圆与正多边形（9大题型）解析版-2024-2025学年沪教版九年级数学下册

同与正多边形压轴题专练（9大题型45道）

压轴题型一垂径定理问题

1.如图，在。。中，直径48垂直于弦CD,垂足为点£,连接/C、DO,延长。。交/C于点尸.

⑴求证：AF2=OF-DF;

（2）如果。。=8,8£=2,求。尸的长.

【答案】（1）见解析

【分析】（1）利用垂径定理得出CE=DE,利用线段垂直平分线定理得出/C=ND,利用等腰三角形三线

合一性质得出利用等边对等角得出等量代换得出=可证

AAFOSADFA,再利用相似三角形的性质即可得证；

（2）在RtZ^DEO中，利用勾股定理求出半径，在RM4DE中，利用勾股定理求出然后利用（1）中相

似三角形的性质求解即可.

【详解】（1）解：连接N。，

•.•直径48垂直于弦CD,

CE=DE=-CD,

2

,/AE1CD,

：.AC^AD,

ZFAO=NDAO,

*.•AO=DO,

：.ZDAO=NODA,

ZFAO=ZODA,

又AAFO=NDFA,

AAFO^ADFA,

,AF_DF

^~OF~~AF'

AF2=OF-DF

(2)解：；CE=DE=gcD,CD=8,

：.CE=DE=4,

设半径为r,

•/BE=2,

OE=r—29

在RtZ\O£。中，OE2^-DE2=DO\

：.(F-2)2+42=r2,

解得r=5,

OE=3,AE=AO+OE=8,

AD=yjAE2+DE2=475，

"：AAFOSADFA,

.AFOFAOnnAFOF5

"DF~AF~AD'OF+5AF4逐'

4y/5OF=5AF25

整理得「，解得。尸=77

5OF+25^4y/5AFH

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题

意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键.

2.如图，在△ABC中，AB=AC=10,SC=12,AD，BC于D,。为2。上一点，以。为圆心，为半

径的圆交48于G,交BC于E、F,且NG=NO.

⑴求E尸的长;

（2）连接。G,求N5DG的余切值.

【答案】⑴8

⑵3

【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，垂径定理，三线合一定理等等：

（）先由垂径定理，三线合一定理得到；进而得到。

1AD=CO=8C=6,DF=DE,/=8,CF=BE,可得

BG=AB-AG=2,证明可得处=七三，解方程即可得到答案；

x2

（2）过点G作GM，80于M,则AD\\GM,可证明^BGM^BAD,利用相似三角形的性质得到

GM=~,BM贝=8M=且，即可得至ijcotNBDG=cot=也=3.

555GM

【详解】（1）解：如图所示，连接/尸，EG

二AD7AB2-BD?=8，CF=BE,

AG=AD=8,

BG=AB-AG=2,

・・,四边形AFEG是圆内接四边形，

・•.ZAFE+ZAGE=180°=ZAGE+ZEGB,

Z.ZAFB=ZEGB,

设CF=BE=x,贝IJB尸=12—x

XV/B=/B,

：・—FBs公EGB,

.ABBFnn1012—x

BEBGx2

解得x=2或x=10（舍去），

经检验，％=2是原方程的解,

EF=BC-2x=S；

(2)解：如图所示，过点G作于则/O||GM,

ABGMsRAD,

GM_BMBG口口GMBM2

——，即---=----

~AD一访AB86To

/.GM=—，BM=—,

55

DM=BD-BM=——

：.cot/BDG=cotZMDG=0f=3

GM

3.如图，已知平行四边形的三个顶点A、B、。都在半径为5的。。上，且垂足为点

E,BC=6.

⑴求平行四边形/BCD的边的长；

(2)延长线段8。交4D于点尸，求点尸到CD的距离.

【答案】(1)3面

加27府

40

【分析】(1)如图1,连接。8,由题意知，08=04=5,由可得8£=ggC=3,由勾股定理

得，OE=yjOB1-BE1=4＞则/E=9,由勾股定理得，/B=J/炉+BE?，计算求解即可；

(2)如图2,连接尸C,作松，8于则W为点尸到CD的距离，证明A4FOSA£8O,贝|

W'即~T~=：'可求4F=—,由S口ABCD=S“BF+S^BCF+ScDF'可得

BEOE344

BCxAE=-xAFxAE+-xBCxAE+-CDxFM,gp6x9=-x—X9+-X6X9+-X3A/10x™,计算求解

2222422

即可.

连接08,

图1

：.BE=-BC=3,

2

由勾股定理得,0E=yj0B2-BE2=4,

/.AE=9,

由勾股定理得,AB=dAE?+BE?=3屈，

/.48的长为3厢；

(2)解：如图2,连接尸C,作rN_LCr(于则FM为点尸到8的距离,

:平行四边形48C。，

:.AD〃BC,CD=AB=3>/10,

?.ZAF0=ZEB0,ZFA0=ZBE0,

：.AAFOSAEBO,

••一,即一,

BEOE34

解得，4尸=?,

4

=

,S口ABCDSAABF+S&BCF+SACDF，

BCxAE=-xAFxAE+-xBCxAE+-CDxFM,gp6x9=-x—x9+-x6x9+-x3V10X.FA/,

2222422

解得，尸屈=生叵，

40

.•.点F到CD的距离为生叵.

40

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识.熟练掌

握垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键.

4.如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面A8=274cm(台面厚度忽略不计)与地面平

行，且高度为76cm(台面与地面之间的距离)，直线型支架PE与。尸的上端£,尸与台面下方相连,

P尸与。尸的下端尸，。与直径为4cm的脚轮(侧面是圆)相连(衔接之间的距离忽略不计)，直线型支架CG

与。〃的上端C,。与台面下方相连，下端G,H与PE,。尸相连，圆弧形支架G8分别与PE,。尸在

点G,X相连，5.PC1AB,OQ1AB,PE=QF,CG=DH,AB=BD,CE=DF,己知所=106cm,

—tanZECG=tanZFDH=-

CE93

(2)当面所在的圆经过点P、。时，求：南所在的圆的圆心到台面42之间的距离

【答案】(l)6V73cm

(2)133.5cm

【分析】本题考查垂径定理及解直角三角形的应用，理解和灵活运用垂径定理，并能够熟练地解直角三角

形是解答本题的关键.

(1)过点GNL48,交4B于点M.连接CP.根据已知条件求出CA/、MG,由勾股定理计算CG的长度；

(2)设点。为前所在圆的圆心.连接G〃、PQ、OG、OP,过点。作OKLGH,交GH于点、K,交尸0

于点N.由垂径定理求得GK、PN,由勾股定理和半径相等列方程，求出ON,进而求出圆心到N3的距离.

【详解】(1)解：过点6作6加，48,交48于点连接CP.

AC5

=84（cm）,

~CE9

9Q

，CE=——AE=——x84=54（cm）.

1414v7

又・・・CQ=76-4=72（cm）,

CP_72_4

tan/CEP=一，

~CE~543

MC_8MG4

•.・tan/ECG=,tan/CEP=——=—

~CM-3ME3

.CM_1

'•砺―2

；；（）QQ

CN=CE=x54=18cm,MG=-CM=-xl8=48（cm）,

：.CG=yJCM2+MG2=V182+482=6773（cm）.

（2）解：设点。为南所在圆的圆心.连接GH、PQ、0G、OP,过点。作。KLG8,交G8于点K,

交PQ于点N.

由垂径定理，GK=^GH=ME+^EF=CE-CM+^EF=54--[8+^xW6=89（cm）,

PN=g尸0==；（E尸+2CE）=；x（106+2x54）=107（cm）.

/.KN=CP-MG=72-48=24（cm）.

VOP2=PN2+ON2,OG2=GK2+OK2,§LOP=OG,

：.PN2+ON2=GK2+OK-,

：.PN2+ON2=GK2+（KN+ON）2,即107?+ON2=892+（24+ON）2,

解得ON=61.5.

ON+CP=61.5+72=133.5（cm）.

.••丽所在的圆的圆心到台面之间的距离为133.5cm.

5.新定义：如果一个三角形中有两个内角c,6满足夕+2£=90。，那我们称这个三角形为“近直角三角

形

A

⑴若是“近直角三角形”，Z5>90°,ZC=50°,则44=度；

(2)如图1,在RtZUBC中，ABAC=90°,43=3,AC=4.若8。是//8C的平分线，在边/C上是否存

在点E(异于点。)，使得是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由.

(3)如图2,在RtZUBC中，ABAC=90°,点。为/C边上一点，以AD为直径的圆交2C于点E,连接4E

交BD于点尸,若△5C。为“近直角三角形"，且N8=5,AF=3,求tanNC的值.

【答案】⑴20

7

(2)存在，CE=-

⑶tan/C的值为(或当

【分析】(1)不可能是a或当44=a时，ZC=0=50°,a+2£=90。，不成立；故44=尸，

ZC=a,a+2/?=90°,则£=20。

ABAC349

(2)由=则即——=——，即上==,解得：AE=-,即可求解

AEAB在34

(3)①如图2所示，当NN8O=Na8C=£时，设BH=x,则/ffi=5-x,则AH2=AE?-HE。=AB?-HB?,

7

即52-X2=6,-(5-X)2,解得：x=y,即可求解；

②如图3所示，当乙tBD=NC=夕时，AF-.EF=AG:DE=3:2,则DE=2左，贝l|/G=3尢=R(圆的半径)

=BG,点7/是8E的中点，贝!|Ga=；QE=后，在ABGH中，BH=yjBG2-GH2=ly/lk>由三角函数可求解.

【详解】(1)解：不可能是a或4，

当乙4=a时，Z-C=p=50°,a+2/3=90°,不成立；

故4=4，AC=a,a+2分=90。，则£=20。，

故答案为20；

(2)存在，理由：

在边NC上是否存在点£(异于点。)，使得A8C£是“近直角三角形”,

48=3,AC=4,则3c=5,

则AABE=ZC,

设N4BE=NC=a,则N42C=90°-a,

...Z£5C=90°-a-a=90°-2(z,

：.NEBC+2/C=90°,

'：ZA=ZA,

贝I]^ABCsAAEB,

即理=W£,即且49

解得：AE=~,

AEABfiE

97

则

(3)①如图2所示，当==4时,

图2

AD=DEy

：.AB=BE,

BF=BF,

:・AABFWEBF,

；・AE工BF,贝！Jz/=FE=3,贝lj4石=6,

AB=BE=5,

过点A作/aIBC于点〃，

设BH—x,则HE=5-x,

7

则4H2=4E?-HE?=4B?-HB。,即5?-x?=6?-(5-x>,解得：x=l;

RH7

cos/ABE=-^=^=cos20,贝卜@112/7=亍，

7

贝［|tana=-；

24

②如图3所示，当N/BD=NC=夕时，

图3

过点A作4HLBE交BE于点、H,交于点G,

DE=DE

/DAE=ZDBE=a,

ZAEB=NABE=a+0,

：.AB=AE=5,

AH工BE,

：.BH=HE,

・•・AH为BE的垂直平分线，

・••点G是圆的圆心（成的中垂线与直径的交点），

EF=AE-AF=5-3=2,

•・•DELBC,AH1BC,

:.ED//AH,

：.AAGFs4EDF,

贝ljZ尸：斯=NG:OE=3:2,

则DE=2k,则/G=3左=火（圆的半径）=BG,

•・•点a是郎的中点，G为50中点，

GH=-DE=k,

2

在△5G77中，BH=J5G2-GH?=2岳,

在△45"中，AB=5,BH=2®,AH=AG+HG=4k,

•：ZC+ZABC=90°,/ABC+/BAH=90。，

ZC=ABAH,

「BH2回V2

tanC=tan/BAH-=-------=—,

AH4k2

综上，tanC的值为(或孝.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定与性质，三角函数值，圆周角等

知识.属于圆的综合题，解决本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意

将所学知识贯穿起来.

压轴题型二圆周角与圆心角问题

6.如图，点4B,C在。。上，顺次连接48,BC,CA,且m=210。，AC=150°-

(1)求/氏4。的度数；

(2)若。。的半径为2,求△ABC的面积.

【答案】⑴NA4C=30。

⑵工.=2+6

【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可.

(1)根据前=初一公即可求解；

(2)求出标的度数可得48=/C,过点A作4028。交8c于点。，连接。8,OC,分别求出8C,AD

即可求解.

【详解】(1)解：：NE^=210。，AC=15O°>

BC=60°，

ABAC=30°.

(2)解：'：ACB=2\Q°,5C=150°>

•,•筋=公=150°，

AB=AC,

如图，过点A作4018c交8c于点。，连接0AOC,

则4D过。，

由(1)可得/BOC=60。.

因为08=0C

/.ABOC是等边三角形，

2BOD=-NBOC=30°,BC=OB

2

。。的半径为2,

BC=0B=2,

：.BD=-OB=\

2

•*-OD=^OB1-BD2=V3

/.AD=OA+OD=2+6,

葭族©=JxBCxAD=2+V3.

7.已知4B是。。的一条弦，点C在。。上，连接C。并延长，交弦4B于点。，且CD=C3.

⑴如图1,如果3。平分/ABC,求证：AB=BC^

(2)如图2,如果/O_LO8,求NO:OB的值；

(3)延长线段/。交弦BC于点E,如果AEOB是等腰三角形，且O。的半径长等于2,求弦3C的长.

【答案】(1)见解析

(3)V5+1或2-\/2

【分析】（1）证明会AOBC即可解决问题.

（2）如图2中，作。A/_LO8于M,DN1OA于N,设。M=a.首先证明/C£>8=/CAD=75。，解直角

三角形求出4D,BD（用。表示）即可解决问题.

（3）由NOEB=NC+NCOE>NOBE,推出OEwOB,分两种情形：如图3-1中，当8。=5£时，如图3-2中,

当EO=胡时，分别求解即可解决问题.

【详解】（1）证明：如图1中,

8。平分N/5C,

VOB=OA=OC,

:"A=NABO,NC=ZOBC,

:.ZA=NC,

■：OB=OB,

：.AOBA知OBC(AAS),

AB=BC,

❷♦

AB=BC•

(2)解：如图2中，作Dl/_LO5于M,DNLOA于N,设=

AMON=ZDMO=ZDNO=90°,

.•・四边形。MON是矩形,

DN=OM=a,

•/OA=OB,ZAOB=90°,

/.NA=ZABO=45°,

:OC=OB,CD=CB,

ZC=ZOBC,ZCDB=ZCBD,

•••ZC+ZCDB+NCBD=180°,

3ZC+90°=180°,

.\ZC=30°,

:"CDB=/CBD=75。,

/DMB=90°,

4MDB=/DBM=45°,

:.DM=BM,ZODM=30°,

:.DM=60M=岛，DN=42DM=46a,AD=42DN=42a,

.AP_y/2ay/3

DBy/6a3

(3)解：如图3-1中，当=时，

CD=CB,

:"CDB=/CBD,

NA+ZAOD=AOBA+ZOBC,

•・•N/=/ABO,

/.ZAOD=ZOBC=ZC,

•••AOD=/COE,

ZC=/COE=ZCBO,

・・・zc=zc,

・•・AOCES八BCO,

PCCE

~BC~~OC

,2EC

"1+EC~~T，

:.EC2+2EC-4=0，

解得EC=-1+V?或-1-石（舍弃）,

BC=V5+1.

如图3-2中，当E0=E3时，可得是等腰直角三角形,

EO=EB=EC=—OB=^2,

2

图3-2

BC=2也，

•••NOEB=ZC+ZCOE>NOBE,

OEwOB,

综上所述，8c的值为6+1或2行.

【点睛】本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和

性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解

决问题，属于中考压轴题.

8.如图，以48为直径的圆。中，点。为圆心，C为弧4B的中点，过点C作。。〃/2且CO=O8.连接

AD,分别交。C,8C于点£,F,与圆O交于点G,连接AD.

(1)求证：BD±AB

(2)连接BE,OF,求证：BE±OF.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形O3DC为平行四边形，根据C为半圆的中点可得NCO3=90。,

根据矩形的判定可得平行四边形OADC为矩形，即可证明；

（2）连接BE,OF,交于〃，结合（1）易知四边形O3AC为正方形，可证AFOC0AEDC,得

ZCOF=ZCDF,再证。C垂直平分48,awffiZEBO=ZCDF=ZCOF,再根据角度之间的互余关系可得

ZOHB=90°,即可则证明8E_L。尸.

【详解】（1）证明：CD//AB,CDOB,

二四边形OBDC为平行四边形，

为半圆的中点，

ACOLAB,即NCOS=90。，

，平行四边形OADC为矩形.

二ZOBD=90°,

：.BDJ.AB.

（2）证明：连接BE,OF,交于H,

由（1）可知平行四边形OADC为矩形，

,/OC=OB,

二四边形0Aoe为正方形，则CD=C。，AOCB=ADCB=45°,

,/CF=CF,

:.xFOC卬FDC,

ZCOF=NCDF,

,/AB//CD,

ZA=NCDA,

CD

'：OA=OB,COLAB,

：.OC垂直平分AB,

AE=BE,

NA=ZEBA,

ZEBO=ZCDF=ZCOF,

ZCOF+ABOF=90°,

/.ZEBO+ZBOF=90°,

・•・/OHB=900,

：.BELOF.

【点睛】本题考查圆的基本性质，矩形、正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质、等腰三角形的

性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键.

9.如图，45是。。的直径，以45为腰作等腰△45C,底边3C交。。于点。，连接4D,延长C/交。。

于点E,连接班、DE,

(1)求证：ZCAD=ABED；

24

⑵若8。=20,tanZBDE=—,求G>O的半径长.

【答案】(1)证明过程见详解

25

(2)00的半径为了

【分析】(1)根据48是。。的直径可得幺。工BC,根据等腰三角形的“三线合一”可得4D平分，A4C,再

根据同弧所对圆周角相等即可求证；

BE24

(2)根据题意可得“BE,ACBE是直角三角形，根据ZBDE=NBAE,可得—=—,^A£=7x,BE=24x,

AE7

在Rt^4BE中，可求出N2=25x,结合(1)中等腰三角形/5C,可用含x的式子表示BE,CE的长，在

RtMBE中运用勾股定理即可求解.

【详解】(1)证明：•••/Bn/C,

LABC是等腰三角形，

；48是。。的直径，

AADB=90°,即AD18C,

二平分ZBAC,即ACAD=ABAD,

在。。中，圆周角NA4O与圆周角NAE7）所对弧相同,

ABAD=/BED,

：.ACAD=/BED；

(2)解：是。。的直径,

・•.ABDA=/BEA=90°,

・・・△/BE是直角三角形，且由(1)可知，BD=CD=20,贝i]5C=40,

•・•圆周角ZBDE与圆周角NBAE所对弧相同，

・•・ZBDE=/BAE,

BE24

tan/BDE=tanNBAE==——,

AE7

设/£=7x,BE=24x,

在RtZ“5E中，AB=J/炉+BE?=J(7X)2+(24X?)=25x,

4B=4C=25x,则CE=/C+4E=25x+7x=32x,

在RbBCE1中，BC2=CE2+BE2,

：.4()2=(32x)2+(24x1

解得，X=1（负值舍去）,

AB=25x=25,

二。。的半径为?25

2

【点睛】本题主要考查圆的基础知识，掌握等腰三角形的判定和性质，同弧所对圆周角相等，直径所对圆

周角为直角，正切值的计算方法，勾股定理等知识的综合运用是解题的关键.

10.如图，△48C的边是OO的直径，点C在。。上，点。是边05上的一点，点£和点。关于8c对

称，DE交边BC于点、M,过点。作。E的垂线交EC的延长线于点尸，线段。厂交/C于点N.

（1）求证：四边形CMJN是矩形；

（2）联结C。，当CD1/B时，求证：EF-CB=2AB-ME.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）利用三个角是直角的四边形是矩形，即可得证；

（2）证明比例式，首先化成乘积式，然后找到相似的三角形，再证明三角形相似即可.

【详解】（1）证明：•••48是。。的直径，

ZACB=90°,

•・•点E和点。关于3C对称，

:.DM=EM,DELBC,

ZCMD=90°,

♦:DELDF,

NEDF=90。,

ZACB=ZEDF=ZCMD=90°,

四边形CMZ卯是矩形；

（2）如图，连接CO,

CD工AB,

ZCDB=90°,

ZDCM+NB=90°,

•••DE1DF,

ZCDM+ZDCM=90°,

ZCDM=ZB,

•・•点£和点。关于月。对称,

/.CD=CE,

ZCDM=ZE,

/./B=/E,

NACB=NEDF=90。,

:AACBSXFDE,

.BCAB

,~DE~^F9

即EF-BC=4B-DE,

由(1)得

DE=2ME,

:.EF-BC=AB-2ME,

即E尸=

【点睛】本题考查了矩形的判断、三角形相似，解题的关键是熟练矩形的判断方法，以及三角形相似的判

断方法.

压轴题型三直线与圆的位置关系问题

11.如图，在平行四边形48cD中，3=9,/5=15,8O_L3C,点尸在边CO上运动，以尸为圆心，FD

图1图2

(1)当圆尸与边8c相切时，求£0的长；

(2)设即=x,AEBE的面积为y,求y关于X的函数解析式，并写出定义域;

(3)当圆F与平行四边形ABCD的边有4个交点时，求x的取值范围.

【答案】⑴2?0

11Q1C

(2)y=~x2+yx,定义域为：0<x<y

2036—15

【分析】本题考查圆与平行四边形综合，涉及圆的切线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与

性质，函数的解析式，定义域，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键.

(1)设圆尸与3c相切于点P,连接抄，证明△CBOs^c尸尸，利用相似对应边比相等列式求解即可；

(2)过点尸作TKJ.5D于点尸，通过△。相S2XDC8解得/K=w，DK=~>利用垂径定理求出。E，

求出3£=12-g,即可求解析式，由点£在边3。上，求出当点E与点5重合时无的值，即可求解；

(3)①由题可得当。尸与边3C相切后，至。尸与边43相切前，。尸与平行四边形/BCD的边有四个交点;

②当。尸过点。、B、C时，。厂与平行四边形NBCD的边有四个交点；分别求解即可.

【详解】(1)解：如图，设圆尸与2。相切于点P,连接尸尸，

FP1BC,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

AD//BC,CD=AB=15,BC=AD=9,

"：BDLBC,

BD=ylCD2-BC2=12>FP//BD,

：.ACBDsACPF,

.CDBD

''~CF~~FP'

T^DF=X,贝l|C尸=15-X,FP=X,

.1512

••二,

15-xx

解得：X=y,

即。尸=?；

(2)解：如图，过点尸作用，3。于点尸，

■C7c

E

A

B

BDLBC,

：.FK//BC,

：.ADFKsADCB,

DFFKDK

••皮―茄—市’

・xFK_DK

“I?一$—IT'

3x4x

解得：FK=1,OK=当，

■:FK1BD,

Qy

DE=2DK=y,

Qy

・,.BE=BD-DE=12--,

：.y-S^FBE=^BE-FK=^

当点E与点2重合时，如图,

B(E)

a\^DE=—=BD=n,

由点£在边AD上，

则定义域为：OWxvt，

综上，y=-x2+^x,定义域为：0<%<^

(3)解：当。尸过点c时，

,/ZDBC=90°,

此时点5也在。尸上，

①当。尸与边8c相切后，至。尸与边相切前，。厂与平行四边形的边有四个交点,

又当。尸与边3C相切时，由（1）可得此时X=y

当。尸与边48相切时，如图，设切点为点尸

FP工AB,

S口AbRLrUn=2/S\AA!AJRD=2x—xADxBD=108=ABxFP,

：.FP=y,

：.DF=^,

.•.当。尸与边BC相切后，至O尸与边48相切前，。尸与平行四边形/BCD的边有四个交点，此时x的取值

范围为:

②当。尸过点。、B、C时，。尸与平行四边形N8CZ）的边有四个交点，

由（2）可知此时x=z；

2

综上，x的取值范围为：或x=£.

12.如图①，已知：在矩形48co的边“。上有一点。，04=也,以。为圆心，。4长为半径作圆，交AD

于M恰好与AD相切于H过//作弦即〃48,弦坂=3.若点£是C。边上一动点（点、E与C,。不

重合），过E作直线EF//BD交于F,再把尸沿着动直线EF对折，点C的对应点为G.设CE=x,AEFG

与矩形4B8重叠部分的面积为S.

BFcaq

vs.I1^

图①备用图

（1）求矩形48co的周长;

(2)A£FG的直角顶点G能落在上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由;

(3)求：S与x之间的函数关系式及其定义域，并直接写出尸G与。。相切时，S的值.

【答案】(1)6+66

(2)能,x=2

—X2(0<X<2)31-73

(3)5=2V),S=^-6

-V3X2+6A/3X-6V3(2<X<3)6

【分析】(1)连接OH,可以求出/HOD=60。，/HDO=30°,从而可以求出4B=3；

(2)当点G落到4。上时，可以证到点G与点M重合，可求出x=2.

(3)当0<xW2时，如图①，S=S.EGF，只需求出尸G,就可得到S与x之间的函数关系式；当2<x<3时,

如图④，S=S.GEF-S.SGR，只需求出SG、RG,就可得到S与x之间的函数关系式.当尸G与。。相切时,

如图⑤，得FK=AB=3,KQ=AQ-AK=2-2^3+J3x.再由尸K=6K。即可求出x,从而求出S.

【详解】(1)证明：连接OH,如图①所示.

图①

ZADC=ABAD=90°,BC=AD,ABCD.

HP//AB,

:.NANH+/BAD=180°.

ZANH=90°.

13

,-.HN=PN=-HP=-.

22

OH=OA<,

..sin/HON=-----=—•

OH2

/HON=60°

•.•2。与OO相切于点",

...OH±BD.

ZHDO=30°.

OD=243.

AD=3y/3.

BC=3>/3.

­.•ABAD=90°,ZBDA=30°.

tanABDA------

AD

...AB=3

.•.矩形/BCD的周长=2（/8+4£>）=2（3+36）=6+6行；

（2）AE万G的直角顶点G能落在。。上.

如图②所示，点G落到上.

图②

:.ZFEC=ZBDC.

•••ZS£>C=90°-30°=60°,

NCEF=60°.

由折叠可得：NGEF=NCEF=60。.

AGED=60°.

•/CE=x,

:.GE=CE=x,ED=DC-CE=3-x.

,「LAED3-x1

cos/GED------=一.

GEx2

..%=2.

/.GE=2,£0=1.

GD=B

0G=AD-AO-GD=343-43-43=43.

OG=OM.

，点G与点”重合.

此时AEFG的直角顶点G落在。。上，对应的x的值为2.

当&EFG的直角顶点G落在OO上时，对应的x的值为2.

(3)如图①，

在RSEGF中，

tanZFEG=—=—=s/3.

GEx

尸G=氐.

:.S^-GE-FG=-x-y/3x^—x2.

222

如图③，

RE=2ED=6-2x,

图③

GR=GE-ER=x-(6-2x)=3x-6.

tanZSRG=-=-^-

RG3x-63

SG=s/3(x-2).

SSGR=gSG・RG=：♦/(x_2)•(3x-6).

~(x-2)2.

22,

sGEF-2人

,,S=S&GEF-S^SGR

号坐E

=-尽+6瓜一6日

综上所述：S=2'7

-岳2+6氐一6石（2<x<3）

当尸G与O。相切于点7时，延长FG交/。于点。，过点尸作尸KL4D,垂足为K,如图④所示.

•.•四边形A8CZI是矩形,

BC〃AD,ZABC=ABAD=90°

AAQF=ZCFG=60°.

OT=^>,

:.OQ=2.

AQ=y/3+2.

VZFKA=ZABC=ABAD=90°,

四边形/BFK是矩形.

:.FK=AB=3,AK=BF=36-瓜.

:.KQ=AQ_AK=（6+2）_（3舁瓜）=2-2他+瓜.

在RtA尸K。中，tanNFQK=》=C.

QK

/.FK=6QK.

，3=g（2-2G+瓜）.

解得：x=3一冬2.

.:FG与。。相切时，S的值为三叵一6.

6

【点睛】本题考查了二次函数的应用，矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、

轴对称性质、特殊角的三角函数值、30。角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，综合

性非常强.

13.如图1,在边长为6的正方形48。中，£是边CD的动点，以E为圆心，为半径作圆，4F与G>E

相切于点尸，连接E尸并延长交2C于点G,连接4E、AG.

(1)求证：AABG会—FG；

(2)如图2,/E与相交于点"连接3〃并延长交/。于点K,当满足OK+EG+CG=12时，试判断5K

与的位置关系并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)欧与的位置关系是相切，理由见解析

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理和性质定理，找出全

等三角形是解题关键.

(1)根据正方形的性质和圆的切线的性质，可证Rt"E尸之Rt”即(HL),进而推出NO=N尸=/3,利用

“HL”即可证明△43G经△AFG；

(2)同(1)理可证：RUABG^Rt^AFG,推出OK+QE=6,从而得出花=OE,证明小肱为。4矶5人$),

得到=ZDK4,进而得到/4麻=90。，证明出BK是的切线，即可得解.

【详解】(1)证明：・・•四边形458是正方形，

:.AB=AD,ZB=ZADC=90°,

•・,以E为圆心，DE为半径作圆，4月与。E相切于点R

EF=ED,ZAFE=90°,

在RIAAEF和Rt"ED中，

[AE=AE

\EF=ED，

.•—ETWRt"瓦）（HL）,

...AD=AF,

AF=AB,

在RUABG和RtAAFG中，

fAG=AG

[AB=AF'

,RtRtA^FG(HL)；

(2)解：3K与。石的位置关系是相切，理由如下:

・・•四边形/5CQ是正方形，

/.AB=BC=CD=AD=6,

同(1)理可证：Rt"5GgRt△/产G,

BG=FG,

EG=EF+FG=DE+BG,

'：DK+EG+CG=\2,

:.DK+DE+BG+CG=DK+DE+BC=n,

.\DK+DE=6,

•「AD=AK+DK=6,

AK=DE,

在△4BK和△"£中，

AB=AD

<ZBAK=ZADE=90°,

AK=DE

:ABK知DAE(SAS),

:.ZAKB=ZDEA,

•・•/DAE+ZDEA=180°-ZADE=90°,

.•./DAE+/AKB=90。,

ZAHK=90°f^AELBK,

•••EH是半径,

:.BK是OE的切线.

14.如图，是。。的直径，连接5。交。。于点。，连接/C、AD,使得4B2=BDBC.

C

£

(()j

⑴试判断AC与QO的位置关系并说明理由

(2)若点E是丽的中点，4E与BC交于点尸,求证：CA=CF.

【答案】(1)相切，理由见详解

(2)见详解

【分析】(1)由圆周角定理得到4408=90。，证得4/8。5/i。氏4,根据相似三角形的性质得至!|

/4DB=/C4B=90。，根据切线的判定定理即可证得结论；

(2)由弧和圆周角的关系证得=根据直角三角形的性质和三角形的外角定理证得

ZCAF=ZAFC,由等腰三角形的判定定理即可证得结论.

【详解】(1)解：相切，理由如下，

48是是。的直径,

ZADB=90°,

•1-AB-=BDBC,

.ABBD

-AB)

ZABD=NCBA,

AABDsACBA,

ZADB=/CAB=90°,

:.ACLAB,

是。。的切线；

(2)证明：；ZADB=NCAB=90°,

：.ZCAD+ZC=ZC+ZB,

ZCAD=NB

:点E是访的中点，

NBAE=ZDAE,

ZAFC=ZB+ZBAF,

ZCAF=ZCAD+ZDAE=ZB+ZBAF=ZAFC,

CA=CF.

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧和圆周角的关系,

等腰三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键.

15.如图1,。是正方形/BCD对角线上一点，以。为圆心，0C长为半径的。。与4。相切于点£,与/C

相交于点尸.

/ED/ED

⑴求证：48与。。相切.

（2）若正方形的边长为行+1，点”是半径OC上的一个动点，过点M作"NLOC交近于点N.当

QW:FW=1:4时，求CN的长

【答案】（1）证明见解析；

屈

-5

【分析】（1）如图1,连接OE,过点。作。GL/8于G,证明ACME*AONG（AAS）,得至l]OE=OG,即可

求证；

（2）连接OE,并反向延长OE交8c于〃，连接ON,可得EHJ.BC,得到/OHC=90。，

EH=CD=41+\'进而得△O〃C为等腰直角三角形，得到0。=收0〃，设。。的半径为无，贝U

OE=ON=OC=x,AC=2x,可得的=^+l-x，即得。。=也。以=/（收+l-x）,得至

x=V2（V2+l-x）,即可得x=VI,得至IJOE=ON=OC=血，/C=2也，再由CW:=1:4可得

CM=-y4C=—,得至1]。11=。。-。/=逑，最后利用勾股定理得到上W=，0铸-0”=逑,进而

5555

利用勾股定理即可求解；

【详解】（1）证明：如图1,连接OE,过点。作。GLAB于G,

为。。的切线，点E为切点，

OE1AD,

：.ZAEO=NAGO=90°,

•••四边形N2CD是正方形，4C是对角线,

Z.ZOAE=NOAG=45°,

XVAO=AO,

；.AOAE^AOAG(AAS),

：.OE=OG,

：.4B与。O相切；

A______&D

图1

(2)解：连接OE,并反向延长OE交3c于〃，连接ON,

•；4D为。。的切线，点E为切点，

OE±AD,

:四边形4BCD是正方形，

Z.AD//BC,//CB=45。，

/.EH1BC,

：.AOHC=90°,EH=CD=6+I，

：.△OHC为等腰直角三角形，

OC=42OH，

设。。的半径为x,贝l]OE=ON=OC=x,AC=2x,

••OH=V2+1—x>

OC=V2O//=V2(V2+l-x),

X-V2+1-X),

解得x=A/2,

：.OE=ON=OC=6，FC=2V2，

'：CM:FM=1:4,

・1口厂2^2

••CM=—FC=,

55

••OM=OC—CM=J2---------=-------,

55

MN1OC,

：.ZOMN=ZCMN=90°,

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判

定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

压轴题型四正多边形问题

16.