整式的加减规律题专项训练（解析版）-2023-2024学年人教版七年级数学上学期复习分类汇编

专题06整式的加减规律题专项训练

数字类

2x1

97V?4.

规定/(小三v,例如一(2)="=§二=2八3).-二

1.对于正数尤,1+13-⑶-3+1-2,

2

+/(1)+/(2)+f(3)++f(99)+/(100)+/(101)=

9?I

A.199B.200C.201D.202

【答案】C

【分析】通过计算/(1)=1](2)+/1'2,〃3)+/[r2,…可以推出

+/Q]+/Q^+/(l)+/(2)+f(3)+

+/(99)+/(100)+/(101)^

果.

2

【详解】解：/(1)=-=1,

2x-

44="+出=2,

/(2)=——=-2

1+23

1+-

2

2x-

_34，/(3)+/|=2,...

八K"1+1

3

2xJ

y(100)=^22=—,/(—)=—=—,/(100)+/(—)=2,

1+100101100j11017J100

1---------

100

+/Q]+/^+/(D+/(2)+/(3)++/(99)+/(100)+/(101)

=2x100+1

=201

故选：C.

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键.

2.我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成4=2部分，2条直线将平面最多分成为=4部分,

3条直线将平面最多分成。3=7部分，4条直线将平面形多分成为=U部分.…，〃条直线将平面最多

111

分成。，部分，贝心-+------------+()

1—d1121-〃10

10

A20209

AB.——C.—D.

-n1111-5

【答案】B

【分析】根据题意，抽象概括出相应的数字规律，w条直线将平面最多分成

为=1+1+2+3++〃=1+幽土。部分，进而得到匚।九伍+1）二-2（上——11再进行求

21-1一^^

解即可.

【详解】解：.「I条直线将平面分成q=1+1=2部分，

2条直线将平面最多分成出=1+1+2=4部分，

3条直线将平面最多分成。3=1+1+2+3=7部分，

4条直线将平面形多分成为=1+1+2+3+4部分……，

条直线将平面最多分成%=1+1+2+3++〃=1+业型部分，

〃2

11一1]

1-。〃11〃（几+1）I〃n+lj,

1-1--------------

2

111，11111

----------1-------------1-----------=—21----1------F--------------

]—Q]1-^21—〃1o12231011

-2

20

11

故选B.

【点睛】本题考查数字类规律探究.解题的关键是得至lJ%=l+l+2+3++n=l+

2

3.大于1的正整数机的三次塞可''分裂〃成若干个连续奇数的和，如23=3+5,33=7+9+11,

43=13+15+17+19,…若病分裂后，其中有一个奇数是1005,则相的值是（）

A.31B.32C.33D.34

【答案】B

【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，求出到小的所有奇数的个数的表达式，在求

出1005是从3开始的第502个奇数，然后确定502所在范围即可得出结论.

【详解】底数是2的分裂成2个奇数，底数是3的分裂成3个奇数，底数是4的分裂成4个奇数,

加分裂成机个奇数，

到加的奇数个数为：2+3+4++m=（"+2）（*1）,

2

2〃+1=1005,〃=502,

•­•奇数1005是从3开始的第502个奇数，

,•（31+2）（31）=495,3+2）3-1）=叼

22

第1005个奇数是底数为32的数的立方分裂的奇数的其中一个，即机=32

故选：B.

【点睛】本题考查数字的变化规律.解题的关键是观察出分裂的奇数的个数与底数的特点.

4.观察下列按一定规律排成的一组数：

,1,12,113,1234,11125,1，,上+、.…、r

-LZ，-Lg,一刀,1,一：,不一：」,一；£,-£,£,T，z，-g,彳,一行,之,-1,7,…，从左起第一个数记%，n则l

2334245555632367

〃23〃2023=_______

7

【答案】

64

1?

【分析】由题意知，为为奇数时，〃〃为负，〃为偶数时，为正，由。22=于可知%3=-'，由题

上左1I21231134123451112561_.甘晶

思知'5'一5'§'一§'§'一"/'一“"一丁不一丁丁一二%'一§'5'一§%'一个，’…，n人il」"=一;其中

lx(l+l)122x(2+l)1233x(3+l)

1=一于其中3=—;其中6=

222332

12344x(4+l)

；

%=一4其中1°=…，记分母为加，可推导一般性规律:

494'4'2

m(m+1)63x(63+1)

分母相同的一组数中最后的一个的耳中的“满足n=,由=2016,可得

22

63nil1+(2023-2017)

根据“2023,计算求解即可.

喙7

64

【详解】解：由题意知,n为奇数时，。”为负,n为偶数时，。”为正,

1

7

2

~，

7

121231134123451112561

1,

2'2'3'3'3'4'2'4'4‘5‘5‘5‘5‘5‘6‘3‘2‘3‘6‘6‘7’

lx(l+l)

％=T;其中1=

2

1-|;其中3=2x(2+l)

22

233x(3+l)

-;其中6=

332

12344x(4+l)

%=一—;其中10=

44'4942

m(m+1)

记分母为加，可推导一般性规律：分母相同的一组数中最后的一个的。〃中的〃满足〃=

2

..63x(63+1)

=2016,

2

63

••々2016=TZ

1

则“2017

64,

1+(2023-2017)7

,,02023

6464

27

故答案为:

764

【点睛】本题考查了数字变化的规律探究.解题的关键在于推导一般性规律.

5.在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃2〜10共9张牌挑出，打乱顺序随机发给了

甲、乙、丙三名同学，每人三张牌.已知甲的三张牌数字之和是12,乙的三张牌数字之和与丙的三

张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数.写出甲的三张牌上的数字是一,丙的三张

牌上的数字是一

【答案】2,4,63,8,10

【分析】根据题意先分析出甲的可能结果，然后结合乙的三个奇数，筛选出合适的，最后再按照乙

丙的三张牌数字和相同进行分配即可.

【详解】解：已知红桃2~10有数字2,3,4,5,6,7,8,9,10共计9张牌

甲的三张牌数字之和为12的情况有2,4,6、2,3,7、3,4,5三种组合,

9张牌中共有4个奇数，乙的三张牌上的数字都是奇数，

二甲最多只能有一个奇数，只有2,4,6符合，

乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，

，乙的三张牌数字为5,7,9,丙的三张牌数字为3,8,10,

故答案为：2,4,6；3,8,10

【点睛】本题考查了数字类组合运算，按照题目进行逐步筛选和分析是解题关键.

6.观察下列等式，并解下列各题.

1^1111111

~2'2^3-2-3'3^4-3-4

讲以上三个等式两边分别相加得：

11111113

------1-------+---=—I——I—

1x22x33x422334

]

⑴猜想并写出:

n(n+l)

1111

⑵直接写出下列各式得计算结果:---+----+----+•••+

1x22x33x42016x2017

1

⑶探究并利用以上规律计算:-------1--------1--------F■■,+

2x44x66x82014x2016

【答案】⑴,---；20161007

](2)⑶

nn+120174032

【分析】（1）根据题中给出的例子即可找出规律;

（2）根据（1）中得出的规律进行计算即可;

（3）根据得出的规律进行计算即可得到答案.

111111

【详解】（1）解：

1x222x323：3x434

111j__1

而包二；故答案为:

n〃+1'

1□___1__|_..._i_1

（2）解：根据题意可得：-~~—+十十•••十

1x22^33x42016x2017

11,120162016

]——J————|————|—•••—|—,故答案为:

2233420162017201720172017

（3）解：根据题意可得:

1

---------1----------1---------1-...+

2x44x66x82014x2016

+...+U11

20142016

111]1007

----1----2016J-4032

66

【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键.

图形、图表类规律性探索

7.正整数按如图的规律排列，则2022位于哪一行，哪一列（）

A.第45行第4列B.第4行第45列

C.第46行第3列D.第3行第46列

【答案】B

【分析】观察图形可知这些数字排成的是一个正方形，则由44x44=1936,45x45=2025,即可判断

2022的位置.

【详解】解：观察图形可知这些数字排成的是一个正方形，

44x44=1936<2022<45x45=2025,

2022在第45列，

2025—2022=3,

二2022在第4行,即2022位于第4行,第45列.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，由所给的数字得出存在的规律是解答的关键.

8.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一.如图，在杨辉三角形中，斜线/的上方，从1开

始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,4,6,5,10,用凡表示这个数列的第〃个数,

贝U。99+%00=•

1

【答案】1327

【分析】分奇数和偶数计算.

【详解】当序号为偶数时，3=笄,4=弋,5=胃,

222

〃+4

•an=~，

土在口%六米-口由1『+4x1+332+4x3+352+4x5+372+4x7+3

当序节为奇数时，］=---------------,3=----------------,6=----------------,10=----------------，

8888

/+4〃+3

a=-------------，

〃n8

2

._99+4X99+3_10__

,,%9—~-1275；

Og9+a100=1275+52=1327,

故答案为：1327.

【点睛】本题考查了规律探索，正确运用分类思想分成偶数列，奇数列计算是解题的关键.

9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨

辉三角.现在将所有的奇数记"1",所有的偶数记为"0",则前4行如图②，前8行如图③，求前32

行"1"的个数为—.

1

11

1▽

1111V11

1211i\oo0/1

1331111l\oo/l1

146411W1

1510105111Vl

iNiViNiViWivii

（图①）（图②）（图③）

【答案】243

【分析】先根据给出的图②和图③找出出现"1"规律，然后根据规律即可得解.

【详解】观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字均为0,

.•.前8行中"1〃的个数是前4行中"1"的个数的3倍，

即前8行中T的个数为9x3=27（个）,

同理可知前16行中“1"的个数是前8行中T的个数的3倍，即前16行中T的个数为27x3=81（个），

前32行中"1"的个数是前16行中"1"的个数的3倍，即前32行中"1"的个数为81x3=243（个），

故答案为：243.

【点睛】本题考查了数字规律探究计算，根据给出的图②和图③找出出现"1"规律是解题关键.

10.有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成

两行，排列规则如下：

ABCDEF

第一行：■□白■■白

第二行：

abedef

①左至右，按数字从小到大的顺序排列；

②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边.

将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字

1摆在了标注字母的位置，标注字母e的卡片写有数字.

【答案】B4

【分析】根据排列规则依次确定白1，白2,白3,白4的位置，即可得出答案.

【详解】解：第一行中8与第二行中c肯定有一张为白1,若第二行中c为白1,则左边不可能有2

张黑卡片，

•••白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，

•••黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置,；

第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2,若第二行中c为白2,则°,匕只能是黑1,黑2,而A

为黑1,矛盾，

第一行中C为白2；

第一行中尸与第二行中c肯定有一张为白3,若第一行中产为白3,则。，E只能是黑2,黑3,此

时黑2在白2右边，与规则②矛盾，

.,.第二行中c为白3,

••・第二行中a为黑2,6为黑3；

第一行中产与第二行中e肯定有一张为白4,若第一行中产为白4,则。，E只能是黑3,黑4,与

b为黑3矛盾，

.,.第二行中e为白4.

故答案为：①8，②4.

【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1,白2,

白3,白4的位置.

11.如图，四边形ABCD是矩形，点尸是A3边的三等分点，BF=2AF,点片是CB边的中点，连

接耳歹，E,D,得到△£1//）；点石2是C6的中点，连接当月，当。得到△马/。；点均是CE2的中

点，连接与歹，E3D,得到△4即；…按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于6,则

△£2022FD的面积是

【答案】3一^^

【分析】由题意得：AB=CD,AD=BC,ZA=ZB=ZC=90°,AF=^AB,BE^CE^^BC=^AD,

AB=CD=3AF,SEFD=SABCD—ADF+SE^BF+S£1CDj,整理可得，SE^D=3——,从而得解.

【详解】四边形ABC。是矩形,

:.AB=CD,AD=BC,

ZA=ZB=ZC=90°,

=点耳是CB边的中点,

/.=BE]=CE]=-BC=-AD

22f

AB=CD=3AF,

S.^FD=^ABCD-(SADF+S+S

EXBF%CD

=6-(+BF+gcE]CPI,

11

=6--AD?AFi+-x+-x

222

11

=6--A2)?-AB|+-x+-x

2322

1

=6--x6x|1+-x2+|x3j,

62

=6.fl+lx2+lx3j,

.石2是的中点,

3311

.\BE.=-BC=-ADCE?=—BC=—AD,

244f244

**,SE2F£)—^ABCD_(

SADF+SE2BF+$E2CD)，

=6-(1+-X2+-X3I，

整理得：E

S2FBI44)

=6-(l+-x2+-x3I,

同理可得：S%FDI88J

2,!-l11

・•・S.EJD=6-1+----x2+—x3,

2n----2"

=3-F-

S=3-'

■4)22尸072022,

故答案为：3-^2022.

【点睛】本题主要考查三角形的面积，规律型图形的变化类，解答的关键是通过整理归纳出其规律.

12.下列图形都是由相同大小的卡按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗卡,

第②个图形中一共有ii颗y＞，第③个图形中一共有21颗令，……按此规律排列下去.第

⑩个图形中的士颗数为

【答案】175

【分析】根据题意将每个图形都看作两部分，一部分是上面的构成规则的矩形，另一部分是构成下

面的近似金字塔的形状，然后根据递增关系即可得到答案.

【详解】第①个图形中小的颗数4=2+lx2；

第②个图形中中的颗数11=2+3+2x3；

第③个图形中小的颗数21=2+3+4+3x4；

第④个图形中小的颗数34=2+3+4+5+4x5；

第九个图形中文的颗数

=2+3+4+5++〃+(〃+1)+〃(几

(2+〃+1)〃

+〃(几+1)

2

325

=—n+—n

22

535

当〃=10时,+-=-xl02+-xl0=175,

22n22

.•・第⑩个图形中的令颗数为175颗,

故答案为：175

【点睛】本题考查了图形变化规律，正确地得到每个图形中小星星的数字变化情况是解题的关键.

13.我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做〃平行四边形数〃和〃正六边形数〃.设第〃

个“平行四边形数"和"正六边形数”的和为

•••

•••••••••

）••

•♦•♦•••••••••・•••••

••••••••••••

【答案】2〃+3〃（〃+1）+3

【分析】根据图形变化规律,列出〃平行四边形数〃和''正六边形数〃前三个满足的等式，即可推出第n

个满足的等式，最后求和即可.

【详解】由图可知，第1个”平行四边形数〃为4=2xl+2,

第2个〃平行四边形数〃为6=2x2+2,

第3个〃平行四边形数〃为8=2x3+2，

L,

二第n个〃平行四边形数〃为2〃+2；

由图可知，第1个"正六边形数〃为7=（3xl）x（l+l）+l,

第2个〃正六边形数〃为19=（3><2）><（2+1）+1,

第3个〃正六边形数〃为37=（3X3）X（3+1）+1,

L,

・•・第n个〃正六边形数〃为3〃（〃+1）+1,

/.其和为2〃+2+3〃（九+1）+1=2〃+3〃（川+1）+3.

故答案为：2"+3〃(〃+l)+3.

【点睛】本题考查规律型：图形变化类，解题的关键是学会从一般到特殊的探究方法，找到规律后

即可解决问题，属于中考常考题型.

14.（1）为了计算1+2+3++8的值，我们构造图形（图1）,共8行，每行依次比上一行多一个点.此

图形共有（1+2+3++8）个点.如图2,添出图形的另一半，此时共8行9列，有8*9=72个点，由此

可得1+2+3++8=-x（l+8）x8=36.

用此方法，可求得1+2+3++20=_（直接写结果）.

（2）观察下面的点阵图（如图3）,解答问题：

填空：①1+3+5++49=_；

（2^）1+3+5++（2〃+1）=.

（3）请构造一图形，求（+*+（++盛（画出示意图，写出计算结果）.

图1图2图3

【答案】（1）210；（2）①625,②（"+1）2；（3）1-击，图和过程见解析

【分析】（1）根据给定的计算方法，进行计算即可；

（2）①根据已有点阵图，得到第〃个点阵图中点的个数为1,再进行计算即可；②根据规律进行

计算即可；

（3）将一个面积为1的正方形分割为g和g两部分，再将正方形的1•分割为《和/两部分，L,

依次进行分割，再进行计算即可.

【详解】解：（［）1+2+3++20=|x（l+20）x20=21x10=210；

故答案为：210；

（2）由点阵图可知：1个数时和为1=「，

2个数时和为4=22,

3个数时和为9=3?,

L,

”个数时和为“2.

1+3+5++49中有25个数，

1+3+5+.+49=25?=625.

1+3+5++(2〃+1)中有(〃+1)个数,

1+3+5++(2〃+1)=(〃+1)2.

故答案为：625；(“+1)2；

(3)由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1,

第1次将正方形分割为3和3两部分，

第2次将正方形的g分割为(和《两部分，

・・・，以此类推，

第2023次分割后，剩余的面积为22023，

那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：++击，

11111

-2+2T+2T++25®T=1_2555''

【点睛】本题考查图形的规律探究，有理数的混合运算，数形结合思想.解题的关键是将代数问题

转化为几何图形，利用数形结合的思想，进行简便运算.

15.(1)将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4)放置于水平桌面上，如图

1,在图2中，将骰子向右翻滚90。，然后在桌面上按逆时针方向旋转90。，则完成一次变换.若骰

子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是

()

图1图2

A.6B.5C.3D.2

(2)如图，圆圈内分别标有0,1,2,3,4,"这12个数字.电子跳蚤每跳一次，可以从一

个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字"0"的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010

次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是.

【答案】(1)B；(2)6

【分析】(1)先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续3次变换是一个循环.本题

先要找出3次变换是一个循环，然后再求10被3整除后余数是1,从而确定第1次变换的第1步变

换，即可得出答案；

(2)由题意知12个数一循环，然后再求2010被12整除后余数是多少来决定是哪个数即可.

【详解】解：(1)根据题意可知连续3次变换是一循环，

10-3=3...1,

二是第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5,故B正

确.

故选：B.

(2)根据题意可知是0,1,2,3,4,....11即12个数是一个循环，

2010+12=167…6,

该圆圈所标的数字是6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了数字变化规律和图形变换规律，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常

出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.

优选提升题

16.认真阅读材料，然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如:

(a+A)-a+b.(a+Z?)2=a2+2.ab+b2.(a+Z?)3=(a+Z?)"(a+Z?)=a3+3a2b+3ab2+b3....；

下面我们依次对g+6)“展开式的各项系数进一步研究发现，当〃取正整数时可以单独列成表中的形

式：

(。+”..................11

伍+6y..........................121

(a+b)3.......................1331

(a+b)4.......................14641

(a+b)5.....................15101051

(a+b)6...................1615201561

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形"；仔细观察"杨辉三角形"，用你发现的规律回答下列问

题：

⑴多项式S+6）"的第三项的系数=;

（2）请你预测一下多项式（。+6）”展开式的各项系数之和=；

2020

H展开式中含铲"项的系数为；

②（S+x『展开式按x的升哥排列为：（S+无）"=%+即::+4尤2+…+牝产，若S=2,求

%+4+Q2H---%5的值.

【答案］⑴」一L

2

⑵2〃

（3）®-4040；②35

【分析】（1）由题意可求得当〃=1,2,3,4,…时，多项式（4+6）"的第三项的系数是多少，找到规律，

即可得出答案；

（2）求得当"=1,2,3,4,…时，多项式S+6）”展开式的各项系数之和，找到规律，即可求得答案；

（3）①首先确定工沏8是展开式中第几项，再根据杨辉三角即可解决问题；②将x=l代入求解即可.

【详解】(i)解：当〃=1时，多项式的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0=苧;

当”=2时，多项式(a+b)2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1=书

当〃=3时，多项式(。+6)3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3=等；

当〃=4时，多项式(a+b)4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6=苛；

多项式(a+b)”的展开式是一个〃次(〃+1)项式，第三项的系数为：虫71；

故答案为：——

2

(2)解：当”=1时，多项式”的展开式的各项系数之和为：1+1=2=2］；

当”=2时，多项式(a+b)-的展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=2?；

当〃=3时，多项式(a+4的展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23；

当〃=4时，多项式(a+b『的展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24；

，多项式(4+6］展开式的各项系数之和为2",

故答案为：2";

⑶解：①J0"0=%2020-2020■%2019.-

展开式中含一。18项是其展开式的第二项,

—4040/018

/.-2020-A:2019

故答案为：-4040；

（2）（S+x）=%+qx+-----

・•.当S=2时，令兀=1,

则（2+1）'=4+q+a2+,—I-%5，

%+%+生+…+%5=3”.

【点睛】本题考查了杨辉三角，数字的规律，解题的关键是根据图形中数字找出相应的规律，再表

示展开式.

17.【问题提出】

在由机X”（mX">1）个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正

方形个数与m,n有何关系？

【问题探究】

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递

进，从中找出解决问题的方法.

探究一：

当m,n互质（m,n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表：

3x25x2

图1

矩形横长m233545

公矩形纵长n112233

矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f23466

结论：当m,n互质时，在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,

n之间的关系式是.

探究二：

当m,n不互质时，不妨设租=%，n=kb（a,b,k为正整数，且a,b互质），观察图2并完成下

表：

6x4