选择压轴题-2024年北京高考数学复习分类汇编（解析版）

专题11选择压轴题

1.（2023•北京）数列｛%｝满足a,-]=；4-6）3+6,下列说法正确的是（）

A.若q=3,则｛%｝是递减数列，BM&R,使得"〉机时，an>M

B.若q=5,则｛4｝是递增数列，BM„6,使得〃时，an<M

C.若％=7,则｛%｝是递减数列，使得〃>"2时，an>M

D.若4=9,则｛4｝是递增数列，BM&R,使得〃>〃7时，an<M

【答案】B

2

【详解】对原式进行变形，得an+l-an=[:（an-6）-l]（an-6）,

当4=3,则出一4<0，出<3，设为<3（aeZ,Z..2）,贝U%[-4<-3,所以｛4｝是递减数列,

当〃f+oo,Q“->-oo,A错误，同理可证明。错误，

当％=5,贝|%—%>。，即%>5,又因为（（%-6）3<0,所以5V%<6，

假设5<殁<6（左GZ,左..2）,则为即以+i>5,又因为；（％—6）3<0,所以5VW+1V6,

所以当W3+8,an—>6,B正确，

对于C,当q=7,代入进去很明显不是递减数列，C错误，

故选：B.

2.（2022•北京）在AABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P为AABC所在平面内的动点，且尸C=l,

则丽•丽的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【详解】在AABC中，AC=3,3C=4,ZC=90°,

以C为坐标原点，CA,CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图:

则4(3,0)，2(0,4),C(0,0),

设P(x,y)，

因为PC=1,

所以尤2+丫2=1,

又丽=(3-尤,-y),PB=(-x,4-j),

所以PA-PB=-x(3-x)-y(4-y)=x2+y2-3x-4y=-3x-4y+l,

T^x-cos0,y=sin0,

__kQ

所以PA-PB=—(3cos+4sin^)+1=—5sin(^+^»)+1,其中tan(p=—，

4

当sin(6+e)=l时，丽•丽有最小值为-4,

当sin(e+°)=—l时，西•丽有最大值为6,

所以西.丽e[-4,6],

故选：D.

3.(2021•北京)已知｛4｝是各项为整数的递增数列，且取.3,若苗+g+生+…+4=1。0，则”的最大值

为()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【详解】数列｛%｝是递增的整数数列，

要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，

假设递增的幅度为1,

Gj=3,

an=n+2,

„.(3+n+2)n5n+n2

则S=-------------=---，

n22

当〃=10时，4O=12,Sl0=75,

lOO-Slo=25>izlo=12,即“可继续增大，”=10非最大值，

当〃=12时，%2=14，S12=102,

•1-100-S12=100-102<0,不满足题意，

即〃=11为最大值.

故选：C.

4.（2020•北京）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（万Day）.历史上，求圆周率万的方法有多种，

与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数”充分大时，计算单位圆的内

接正6〃边形的周长和外切正6〃边形（各边均与圆相切的正6〃边形）的周长，将它们的算术平均数作为2万

的近似值.按照阿尔•卡西的方法，万的近似值的表达式是（）

30°30°30°30°

A.3n（sin------1-tan----）B.6n（sin------1-tan----）

nnnn

c.60。60。、c//.60。60。、

C-•3H（SID------Ftan----）D.on（sin------Ftan----）

nnnn

【答案】A

【详解】如图，设内接正6〃边形的边长为。，外切正6〃边形的边长为人

田再。.360°..30°

口」行a=2sin------=2sin-----，

12nn

ehc6na+6nb,..30°30°、

贝J271x------------=6msin-------1-tan----),

2nn

日noz.30°30°、

Jix3n(sin------Ftan----)，

nn

故选：A.

5.（2023•朝阳区一模）已知项数为左（左eN*）的等差数列｛%｝满足q=1,:*<a&=2,3,k）.若

%+出+…+。&=8,则%的最大值是（）

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

.*ciy—1,""—i<=2,3,k）,

.\l+(n-2)d<4[1+(n-l)d],

-3

:.d>

3〃一23k—2

，•q+/+…+/=8,

»+处为=8,

2

16—2%

解得d=

k(k-V)

16-2k-3

------->------

k(k-I)3k-2

化为3左2—49左+32<0,

49?017

令f(k)=3k2-49k+32=3(k-y)2一一—,

上.9时，函数/(4)单调递增，

而/(15)=—28<0,/(16)=16>0,

则人的最大值是15.

故选：B.

6.（2023•西城区一模）〃名学生参加某次测试，测试由加道题组成.若一道题至少有2〃名学生未解出来，

3

则称此题为难题；若一名学生至少解出了3机道题，则该生本次测试成绩合格.如果这次测试至少有女”名

33

学生成绩合格，且测试中至少有gm道题为难题，那么相”的最小值为（）

A.6B.9C.18D.27

【答案】B

【详解】根据题意可知-m^N\

33

不妨设〃=3N],m=3N2,（N],N2&N,）,

mn=9N1N、,

若求加7的最小值，只需MM最小值即可，

即〃=3,m=3,

此时即有3名学生不妨设为2名学生成绩合格，这两名学生至少做了4道题，

可设甲同学可得至少有2名学生成绩合格，这两名学生至少做出了4道题，

可设甲同学做出了A,3两道题，乙同学做出了3,C两道题，丙同学做出了0道题,

此时合格的学生为甲乙，即有2〃名学生成绩合格，

3

A,B,C三道题目中有A,C两道题，有2〃名学生求解出来，即满足测试中有2根道题为难题，

33

:.n=3,/%=3符合题意，

mn的最小值为9.

故选：B.

7.（2023•东城区一模）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三

大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家

的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001）,可得

N的值为（）

M2371113

IgM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【详解】由题可知1082<N10<1083,

/gio82<IgN10<ZglO83,即82V70lgN<83,

1.171<ZgAT<1.185,

/gl4=Zg2+Zg7=0.301+0.845=1.155<1.171,

lgl6=4/g2=4x0.301=12.04>1.185,

:.N=15.

故选：C.

8.（2023•丰台区一模）如图，在直三棱柱中，AC±BC,AC=2,BC=1,44]=2,点。

在棱AC上，点E在棱8月上，给出下列三个结论：

①三棱锥E-ABD的体积的最大值为2；

3

®A}D+DB的最小值为0+,；

③点。到直线GE的距离的最小值为竽.

其中所有正确结论的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【详解】在直三棱柱A3C-4月G中3瓦，平面ABC,

对于①：因为点E在棱B耳上2月=44,=2,所以BEe[O,2],又为=^8后・5.，

又AC_L3C,AC=2,BC=1,点。在棱AC上，所以ADe[O,2],SL.SAnDnLnJ=-ADBC=-ADe[0.1]<

17

所以％.,=§BE•邑的》,,不，当且仅当。在C点、E在用点时取等号，故①正确；

对于②：如图将AABC翻折到与矩形ACG4共面时连接42交AC于点D,此时其。+03取得最小值，

因为AG=CG=2,BC=1,所以BG=3,所以1cl,+物=店,

即4。+08的最小值为四，故②错误;

对于③：如图建立空间直角坐标系,

设。(a,0,0),oe[0,2],£(0,1,c),ce[0,2],G(0,0,2),

所以甲=(a,0,-2),QE=(0,l,c-2),

则点。到直线"距离7不『一（卷号—卜小+4一百言

当c=2时d=y/a2+4..2，

当时[5则一「，，？

0,,c<20<(C-2)2,,4,1,—^―1+0V

2

4(c-2)2(C-2)'"41+------5

(c-2)2r

所以当"^取最大值5且八°时加=曰=半,

即当Z）在C点后在3点时点。到直线GE的距离的最小值为?，故③正确；

故选：C.

9.（2023•顺义区二模）2022年足球世界杯在卡塔尔举行，32支参赛队通过抽签分为八个小组.每个小组

分别有4支球队，共打6场比赛，每支球队都必须和同组其他3支球队进行且只进行一场比赛.小组赛积

分规则为：胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分，每个小组积分前两名的球队出线.若小组赛结

束后，同一小组的甲、乙两支球队分别积6分和5分，贝心）

A.甲、乙两队一定都出线

B.甲队一定出线，乙队可能未出线

C.甲、乙两队都可能未出线

D.甲、乙两支球队至少有一支未出线

【答案】A

【详解】设同一组的另两支球队分别为丙、丁，

因为每支球队要进行三场比赛，甲、乙两支球队分别积6分和5分，

所以甲球队二胜一负，乙球队一胜二平，

显然乙球队与丙、丁两支球队平，胜甲，

甲球队胜丙、丁，

此时丙丁两队一负一平，积分1分，

若丙胜丁，最后丙得4分，丁得1分，

若丙与丁平，最后丙丁都得2分，

若丁胜丙，最后丙得1分，丁得4分.

因为每个小组积分前两名的球队出线，

所以甲、乙两队一定都出线.

故选：A.

10.(2023•石景山区一模)已知正方体ABC£>-ABIG2的棱长为2，点尸为正方形ABCD所在平面内一动

点，给出下列三个命题：

①若点尸总满足PR±DQ,则动点尸的轨迹是一条直线；

②若点P到直线BB、与到平面CDDG的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线；

③若点尸到直线DD.的距离与到点C的距离之和为2,则动点P的轨迹是椭圆.

其中正确的命题个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，

①连接CR,AtB,由正方体的性质可得平面ABC?,

而平面ABCD]n平面ABCD=BC,

.•.点P的轨迹是一条直线3C,因此①正确；

②设P(x,y,0),2(2,0,0),•.•点尸到直线8片与到平面CDRG的距离相等，

，"2)2+心f,化为尸-#+彳，

动点尸的轨迹是抛物线，因此②正确；

③设尸(x,y,0),C(2,2,0),D(O,2,0),

P到直线DD1的距离与到点C的距离之和为2,

"x?+(y_2)2+7(x-2)2+(y-2)2=2,化为y=2(璘左2).

，动点P的轨迹是线段CD,因此③不正确.

综上只有①②正确，

故选：C.

11.（2023•东城区二模）设a=,6=1.01,C=历1.01,其中e为自然对数的底数，则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

【答案】A

【详解】令y(x)=/-(x+i),则r(x)="-i,

当x>0时,r(x)>0,f(x)单调递增,所以f(0.01)=e°m-001>f(0)=0,BPe001>1.01,

11—Y

令g(x)=/ra;-x,贝！Jg'(x)=——1=-----，

xx

当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以g(1.01)=/〃L01—L01<g(1)=-1<0,即次L01VL01,

所以a>b>c.

故选：A.

12.(2023•海淀区二模)已知动直线/与圆O:尤②+必=4交于A,6两点，且NAOB=120。.若/与圆

(%-2)2+/=25相交所得的弦长为f,贝卜的最大值与最小值之差为()

A.10-4A/6B.1C.4A/6-8D.2

【答案】D

【详解】由题意可知圆(x-2)2+y2=25的圆心(2,0)在圆=4上，

则当动直线经过圆心，即点A或3与圆心(2,0)重合时，如图1,

此时弦长t取得最大值，且最大值为=2x5=10；

设线段4?的中点为C,

在AAOB中，由。4=03=2,且NAOB=120。，则OC=1,

则动直线/在圆V+丁=1上做切线运动,

所以当动直线/与X轴垂直，且点C的坐标为(-1,0)时，如图2,

此时弦长t取得最小值，且最小值为%“=2x752-32=8,

所以f的最大值与最小值之差为2.

故选：D.

13.(2023•西城区二模)在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点.点尸从原点出发，在坐标平

面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点尸到达点Q(33,33)所跳跃次数的最小值是(

)

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【详解】每次跳跃的路径对应的向量为

ax=(3,4),bx=(4,3),cx=(5,0),4=(0,5),a2=(—3,—4),b2=(—4,—3),c2=(—5,0),=(0,-5),

因为求跳跃次数的最小值，则只取7=(3,4),方=(4,3),q=(5,0),彳=(0,5),

设对应的跳跃次数分别为a,b,c,d,其中a,byc,deN,

可得OQ=aq+仍i+cq+d[=(3Q+4〃+5C,4a+3b+5d)=(33,33),

+4b+5。=33一,口

则,c,一一，两式相力口可得7(a+q+5(c+d)=66,

4〃+3Z?+5d=33

a+b=S或［a+b=3

因为Q+5,c+dGN，则

c+d=2\c+d=9

当;时，则次数为8+2=。

当::时，则次数为3+9=12；

综上所述：次数最小值为10.

故选：B.

14.(2023•朝阳区二模)已知函数/(无)是R上的奇函数，当x<0时，/(x)=4-2T.若关于x的方程

/(/•(尤))=机有且仅有两个不相等的实数解，则实数机的取值范围是()

A.(-co,-3]J[3,+oo)B.[-3,0)5。，3]

C.(-4,-3]|J[3,4)D.(-oo,-4)0(4,+oo)

【答案】C

【详解】由题设F(0)=0,若x>0,则/(%)=-/(-幻=-(4-2")=2"-4,

4一2一,,尤<0

所以/(x)=<0,x=0,值域为H,函数图象如下：

2x-4,x>0

当/(x)e(-co,-3]时，只有一个尤e(-oo,-log?7]与之对应；

当/(x)e(-3,0)时，有两个对应自变量，

记为西，%2(^<x2),则一log?7<玉<—2<0<%<2；

当/(幻=0时，有三个对应自变量且x={-2,0,2)；

当/•(x)e(0,3)时，有两个对应自变量，

记为无3，*4(三<%)，贝！I—2<马<0<2<.<log27；

当/'(x)e[3,+co)时，有一个xe[log?7,+<»)与之对应；

令t=f(x),则/'«)=机，要使/■(/■(»)=加有且仅有两个不相等的实数解，

若/⑺=机有三个解，贝b=/(x)e{-2,0,2},此时x有7个解，不满足;

若/⑺=机有两个解%，芍且％</2，此时乙=/(尤)和弓=，(x)各有一个解，

结合图象知，不存在这样的f,故不存在对应的机；

若加）=机有一个解小则t（,=/（x）有两个解，此时代（-3,-log27]J[log27,3）,

所以对应的机e(-4,-3][J[3,4),

综上，7716（-4,-3]|J[3,4）.

故选：C.

15.（2023•海淀区一模）刘老师沿着某公园的环形跑道（周长大于1初。按逆时针方向跑步，他从起点出发，

并用软件记录了运动轨迹,他每跑1切?，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了n初1,

恰好回到起点，前5A〃的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（）

【答案】B

【详解】设公园的环形道的周长为f,刘老师总共跑的圈数为尤，（xeN*）,

\<t<2

则由题意,所以

3"432

4%>5

所以2〈工<3,因为”=11,所以竺<x=U<生，又xeN*,所以无=8,

3t43t4

即刘老师总共跑的圈数为8.

故选：B.

16.（2023•丰台区二模）已知A,B,C是单位圆上的三个动点，则AS•数的最小值是（）

A.0B.--C.-1D.-2

2

【答案】B

【详解】以的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系,

设A(Q,Z?),B(m,n),C(—m,n),

贝!Ja2+b2=1,m2+n2=1,

_,__b"

故AB•AC=(m—a,n—b)'(—m—a,n—b)=a2—m2+n2—2nb+b2=2n2—2bn=2(〃—)2-----，

22

当”时，荏•衣=2(〃-分-弦取得最小值，最小值为-上，

2222

"1

由于1,1],故当b=±l时，-了最小，故最小值为-

此时〃=±!,满足要求.

2

故选：B.

17.（2023•房山区一模）如图，已知正方体ABCD-A4G2,则下列结论中正确的是（）

A.与三条直线AB,CG，2A所成的角都相等的直线有且仅有一条

B.与三条直线AB,CG，所成的角都相等的平面有且仅有一个

C.到三条直线AB,cq,D,A的距离都相等的点恰有两个

D.到三条直线AB,cc,,24的距离都相等的点有无数个

【答案】D

【详解】.D^HAD,CCt//A4j,

AG与三直线直线至，eq,2A所成的角都相等，

与直线AG平行的直线均与三直线直线4?,CG，AA所成的角都相等，故有无数条，故A错误;

平面与三直线直线至，CG，0A所成的角都相等，

而与平面A耳2平行的平面均与直线AB,CG，2A所成的角都相等，故5错误；

以。为坐标原点，DA,DC,DA为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸(a,a,a),A(1,0,0),8(1,1,0),

.­.PA=(a-l,a,a),AB=(0,1,0),

22222

P到直线AB的距离d=\PA\\-y/l-cos<PA,AB>=J(a-l)+2a-<(…：+R=J(a-l)+a,

v(«-1)+2a

同理可得P到直线CQ和2A的距离为J（a-l）2+a2,

故。片上的点到三条直线AB,CG，RA的距离相等，

故有无数个点到三条直线至，cq,2a的距离相等，故C错误，。正确.

故选：D.

18.（2023•平谷区一模）基本再生数以与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个

感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用

指数模型：/«）="描述累计感染病例数/⑺随时间f（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R。，T近

似满足%=1+4.有学者基于已有数据估计出4=3.28,T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计

感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（历2。0.69）

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【详解】把4=3.28,7=6代入&=l+rT,可得r=0.38,7（f）=e0M,,

当f=O时，/（0）=1,则

两边取对数得0.38，=历2,解得，=匕。1.8.

0.38

故选：B.

19.（2023•通州区一模）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点5,C满足|而|=|走|=血，OBOC=0,

A为线段5。中点，尸为圆（％-3>+（y-4尸=4任意一点，则|Q|的取值范围是（)

A.[2,8]B.[3,8]C.[2,7]D.[3,7]

【答案】A

【详解】由丽•诙=0,则瓦

又|彷|=|0|=应，且A为线段3c中点，则|汝|=1,

所以A为圆。：/+y2=1任意一点，

设圆(x-3)2+(y-4)2=4的圆心为M,则I的'1=5,

又|讨j=5〉l+2,所以圆。与圆M相离，

所以|Q|的几何意义为圆。与圆Af这两圆上的点之间的距离，

所以1行晨,=1丽川+1.1+1旃1=5+1+2=8，|55|,而=|西|-|而|-|砺|=5-1-2=2,

所以I而I的取值范围为[2,8].

图1图2

故选：A.

20.(2023•海淀区校级模拟)函数/(x)=x,ga)=f-x+3.若存在玉,七,…,七e[O,：],使得

.fa)+/(%2)+—+/(%〃T)+g(%〃)=g(%i)+g(X2)+—+g(%〃T)+.f(%〃)，则〃的最大值为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【详解】函数/(兀)=%,g(x)=x2-x+3.

/(芭)+/(%)+…+/(%〃—i)+g(Z)=g(玉)+g(%2)+…+g(%—D+/(%〃)，

艮|3为％]+%+•…+龙；一%+3=%；—%+3+%；—%2+3+...+—xn_x+3+xnj

彳上为％；—2xn+3=片—2%+3+%；—2%2+3+...+%；_]—2xn-1+3,

设/z(x)=r-2x+3,可得存在%,％2,…,%£[04],

使得h(xn)=/z(玉)+h(x2)+...+力®.J，

由h（x）在X=1处取得最小值2,在％=2处取得最大值—，

24

57

即有彳斶®）二"（石）+%（%2）+…+"（工_1）2（“一1）,

即为4国，可得”的最大值为8.

8

故选：D.

21.（2023•昌平区二模）某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，粗线是大公路，细线是小公路，七

个公司A，4，A4,4，4分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上

设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（）

C.路口ED.路口F

【答案】B

【详解】观察图形知,A，4，4，A4,a，4，4七个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公

路与大公路的连接点,

令4到3、a至Uc、4到。、4到。4至！］E、4到E、4至U尸的小公路距离总和为d,BC=《，CD=心,

DE=d3,EF=d4>

路口C为中转站时，

距离总、和Sc=d+4+d]+d、+(&+&)+(4+d])+(d4+4+&)=d+4+5d,+34+,

路口D为中转站时，距禺总和SD=d+(4+dj+d[+&+&+(d4+&)=d+4+2do+34+dd,

路口E为中转站时,距后总和SE=d+(d、+d]+&)+(d[+4)+&+dy+d&=d+4+2</2+4d3+，

路口F为中转站时，

距曷息和Sp=d+(4+d[+&+&)+3。+&+dj+2(4+%)+2d4=d+4+2d?+4d3+5d&,

显然Sc>S0,SF>SE>SD,所以这个中转站最好设在路口。.

故选：B.

22.（2023•延庆区一模）数列｛%｝中，氏=log“+i（〃+2）（〃eN*）,定义：使q•丹,…为整数的数-左©*）

叫做期盼数，则区间口，2023］内的所有期盼数的和等于（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

【答案】D

【详解】因为4=log〃+i(〃+2)(〃£N*),

印、1_.八c、历3历4ln(k+2)ln(k+2)

所以.•出,=nlog3-1log4…5log女］(k+2)=--------------------------=-----------

k231+1ln2加3ln(k+l)ln2

设/=历(左+2),则上+2=2',

ln2

所以k+2为2的整数次事，

因为掇火2023,

所以整改+22025,

故满足条件的无+2=4,8,16,32,64,128,256,512,1024,

故则区间［1,2023］内的所有期盼数的和为

4-2+8-2+16-2+32-2+64-2+128-2+256-2+512-2+1024-2=2026.

故选：D.

23.(2023•海淀区校级模拟)在平面直角坐标系中，。为原点，已知A(l,0),3(-1,0),设动点C满足NACB..U,

2

动点P满足贝的最大值为()

反I1

A.1B.-——-C.V2D.2

2

【答案】C

【详解】因为A(l,0),B(-l,0),设动点C满足ZAC8.?,

2

所以点C在圆尤2+=1内部和圆周上，

因为动点尸满足X4J_PC,

所以点尸的轨迹是以AC为直径的圆,

如图，延长AC交圆f+丁=1于点。，设AC的中点为AD的中点为N,

贝1J|M4|=|〃P|,ONLAD,

若点C在圆上时，M,N两点重合，C、。两点重合，

若点C在圆内时，贝"MA|<|A7V|,

所以1MAi,,|AN|,当且仅当点C圆上时，取等号，

则|OP|,,|OM|+|MPROM|+|A"|,当且仅当O,M,P三点共线时，取等号，

因为|37|+||ON|+|MN|+|AAf|=|ON|+|AN|,当且仅当〃，N重合时，取等号,

因为，ONLAD,所以|ON『+|A7V|2=|Q4|2=1,

所以|ON|+|AN|,,12（|ON|2+|AN『）=0,

当且仅当|ON|=|AN|=\-时，取等号，此时ODLAO,

所以|。尸|”忘，当且仅当O,M,P三点共线，且点C在圆/+9=1与y轴的交点处时，取等号，

所以|。尸|的最大值为血.

故选：C.

24.（2023•西城区校级模拟）现有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）.规定两人对局

胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序.比赛结束后，10名选手的得分

各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的：.则第二名选手的得分是（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】B

【详解】每个队需要进行9场比赛，则全胜的队得9*2=18分，

而最后五队之间赛10场，至少共得10x2=20分，

所以第二名选手的得分是20*弓=16分.

5

故选：B.

25.（2023•北京模拟）《九章算术・商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，

一为鳖腌.阳马居二，鳖腌居一，不易之率也.意思是：如图，沿正方体对角面人耳。截正方体可得两个

堑堵，再沿平面瓦截堑堵可得一个阳马（四棱锥D-A4GA）,一个鳖麻（三棱锥。-4GO,若P为

线段CD上一动点，平面C过点P,8,平面口，设正方体棱长为1,PD=x,a与图中的鳖席截面面积

为S,则点尸从点。移动到点C的过程中，S关于x的函数图象大致是（）

【答案】B

【详解】如图,

设a「pG=N,aQOBj=M,

■：CDYa,:.CD±PN,则ADPN为等腰直角三角形，则PN=x,

DQ=A/2,

B£±平面DCC、,用G-L£»C,,

•.•。€?_1平面尸肱7,DC_L平面B[C]C,平面尸MN//平面C4G，

而平面0G4c平面PMN=MN,平面r>c,B,c平面c4cl=G4，

:.MN//B\G，可得MV_L£）G，则

MN_DN

由r>P=PN=x,得DN=^x,

B'GDCy

DN-Bg

即MV二=x，

-DC；-

:.S=^PN-MN=^x\(^)ic1).

则S关于X的函数图象大致是B.

故选：B.

26.（2023•东城区校级模拟）如图，已知正方体AB8-A4CQ的棱长为1,E,尸分别是棱AD,耳£上

的动点，设AE=x,B}F=y,若棱。R与平面班F有公共点，则x+y的取值范围是（)

133

A.[0,1]B.[-,-]C.[1,2]D.[-,2]

【答案】C

【详解】由题意，若x=y=l,则棱与平面诋交于点。，符合题意；

若x=l,y=0,则棱。2与平面3EF交于线段DR,符合题意.

故选：C.

27.（2023•大兴区模拟）如图，正方体的棱长为2,点O为底面ABCD的中心，点尸在侧

面8CC内的边界及其内部运动.若。OLOP,则△QGP面积的最大值为（）

【答案】C

【详解】由正方体的性质可知，当尸位于点C时，Dp^OC,满足题意，

当点尸位于BBX中点耳时，DDX=2,DO=BO=®,BP\==2夜,

贝！JODl=J4+2=®OP\=y/I+l=区DR=A/8+T=3,

所以+。昂=2阜，故on，，

又。6「|。。=。，所以。平面”c,故点p的轨迹在线段6c上，

由£[="=有，可得NCQ4为锐角，而CG=2<J^,

所以点尸到棱£2的最大值为行,

所以△2G尸面积的最大值为]X2X«=占.

故选：C.

28.（2023•北京模拟）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股

定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角

形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36。的等腰

三角形（另一种是顶角为108。的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图

所示，在其中一个黄金AABC中，些=好二1.根据这些信息，可得sinl6740=（）

2

B.

75+14+-\[5

A.D.

4848

【答案】C

-BCA/5-1

【详解】由题意可得:ZACB=72°,且COS/ACB=2

AC4

21A/5+1

2

所以cos144°=2cos72°-l=2x—1二-----------------

4

V5+1

所以sin1674°=sin234°=sin(144°+90°)=cos144°=-

4

故选：C.

12

29.（2023•门头沟区一模）已知数列伍/满足q=1,%+1~an

①数列｛。〃｝每一项。“都满足0<凡,,1（〃GN*）

②数列｛%｝的前〃项和5“<2；

7

③数列｛4｝每一项%都满足为,,上成立;

n+1

④数列｛an｝每一项an都满足an..§）向（/eN*）.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①③B.②④C.①③④D.①②④

【答案】C

【详解】数列｛%｝满足％=1,

可得0<%,,1,故①正确;

11331939

由电七二，4—二­，a=------x—=-----

2884A8264128

可得S4=l+；339279c+后不段、口

H----1------=------>2,故②车日庆;

8128128

由“—%，，性可得T=l。，用，1）.

即-^-£(1,2],

4+1

又除=/一限,两边同除以为见”可得2=2(_L-L)

2an+l%+|an

a.11CL11

3=2(-----------),2=2(---------),

4%%a2a2q

累加可得〃<2(—!—-1)„2n,

%+i

i9

即有---p，an+l<---'

n+1n+2

7

当九二1时，%,,---=1,故③正确;

“1+1

由〃且几.3时，2/7-2n=(l+l)n-2n=l+H+C^+...+Cf1+l-2H>0可得2〃<2",

nn

则工>d）i,故④正确.

n2

故选：C.

30.（2023•通州区模拟）如表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表:

生鲜区熟食区乳制品区日用品区其它区

营业收入占比48.6%15.8%20.1%10.8%4.7%

净利润占比65.8%-4.3%16.5%20.2%1.8%

该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的

百分比），给出下列四个结论：

①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；

②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；

③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；

④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%.

其中正确结论的序号是（）

A.①③B.②④C.②③D.②③④

【答案】D

【详解】由题中数据知，其它类营业收入占比4.7%,为最低的，故①错；

生鲜区的净利润占比65.8%>50%,故②正确；

生鲜区的营业利润率为更出x32.5%=44%>40%,故④正确；

48.6%

熟食区的营业利润率为Wl%x32.5%<0；

15.8%

乳制品区的营业利润率为竺垩x32.5%=26.68%；

20.1%

其他区的营业利润率为—x32.5%=12.45%；

4.7%

日用品区为J—X32.5%=60.787%,最高，故③正确.

10.8%

故选：D.

f（X）

31.（2023•西城区校级模拟）给定函数/⑴，若数列｛初｝满足x"x-，,,门、，则称数列｛初｝为函数