章节复习：整式的乘法（12个知识点+13大常考题型）原卷版-2024-2025学年北师大版七年级数学下册

整式的乘法章节复习（12个知识点+13大常考题型）

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目录

【考点一判断整式乘法是否正确】...............................................................3

【考点二判断是否可用平方差或完全平方公式运算】..............................................5

【考点三幕的混合运算及逆运算】...............................................................7

【考点四零指数暴、负整数指数募综合计算】....................................................9

【考点五用科学计数法表示绝对值小于1的数1...........................................................................10

【考点六完全平方式中的字母参数问题】........................................................11

【考点七已知多项式乘积不含某项求字母的值】.................................................12

【考点八整式乘除混合运算】..................................................................14

【考点九整式乘法混合运算一一化简求值】......................................................17

【考点十多项式乘法中的规律性问题】..........................................................18

【考点十一单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】.......................................22

【考点十二乘法公式中几何图形的应用】........................................................26

【考点十三整式的运算中的新定义型问题】......................................................31

O知识清单

知识点01同底数幕的乘法

1.同底数幕的乘法性质：am-a"=am+n（其中机，〃都是正整数）.即同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

要点诠释：（1）同底数募是指底数相同的募，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幕相乘时，也具有这一性质，即=以'+"+。（m,n,夕都

是正整数）.

2.同底数塞的乘法的逆用公式：把一个幕分解成两个或多个同底数幕的积，其中它们的底数与原来的底数

相同，它们的指数之和等于原来的幕的指数.即屋""=""•/（机，〃都是正整数）.

知识点02鬲的乘方

1.塞的乘方法则：（律）（其中机，〃都是正整数）.即幕的乘方，底数不变，指数相乘.

要点诠释：公式的推广：（（1）"）?=优卯（。70,%,〃，夕均为正整数）

2.塞的乘方法则逆用公式：根据题目的需要常常逆用哥的乘方运算能将某些幕变形,

从而解决问题.

知识点03积的乘方

1.积的乘方法则：（aby=a"-b"（其中〃是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再

把所得的累相乘.

要点诠释：公式的推广：伍儿）"=屋方"・。"（〃为正整数）.

2.积的乘方法则逆用公式：=（。与"逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数

时，

计算更简便.如：Q]x210=^1x2^|=1.

知识点04同底数幕的除法

。枕（其中机，〃都是正整数）.即同底数累相除，底数不变，指数相减.

要点诠释：（1）同底数基是指底数相同的累，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）逆用公式：即。"""=罐匕优（m，〃都是正整数）.

知识点05零指数累：a0=1QW0）负指数累：ap=—（aWO,〃是正整数）

ap

知识点06科学记数法

类似地，我们可以利用10的负整数指数暴,用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成"10-"

的形式，其中〃是正整数，IV同＜10.

知识点07单项式与单项式相乘

单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，

连同它的指数作为积的一个因式.

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：

①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数

相加混淆；

②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；

③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.

知识点08单项式与多项式相乘

单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是

用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+6+c）加

单项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；

③在混合运算时，要注意运算顺序.

知识点09多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

即(a+6)(m+n)=am+an+bm+bn

多项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项

式项数的积；

②多项式相乘的结果应注意合并同类项；

③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1,一次项系数等于两个

因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+6)=xz+(a+b)x+ab

对于一次项系数不为1的两4■次二项式Gwx+a)和(〃x+6)相乘可以得到.

知识点10平方差公式

平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+Z>)(a-b)=a2-b2

公式的几种变化：

①位置变化：Cb+a)(-b+a)=(a+Z>)(a-b)=a2-b2；

(p-6)(a-b)=Qb-a)(-b+a)=(rb+a)2-a2=Z>2-a2

②系数变化：(2a+36)(2a-3Z>)=(2a)2-(3Z>)2=4a2-9b2

③指数变化：(4+〃)(〃-〃)=(4)2_(〃)2=/一〃

④增项变化：(a-b-c)(a-6+c)=Q-6)2-<?

⑤连用公式变化：(。+6)(。-6)("+")=Q—(储+环)=(/)2_(〃)2=/一〃

⑥公式逆运算：a2-b2=(a+b)(a-b)

知识点11完全平方公式

完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,力口(减)它们积的2倍.

即完全平方和(a+b)2=a2+2ab+b2；完全平方差(a-b)2=a2-1ab+b2

(1)公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍

(2)公式的变化：①《8+"=(。+6尸-22；②为+〃=(.3五+22；③(a+6)2=Q-6化+4而；④(a-b)2=(a+b)

2-4ab；⑤(a+b)2-(a-b)2-4ab«

知识点12平方差和完全平方差区别

平方差公式：(a+b)(a-b)=a1~b2

完全平方差公式：2=a2-2ab+b2

平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍

Q典例变式

【考点一判断整式乘法是否正确】

例题：（24-25八年级上,黑龙江哈尔滨•期中）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（）

（1）3/•（―2/）=—（2）4。%+（―2/6）=—2Q

（3）a（-a+2b）=-a2-lab（4）（2x-3y）（4x2+6盯+9必）=8x3+21y3

1个5.2个C・3个4个

【变式训练】

1.（24-25八年级上•山西•阶段练习）小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（）

①（-=（2）aiQ4-a2=a5:③=a4b，；（4）2x2-（-3x2+1）=-6x4+1；⑤

（X+2）（X+1）=X2+3x+2.

4.0个3.1个C.2个3个

2.（23-24七年级下•全国•单元测试）下列计算错误的是（）

A.（x+a）（x+ft）=x2+（6Z+b）x+abB.（x+tz）（x-b）=x2+（a+b）x+ab

C.(x-a)(x+b)=x2+(b-a)x+(-ab)D.(x-a)(x-6)=f—(Q+b)x+ab

3.（23-24七年级下•全国•单元测试）下列计算正确的是（）

A.(—Q—6)(6—Q)=〃2-Z)2B.—2(3。-b)=-6。-b

C.(—a—b)2=a?—2ab+b2D.(—3Q+26)(—3Q+5b)=9〃2—10b2

【考点二判断是否可用平方差或完全平方公式运算】

例题：（23-24八年级上•四川遂宁•期末）下列能用平方差公式进行计算的是（）

A.（2x-2）（3x+2）B.（x+y）（x-y）

C.m+77||——m—D.（-3m-w）（-3m-n）

【变式训练】

1.（24-25八年级上•河北唐山•期中）下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（）

A.（加一〃）（一加+〃）B.（加+〃）（一机+〃）

C.（加一〃）（加一〃）D.（-m-«）

2.（24-25八年级上•江西南昌•期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）

A.（2〃一3b）（-2〃一3b）B.（〃+3b）（〃+3b）

C.（Q-3b）（〃+3b）D.（3a-4b）（4a+3b）

3.（24-25八年级上•云南昭通・期末）下列等式中，正确的是（）

A.（〃-26）（6+2Q）=2Q2一2/B.（2a-b^-2a-b）=4a2-b2

C.(2a+Z))(-2a-/>)=4a2-b1D.(2a-/>)(/?+2a)=4a2-b~

【考点三募的混合运算及逆运算】

例题：（24-25八年级上•吉林松原•期末）计算：（-2甫+（。4）2+（-°）5

【变式训练】

1.（23-24七年级下•安徽亳州•期末）先化简，再求值：*:（—g）,其中°=-i.

2.（23-24八年级上•陕西商洛•期末）（1）已知2"=a,32"=b,m,"为正整数，求232。”的值.

（2）已知x-2y+3=0,求2、4yx8的值.

3.（22-23七年级下•江苏淮安・期末）计算

⑴已知2*=5,2y=3,求：的值.

⑵x-2y+3=0,求：2:4、8的值.

【考点四零指数累、负整数指数哥综合计算】

例题：（24-25八年级上•云南昭通•期末）计算：2-'x24-f-1j+（1-^）°-（-1）2024.

【变式训练】

1.（24-25八年级上•北京门头沟•期末）计算：卜2|-（兀-3）。+&+（-1）2.

2.（23-24八年级下•吉林长春•期末）计算：（2024-兀）°+，［+（-2）.

3.（23-24六年级下•山东济南・期末）计算：（-0.25严4X42°24一（3.14-万）°-1-£|+|-2|.

【考点五用科学计数法表示绝对值小于1的数】

例题：（24-25八年级上•山东德州•期末）桑树花是风媒花，雄花的开花过程中，内弯的雄蕊会在25微秒内

伸直（25微秒=0.000025秒）,将花粉爆发地弹射到空气中，这是在植物学中已知的最快的运动.数据0.000025

用科学记数法表示为.

【变式训练】

1.（24-25八年级上•湖南长沙•期末）经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg,将1粒芝麻的质量用科

学记数法表示约为—kg.

2.（24-25八年级上•陕西渭南•期末）科学研究发现某种分子的直径是0.000000051米，则数字0.000000051

用科学记数法表示为

3.（23-24七年级上,上海闵行•期末）疫苗接种，是防范流感的有效手段，某种疫苗粒子在电子显微镜下呈

现皇冠的形状，它的大小为0.000105毫米，0.000105毫米用科学记数法记作毫米.

【考点六完全平方式中的字母参数问题】

例题：（24-25八年级上•湖南衡阳•期末）若无2+办+121是一个完全平方式，则。为.

【变式训练】

1.（24-25八年级上•山东东营•期末）若关于x的二次三项式4--办+16是一个完全平方式，贝匹=.

2.（24-25八年级上•青海果洛•期末）若x?+（左+l）x+9能写成一个多项式的平方形式，则左=.

3.（23-24八年级下•河南平顶山・期末）若/+（6-加）x+16可以用完全平方式来分解因式，则掰的值为.

【考点七已知多项式乘积不含某项求字母的值】

例题：（24-25八年级上•江西宜春・期末）已知（x+2）（2x-加）展开式中不含x的一次项，则掰的取值为.

【变式训练】

1.（24-25八年级上•吉林松原•期末）若（x-3乂2/+%x-5）的计算结果中x的二次项的系数为一3,则

m=.

2.（23-24七年级下•山东东营•期末）若关于x的多项式的乘积卜2+"+2）（x-2）化简后不含/项，贝|

a=.

3.（23-24八年级上・山东济宁•期末）已知关于x的代数式卜+2机）卜-x+g”的中不含x项与f项.

⑴求掰，"的值；

⑵求代数式〃产23/24的值.

【考点八整式乘除混合运算】

例题：(24-25八年级上•海南僧州•期末)化简:

⑴(3叫2-/.2/+4八/

⑵(x-2y)(x+y)+(x-y)2+/

【变式训练】

1.(24-25八年级上•重庆・期末)计算:

⑴3/./+(2/丫+2/

(2)(加一2")~+4n(m-n-l)

2.(24-25八年级上•内蒙古赤峰・期末)计算:

⑴(叫3伍):(叫M

(2)(x-l)(x+3)+(x-l)2.

3.(24-25八年级上•天津和平,期末)计算：

⑴(2a+36)2-(3a+2b)(2b一3a)；

(2)(x-y)(x2+xy+y2)-2y(x2-2x2.

【考点九整式乘法混合运算一一化简求值】

例题：（24-25八年级上•湖南衡阳•期末）先化简，再求值：（2m+l）（2m-l）-（m-l）2+（2m）3,其中

m2+m—2=0

【变式训练】

1.（24-25八年级上•山西临汾,期末）先化简，再求值：［（2x+y）（2x-y）+（x+y＞）-2（2x2-AJ）］（2x）,

其中x=-2,v=

2.（24-25八年级上•四川宜宾・期末）先化简，再求值：（x+y）2-（x+i）（x-i）+（中2-2x12）+a，其中

y=-i

3.（24-25八年级上•四川巴中,期中冼化简，再求值：［（2a+6）2-（2〃+6）（2”6）卜（T“，其中“=1"=-1.

【考点十多项式乘法中的规律性问题】

例题：(22-23七年级下•广东清远•期末)观察下列各式：(x-l)+(x-l)=l；

(X2-l)4-(x-l)=x+l;

(x3-1)-j-(x—1)=X2+x+l;

(X4-l)4-(x-l)=x3+X2+x+l;

(%8-1)+(x-1)=x7+%6+x'+…+x+l;

⑴根据上面各式的规律填空：

①(无

②(m)=_；

⑵利用②的结论求22016+22015+…+2+1的值;

(3)若1+X+/+…+/015R,求网6的值.

【变式训练】

1.(23-24八年级上•河北唐山・期末)你能化简(x-l)(/+x"+…+...+X+1)吗？遇到这样的复杂问题时，我们

可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题.

⑴分别化简下列各式：

(x-l)(x+l)=；

(x-l)(x2+X+1)=;

(X—1)(》3+X2+X+1)=;

(x—l)(x"+x"+...+x+l)=.

⑵请你利用上面的结论计算：299+2%+_+2+1=_.

2.(23-24七年级下•河北保定•期末)从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是常

见的研究数学问题的思路.

问题解决：

(1)填空：

(Q—+/—1

(Q-1)(/+Q+1)—

(Q-1)(/+/+Q+1)=

猜想：

(Q-1)(Q99+Q98+Q97+…+Q2+Q+I)=

总结结论：

(2)填空：当〃为正整数时，(。-1乂优+4+/2+...+/+。+1)=.利用这个结论，请你解决

下面的问题：求223+223+22必+...+23+22+2+1的值.

3.(23-24七年级下•广东梅州•期末)阅读：在计算(x-1乂x"+x"T+x"-2+…+x+l)的过程中，我们可以先

从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一

般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般.如下所示：

【观察】®(x-l)(x+l)=x2-l；

②(x-1乂x?+x+l)=x3-1；

③+x2+x+l)=x4-l；

⑴【归纳】由此可得：(x-l)(xn+x'-'+x"-2+--+x+l)=;

⑵【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：22023+22。22+22必+...+2,+2+1；

⑶【拓展】请运用上面的方法，求32。+33+3+317+…+33+3,+3+1的值.

【考点十一单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】

例题：（24-25八年级上•云南大理,期末）如图，某小区有一块长为（3。+26）米，宽为（2a-3b）米的长方形地块,

角上有四个边长为b米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化.

⑴求该小区绿化的总面积;

⑵若。=10,b=2,绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱?

【变式训练】

1.（24-25八年级上•重庆・期中）如图，某中学校园内有一块长为（x+2y）米，宽为（2x+y）米的长方形地块,

学校计划在中间留下一个“厂型的图形（阴影部分）修建一个文化广场.

⑴用含x,y的式子表示型图形的面积并化简；

⑵若x=2,y=3,预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用.

2.（23-24六年级下•山东烟台•期末）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视.为

了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园.如图阴

影部分设计为种植园，该长方形场地长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米，中间是边长为（a+6）米的正方形.

⑴用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简；

⑵若。=8/=10,种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱.

3.（23-24六年级下•山东青岛•期末）某花圃基地计划将如图所示的一块长40m,宽20m的矩形空地，划分

成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植

A,B,C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m.

40m

育苗

B活动区

区

20m

CA

设育苗区的边长为xm,用含无的代数式表示下列各量：

⑴8区的长是m,宽是m；

（2）A区的种植面积是m2>C区的种植面积是

⑶若计划N区与B区的面积和是矩形空地面积的一半，那育苗区的边长为多少？

【考点十二乘法公式中几何图形的应用】

例题：（24-25八年级上•广东广州・期末）如图，从边长为a的正方形ABCD中剪去一个边长为b的正方形CGEF.

⑴若。-6=3,a2-b2=21,求6的值；

⑵请根据图中阴影部分面积验证平方差公式；

⑶计算：［1+：卜［1+3＞［1+3）1+34…+

【变式训练】

1.（24-25八年级上•贵州遵义•期末）从边长为。的正方形中减掉一个边长为6的正方形（如图1）,然后将

剩余部分拼成一个长方形（如图2）.

⑴根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是.

⑵小明根据以上操作去计算（«+1）（«2+1）时发现只需要在前面乘一个痣即可得到：

［三1］（a+l）（/+l）=Ll（/+l）==L请根据以上规律计算：（«+l）（a2+l）（«4+l

(«32+1)=

\Cl1-J［Q1jCt1

（直接写出结果即可）.

⑶运用以上规律计算（5+1*2+1乂54+1）……（564+1）.

2.（24-25八年级上•吉林•期末）两个边长分别为。和6的正方形如图所示放置（图①），其未叠合部分（阴

影）面积为£；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为6的小正方形（如图②），两个小正方形

叠合部分（阴影）面积为邑.

⑵若“+6=7,ab=\2,求5+£的值；

⑶当两个正方形按图③所示摆放时，若d+$2=28,求出图③中的阴影部分的面积包.

3.（24-25八年级上•陕西延安•期末）对于同一个图形，通过不同的表示法计算图形的面积可以得到一个数

学等式.

例如，由图1可以得到：（a+b）2=/+2。6+62.

图3

⑵若实数x,y,z满足x+〉+z=15x2+y2+z2=83,利用（1）中的结论求孙+xz+yz的值.

（3）如图3,在比中，ZBAC=90°,分别以43,NC为边向外作正方形H，52,C,A,。三点在同一

条直线上.已知CD=14,两个正方形的面积之和岳+邑=100,求的面积S3.

【考点十三整式的运算中的新定义型问题】

例题：（23-24七年级下•辽宁沈阳•期末）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算,

积累了研究运算的经验.

abab

现定义，为二阶行列式，规定它的运算法则为：，=ad-bc.

caca

34

例如：「=3x6-4x5=-2.

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