浙江省丽水市2025届高三年级上册期末考试数学试题（含解析）

浙江省丽水市2025届高三上期末考试数学试题

第I卷(选择题)

一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合U=夫，若集合M=｛x[—l<x<3｝,N=(x\x>0｝,则集合｛久I—1<%WO｝=()

A.(CuN)CMB.(Ci/M)CNC.Cy(MUN)D.Cy(MnN)

2.复数z=为虚数单位，a6R)在复平面上对应的点不可能在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知点。(0,0),向量刀=(一1,2),向量丽=(2,4),且而=2而，则|而|=()

A.|B.回C.|D.学

4.若n是数据3,1,2,2,3,9,10,3的第75百分位数，则二项式(2口+《广的展开式的常数项是()

A.240B.90C.12D.5376

5.圆台上、下底面积分别为兀、4兀，侧面积为6兀，这个圆台的体积是()

A.缚EB.c.邛^D.2闻

6.记S”为数列｛斯｝的前n项和，7n为数列｛S"的前兀项和，且数列｛Sn｝是一个首项不等于公差的等差数列，则

下列结论正确的是()

A.｛a,J和常｝均是等差数列B.®｝是等差数列，｛勺｝不是等差数列

。｛即｝不是等差数列，｛个｝是等差数列D.｛与｝和｛个｝均不是等差数列

7.已知函数f。)=cos(a%+0)(3〉0),若存在常数V0),使得/(%+m)=恒成立，则实数3的

最小值是()

A57T「加"3"„

A.彳B.2C.—D.71

8.已知函数/(%)及其导函数(0)的定义域均为R,记g(%)=/'(%),若f(l一％)为偶函数，g(2—%)为奇函数,

则下列结论一定正确的是()

A.-0)=0B.g(x+2)为偶函数C.解)=/(|)D.g(｝=g(—|)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.每年4月23日为“世界读书日”，某学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检

验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：

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二月三月四月五月六月

月份代码X12345

月借阅量y(百册)4.95.15.55.75.8

根据上表，可得y关于x的经验回归方程为£=0.24X+2,则下列结论正确的是()

A.a=4.68

B.借阅量4.9,5.1,5,5,5.7,5.8的下四分位数为5.7

C.y与工的线性相关系数r>0

D.七月的借阅量一定不少于6.12百册

10.如图所示，在平面直角坐标系中，以“轴非负半轴为始边的锐角a与钝角£的终边与单位圆分别交于4B

两点.若点4的横坐标为M，点B的纵坐标为竽，则下列结论正确的是()

A.tan/?=-4避B.sin(a+/?)=宇

C.tan(/?—a)=避D.cos(2a—/?)=77

14

11.平面直角坐标系中，定义d(M,N)=max{|久1一万2|,眄一、2|}为两点Ng,㈤的“切比雪夫距离”

;又设点P及直线I上任意一点Q,称d(P,Q)的最小值为点P到直线珀勺“切比雪夫距离”，记作d(P,Z).则下列结

论正确的是()

A.当M(2,l),N(—l,2)时，d(M,N)=3

B.当M(2,l),1:2久一y+3=0时，=2

C.对任意三点4B,C,d(4,B)+d(8,C)>d(A,C)恒成立

D.动点P(x,y)与定点尸(配,处)满足d(P,F)=2的轨迹围成的面积是16

第n卷(非选择题)

第2页，共17页

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知随机变量X服从正态分布N(l,02),且P(X>1.5)=0.12,则P(1<X<1.5)=.

13.在△ABC中，内角4B,C的对边分别是a,b,c,满足sinB(acosB+bcosA)=2asinQ4+B).若c=2,

则△ABC的面积的最大值是.

14.已知力,&是双曲线a一£=1缶>08>0)的左，右焦点，过左焦点%的直线I交双曲线左支于M,N两

点(其中M在刀轴上方，N在无轴下方)，的内切圆半径为R，△%/I出的内切圆半径为兀若R=4r,则

直线Z的斜率等于.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知正项数列｛an｝的前几项和为Sn，且ai>L85几=成+4(1n+3,neN*.

(1)求数列｛斯｝的通项公式;

(2)设6n=(-1)”碎，求数列｛g｝前2rl项的和72n.

16.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC—AiBiCi中，平面A41C1C1平面ABC,AB1AC,AB=2,zXi4C=120°,AC=AAr

=28，P为线段A4i上一点，且丽=4京(0W/lW1).

(1)求证：A1C1BCi；

(2)是否存在实数人使得平面BPCi与平面ABC的夹角余弦值为号?若存在，求出实数;I的值;若不存在，请说

明理由.

17.(本小题15分)

某系统配置有2n-1个元件(71为正整数)，每个元件正常工作的概率都是p(0<p<l),且各元件是否正常工

作相互独立.如果该系统中有一半以上的元件正常工作，系统就能正常工作.现将系统正常工作的概率称为系

统的可靠性.

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(1)当n=3,p=0.5时，求该系统正常工作的概率；

(2)现在为了改善原系统的性能，在原有系统中增加两个元件，试问增加两个元件后的新系统的可靠性是提

高了，还是降低了?请给出你的结论，并说明理由.

18.(本小题17分)

已知％、?2分别为椭圆生今+哙=1(a〉6>0)的左、右焦点，G为E的上顶点，点P为椭圆E上的一个动点,

且三角形尸止?2面积的最大值为1，焦距为2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)如图，过点尸八尸2作两直线八、6分别与椭圆E相交于点M、N和点4、B.

6)若点“、N不在坐标轴上，且NMGFi=NNGFi，求直线"的方程；

(ii)若直线6斜率都存在，且MN1AB,求四边形M4NB面积的最小值.

19.(本小题17分)

牛顿法是17世纪牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法.具体步骤如下:

设r是函数/(久)的一个零点，任取近作为r的初始近似值，过点(租,/■(久o))作曲线y=f(x)的切线A，设人与工

轴交点的横坐标为X1，并称为T的1次近似值;过点(久作曲线y=/(x)的切线12，设b与%轴交点的横

坐标为冷，称*2为「的2次近似值;一直继续下去，得到久1，X2,x3,■■■,无".一般地，过点(xn,f(久„))作曲线y=

/(X)的切线L+i，记Z„+i与久轴交点的横坐标为出+1，并称出+1为r的兀+1次近似值，称数列｛&｝为牛顿数

列.

(1)若函数/O)=乂+lnx(xGR)的零点为r,肛=1.求r的2次近似值；

(2)设a,/?(a<0)是函数/(x)=N+依+匕①力eR)的两个零点，数列｛久打｝为函数/⑶的牛顿数列，数列｛4

｝满足品=：：寺(neN*),xn>p.

(i)求证：数列｛lncn｝为等比数列;

(ii)证明：存*<舟

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

由M={x|—1<%<3],N={x\x>0},

得MUN={x\x>-1},MCN={x|0<x<3},

C0(MUN)={x|x<-1},Cy(MCN)={久|x40或支》3},

(CuN)nM={x|-l<x<0},(CyM)CN={x|久》3}.

故选：A.

2.【答案】B

【解析】

庆I贝短和7-1一二一(l-ai)(l—i)_1—a—(a+1」一l—a«+1.

因为复数Z—I+、—(i+i)(i_j)—2—2~2l,

其在复平面内对应的点为Pdf?—号工)，

若p在第一象限，则{_；1；320,解得。<—1；

若P在第二象限，则?o,无解；

若P在第三象限，则{_；20,解得a>1；

若P在第四象限，则{_；汗20,解得一1<a<1.

所以复数z=备(i为虚数单位，aGR)在复平面上对应的点不可能在第二象限.

故选：B.

3.【答案】D

【解析】

由而=2瓯AP=OP-OA,PB=OB-~OP,

则诃—雨=2(赤—硝，

所以而=|o2+|dB=|(-1,2)+1(2,4)=(1,/)，

故।由=2^=竽

故选：D.

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4.【答案】A

【解析】

排序后数据为1，2,2,3,3,3,9,10共8个数，

由8x75%=6,

所以第75百分位数为第6项和第7项的平均值，即审=6,

所以二项式（2口+8的展开式中常数项为唔（2m）4©2=15x16=240.

故选：A.

5.【答案】B

【解析】

设圆台的上、下底面半径分别为r,R,母线长为高为九，轴截面如图所示.

由题意，得71厂2=〃，兀/?2=47r,所以丁=1,R=2.

由（M+RZ）7T=6TT,得I=2.

所以/Z=避_（R—r）2:B

所以圆台的体积U=+4兀+SFF）.避=宇.

故选反

6.【答案】C

【解析】

由数列｛Sn｝是首项不等于公差的等差数列，设公差为d,则SiRd,

则其通项公式为%=S1+（几-l）d,

当九之2时，an=Sn-Sn_r=d,

而ai=S],由于SiWd,

所以数列｛册｝不是等差数列.

和万NT_（Si+Sn）_九[Si+Si+（九一l）d]_九[2Si+（九一l）d]

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则图｝的前律项和勺=2Sl+(「)d,

Tn+iTd

由n=

所以数列印｝是等差数列.

综上所述，｛an｝不是等差数列，｛^｝是等差数列.

故选：C.

7.【答案】D

【解析】

由/'(久)=cos(3x+9),则一IW/XAQWI,同理一1Wf(久+m)W1,

因为m<0,所以mWW—爪，

因为/'(x+m)=恒成立，

所以m--1.

由/'(久+m)=/(x—1)=cos(a)久—a)+<p~),

mf(x)——cos(<z)x+隼),

贝|JCOS(3X—0)+(p~)=—COS(<DX+0),

所以-3=兀+2kn,kGZ,

即3=—Ti—2kn,keZ,

因为3>0,

所以k=-l时，a>min=n.

故选：D.

8.【答案】C

【解析】

•."(1一久)为偶函数，

.­./■(l-x)=/(l+x),

f(x)的图象关于直线X=1对称，

・••g(2-x)为奇函数，

­■•5(2-%)=一。(2+久)，

9(久)的图象关于点(2,0)中心对称，

<g(x)=f'(x),

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•••n>)的图象关于直线％=2对称，

4项，令光=1,7(0)=/(2),f(2)的值无法确定，f(0)的值也无法确定，所以故/错误;

8项，・•,g(2—无)=—g(2+x),

g(x+2)=-5(2-x),

・•・g(x+2)不是偶函数，故8错误；

C项，,•"(>)的图象关于直线％=1和直线x=2对称，

•••/(!)=/(1)故c正确;

。项，,."(>：)的图象关于直线X=1对称，

・••/(%)在久=1两侧的斜率互为相反数，

潟)+潟)=0，

••"(%)的图象关于直线x=2对称，

••"(久)在久=2两侧的斜率互为相反数，

g(|)+g(|)=0，

•••gg)=g(|)，

由/(I—x)=/(l+x),得一r(l一幻=/(I+%),则一g(l-x)=g(l+x),

所以g(x)的图象关于点(1,0)对称，

・•・g(x)的周期为2,

•••g(%)的图象关于点(2,0)中心对称，

g(w的图象关于点(0,0)中心对称，

5(|)=潟)=一g(-|),故。错误.

故选C.

9.【答案】AC

【解析】

对于4因为x=■1x(l+2+3+4+5)=3,

y=2x(4.9+5.1+5.5+5.7+5.8)=5.4,

所以5.4=0.24x3+&,得2=4.68,

所以N正确；

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对于B,因为5x25%=1.25,

所以借阅量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的下四分位数为5.1,所以2错误;

对于C,因为0.24>0,所以y与比的线性相关系数r>0,所以C正确；

对于D,由选项N可知线性回归方程为》=0.24久+4.68,

当x=6时，3=0.24x6+4.68=6.12,

所以七月的借阅量约为6.12百册，所以。错误.

故选/C.

10.【答案】ACD

【解析】

因为点力在单位圆上，已知点4的横坐标为三，所以cosa=三,

因为a为锐角,贝Usina=/-cos2a=J1—(制2=签,

\1414

那么tana=黑.喈_50

因为点B的纵坐标为竽，因为点B在单位圆上，£为钝角，所以sin。=学,

可得cos£=——sin2/?=—3―(学2=

5

tacnSs=in^1=W-z—=-4©

7

对于4由上述分析可知，tan8=—4避，故/正确;

对于由sin(a+S)=sinacosS+cosasinS

=^X(_")+Mx^=一逆婷由二曙力殍,故3错误;

对于C，tan("a)=E*="三

二三品萨二三等=避，故C正确；

对于D,cos2a=2cos2a—1=2x(1^)2—1=

sin2a=2sincrcoscr=2xx耳="平,

cos(2a—£)=cos2acos/?+sin2asin/3

23zK.55火v4^/3_—23+660_637

98"(―N+~98~~686—68677，故。正确.

故选：ACD.

H.【答案】ABD

第9页，共17页

【解析】

对于4由M(2,l),N(—1,2),因为|2—(—1)|=3,|1-2|=1,

根据定义d(M,N)=max{.i—句,仇一、2|}，所以d(M,N)=3,故/正确；

对于8,设直线l:2x—y+3=0上一点Q(x,2久+3),

则d(M,Q)=max{|2—x|,|l—(2x+3)|}=max{|2—x|,|—2—2x\),

①当|2一久|N|—2—2x|时，即(2—久A2(—2—2x)2,

即x(x+4)W0,解得一43xW0,

此时d(M,Q)=\2-x[=2-x,

在一4WxWO上，x=0时，|2—刈取得最小值2;

②当|2-—2—2x|时，即(2-x)2<(-2-2x)2,

HPx(x+4)>0,解得x4一4或久》0,

此时d(M,Q)=|-2-2%|={个2』"黑_少

当x=0时，|—2—2%|取得最小值2,

所以d(M/)=2,故8正确；

对于C,设力。1，月)，8(久2，丫2)，C(x3,y3),

则d(2,B)+d(B,C)=max{|*i-x2\,\y1-y2|}+max(|x2-x3\,\y2-y3|}

>—x2\+\x2—X3I>|%i—x3\,

同理可得d(4,B)+d(B,C)>|yi-y3b

所以d(4,B)+d(B,C)>max{|xi-x^yI-y^W=d(4,C).

当取4(0,0),B(l,0),C(2,0),则d(4B)=max{|0-l|,|0-0|}=l,

d(B,C)=max{|l-2|,|0-0|)=1,d(4,C)=max{|0-2|,|0-0|}=2,

此时d(4,B)+d(B,C)=1+1=2=d(4C),故C错误;

对于D,由动点P(x,y)与定点尸Oo，yo)满足d(P,F)=2,即max{|x—久o|,|y-yo|}=2,

则{忆刎出或假胃屋，

=x0+2或x=%0-2„Cy=y0+2或y=y0-2

-2<y<y0+2-2<x<x0+2，

<动点与定点满足的轨迹围成的面积是故。正确.

PQ,y)FQo,yo)d(P,F)=24x4=16,

故选：ABD.

12.【答案】0.38

【解析】

第10页，共17页

随机变量打艮从正态分布N(l,o2),

•••曲线关于X=1对称，

.­-P铉<0.5)=P(§>1.5)=0.12,

.­.P(0.5<f41.5)=1-0.12x2=0.76,

P(1<《41.5)=PS，”<1.5)=呼=0.38.

故答案为0.38.

13.【答案】g

【解析】

在△力8c中，

•・•sinB(acosB+bcosA)=2asin(/+B),

•••sinB(sinAcosB+sinBcosA)=2si7h4sin(Z+B),

即sinBs沆Q4+B)=2si几4sin(A+B),

A+BE(0,71),

・•・sin(4+B)H0,

:.sinB=2sinA,即b=2a.

因为c=/8=2,

故以ZB边所在的直线为黑轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,

设4(1,0),8(—1,0),C(x,y),%W0,

由b=2a,b=\AC\,a=\BC\,得|ZC|二2|BC|,

2Mx+1)2+y2=2(*-1)2+y2,

整理得：(%+f)2+y2=^(x*0),

边上的高的最大值为*

144

所以(SA4BC)max/M8怎=小

故答案为：*

14.【答案】

【解析】

第11页，共17页

如图所示：设AMF1F2的内切圆圆心为。1，并且与三边的切点分别4B,C,

因为|CFi|-\CF2\=\AFr\-\BF2\=\MFr\-\MF2\=-2a,

所以点C在双曲线上，并且为双曲线的左顶点，

所以圆心。1在直线x=—a上，

同理ANF1F2的内切圆圆心。2也在直线％=—a上，

设直线1的倾斜角为2a,

77

则NOiFiC=a,zO2fiC——^―a,并且0<a<5,

因为tana=j^=得，tan。-0=图=岛，而R=4r,

所以tana=4tan*—a）=—tana=2,

乙tana

4

所以tan2a=2tana

1—tan2aS'

因此直线1的斜率等于一*

15.【解析】

（1）因为8szi=磺+4。九+3,nEN*,且

①当n=1时，8sl=8al=冠+4。1+3,a1=3或（的=1舍去）

②当九>2时，8Sn=W+4an+3,

8s九_i=*_i+4an_1+3上述两式相减，

整理得4（册+册_1）=（册+册_1）（册一册—1）,

又a九>0,

第12页，共17页

所以即~an-l-4,

所以｛即｝是以3为首项，公差为4的等差数列，

an=3+(n—1)X4=4n—1;

n

(2)由⑴知6n=(-iyan=(-l)(4n-1),

所以b2n_i+b2n——1x(8TI—5)2+1x(8n—1)2=8(8n—3),

72n=(bl+匕2)+(°2+°3)+…+(》2n-1+^2n)=8X5+8X13+"•+8(8n-3)

8x5+8(8/1—3)

=--------2--------xn

—32n2+8n.

16.【解析】

证明：(1)连接2Q,

因为在三棱柱力BC-&B1C1中，

所以四边形441cle为平行四边形，

因为AC=AAi=2y/3,

所以四边形A41cle为菱形，

所以4C11&C,

又平面A41GC_L平面ABC,平面7Mle停。平面ABC=AC,ABIAC,ABc平面ABC,

所以4B1平面A4iCiC,

因为AiCu平面A41GC,

所以AB141C,

因为48,Su平面4BQ,ABC\AC1=A,

所以平面

因为8Ciu平面ABC。

所以&C1BC1；

第13页，共17页

(2)如图，以4C的中点。为坐标原点，OC,0cl所在直线分别为y,Z轴，建立空间直角坐标系，

因为28=2,z_aMC=120°,AC=AA1=2y/3,

则Ci(0,0,3),4(0,—避,0),C(0,避,0),B(2,—避,0),~AA[=~CC=(0,-73,3),卷=(2,0,0),

设Q=%京=(0,-73/1,32)(0<A<1),

则丽=AP-AB={-2,-73>l,3A),

记平面BPCI的法向量再=(x,y,z),BQ=(—2,依,3),

人“可•西>=0'

11rli—2%—V3Zy+3az=0

^{-2x+两+3z=0'

得用=(3尢避4—遮,1+4),

易得平面4BC的法向量放=(0,0,1),

由题意：|cos<nJ,而>|=ji3Y2_42+4=

解得：4=条或：

loZ

经验证，”袅貂均符合题意.

loZ

17.【解析】

(1)记系统正常工作的概率为P',

当n=3,p=0.5时，系统共有5个元件，

由题意可得P'=在0.53.0.52+Cf0.54-0.51+C10.55=1；

(2)系统配置有为-1个元件时，记系统正常工作的概率为P2n.1，

当前有2n+1个元件，记系统正常工作的概率为P2n+1，

考虑前2n-1个元件：

第一种情况：前2n-1个元件恰有几-1个元件正常工作，

2

则P2TI+1=《I一「尸•p,

第二种情况：前2n-1个元件恰有几个元件正常工作，

n

则P2n+l=C?„_lP(l-PL•[1-(1-p)4,

第三种情况：前2n-1个元件至少有n+1个元件正常工作，

则P2n+l=P2n-l-C2n-一p)”1，

2-n

所以，22„+1=C%11P"TQ-PL•p2+帽n_ipn(l-p)n-l.[：—(1—p)]+f>2n-1%一lP(l-P

第14页，共17页

P2n+1-P2n-1=C%」/T(1一「广•p2+而。一口严一1.口一Q-0)2]一%_必(1—p)“一

nn

=p(l-p)C2n_i(2p-l),

故当p=^时，系统可靠性不变，

当0<p<9时，系统可靠性降低，

当*P<1时，系统可靠性提高.

18.【解析】

1

⑴由题意得2c=2,(SAF1PF2)max=-x2cxb=bc=l,

故b=c=1,a2=Z)2+c2=2,

2

故椭圆E的标准方程为秋+产=1.

(2)(i)^MGF1=zWGF1=0,MG的倾斜角为a,NG的倾斜角为£,

则a=%+0,p=^-e,所以a+F=)

Jl

又k“G=tana,kNG=tan/3=tan(^-—a),

所以AMG.MG=1，

由题意h的斜率不为零，设=

(x=my—1

联立[虻+丫2=1,得(租2+2)y2—2/ny—1=0,

J=8m2+8>0恒成立，

设N(%2,y2)，

则以+为=符7,%及=一忌p

又kMGyNG=L所以,妻1芳二1二1，

即(月-1)(72-1)=X1%2=(myi-l)(my2-1)，

整理得(爪2-l)yiy2-(m-l)(yi+y2)-0,

所以3巾2_2m—1=0,

因为m力1,所以m=-1,

所以A的方程为3久+y+3=0；

(ii)设MQi，yD，N(x2,y2)>A(x3,y3),B(x4,y4),Z^y=fc(x+1),

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(y—k(x+1)

联立[史+