为三项M.考位金平木公式t

步・③为四项时.％必利则分蛆的方法进打分

3)桧直分”因大足否拘底.必须分新到触一个U项式"不能再分”为止.

以上步,可以概括为“一烫、二集、检**r.

1.(2024・重庆•模拟预测)计算:

(l)((z+2b)(d-2b)+(a—b)2

2.（2024•湖南•模拟预测）已知整式力=4/+4%-24.

⑴将整式4分解因式；

⑵求证：若支取整数，贝必能被4整除.

题型三：化简求值

1.（2023•山东淄博•中考真题）先化简，再求值：（%-2y）2+x（5y-x）-4y2,其中久=等，y=^~.

2.（2。23・辽宁丹东・中考真题）先化简，再求值：（田-与）+六，其中久=（旷+（-3）。.

化简求值常见方法汇总：

1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.

2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.

3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.

②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它

们成倍分关系.

③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值.

4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法.这

是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值.

5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值.

例如：①若几个非负数的和为0,则每个非负数的值均为0

②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.

6.利用“无关”求值：

①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；

②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关.

7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数

的性质来确定字母的值，从而求得结果.

8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的

符号.

9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况

进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分

简单.

10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可.

11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可

能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值.

12.利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一

个字母来表示另一个字母.

13.利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值.

1.(2024•广西桂林•一模)先化简，再求值：(a2b—2ab2—b3)+b—(a+b)(a—b),其中a=—|,b=2.

2.（2024•山东滨州•一模）先化简再求值：（三一三）+三，其中x=（V3-l）°+（|）-1+

3.（2。24・四川广元二模）先化简，再求值：爵+（x+l-等），其中X是不等式组

<%+2,的整数解

(2%+4>1—%

4.（2。24•黑龙江哈尔滨•一模）先化简，再求代数式（恶-鼻）+急的值，其中

x=2(tan45°—cos30°).

题型四：解方程（组）相关计算

1.解关于X的一元一次方程：等一1=等.

2.（2023•江苏连云港•中考真题）解方程组丹光=9

（zx—y=/

3.（2023•江苏连玄港■中考真题）解方程：——-=3X—3.

x-2x-2

4.（2023•广东广州•中考真题）解方程：x2-6x+5=0.

1）解方程的一般步骤：去分母-移项-合并同类项-系数化为1;

2）一元二次方程ax，bx+c=0（a#0）的解法选择：

①当a=l,b为偶数，c#0时，首选配方法；

②当b=0时，首选直接开平方法；

③当c=0时，可选因式分解法或配方法;

④当a=l,bWO,cWO时，可选配方法或因式分解法;

⑤当aWl,bWO,c=0时，可选公式法或因式分解法.

3）解分式方程时易错点：

①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.

②分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解.

③分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的

根.

④解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.

⑤分式方程有增根与无解并非是同一个概念.分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去

分母后的整式方程无解.

1.（2023・浙江・一模）解方程：3—1=早

36

2.（2023・陕西西安・二模）解方程组：P32

4x—y=8.②

3.（2023•江苏连云港•模拟预测）解下列方程：

（1）—=1；

x-22-x

（2）%2—4%+3=0.

题型五：解一元一次不等式组

4x—840,

（2023•江苏•中考真题）解不等式组山＜久+1,把解集在数轴上表示出来,并写出整数解.

-2-10

1）不等式的性质

基本性质1若a>b,贝！|a土c>b±c

若a<b,则a土c<b±c

基本性质2若a>b,c>0,则ac>bc（或/>|）

基本性质3若a>b,c<0,则ac<bc（或;<g）

2）不等式组解集的确定有两种方法：

①数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.

②口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了.

3）解一元一次不等式组的一般步骤：

①求出不等式组中各不等式的解集.

②将各不等式的解决在数轴上表示出来.

③在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.

（2（%+2）>x+3①

1.（2023•山东济南•中考真题）解不等式组:xx+2小，并写出它的所有整数解.

13（丁5⑷

题型六：根与系数关系和根的判别式综合应用

1.（2023・湖北襄阳•中考真题）关于元的一元二次方程/+2x+3-k=0有两个不相等的实数根.

⑴求k的取值范围；

⑵若方程的两个根为打，，,且忆2=a6+3匕求k的值.

2.（2023•四川南充•中考真题）已知关于x的一元二次方程％2—（2m—1）%—3m12+m=0

⑴求证：无论机为何值，方程总有实数根；

（2）若打，％2是方程的两个实数根，且言+£=一|，求"的值・

1）根的判别式

①求根公式的使用条件：aWO且△》（）.

②使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c的值.

③利用判别式可以判断方程的根的情况，反之，当方程：1）有两个不相等的实数根时，A>0;

2）有两个相等的实数根时，A=0;

3）没有实数根时，A<0.

④一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根.

2）一元二次方程根与系数的关系

①如果方程x2+px+q=O的两个根为Xi,X2,那么比1+%2=-「，x1•x2=q.

②以两个数Xi,X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（/+乂2）X+%1.%2=0.

③一元二次方程根与系数关系的使用条件：a#0且△》（）.

④用根与系数的关系求值时的常见转化：

已知一元二次方程ax，bx+c=0（a/0）的两个根Xi,x?

=xx2—

1）平方和+%2（i+2）2xtx2

2）倒数和工+工具及

X1X2X1X2

X-X2X+X24XX

3）差的绝对值IXi-X2|=V（12）=V（12）-12

X1.x_%l2+%22_（%1+%2）2-2%1%2

----1----2------------=------------------

%2

5）（久1+1）（久2+1）=无1尤2+（%1+久2）+1

1.（2023・湖北襄阳•一模）已知关于无的方程k/+（2k+1）*+2=0.

⑴求证：无论左取任何实数时，方程总有实数根.

（2）是否存在实数上使方程两根的倒数和为2?若存在，请求出左的值；若不存在，请说明理由.

2.（2023•江西新余,一'模）关于x的方程/—（2k+l）x+fc12=0.

⑴如果方程有实数根，求上的取值范围；

（2）设%1和%2是方程的两根,且就+后=6+%1%2,求k的值.

题型七：新定义问题

（2023•山东枣庄•中考真题）对于任意实数a,b,定义一种新运算：a^b=[3b夕¥3例如:

（.a+0-6（a<2b）

3X1=3—1=2,5X4=5+4—6=3.根据上面的材料，请完成下列问题：

（1）4X3=,（―1）※（—3）=；

（2）若（3久+2）※（久一1）=5,求无的值.

新定义问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并

结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.

一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接新知识；（3）定义新概念.这类试

题考查考生对新定义的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将新定义的知识与己学知识联

系起来，利用已有的知识经验来解决问题.

1.（2023•河北沧州・模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b,规定a沏=ab?+&人+口，例

如：2^5=2X52+2x5+2=62.

⑴求5※（一2）的值.

（2）若（小一企）※2>14,求小的取值范围.

2.（2023・江苏盐城•一模）定义：若两个分式的和为"（w为正整数），则称这两个分式互为"N㊉分式

例如.分式三与卢互为"三㊉分式

x+l1+X

⑴分式翳与____互为"六㊉分式"；

3+2x

(2)若分式T与七互为"一㊉分式"(其中a，b为正数)，求岫的值;

a+4bzaz+2b

⑶若正数X,y互为倒数，求证：分式以与J土互为"五㊉分式

3.(2023•河北沧州・模拟预测)定义新运算：对于任意实数根、w都有m☆Ti=nrn-3n,例如4+2=4义2-

3x2=8-6=2,请根据上述知识解决下列问题.

(1)%^2>4,求尤取值范围；

(2)若;<:☆(-£)=3,求x的值；

⑶若方程“☆□=%—6,口中是一个常数，且此方程的一个解为X=1,求口中的常数.

4.(22-23九年级上•河北石家庄•期末)在实数范围内定义新运算其规则为：aA6=a2-ab,根据

这个规则，解决下列问题：

⑴求(%+2)△5=0中比的值；

(2)证明：(x+rn)A5=0中，无论机为何值，x总有两个不同的值.

题型八：比较大小

(2023•江苏盐城・中考真题)课堂上，老师提出了下面的问题:

已知3a>b>0,M=2,N=—,试比较M与N的大小.

bb+3

小华：整式的大小比较可采用"作差法".

老师：比较/+1与2久-1的大小.

小华：'/(x2+1)—(2%-1)=x2+1—2%+1=(%—I)2+1>0,

Ax2+1>2%—1.

老师：分式的大小比较能用"作差法"吗？

⑴请用"作差法"完成老师提出的问题.

⑵比较大小：-_________冬(填"或"<")

6865

1)实数比较大小的6种基础方法：

1.数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.

2.类别比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

3.作差比较法：若a,b是任意两个实数，则

①a-b>0<=>a>b；②a-b=0<=>a=b；③a-b〈0aa〈b

4.平方比较法：①对任意正实数a,b,若『Ab'OGb

②对任意负实数a,b,若a'l/OaCb

5.倒数比较法：若l/a>l/b,ab>0,则a<b

6.作商比较法：1)任意实数a,b,a/b=lOa=b

2)任意正实数a,b,a/b>l<=>a>b,a/b<l<=>a>b

3)任意负实数a,b,a/b>l<=>a<b,a/b<l<=>a>b

1.（2023,浙江温州•模拟预测）观察下面的等式：|—=g：-|=3；9=白，22=白

326431Z54z（J6530

⑴按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）.

（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的.

⑶请用以上规律比较鬣-翳与黑-髭的大小.

2.（22-23九年级下•河北保定•阶段练习）观察以下10个乘积，回答下列问题.

11x29；12x28；13x27；14x26；15x25；16x24；17x23；18x22；19x21；20x20.

探究：经探究发现以上各乘积均可以写成平方差的形式.

例如：11x29=/-*=（*+_y）,列出方程组，解x,y的值即可.

按照以上思路写出"将11X29写成平方差的形式”的完整过程；

探究：观察以上10个乘积，当a+6=40时，ab202；（比较大小）

拓展：当a+6=zn时，比较ab与（J?的大小，并说明理由.

莪流》模拟_

1.（2024•黑龙江齐齐哈尔•一模）（1）计算：（-：）?+百一2|+4sin6（T+战

（2）分解因式：—2a/+i2a——i8ax.

（2%+1<3①

2.（2024•江苏扬州•一模）解不等式组：8i-3x，工，并求出它的所有整数解的和.

/二W1②

3.（2024•江西吉安•一模）先化简：（金+匕）十三,再从-2,-L。，1,2中选

一个合适的数作为。值代入求值.

4.（2024•陕西西安•二模）解方程：生|=1-2.

Q2—9.CL—3

（2024•江苏南通・模拟预测）（1）化简:

a2+6a+9a

(2)解方程：x(2x—5)=5—2x.

6.（2023•贵州遵义•模拟预测）对任意一个两位数根，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数

小为“平方和数"，若m=a2+b2（a、b为正整数），记a（ni）=a6.例如：29=22+52,29就是一个“平

方和数"，贝必（29）=2X5=10.

⑴判断13是否是"平方和数"，若是，请计算4（13）的值；若不是，请说明理由；

（2）若k是一个"平方和数"，

①设k=x2+y2,则4（k）=；

②当4（k）=?-18,求k的值.

7.（2024・四川南充•模拟预测）已知关于x的方程为无2-2（爪+2）%+租2+4=0.

⑴若方程有两个实数根，求实数m的取值范围；

（2）设方程的实数根为右，尤2,求丫=瑶+环的最小值.

8.(2024・贵州遵义•一模)作差法是一种比较两个数或代数式大小的常用方法.

作差：首先计算两个数或代数式的差，即4-B.

变形：对得到的差式进行变形，常用的方法包括配方、因式分解、有理化等，目的是将差式转换为更容易

判断的形式.

定号：根据差式的符号确定被比较数或代数式的大小关系，若差式为正数，则原数A大于8；若差式为负数,

则原数A小于2;若差式为零，则A等于艮

结论：根据变形和定号的结果得出结论，即4〉B或4<B.

例：比较久2+1与2%-1的大小.

0(x2+1)—(2x—1)=%2+1—2x+1=(x—l)2+1>0,

0x2+1>2x—1

(1)已知26>3a>0,M=*,N=震，试比较M与N的大小.

⑵比较大小：——(填"或"<")

118------------115

9.(23-24九年级上•四川宜宾•期末)实数a在数轴上的对应点的位置如图所示.

---•--------1---1---1--->

a-101

(1)化简：J(a+1)2=；aJ—:.

(2)若最简二次根式荷F与3伤是同类二次根式，求a的值.

1.（2023,内蒙古,中考真题）计算：|—21+（兀—2023）°+（―巳）—2cos60°.

2.(2。23•青海西宁•中考真题)先化简,再求值：(言一熹)一占,其中a,b是方程

%2+%-6=0的两个根.

3.(2023・内蒙古•中考真题)先化简，再求值：(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),

其中刀=伤-1,y=V6+1.

4.(2023•广东广州•中考真题)已知a>3,代数式：A=2a2-8,B=3a2+6a,C=a3-4a2+4a.

⑴因式分解A；

(2)在A,B,C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.

5.(2023•浙江衢州•中考真题)小红在解方程?=等+1时，第一步出现了错误:

36

解：2x7x=(4x-l)+l,

⑴请在相应的方框内用横线划出小红的错误处.

(2)写出你的解答过程.

6.(2023・青海・中考真题)为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游

戏:

⑴解不等式组:氏

⑵当加取(1)的一个整数解时，解方程好一2%-m=0.

7.(2023•江苏徐州•中考真题)(1)解方程组，

(zx—5y=8

14%—5<3

(2)解不等式组卜T<2X+1

I35

8.（2023•湖北荆州•中考真题）已知关于x的一元二次方程k/-（2k+4）x+k-6=。有两个不相等的实

数根.

⑴求k的取值范围；

（2）当k=1时，用配方港解方程.

9.（2023・湖北黄石•中考真题）关于x的一元二次方程/+加工一1=0,当爪=1时，该方程的正根称为黄

金分割数.宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；

我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数.

⑴求黄金分割数；

（2）已知实数a,b满足：a2+ma=l,b2—2mb=4,且bK—2a,求ab的值；

⑶已知两个不相等的实数p,q满足：p2+np-1-q,q2+nq-1=p,求pq-n的值.

大题01数与式及方程（组）中的计算问题（8大题型）

考情分析•直击中考

数与式及方程（组）中的计算问题是中考的必考内容，该部分内容涉及知识点较多，但是考题相对简

单，所以需要学生在复习这部分内容时，扎实掌握好基础，在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心而

丢分.

琢题突破•保分必拿

解一元一次不等式组

根与系数关系和根的判别式综合应用

新定义问题

比较大小问题

题型一：实数与根式的计算

1.（2023,湖南张家界,中考真题）计算：|-—（4-兀）°-2sin60。+（，.

【答案】4

【分析】先化简绝对值，零次塞及特殊角的三角函数、负整数指数幕，然后计算加减法即可.

【详解】解：原式=y—1—2x^+5

=4.

【点睛】题目主要考查绝对值，零次幕及特殊角的三角函数、负整数指数幕，熟练掌握各个运算法则是解

题关键.

2.（2023•湖北宜昌•一模）已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示.

b0

⑴若|a|=|bI，则a+b=,-=.

⑵化简：+#(a+b>—|c-h|.

【答案】(1)0,-1

(2)-b

【分析】(1)根据a,b异号且绝对值相等，可得a,b互为相反数，进而可得结果；

(2)根据数轴上a,b,c的位置和大小关系，再由绝对值的性质去掉绝对值符号，进行计算即可.

【详解】(1)由数轴可知,c<b<0<a,\a\=\b\,

••・a+b=0,-=—1.

b

(2)vc<b<0<a,\a\=\b\,

・•・Vc^+“a+b)3—|c—

=—c+0—(h—c)

=—c+0—b+c

=­b.

【点睛】本题主要考查了数轴的意义，绝对值的性质，熟练掌握数轴的特点和绝对值的性质是解本题的关

键.

1)a0=l(aWO)，a-n=4(aWO,n为正整数)

an

2)①|a-b|=a-bU>a>b②|a-b|=OM>a=b③|a-b|=b-aU>a<b

3)特殊的三角函数要记牢.

4)在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：

①先算乘方，再算乘除，最后算加减；

②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号.

1.(2022・湖南娄底•中考真题)计算：(2022-TT)°+(^1+|1-V3|-2sin60°.

【答案】2

【分析】分别计算零指数幕、负整数指数累、绝对值和特殊角的三角函数值，然后按照去括号、先乘除后

加减的顺序依次计算即可得出答案.

【详解】解：(2022-兀)°+(I)-1+|1-V3|-2sin60°

lV3

=l+2-(l-V3)-2x—

=l+2-l+V3-V3

=2.

【点睛】此题考查实数的混合运算，包含零指数幕、负整数指数事、绝对值和特殊角的三角函数值.熟练

掌握相关运算的运算法则以及整体的运算顺序是解决问题的关键.

2.(2023・湖北宜昌•一模)已知a,b满足Va+1+g-1|=0,求a?。?？+。2023一4尤的平方根.

【答案】土戈

【分析】根据GT+\b-l\=0,可得a=—1,6=1,再求解。2。22+〃023一4ab的值，结合平方根的

含义可得答案.

【详解】解：不1+伎一1|=0，

a+1=0,b—1=0,

a=-1,b=1,

：.a2022+b2023+4=l+l+4=6,

2022

：.a+02023_4a6的平方根为±乃.

【点睛】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的含义，平方根的含义，熟练的求解a=-l,b=l是解

本题的关键.

3.(23-24九年级上•四川眉山•阶段练习)已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：后-|a+c|+

J(c-6)2—J(6-a)2.

_________III_______________I__________

c___a__0b

【答案】化简得〃

【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的意义，利用数轴确定出见。+。,。-仇5-。的符

号，再利用绝对值的意义化简运算即可，利用数轴确定出Q,a+c,c-b,b-a的符号是解题的关键.

【详解】由题意得：c<a<0<b,

-'-a+c<0,c—b<0,b—a>0,

—|a+c|+J(c—b)2——a)2

=-a+a+c+b—c—(b—CL)

=-CL+a+c+Z?-c—力+Q

=a.

题型二：代数式的混合计算

1.(2023•青海西宁,中考真题)计算:(2a-3)2-(a+5)(a-5).

【答案】3a2-12a+34

【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理；

【详解】解：原式=(4a2-12a+9)-(a2-25)

=4a之-12a+9—a?+25

=3a2-12a+34.

【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键.

2.(2023・湖北襄阳•中考真题)化简：。—看£)一二.

【答案】-

a

【分析】先根据同分母分式相加减法则计算，再利用提公因式和平方差公式分解因式，把除法换成乘法，

即可求解；

【详解】解：原式=(篝-言为

1a+1

=----------

a+1a

_i

a,

【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键.

3.(2024•黑龙江大庆•一模)如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式.

⑴求整式P.

(2)将整式P因式分解.

⑶P的最小值为

【答案】(1)4/—16

(2)4(x+2)(x-2)

⑶T6

【分析】本题考查多项式的加减、因式分解和最小值的计算，熟练掌握多项式的加减运算规则和因式分解

的方法是解决本题的关键.

(1)直接求和即可；

(2)根据平方差公式分解因式；

(3)由自＞。即可判断P的最小值为-16.

【详解】(1)解：。=3刀2一4乂一20+(%+2)2

=3x2—4%—20+%2+4%+4

=4%2—16.

(2)4%2—16—4(x2—4)=4(x+2)(x—2)

(3)P=4x2-16,

x2＞0,

.•.当x=0时，P的最小值为—16

1)累的运算

幕的近＞(公式补充说明

1,逆用公式3■•*0-«••••

同庵敷将例荣

(m.n<**l*J

2.1犷发%PBMJE**)

1负号在揖号内时■次力培累为正奇次方为负负号在相号外结

但T’.0果郁为负.

累的柬方

(m.

2地用公大；ai=(『T

3KF*]gF"L(a.n.

(abf=aV1.渔用公式，anbn=(abr

积的果方

(n-

V1；][abc]=ab'U

1关.看底敷是否纲同幅微幅。是指It除K的指cut去除

/一.一「「式的指敛

同庭敷累相殴

(a^O.m.n郁为整数)

2爱用公式，・="="=+*■(a*0.m.n«lS正整效).

1KFIKl(«0O.a.a.

2)乘法公式

餐送公式叟形

平方装公式缶+b)(a-b)・iT-bz

1.通过称事变形

(£)(aM>)**2nb第211b•(0♦b尸-(n)bU

用注,已Sf.・!>、/汨中的西旗求其一项的值(如.<-).

Z.a”与aft)”化

®(a*b)**•(A*b)*•lab②(.■(>)'-脑*b)*=4ab

3)(aH>)**(a*b)*—lab④(a*b)**(a~b)*

用法己如中的沟鹏求为■网的假(加.求,).

(■+b)'=*4+2®b+bri•»・n-b

.特嫌饰构

文金平方公式口iA首平方,尾平方.3

二倍集枳放中央©(«>1)JJI，2♦白②

*1*t**

领(*与x'・2+±(3Dx'~白

Kr*r1r

i.riR

[1；(•±b>'=<■'±3n、+3ab‘士『

②(a*b*c),=az4-b*+c24-2Bb-F2«c4-2bc

3)因式分解

**

发公因式法■mb+acma(a+b+c)

方法

®运HI学力*公式i/一b'=(«+b)(a-b).

公式法

②垢用完全4f方公式g『±2nb+bt,Gi±b尸

(p*q)M*pq-(a*p)(a・q)

迸阶

【II快】白尾分解,上叉相乘,实舱啼墙.求抑修中.

力法十字的我法

【特鞅1岗大分［Bax*bi*c

①若》b，cP.则必有因式x1②若iMcf.购必有因式"1

分蛔分解漆tic*ad*bc*cd-a(c♦<1)♦b(c*d)=(a*b)(c*d)

如!B多项大中某IB分代数式底复出现,那么可将这部分代数式用另一个字母代瞥.

挨无法例：因式分*(*15**2)(/*5灯3)-12.改x>5x，2=l

(fl)-12=(t-3)<i*4)=(x*2)(x,3)(i:*5x-l>

1)如果多项式占用由公因式.应先提取公因其；

2)如里？frJ«没"公因就.可以会试使用公式法：①为两璃时.老班平方适公式：

n②为三项M.考位金平木公式t

步・③为四项时.％必利则分蛆的方法进打分

3)桧直分”因大足否拘底.必须分新到触一个U项式"不能再分”为止.

以上步,可以概括为“一烫、二集、检**r.

1.(2024・重庆•模拟预测)计算:

(l)((z+2b)(a-2b)+(a—b)2

【答案】（l）2a2—2ab—3b?

【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，乘法公式.

(1)根据乘法公式计算，再合并同类项即可；

(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果

即可.

【详解】(1)解：(a+26)(a—2b)+(a—b)2

=a*2-4b2+a2—2ab+b2

=2a2—2ab—3b2；

⑵解：(-I-京)+中

_Zx2-13\(x-2)2

\%+1%+1/%+1

(%+2)(%—2)%+1

%4-1(x—2)2

_x+2

x—2

2.(2024•湖南,模拟预测)已知整式4=4/+4X-24.

⑴将整式4分解因式；

(2)求证：若x取整数，则4能被4整除.

【答案】⑴4。+3)(x-2)；

(2)证明见解析.

【分析】(1)利用配方法把4/+钮配成一个完全平方式，再利用平方差公式因式分解即可;

(2)利用(1)的结果即可求证；

本题考查了因式分解及其应用，掌握因式分解的方法是解题的关键.

【详解】(])解：A=(4x2+4%+1)-25

=(2x+l)2-52,

=[(2x+l)+5][(2x+l)-5],

=4(%+3)(%-2)；

(2)证明：:X取整数，

x+3和久一2均为整数,

又由(1)可知，A-4(x+3)(x-2),

•••4能被4整除.

题型三：化简求值

22

1.(2023•山东淄博•中考真题)先化简，再求值：(x-2y)+x(5y-x)-4y,其中久=等，y=号.

【答案】%y；1

【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案.

【详解】原式=x2+4y2—4xy—x2+5xy—4y2

=xy,

当x=等,y=与时，

原式=xy=X=1=1.

【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键.

2.(2023•辽宁丹东•中考真题)先化简，再求值：(第一一二;)十三，其中％=0尸+(—3)。.

\x2-2x+lx-1/x-1\2/

【答案W，1

【分析】

先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺

序进行化简，根据负整数幕和。次幕的运算法则，求出X的值，最后将尤的值代入计算即可.

【详解】解：