




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
同与正多边形压轴题专练(9大题型45道)
压轴题型一垂径定理问题
1.如图,在。。中,直径48垂直于弦CD,垂足为点£,连接/C、DO,延长。。交/C于点尸.
⑴求证:AF2=OF-DF;
(2)如果。。=8,8£=2,求。尸的长.
【答案】(1)见解析
【分析】(1)利用垂径定理得出CE=DE,利用线段垂直平分线定理得出/C=ND,利用等腰三角形三线
合一性质得出利用等边对等角得出等量代换得出=可证
AAFOSADFA,再利用相似三角形的性质即可得证;
(2)在RtZ^DEO中,利用勾股定理求出半径,在RM4DE中,利用勾股定理求出然后利用(1)中相
似三角形的性质求解即可.
【详解】(1)解:连接N。,
•.•直径48垂直于弦CD,
CE=DE=-CD,
2
,/AE1CD,
:.AC^AD,
ZFAO=NDAO,
*.•AO=DO,
:.ZDAO=NODA,
ZFAO=ZODA,
又AAFO=NDFA,
AAFO^ADFA,
,AF_DF
^~OF~~AF'
AF2=OF-DF
(2)解:;CE=DE=gcD,CD=8,
:.CE=DE=4,
设半径为r,
•/BE=2,
OE=r—29
在RtZ\O£。中,OE2^-DE2=DO\
:.(F-2)2+42=r2,
解得r=5,
OE=3,AE=AO+OE=8,
AD=yjAE2+DE2=475,
":AAFOSADFA,
.AFOFAOnnAFOF5
"DF~AF~AD'OF+5AF4逐'
4y/5OF=5AF25
整理得「,解得。尸=77
5OF+25^4y/5AFH
【点睛】本题考查了垂径定理,勾股定理,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质等知识,明确题
意,添加合适辅助线,构造相似三角形求解是解题的关键.
2.如图,在△ABC中,AB=AC=10,SC=12,AD,BC于D,。为2。上一点,以。为圆心,为半
径的圆交48于G,交BC于E、F,且NG=NO.
⑴求E尸的长;
(2)连接。G,求N5DG的余切值.
【答案】⑴8
⑵3
【分析】本题主要考查了解直角三角形,相似三角形的性质与判定,垂径定理,三线合一定理等等:
()先由垂径定理,三线合一定理得到;进而得到。
1AD=CO=8C=6,DF=DE,/=8,CF=BE,可得
BG=AB-AG=2,证明可得处=七三,解方程即可得到答案;
x2
(2)过点G作GM,80于M,则AD\\GM,可证明^BGM^BAD,利用相似三角形的性质得到
GM=~,BM贝=8M=且,即可得至ijcotNBDG=cot=也=3.
555GM
【详解】(1)解:如图所示,连接/尸,EG
二AD7AB2-BD?=8,CF=BE,
AG=AD=8,
BG=AB-AG=2,
・・,四边形AFEG是圆内接四边形,
・•.ZAFE+ZAGE=180°=ZAGE+ZEGB,
Z.ZAFB=ZEGB,
设CF=BE=x,贝IJB尸=12—x
XV/B=/B,
:・—FBs公EGB,
.ABBFnn1012—x
BEBGx2
解得x=2或x=10(舍去),
经检验,%=2是原方程的解,
EF=BC-2x=S;
(2)解:如图所示,过点G作于则/O||GM,
ABGMsRAD,
GM_BMBG口口GMBM2
——,即---=----
~AD一访AB86To
/.GM=—,BM=—,
55
DM=BD-BM=——
:.cot/BDG=cotZMDG=0f=3
GM
3.如图,已知平行四边形的三个顶点A、B、。都在半径为5的。。上,且垂足为点
E,BC=6.
⑴求平行四边形/BCD的边的长;
(2)延长线段8。交4D于点尸,求点尸到CD的距离.
【答案】(1)3面
加27府
40
【分析】(1)如图1,连接。8,由题意知,08=04=5,由可得8£=ggC=3,由勾股定理
得,OE=yjOB1-BE1=4>则/E=9,由勾股定理得,/B=J/炉+BE?,计算求解即可;
(2)如图2,连接尸C,作松,8于则W为点尸到CD的距离,证明A4FOSA£8O,贝|
W'即~T~=:'可求4F=—,由S口ABCD=S“BF+S^BCF+ScDF'可得
BEOE344
BCxAE=-xAFxAE+-xBCxAE+-CDxFM,gp6x9=-x—X9+-X6X9+-X3A/10x™,计算求解
2222422
即可.
连接08,
图1
:.BE=-BC=3,
2
由勾股定理得,0E=yj0B2-BE2=4,
/.AE=9,
由勾股定理得,AB=dAE?+BE?=3屈,
/.48的长为3厢;
(2)解:如图2,连接尸C,作rN_LCr(于则FM为点尸到8的距离,
:平行四边形48C。,
:.AD〃BC,CD=AB=3>/10,
?.ZAF0=ZEB0,ZFA0=ZBE0,
:.AAFOSAEBO,
••一,即一,
BEOE34
解得,4尸=?,
4
=
,S口ABCDSAABF+S&BCF+SACDF,
BCxAE=-xAFxAE+-xBCxAE+-CDxFM,gp6x9=-x—x9+-x6x9+-x3V10X.FA/,
2222422
解得,尸屈=生叵,
40
.•.点F到CD的距离为生叵.
40
【点睛】本题考查了垂径定理,勾股定理,平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质等知识.熟练掌
握垂径定理,勾股定理,平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质是解题的关键.
4.如图1是一张乒乓球桌,其侧面简化结构如图2所示,台面A8=274cm(台面厚度忽略不计)与地面平
行,且高度为76cm(台面与地面之间的距离),直线型支架PE与。尸的上端£,尸与台面下方相连,
P尸与。尸的下端尸,。与直径为4cm的脚轮(侧面是圆)相连(衔接之间的距离忽略不计),直线型支架CG
与。〃的上端C,。与台面下方相连,下端G,H与PE,。尸相连,圆弧形支架G8分别与PE,。尸在
点G,X相连,5.PC1AB,OQ1AB,PE=QF,CG=DH,AB=BD,CE=DF,己知所=106cm,
—tanZECG=tanZFDH=-
CE93
(2)当面所在的圆经过点P、。时,求:南所在的圆的圆心到台面42之间的距离
【答案】(l)6V73cm
(2)133.5cm
【分析】本题考查垂径定理及解直角三角形的应用,理解和灵活运用垂径定理,并能够熟练地解直角三角
形是解答本题的关键.
(1)过点GNL48,交4B于点M.连接CP.根据已知条件求出CA/、MG,由勾股定理计算CG的长度;
(2)设点。为前所在圆的圆心.连接G〃、PQ、OG、OP,过点。作OKLGH,交GH于点、K,交尸0
于点N.由垂径定理求得GK、PN,由勾股定理和半径相等列方程,求出ON,进而求出圆心到N3的距离.
【详解】(1)解:过点6作6加,48,交48于点连接CP.
AC5
=84(cm),
~CE9
9Q
,CE=——AE=——x84=54(cm).
1414v7
又・・・CQ=76-4=72(cm),
CP_72_4
tan/CEP=一,
~CE~543
MC_8MG4
•.・tan/ECG=,tan/CEP=——=—
~CM-3ME3
.CM_1
'•砺―2
CN=CE=x54=18cm,MG=-CM=-xl8=48(cm),
:.CG=yJCM2+MG2=V182+482=6773(cm).
(2)解:设点。为南所在圆的圆心.连接GH、PQ、0G、OP,过点。作。KLG8,交G8于点K,
交PQ于点N.
由垂径定理,GK=^GH=ME+^EF=CE-CM+^EF=54--[8+^xW6=89(cm),
PN=g尸0==;(E尸+2CE)=;x(106+2x54)=107(cm).
/.KN=CP-MG=72-48=24(cm).
VOP2=PN2+ON2,OG2=GK2+OK2,§LOP=OG,
:.PN2+ON2=GK2+OK-,
:.PN2+ON2=GK2+(KN+ON)2,即107?+ON2=892+(24+ON)2,
解得ON=61.5.
ON+CP=61.5+72=133.5(cm).
.••丽所在的圆的圆心到台面之间的距离为133.5cm.
5.新定义:如果一个三角形中有两个内角c,6满足夕+2£=90。,那我们称这个三角形为“近直角三角
形
A
⑴若是“近直角三角形”,Z5>90°,ZC=50°,则44=度;
(2)如图1,在RtZUBC中,ABAC=90°,43=3,AC=4.若8。是//8C的平分线,在边/C上是否存
在点E(异于点。),使得是“近直角三角形”?若存在,请求出CE的长;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,在RtZUBC中,ABAC=90°,点。为/C边上一点,以AD为直径的圆交2C于点E,连接4E
交BD于点尸,若△5C。为“近直角三角形",且N8=5,AF=3,求tanNC的值.
【答案】⑴20
7
(2)存在,CE=-
⑶tan/C的值为(或当
【分析】(1)不可能是a或当44=a时,ZC=0=50°,a+2£=90。,不成立;故44=尸,
ZC=a,a+2/?=90°,则£=20。
ABAC349
(2)由=则即——=——,即上==,解得:AE=-,即可求解
AEAB在34
(3)①如图2所示,当NN8O=Na8C=£时,设BH=x,则/ffi=5-x,则AH2=AE?-HE。=AB?-HB?,
7
即52-X2=6,-(5-X)2,解得:x=y,即可求解;
②如图3所示,当乙tBD=NC=夕时,AF-.EF=AG:DE=3:2,则DE=2左,贝l|/G=3尢=R(圆的半径)
=BG,点7/是8E的中点,贝!|Ga=;QE=后,在ABGH中,BH=yjBG2-GH2=ly/lk>由三角函数可求解.
【详解】(1)解:不可能是a或4,
当乙4=a时,Z-C=p=50°,a+2/3=90°,不成立;
故4=4,AC=a,a+2分=90。,则£=20。,
故答案为20;
(2)存在,理由:
在边NC上是否存在点£(异于点。),使得A8C£是“近直角三角形”,
48=3,AC=4,则3c=5,
则AABE=ZC,
设N4BE=NC=a,则N42C=90°-a,
...Z£5C=90°-a-a=90°-2(z,
:.NEBC+2/C=90°,
':ZA=ZA,
贝I]^ABCsAAEB,
即理=W£,即且49
解得:AE=~,
AEABfiE
97
则
(3)①如图2所示,当==4时,
图2
AD=DEy
:.AB=BE,
BF=BF,
:・AABFWEBF,
;・AE工BF,贝!Jz/=FE=3,贝lj4石=6,
AB=BE=5,
过点A作/aIBC于点〃,
设BH—x,则HE=5-x,
7
则4H2=4E?-HE?=4B?-HB。,即5?-x?=6?-(5-x>,解得:x=l;
RH7
cos/ABE=-^=^=cos20,贝卜@112/7=亍,
7
贝[|tana=-;
24
②如图3所示,当N/BD=NC=夕时,
图3
过点A作4HLBE交BE于点、H,交于点G,
DE=DE
/DAE=ZDBE=a,
ZAEB=NABE=a+0,
:.AB=AE=5,
AH工BE,
:.BH=HE,
・•・AH为BE的垂直平分线,
・••点G是圆的圆心(成的中垂线与直径的交点),
EF=AE-AF=5-3=2,
•・•DELBC,AH1BC,
:.ED//AH,
:.AAGFs4EDF,
贝ljZ尸:斯=NG:OE=3:2,
则DE=2k,则/G=3左=火(圆的半径)=BG,
•・•点a是郎的中点,G为50中点,
GH=-DE=k,
2
在△5G77中,BH=J5G2-GH?=2岳,
在△45"中,AB=5,BH=2®,AH=AG+HG=4k,
•:ZC+ZABC=90°,/ABC+/BAH=90。,
ZC=ABAH,
「BH2回V2
tanC=tan/BAH-=-------=—,
AH4k2
综上,tanC的值为(或孝.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质,全等三角形的判定与性质,三角函数值,圆周角等
知识.属于圆的综合题,解决本题需要我们熟练各部分的内容,对学生的综合能力要求较高,一定要注意
将所学知识贯穿起来.
压轴题型二圆周角与圆心角问题
6.如图,点4B,C在。。上,顺次连接48,BC,CA,且m=210。,AC=150°-
(1)求/氏4。的度数;
(2)若。。的半径为2,求△ABC的面积.
【答案】⑴NA4C=30。
⑵工.=2+6
【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系,垂径定理以及勾股定理等知识点,掌握相关结论即可.
(1)根据前=初一公即可求解;
(2)求出标的度数可得48=/C,过点A作4028。交8c于点。,连接。8,OC,分别求出8C,AD
即可求解.
【详解】(1)解::NE^=210。,AC=15O°>
BC=60°,
ABAC=30°.
(2)解:':ACB=2\Q°,5C=150°>
•,•筋=公=150°,
AB=AC,
如图,过点A作4018c交8c于点。,连接0AOC,
则4D过。,
由(1)可得/BOC=60。.
因为08=0C
/.ABOC是等边三角形,
2BOD=-NBOC=30°,BC=OB
2
。。的半径为2,
BC=0B=2,
:.BD=-OB=\
2
•*-OD=^OB1-BD2=V3
/.AD=OA+OD=2+6,
葭族©=JxBCxAD=2+V3.
7.已知4B是。。的一条弦,点C在。。上,连接C。并延长,交弦4B于点。,且CD=C3.
⑴如图1,如果3。平分/ABC,求证:AB=BC^
(2)如图2,如果/O_LO8,求NO:OB的值;
(3)延长线段/。交弦BC于点E,如果AEOB是等腰三角形,且O。的半径长等于2,求弦3C的长.
【答案】(1)见解析
(3)V5+1或2-\/2
【分析】(1)证明会AOBC即可解决问题.
(2)如图2中,作。A/_LO8于M,DN1OA于N,设。M=a.首先证明/C£>8=/CAD=75。,解直角
三角形求出4D,BD(用。表示)即可解决问题.
(3)由NOEB=NC+NCOE>NOBE,推出OEwOB,分两种情形:如图3-1中,当8。=5£时,如图3-2中,
当EO=胡时,分别求解即可解决问题.
【详解】(1)证明:如图1中,
8。平分N/5C,
VOB=OA=OC,
:"A=NABO,NC=ZOBC,
:.ZA=NC,
■:OB=OB,
:.AOBA知OBC(AAS),
AB=BC,
❷♦
AB=BC•
(2)解:如图2中,作Dl/_LO5于M,DNLOA于N,设=
AMON=ZDMO=ZDNO=90°,
.•・四边形。MON是矩形,
DN=OM=a,
•/OA=OB,ZAOB=90°,
/.NA=ZABO=45°,
:OC=OB,CD=CB,
ZC=ZOBC,ZCDB=ZCBD,
•••ZC+ZCDB+NCBD=180°,
3ZC+90°=180°,
.\ZC=30°,
:"CDB=/CBD=75。,
/DMB=90°,
4MDB=/DBM=45°,
:.DM=BM,ZODM=30°,
:.DM=60M=岛,DN=42DM=46a,AD=42DN=42a,
.AP_y/2ay/3
DBy/6a3
(3)解:如图3-1中,当=时,
CD=CB,
:"CDB=/CBD,
NA+ZAOD=AOBA+ZOBC,
•・•N/=/ABO,
/.ZAOD=ZOBC=ZC,
•••AOD=/COE,
ZC=/COE=ZCBO,
・・・zc=zc,
・•・AOCES八BCO,
PCCE
~BC~~OC
,2EC
"1+EC~~T,
:.EC2+2EC-4=0,
解得EC=-1+V?或-1-石(舍弃),
BC=V5+1.
如图3-2中,当E0=E3时,可得是等腰直角三角形,
EO=EB=EC=—OB=^2,
2
图3-2
BC=2也,
•••NOEB=ZC+ZCOE>NOBE,
OEwOB,
综上所述,8c的值为6+1或2行.
【点睛】本题属于圆综合题,考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和
性质,解直角三角形等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,学会利用参数解
决问题,属于中考压轴题.
8.如图,以48为直径的圆。中,点。为圆心,C为弧4B的中点,过点C作。。〃/2且CO=O8.连接
AD,分别交。C,8C于点£,F,与圆O交于点G,连接AD.
(1)求证:BD±AB
(2)连接BE,OF,求证:BE±OF.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)根据平行四边形的判定可得四边形O3DC为平行四边形,根据C为半圆的中点可得NCO3=90。,
根据矩形的判定可得平行四边形OADC为矩形,即可证明;
(2)连接BE,OF,交于〃,结合(1)易知四边形O3AC为正方形,可证AFOC0AEDC,得
ZCOF=ZCDF,再证。C垂直平分48,awffiZEBO=ZCDF=ZCOF,再根据角度之间的互余关系可得
ZOHB=90°,即可则证明8E_L。尸.
【详解】(1)证明:CD//AB,CDOB,
二四边形OBDC为平行四边形,
为半圆的中点,
ACOLAB,即NCOS=90。,
,平行四边形OADC为矩形.
二ZOBD=90°,
:.BDJ.AB.
(2)证明:连接BE,OF,交于H,
由(1)可知平行四边形OADC为矩形,
,/OC=OB,
二四边形0Aoe为正方形,则CD=C。,AOCB=ADCB=45°,
,/CF=CF,
:.xFOC卬FDC,
ZCOF=NCDF,
,/AB//CD,
ZA=NCDA,
CD
':OA=OB,COLAB,
:.OC垂直平分AB,
AE=BE,
NA=ZEBA,
ZEBO=ZCDF=ZCOF,
ZCOF+ABOF=90°,
/.ZEBO+ZBOF=90°,
・•・/OHB=900,
:.BELOF.
【点睛】本题考查圆的基本性质,矩形、正方形的判定及性质,全等三角形的判定及性质、等腰三角形的
性质等知识点,熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键.
9.如图,45是。。的直径,以45为腰作等腰△45C,底边3C交。。于点。,连接4D,延长C/交。。
于点E,连接班、DE,
(1)求证:ZCAD=ABED;
24
⑵若8。=20,tanZBDE=—,求G>O的半径长.
【答案】(1)证明过程见详解
25
(2)00的半径为了
【分析】(1)根据48是。。的直径可得幺。工BC,根据等腰三角形的“三线合一”可得4D平分,A4C,再
根据同弧所对圆周角相等即可求证;
BE24
(2)根据题意可得“BE,ACBE是直角三角形,根据ZBDE=NBAE,可得—=—,^A£=7x,BE=24x,
AE7
在Rt^4BE中,可求出N2=25x,结合(1)中等腰三角形/5C,可用含x的式子表示BE,CE的长,在
RtMBE中运用勾股定理即可求解.
【详解】(1)证明:•••/Bn/C,
LABC是等腰三角形,
;48是。。的直径,
AADB=90°,即AD18C,
二平分ZBAC,即ACAD=ABAD,
在。。中,圆周角NA4O与圆周角NAE7)所对弧相同,
ABAD=/BED,
:.ACAD=/BED;
(2)解:是。。的直径,
・•.ABDA=/BEA=90°,
・・・△/BE是直角三角形,且由(1)可知,BD=CD=20,贝i]5C=40,
•・•圆周角ZBDE与圆周角NBAE所对弧相同,
・•・ZBDE=/BAE,
BE24
tan/BDE=tanNBAE==——,
AE7
设/£=7x,BE=24x,
在RtZ“5E中,AB=J/炉+BE?=J(7X)2+(24X?)=25x,
4B=4C=25x,则CE=/C+4E=25x+7x=32x,
在RbBCE1中,BC2=CE2+BE2,
:.4()2=(32x)2+(24x1
解得,X=1(负值舍去),
AB=25x=25,
二。。的半径为?25
2
【点睛】本题主要考查圆的基础知识,掌握等腰三角形的判定和性质,同弧所对圆周角相等,直径所对圆
周角为直角,正切值的计算方法,勾股定理等知识的综合运用是解题的关键.
10.如图,△48C的边是OO的直径,点C在。。上,点。是边05上的一点,点£和点。关于8c对
称,DE交边BC于点、M,过点。作。E的垂线交EC的延长线于点尸,线段。厂交/C于点N.
(1)求证:四边形CMJN是矩形;
(2)联结C。,当CD1/B时,求证:EF-CB=2AB-ME.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)利用三个角是直角的四边形是矩形,即可得证;
(2)证明比例式,首先化成乘积式,然后找到相似的三角形,再证明三角形相似即可.
【详解】(1)证明:•••48是。。的直径,
ZACB=90°,
•・•点E和点。关于3C对称,
:.DM=EM,DELBC,
ZCMD=90°,
♦:DELDF,
NEDF=90。,
ZACB=ZEDF=ZCMD=90°,
四边形CMZ卯是矩形;
(2)如图,连接CO,
CD工AB,
ZCDB=90°,
ZDCM+NB=90°,
•••DE1DF,
ZCDM+ZDCM=90°,
ZCDM=ZB,
•・•点£和点。关于月。对称,
/.CD=CE,
ZCDM=ZE,
/./B=/E,
NACB=NEDF=90。,
:AACBSXFDE,
.BCAB
,~DE~^F9
即EF-BC=4B-DE,
由(1)得
DE=2ME,
:.EF-BC=AB-2ME,
即E尸=
【点睛】本题考查了矩形的判断、三角形相似,解题的关键是熟练矩形的判断方法,以及三角形相似的判
断方法.
压轴题型三直线与圆的位置关系问题
11.如图,在平行四边形48cD中,3=9,/5=15,8O_L3C,点尸在边CO上运动,以尸为圆心,FD
图1图2
(1)当圆尸与边8c相切时,求£0的长;
(2)设即=x,AEBE的面积为y,求y关于X的函数解析式,并写出定义域;
(3)当圆F与平行四边形ABCD的边有4个交点时,求x的取值范围.
【答案】⑴2?0
11Q1C
(2)y=~x2+yx,定义域为:0<x<y
2036—15
【分析】本题考查圆与平行四边形综合,涉及圆的切线的性质,平行四边形的性质,相似三角形的判定与
性质,函数的解析式,定义域,熟练掌握这些性质和定义是解题的关键.
(1)设圆尸与3c相切于点P,连接抄,证明△CBOs^c尸尸,利用相似对应边比相等列式求解即可;
(2)过点尸作TKJ.5D于点尸,通过△。相S2XDC8解得/K=w,DK=~>利用垂径定理求出。E,
求出3£=12-g,即可求解析式,由点£在边3。上,求出当点E与点5重合时无的值,即可求解;
(3)①由题可得当。尸与边3C相切后,至。尸与边43相切前,。尸与平行四边形/BCD的边有四个交点;
②当。尸过点。、B、C时,。厂与平行四边形NBCD的边有四个交点;分别求解即可.
【详解】(1)解:如图,设圆尸与2。相切于点P,连接尸尸,
FP1BC,
•.•四边形ABCD是平行四边形,
AD//BC,CD=AB=15,BC=AD=9,
":BDLBC,
BD=ylCD2-BC2=12>FP//BD,
:.ACBDsACPF,
.CDBD
''~CF~~FP'
T^DF=X,贝l|C尸=15-X,FP=X,
.1512
••二,
15-xx
解得:X=y,
即。尸=?;
(2)解:如图,过点尸作用,3。于点尸,
■C7c
E
A
B
BDLBC,
:.FK//BC,
:.ADFKsADCB,
DFFKDK
••皮―茄—市’
・xFK_DK
“I?一$—IT'
3x4x
解得:FK=1,OK=当,
■:FK1BD,
Qy
DE=2DK=y,
Qy
・,.BE=BD-DE=12--,
:.y-S^FBE=^BE-FK=^
当点E与点2重合时,如图,
B(E)
a\^DE=—=BD=n,
由点£在边AD上,
则定义域为:OWxvt,
综上,y=-x2+^x,定义域为:0<%<^
(3)解:当。尸过点c时,
,/ZDBC=90°,
此时点5也在。尸上,
①当。尸与边8c相切后,至。尸与边相切前,。厂与平行四边形的边有四个交点,
又当。尸与边3C相切时,由(1)可得此时X=y
当。尸与边48相切时,如图,设切点为点尸
FP工AB,
S口AbRLrUn=2/S\AA!AJRD=2x—xADxBD=108=ABxFP,
:.FP=y,
:.DF=^,
.•.当。尸与边BC相切后,至O尸与边48相切前,。尸与平行四边形/BCD的边有四个交点,此时x的取值
范围为:
②当。尸过点。、B、C时,。尸与平行四边形N8CZ)的边有四个交点,
由(2)可知此时x=z;
2
综上,x的取值范围为:或x=£.
12.如图①,已知:在矩形48co的边“。上有一点。,04=也,以。为圆心,。4长为半径作圆,交AD
于M恰好与AD相切于H过//作弦即〃48,弦坂=3.若点£是C。边上一动点(点、E与C,。不
重合),过E作直线EF//BD交于F,再把尸沿着动直线EF对折,点C的对应点为G.设CE=x,AEFG
与矩形4B8重叠部分的面积为S.
BFcaq
vs.I1^
图①备用图
(1)求矩形48co的周长;
(2)A£FG的直角顶点G能落在上吗?若能,求出此时x的值;若不能,请说明理由;
(3)求:S与x之间的函数关系式及其定义域,并直接写出尸G与。。相切时,S的值.
【答案】(1)6+66
(2)能,x=2
—X2(0<X<2)31-73
(3)5=2V),S=^-6
-V3X2+6A/3X-6V3(2<X<3)6
【分析】(1)连接OH,可以求出/HOD=60。,/HDO=30°,从而可以求出4B=3;
(2)当点G落到4。上时,可以证到点G与点M重合,可求出x=2.
(3)当0<xW2时,如图①,S=S.EGF,只需求出尸G,就可得到S与x之间的函数关系式;当2<x<3时,
如图④,S=S.GEF-S.SGR,只需求出SG、RG,就可得到S与x之间的函数关系式.当尸G与。。相切时,
如图⑤,得FK=AB=3,KQ=AQ-AK=2-2^3+J3x.再由尸K=6K。即可求出x,从而求出S.
【详解】(1)证明:连接OH,如图①所示.
图①
ZADC=ABAD=90°,BC=AD,ABCD.
HP//AB,
:.NANH+/BAD=180°.
ZANH=90°.
13
,-.HN=PN=-HP=-.
22
OH=OA<,
..sin/HON=-----=—•
OH2
/HON=60°
•.•2。与OO相切于点",
...OH±BD.
ZHDO=30°.
OD=243.
AD=3y/3.
BC=3>/3.
.•ABAD=90°,ZBDA=30°.
tanABDA------
AD
...AB=3
.•.矩形/BCD的周长=2(/8+4£>)=2(3+36)=6+6行;
(2)AE万G的直角顶点G能落在。。上.
如图②所示,点G落到上.
图②
:.ZFEC=ZBDC.
•••ZS£>C=90°-30°=60°,
NCEF=60°.
由折叠可得:NGEF=NCEF=60。.
AGED=60°.
•/CE=x,
:.GE=CE=x,ED=DC-CE=3-x.
,「LAED3-x1
cos/GED------=一.
GEx2
..%=2.
/.GE=2,£0=1.
GD=B
0G=AD-AO-GD=343-43-43=43.
OG=OM.
,点G与点”重合.
此时AEFG的直角顶点G落在。。上,对应的x的值为2.
当&EFG的直角顶点G落在OO上时,对应的x的值为2.
(3)如图①,
在RSEGF中,
tanZFEG=—=—=s/3.
GEx
尸G=氐.
:.S^-GE-FG=-x-y/3x^—x2.
222
如图③,
RE=2ED=6-2x,
图③
GR=GE-ER=x-(6-2x)=3x-6.
tanZSRG=-=-^-
RG3x-63
SG=s/3(x-2).
SSGR=gSG・RG=:♦/(x_2)•(3x-6).
~(x-2)2.
22,
sGEF-2人
,,S=S&GEF-S^SGR
号坐E
=-尽+6瓜一6日
综上所述:S=2'7
-岳2+6氐一6石(2<x<3)
当尸G与O。相切于点7时,延长FG交/。于点。,过点尸作尸KL4D,垂足为K,如图④所示.
•.•四边形A8CZI是矩形,
BC〃AD,ZABC=ABAD=90°
AAQF=ZCFG=60°.
OT=^>,
:.OQ=2.
AQ=y/3+2.
VZFKA=ZABC=ABAD=90°,
四边形/BFK是矩形.
:.FK=AB=3,AK=BF=36-瓜.
:.KQ=AQ_AK=(6+2)_(3舁瓜)=2-2他+瓜.
在RtA尸K。中,tanNFQK=》=C.
QK
/.FK=6QK.
,3=g(2-2G+瓜).
解得:x=3一冬2.
.:FG与。。相切时,S的值为三叵一6.
6
【点睛】本题考查了二次函数的应用,矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、
轴对称性质、特殊角的三角函数值、30。角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识,综合
性非常强.
13.如图1,在边长为6的正方形48。中,£是边CD的动点,以E为圆心,为半径作圆,4F与G>E
相切于点尸,连接E尸并延长交2C于点G,连接4E、AG.
(1)求证:AABG会—FG;
(2)如图2,/E与相交于点"连接3〃并延长交/。于点K,当满足OK+EG+CG=12时,试判断5K
与的位置关系并说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)欧与的位置关系是相切,理由见解析
【分析】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,圆的切线的判定定理和性质定理,找出全
等三角形是解题关键.
(1)根据正方形的性质和圆的切线的性质,可证Rt"E尸之Rt”即(HL),进而推出NO=N尸=/3,利用
“HL”即可证明△43G经△AFG;
(2)同(1)理可证:RUABG^Rt^AFG,推出OK+QE=6,从而得出花=OE,证明小肱为。4矶5人$),
得到=ZDK4,进而得到/4麻=90。,证明出BK是的切线,即可得解.
【详解】(1)证明:・・•四边形458是正方形,
:.AB=AD,ZB=ZADC=90°,
•・,以E为圆心,DE为半径作圆,4月与。E相切于点R
EF=ED,ZAFE=90°,
在RIAAEF和Rt"ED中,
[AE=AE
\EF=ED,
.•—ETWRt"瓦)(HL),
...AD=AF,
AF=AB,
在RUABG和RtAAFG中,
fAG=AG
[AB=AF'
,RtRtA^FG(HL);
(2)解:3K与。石的位置关系是相切,理由如下:
・・•四边形/5CQ是正方形,
/.AB=BC=CD=AD=6,
同(1)理可证:Rt"5GgRt△/产G,
BG=FG,
EG=EF+FG=DE+BG,
':DK+EG+CG=\2,
:.DK+DE+BG+CG=DK+DE+BC=n,
.\DK+DE=6,
•「AD=AK+DK=6,
AK=DE,
在△4BK和△"£中,
AB=AD
<ZBAK=ZADE=90°,
AK=DE
:ABK知DAE(SAS),
:.ZAKB=ZDEA,
•・•/DAE+ZDEA=180°-ZADE=90°,
.•./DAE+/AKB=90。,
ZAHK=90°f^AELBK,
•••EH是半径,
:.BK是OE的切线.
14.如图,是。。的直径,连接5。交。。于点。,连接/C、AD,使得4B2=BDBC.
C
£
(()j
⑴试判断AC与QO的位置关系并说明理由
(2)若点E是丽的中点,4E与BC交于点尸,求证:CA=CF.
【答案】(1)相切,理由见详解
(2)见详解
【分析】(1)由圆周角定理得到4408=90。,证得4/8。5/i。氏4,根据相似三角形的性质得至!|
/4DB=/C4B=90。,根据切线的判定定理即可证得结论;
(2)由弧和圆周角的关系证得=根据直角三角形的性质和三角形的外角定理证得
ZCAF=ZAFC,由等腰三角形的判定定理即可证得结论.
【详解】(1)解:相切,理由如下,
48是是。的直径,
ZADB=90°,
•1-AB-=BDBC,
.ABBD
-AB)
ZABD=NCBA,
AABDsACBA,
ZADB=/CAB=90°,
:.ACLAB,
是。。的切线;
(2)证明:;ZADB=NCAB=90°,
:.ZCAD+ZC=ZC+ZB,
ZCAD=NB
:点E是访的中点,
NBAE=ZDAE,
ZAFC=ZB+ZBAF,
ZCAF=ZCAD+ZDAE=ZB+ZBAF=ZAFC,
CA=CF.
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质,相似三角形的判定和性质,圆周角定理,弧和圆周角的关系,
等腰三角形的性质和判定,熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键.
15.如图1,。是正方形/BCD对角线上一点,以。为圆心,0C长为半径的。。与4。相切于点£,与/C
相交于点尸.
/ED/ED
⑴求证:48与。。相切.
(2)若正方形的边长为行+1,点”是半径OC上的一个动点,过点M作"NLOC交近于点N.当
QW:FW=1:4时,求CN的长
【答案】(1)证明见解析;
屈
-5
【分析】(1)如图1,连接OE,过点。作。GL/8于G,证明ACME*AONG(AAS),得至l]OE=OG,即可
求证;
(2)连接OE,并反向延长OE交8c于〃,连接ON,可得EHJ.BC,得到/OHC=90。,
EH=CD=41+\'进而得△O〃C为等腰直角三角形,得到0。=收0〃,设。。的半径为无,贝U
OE=ON=OC=x,AC=2x,可得的=^+l-x,即得。。=也。以=/(收+l-x),得至
x=V2(V2+l-x),即可得x=VI,得至IJOE=ON=OC=血,/C=2也,再由CW:=1:4可得
CM=-y4C=—,得至1]。11=。。-。/=逑,最后利用勾股定理得到上W=,0铸-0”=逑,进而
5555
利用勾股定理即可求解;
【详解】(1)证明:如图1,连接OE,过点。作。GLAB于G,
为。。的切线,点E为切点,
OE1AD,
:.ZAEO=NAGO=90°,
•••四边形N2CD是正方形,4C是对角线,
Z.ZOAE=NOAG=45°,
XVAO=AO,
;.AOAE^AOAG(AAS),
:.OE=OG,
:.4B与。O相切;
A______&D
图1
(2)解:连接OE,并反向延长OE交3c于〃,连接ON,
•;4D为。。的切线,点E为切点,
OE±AD,
:四边形4BCD是正方形,
Z.AD//BC,//CB=45。,
/.EH1BC,
:.AOHC=90°,EH=CD=6+I,
:.△OHC为等腰直角三角形,
OC=42OH,
设。。的半径为x,贝l]OE=ON=OC=x,AC=2x,
••OH=V2+1—x>
OC=V2O//=V2(V2+l-x),
X-V2+1-X),
解得x=A/2,
:.OE=ON=OC=6,FC=2V2,
':CM:FM=1:4,
・1口厂2^2
••CM=—FC=,
55
••OM=OC—CM=J2---------=-------,
55
MN1OC,
:.ZOMN=ZCMN=90°,
【点睛】本题考查了切线的判定和性质,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判
定和性质,勾股定理,正确作出辅助线是解题的关键.
压轴题型四正多边形问题
16.
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 园区转租房屋管理办法
- 国企车辆购置管理办法
- 团体标准管理办法释义
- 古典美学在现代小说中的体现
- 公司本部薪酬管理办法
- 公务客饭用餐管理办法
- 公益基金捐赠管理办法
- 梅州流动团员管理办法
- 教育类核心人才选拔的标准化考试体系研究
- 合肥房车营地管理办法
- 2-2点亮小灯泡课件公开课
- 肠道微生态与人体健康
- QC小组成果汇报 适用于总结计划 成果汇报 简约大气PPT模板
- 当代蒙古国外交政策研究
- 博爱县源森商贸有限公司年加工2000吨低电阻残阳极料项目环境影响报告表
- 《义务教育地理新课程标准》(2022年版)新课标初中地理解读与梳理教学课件
- 中药学电子版教材
- 第五版-FMEA-新版FMEA【第五版】
- 退役军人事务系统公考综合基础知识考试能力测试(含答案)
- LS/T 3244-2015全麦粉
- GB/T 6414-2017铸件尺寸公差、几何公差与机械加工余量
评论
0/150
提交评论