圆锥曲线二级结论秒杀技巧（6大热点题型）原卷版-2025年高考数学二轮复习

重难题型•解题技巧攻略

圆锥曲线二级结论秒杀技巧(6大热点题型)

-----------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01椭圆、双曲线、抛物线的通径.............................................................1

题型02椭圆、双曲线焦点三角形面积公式........................................................3

题型03中点弦问题秒杀公式.....................................................................4

题型04双曲线焦点到渐近线的距离为b.....................................................................................................................6

题型05离心率秒杀公式.........................................................................7

题型06抛物线中与焦半径有关的秒杀公式........................................................9

舱-----------题型探析・明规律-----------*>

题型01椭圆、双曲线、抛物线的通径

【解题规律•提分快招】

1、焦点弦

过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于4,8两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦.

2、通径

与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.

二、通径的性质

2222

【性质1】椭圆二+勺=1(“>6>0)和双曲线=-勺=1(“>0,6>0)通径的端点坐标为

abab

；c,士[J,卜,士,抛物线y2=2px(p>0)通径的端点坐标为6，士\•

【性质2】椭圆和双曲线的通径长为生，抛物线的通径长为2〃.

性质1、性质2的证明：

①如图1,不妨设过右焦点鸟,且A在第一象限，把/=/=c,代入椭圆方程0+4=1（。>6>0）,

ab

得至进一步可得通径长|/同=]=若过左焦点

久，同理可得通径的端点坐标为卜，士

②对于双曲线，证明过程同椭圆.

③对于抛物线必=2px（p>0）,如图2,把孙=/=^,带入抛物线方程/=2"得到只=/,yA=p,

-2卜.通径|阴=20.

【典例训练】

一、单选题

1.（2024・四川雅安・三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，

清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆（》-2）2+（y+l）2=4的一条直径与

抛物线X?=2处5>0）的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则。=（）

A.yB.1C.2D.4

2.（24-25高三上•重庆•阶段练习）椭圆C的左、右焦点分别记为耳、F2,过左焦点片的直线交椭圆C于/、

3两点.若弦长磔身的最小值为3,且△N8&的周长为8,则椭圆C的焦距等于（）

A.1B.2C.V3D.273

3.（24-25高三上・福建宁德•阶段练习）已知£（-1,0）,£（1,0）是椭圆C的两个焦点，过月且垂直于x轴的直

线交C于1,8两点，且|48|=夜，则椭圆C的标准方程为（）

222222

A.匕+f=iB.土+r=1C.二+土=1D.土+2=1

424343

4.（23-24高三上•江苏南通・期中）己知双曲线C的焦点为片卜囱,0）,乙（囱,0）,点尸在双曲线C上，满

足P片，片6，PFt=4,则双曲线C的标准方程为（）

5.（23-24高三上•全国•期中）已知点/,8分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，

垂足恰好为左焦点片，旦AB//OP,则椭圆C的离心率为（）

A.JB.yC.—D.比

4224

22

6.（2024・四川•模拟预测）已知厂是双曲线。:3-2=1（.>0,6>0）的右焦点，过尸作与x轴垂直的直线与

双曲线交于48两点，过尸作一条渐近线的垂线，垂足为P,若|/同=逐|即|,则双曲线的离心率为（）

A.2B.—C.—D.-

222

二、填空题

7.（2024・广东广州•模拟预测汨知抛物线C：/=2Px（0>0）的焦点为F,点M在C上，x轴，若AOFM

（O为坐标原点）的面积为2,则尸=.

22

8.（24-25高三上•陕西渭南•期中）已知椭圆。:二+彳=1（“>6>0）的右焦点为尸（L0）,过点尸且垂直于x

ab

轴的直线与C交于。，£两点，。为坐标原点，若则。=.

22

9.（2024高三•全国・专题练习）已知双曲线。：・-3=1（a>0力〉0）的左、右焦点分别为片、F2,点尸为

双曲线C的右支上一点.若线段月产的中点M（0,a）,则双曲线C的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值

为.

题型02椭圆、双曲线焦点三角形面积公式

【解题规律•提分快招】

°

椭圆焦点三角形的面积为s=b2-tan-（e为焦距对应的张角）

证明：设PFX=m,PF2=n

.ee

m+n=2a⑴2osin—cos—八

=火si"

222〃r»

（2c）=加？+〃之一2加力cos6（2）,（1）一（2）：mn--------。△公巡=b】.一

1+cos。,202

2cos一

S2

^PF2=-w«sin6»（3）

双曲线中焦点三角形的面积为5=—吗（。为焦距对应的张角）

C7

tan—

2

【典例训练】

一、单选题

22

1.（23-24高三上・北京丰台•期末）已知椭圆C:土+乙=1的左、右焦点分别为片，g,点P在椭圆C上.若

94

42月=90°,则困PF?的面积为（）

A.2B.4C.8D.9

22

2.（24-25高三上•河南驻马店•期末）已知大，月分别是双曲线C：\-3=1（〃>08>0）的左、右焦点，P

为。上一点，PFJPF?,且△片尸耳的面积等于8,则6=（）

B.2C.2行D.4

22

3.（23-24高三上•湖北•期末）已知椭圆二+2=1（°>收）的两焦点分别为片、F2.若椭圆上有一点P,

a2

使则的面积为（）

AFXPF2=120°,

旦

A.B.妪C.V3D.273

23

题型03中点弦问题秒杀公式

【解题规律•提分快招】

币点或面函7点差法5「砂茶方式—-

1、若椭圆与直线/交于N5两点，M为N3中点，且右B与左侬斜率存在时，则七B，KOM=-勺；（焦点在

a2

x轴上时），当焦点在y轴上时，k-

ABKOM~b2

若过椭圆的中心，尸为椭圆上异于48任意一点，kp^KpB=--r（焦点在x轴上时），当焦点在y轴

a

2

上时，kPA-KPB=--

下述证明均选择焦点在x轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似.

直径问题证明：设尸（%,%）,%），因为45过原点，由对称性可知，点5（-演，-必），所以

加/七8=止2.生力1=224.又因为点p（x。，%）,/（再，必）在椭圆上，所以有

与一西与十不凝一修

2

/Jo

/b2

22

a2b2

2_2,2,2

两式相减得=--，所以kp4-kpB=一二・

XQ-xxaa

3+4=1⑴2_2,2

b

中点弦问题证明：设4（项,必），5（X2。2），则椭圆才，\两式相减得力，一"，=-勺

%2y-2々一百a

必+歹2

222

%—%2一%一先b

k/B'^OM~L2—1.

2x

x2-Xjxox2-X1%+%2X2_\

2

b2a2

2、双曲线中焦点在X轴上为《OM=），焦点在y轴上为左o”=r，

ao

3、设直线/与抛物线产=2.相交所得的弦48的中点坐标为（%,%）,则左々=二

Jo

【典例训练】

一、单选题

1.（24-25高三上•广西玉林•期中）己知4B是抛物线,=2x上的两点，且线段的中点为（1,1）,则直线AB

的方程为（）

A.2x-y-l=OB.x+y-l=O

C.x-y=OD.x-2y+1=0

2.（24-25高三上•重庆铜梁•阶段练习）已知抛物线C:r=8x,过点作弦,弦4B恰被点M平分,

则弦45所在直线的斜率为（）

A.YB.2C.1D.4

2

3.（24-25高三上•四川成都•期末）设42为双曲线/-5=1上的两点，线段N8的中点为M（2,2）,则|/耳=

（）

A.V5B.275C.V10D.2回

4.（24-25高三上•广东梅州•阶段练习）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为尸（近,0）,直线>='-1与其

2

相交于两点，若中点的横坐标为-则此双曲线的方程是（）

22

5.（24-25高三上•内蒙古包头•期中）已知点尸（-1,0）为椭圆=+==1（。>6>0）的左焦点，点P为椭圆的

ab

下顶点，平行于EP的直线/交椭圆于48两点，且的中点为（1,；）,则该椭圆的方程为（）

2222222

A%>1CX21XJxy

A.——+—=lB.——+y=lC.--1--=lD.——+—=l

6525443

22

6.（24-25高三上•重庆秀山・期末）直线+=0经过椭圆二+4=l（a>6>0）的左焦点尸，且与椭

ab

圆交于45两点，若M为线段4B中点，\MF\^\OM\,则椭圆的离心率为（）

7.（23-24高三上•四川绵阳•阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到

22

椭圆的面积除以圆周率兀等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆］+注=l（a>6>0）的焦点为

尸（0,3）,过尸作直线/交椭圆于48两点，若弦N2是圆（x+l『+（y-2）2=8的一条直径，则椭圆的面积为

A.36近兀B.187271C.9缶D.6a兀

8.（2024•陕西宝鸡•一模）设A,8为双曲线--总=1上两点，下列四个点中，可为线段中点的是

（）

A.（1,1）B.（-1,2）

C.（1,4）D.（1,3）

22

9.（24-25高三上•湖北武汉•阶段练习）已知尸（亚,0）为椭圆。:^+方=1（“>6>0）的右焦点，过点厂的

直线/与椭圆C交于42两点，P为的中点，。为坐标原点，若是以。下为底边的等腰三角形,

2兀

且△OEP外接圆的面积为m，则椭圆C的长轴长为（）

A.245B.2百C.4D.6

10.（2024•全国•模拟预测）已知直线田->—=0（0<，<1）恒过抛物线°：/=2.（0>0）的焦点尸，且与c

交于点4B,过线段N8的中点。作直线产-1的垂线，垂足为E,记直线E4,EB,£尸的斜率分别为占,

后2，小，则尢质内的取值范围是（）

A.（0,1）B.。,+8）C.（-1,0）D.

题型04双曲线焦点到渐近线的距离为人

【典例训练】

一、单选题

22

1.（2024•湖北武汉•模拟预测）设双曲线C：三一［=1（。>0,6>0）的右焦点为尸，过厂作双曲线的

ab2

一条渐近线的垂线，垂足为H,若丽・丽=/（。为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）

A.V3B.3C.2D.V2

22

2.（2024•广西桂林•模拟预测）已知耳、心是双曲线C:十方=1的左、右焦点，过用作双曲线一条渐近线

的垂线，垂足为P,且归片「+|尸£『=8〃，则双曲线C的离心率为（）

A.-B.-C.D.—

3433

3.（24-25高三上•天津南开•期末）已知双曲线C的离心率为百，耳耳为C的两个焦点，过月作C的一条渐

近线的垂线，垂足为尸,。为坐标原点，则后=（）

A.V6B.2C.V3D-T

4.（23-24高三上•天津和平・期末）已知尸是双曲线C:工-二=1（0〉0/〉0）的右焦点，过点f的直线/与

ab

双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A,且直线/与双曲线C的左支交于点8,若3|出|=|/却，则双曲线C

的离心率为（）

554

A.2B.-C.-D.-

343

22

5.（2024•江西新余•模拟预测）双曲线。：1-乌=1的左、右焦点分别为片、F,,过片作斜率为正且与C

ab

的某条渐近线垂直的直线/与双曲线C在第一象限交于A,cos4"=7则C的禺心率为（）.

A2口至一回nV202

2299

二、填空题

6.（2024•青海海东•模拟预测）已知片，耳是双曲线C:]-1=1（°>0）的左、右焦点，过月的直线/与C

的一条渐近线垂直，垂足为/,且以引=4,则双曲线C的实轴长为.

题型05离心率秒杀公式

【解题规律•提分快招】

i丁级面日而其己而藕不一歪（扁二厂五百万百睛%1的直行7关藏百工万丽瓦「看

AF=2FS（2>0）,则6=J1+左24zl,Bp|ecos^|=.

2+1112+1

2、已知双曲线方程为与=1（。>0/>0）的右焦点为尸，过点尸且与渐近线y=2%垂直的直线分

aba

别交两条渐近线于尸,0两点.

情形1.如图1.若丽=几匝（4〉0"wl），则e2=——（*）

A—1

如图2.若丽=4而（0<彳<1）,贝ije?=——

A+1

【典例训练】

一、单选题

1.（24-25高三上•四川成都•阶段练习）已知椭圆C：京+（=1的右焦点为尸，过尸的直线/（勺>0）与椭圆

C交于若加=4两，则直线/的斜率为（）

A.—B.—C.—D.—

3333

22A

2.（23-24高三上•广东•阶段练习）己知椭圆£:=+鼻=1（°>6>0）的离心率为火，左焦点为尸，过尸作

ab3

倾斜角为30。的直线交椭圆£于M、N两点，且必同=川/列（其中2>1）,则4的值为（）

A.2B.2>/2C.2垂）D.3

22

3.（23-24高三下•甘肃•期末）过双曲线C:I-2=1（.>01>0）的左焦点片作斜率为2的直线/交C于MN

ab

两点.若砒=3取，则双曲线的离心率为（）

A.3B.2C.J2D.—

2

二、填空题

2

4.（24-25高三上•上海•课后作业）若斜率为左（左>0）的直线/过双曲线=i的上焦点F，与双曲线

C的上支交于48两点，FA+3FB=0,则左的值为.

22

5.（23-24高三下•安徽芜湖•期末）已知双曲线C:+-台=1（。>0/>0）的离心率为e,左焦点为F.若过

点厂的直线/斜率为有，且与双曲线c左支交于两点，则e的取值范围为,；过点尸作双曲线C的

一条渐近线的垂线，垂足为A,且与另一条渐近线交于点8,若川=。尸同，则《=.

22

6.（24-25高三上•湖南长沙•期末）已知双曲线C：3-2=1（«>0,6>0）的右焦点为尸，过点尸作

ab

双曲线的一条渐近线的垂线/,垂足为若直线/与双曲线c的另一条渐近线交于点N,且

而+3两=4而（。为坐标原点），则双曲线C的离心率为.

题型06抛物线中与焦半径有关的秒杀公式

【解题规律•提分快招】

工一施物函用■蕉半在焦点我三相形而祗砂系而T

已知倾斜角为8直线的/经过抛物线/=2px的焦点尸，且与抛物线交于2,5两点，则

。P112

®\AF|=-2—,\BF\^----------------,——+——二一.

1-cos01+cos0\FA\|FB\p

P

②|/3|=2,，S^OAB=,\AB\^2p（l+.

sm02sin，k

③|4F|=x^+y,\BF\=XB+^,\AB\=XA+xB+p.

2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式

①抛物线「=2川的焦点为F,“区，必），8（%2，%）是过歹的直线与抛物线的两个交点，求证:

P~2

92二不几力=一P

②一般地，如果直线/恒过定点M（切,0）与抛物线/=2px（p〉0）交于2,5两点，那么

xAxB=nr,yAyB=-2pm.

③若OA1OBAB恒过定点（2T?,0）.

3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题

设是过抛物线/=2»伪>0）焦点尸的弦，若力），BS，y2）,则

①以弦为直径的圆与准线相切.

②以/尸或AF为直径的圆与y轴相切.

【典例训练】

一、单选题

1.（23-24高三上•北京东城・期中）直线/过抛物线/=2x的焦点尸，且/与该抛物线交于不同的两点）、

8（工2，%），若占+%=3,则弦48的长是（）

A.2B.3C.4D.5

2.（23-24高三下•黑龙江•阶段练习）已知尸为抛物线C：/=2川（p>0）的焦点，过尸且斜率为1的直线交

C于48两点，若园|•附1=2,则。=（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2024•河南开封•三模）过抛物线V=2pxS>0）的焦点厂的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交

\AF1

于4,3两点，若际=］，则直线的倾斜角为（）

7L7L27r5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

4.（2024・四川成都・模拟预测）已知抛物线C:）/=x的焦点为尸，直线/过点尸与抛物线C相交于A,8两

点，且方=3而，则直线/的斜率为（）

A.±—B.±GC.±1D.土片

32

5.（24-25高三上•天津和平•阶段练习）已知抛物线俨=2"5>0）,过抛物线的焦点尸作直线与抛物线交

于两点/（国,%），8（%,%）,且抛物线的准线与无轴的交点为则以下结论错误的是（）

B.yiy2=-p2

D.NAMB=90°

二、多选题

6.（24-25高三上•安徽淮南•阶段练习）已知抛物线C:/=2"（°>0）的焦点为尸，经过点尸且斜率为6的

直线/与抛物线C交于点A,B两点（点N在第一象限），若则以下结论正确的是（）

+=

A，P=1B.|^|^^2仁M用=61的D.SAA0B=

7.（23-24高三上•江苏盐城•期中）已知留士,%）,现工2，%）是抛物线C:/=x上不同于原点。的两点，点R

是抛物线C的焦点，下列说法正确的是（）

A.点尸的坐标为',（）］,

B.\AB\=xt+x2+-

C.若0/^08,则直线48经过定点（1,0）

D.若点P（-2,l）,尸4PB为抛物线C的两条切线，则直线的方程为尤-2了-2=0

8.（24-25高三上•陕西•期中）已知。为坐标原点，过抛物线C：/=2px（p>0）的焦点尸（2,0）作斜率为6

的直线交抛物线C于A,5两点，则下列结论一定正确的是（）

3?

A.AAOF=ABOFB.\AB\=~^

C.S..OB=D.^AOB<90°

9.（23-24高三上•江苏南京•阶段练习）已知43是抛物线C:/=6x上的两动点，尸是抛物线的焦点，下

列说法正确的是（）

A.直线48过焦点尸时，以48为直径的圆与C的准线相切

B.直线过焦点厂时，的最小值为6

C.若坐标原点为。，且则直线过定点（3,0）

D.与抛物线C分别相切于43两点的两条切线交于点N,若直线工5过定点则点N在抛物线C

的准线上

10.（24-25高三上•浙江绍兴•期中）抛物线必=2px（p>0）的焦点为尸，过尸的直线交抛物线于A,B,以

下说法正确的有（）

A.以尸为圆心，与为半径的圆与抛物线仅有1个交点

2

B.以4尸为直径的圆与了轴相切

C.当48lx轴时，|/却取到最小值0

D.若点M为抛物线准线与x轴交点，则一定有=

11.（24-25高三上•广东惠州•阶段练习）已知尸是抛物线C:/=8x的焦点，过点尸作两条互相垂直的直线

卜4,4与C相交于42两点，4与C相交于瓦。两点，直线/为抛物线C的准线，则（）

A.I48|的最小值为4B.以|48I为直径的圆与/相切

C.|/切+|。£］的最小值为32D.△/£1尸和△AED面积之和最小值为32

o-----------题型通关•冲高考-----------*>

一、单选题

22

1.（24-25高三上•广东•阶段练习）设M是椭圆工+匕=1上的一点，片，月为焦点，4MB则△即瑞

25166

的面积为（）

A.yV3B.16（2+V3）C.16（2-V3）D.16

2.（23-24高三下•江苏南京•阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，准线为/,/是/上一点，B是

直线/尸与C的一个交点，若成=T丽，则巧巧=（）

35

A.-B.-C.3D.5

22

3.（2024•陕西西安•模拟预测）双曲线C:二-且=1的焦点弦长为g的弦有（）

452

A.8条B.4条C.2条D.1条

4.（2024•全国•模拟预测）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为尸（-2,0）,过尸的直线/与双

曲线C交于/、2两点，且的中点为N（-3,-1）,则C的离心率为（）

A.V2B.递C.—D.G

32

22

5.（2024•广西•模拟预测）已知双曲线C:马-与=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为6,g,过点月且与x

ab

AF.J37

轴垂直的直线/与双曲线C交于48两点，若一消=・，则双曲线c的离心率为（）

AD2

A1+V35c1+V35c1+V37c1+V37

6363

r2v23

6.（2024・安徽芜湖・模拟预测）已知椭圆上+J=1,一组斜率:的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭

432

圆截得的段的中点所在的直线方程为（）

A.=B.y=-2xc.y=-^xD.y=2x

7.（23-24高三下•河南•阶段练习）已知尸是抛物线C:/=2px（0>O）的焦点，过点下且斜率为2的直线/

与C交于4g两点,若卜尸I•忸尸1=20,则2=（）

A.4B.3C.2D.1

22

8.（24-25高三上•江苏南通・阶段练习）设耳，巴是双曲线C:工-白=1伍〉0/>0）的左，右焦点，过月作C

ab

的一条渐近线的垂线，垂足为P.若归耳|=2|叫|,则C的离心率为（）

A.73B.—C.2D.-

33

22

9.（23-24高三上•河南•阶段练习）过椭圆C:>}=l（a>6>0）的右焦点尸且与长轴垂直的弦的长为

3后，过点尸（2,1）且斜率为-1的直线与C相交于/,2两点，若P恰好是的中点，则椭圆C上一点〃

到尸的距离的最大值为（）

A.6B.2行+3C.273+3D.3也+3

10.（2024・河南信阳•一模）倾斜角为方的直线过抛物线/=2px（p>0）的焦点尸，与该抛物线交于点48,

且以N8为直径的圆与直线x=-l相切，则“8卜（）

,162022

A.4B.—C.—D.—

333

22

11.（2024高三・全国•专题练习）已知双曲线C:=-==1伍>08〉0）的左、右焦点分别为耳，月，过片作

ab

倾斜角为45。的直线与双曲线C的左、右两支分别交于42两点，若|“3|=怛闾，则C的离心率为（）

V14-V2V14+V2

A.2B.V2+V3C.D.

22

12.（23-24高三上•黑龙江哈尔滨•期末）已知椭圆〃：，+）=1,>6>0）的长轴长是短轴长的2倍，过椭

圆M的上焦点尸作斜率为M上>0）的直线/,直线/交椭圆"于48两点，若万==4而，贝弘=（）

A2V39口屈「26口2屈

136513

13.（23-24高三上•山东烟台・期末）已知直线/过双曲线。:/-：=1的左焦点尸，且与C的左、右两支分别

交于48两点，设。为坐标原点，尸为48的中点，若△。灯是以尸P为底边的等腰三角形，则直线/的斜

率为（）

A.+亚B.+史C.+姮D.+叵

2235

22

14.（24-25高三上•上海•期中）过双曲线十方=1（°>0）>0）的右焦点月向其一条渐近线作垂线/,垂足

为尸，/与另一条渐近线交于。点，若函=45瓦，则双曲线的离心率为（）

二、多选题

15.（2024高三・全国•专题练习）已知O为坐标原点，抛物线产=2px（p>0）上有异于原点的4（均,月），B

（冷）2）两点，尸为抛物线的焦点，以42为切点的抛物线的切线分别记为P/,PB,贝U（）

A.若七七=£，则4GB三点共线B.若“%=-p2,则4gB三点共线

无

C.若乙4尸2=1，则4尸,8三点共线D.若两1+两1=52，则三点共线

16.（2024高三・全国•专题练习）（多选）已知抛物线C:j?=2加（p>0）的焦点为尸，直线/的斜率为6

且经过点尸，与抛物线C交于，，8两点（点/在第一象限），与抛物线C的准线交于点。.若Hb1=8,

则以下结论正确的是（）

A.p=4B.DF^FAC.忸。|=2忸司D.忸司=4

17.（24-25高三上•重庆•阶段练习）己知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点尸到准线的距离是4,直线/过

它的焦点尸且与C交于4（久1，月），＜8（久2）2）两点，M为弦42的中点，则下列说法正确的是（）

A.抛物线C的焦点坐标是（2,0）

B.XjX2=4

C.若—+尤2=5,则|48|=7

D.若以M为圆心的圆与C的准线相切，则4B是该圆的一条直径

18.