第十三章　立体几何初步（知识归纳+题型突破）（解析版）

第十三章立体几何初步（知识归纳+题型突破）1.理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别和作图．2.理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别和作图．3.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体．4．会根据旋转体的几何体特征进行相关运算．5.会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．6.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图．7.会根据斜二测画法规则进行相关运算．8.了解平面的概念，会用图形与字母表示平面．9.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系．10.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论，理解三个基本事实和三个推论的作用．11.了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义．12.理解并掌握基本事实4和“等角”定理，并能解决有关问题．13.会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角．14.理解直线与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系．15.理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件，能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题．16.理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性．17．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题．18．了解直线和平面所成的角的含义，并会求直线与平面所成的角．19．理解点到平面的距离、直线到平面的距离的概念．20．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题．21.了解两个平面的位置关系．22.理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系．23.理解并能证明平面与平面平行的性质定理，能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题．24.了解两个平行平面间的距离．25.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小．26.理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理．27.理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题．28.了解直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图，掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积的求法，并理解它们之间的关系．29.了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面积的求法，并理解它们之间的关系．30.能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系．31.掌握球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积．32.会利用分割、补形求组合体的表面积和体积．1．棱柱、棱锥、棱台的结构特征结构特征及分类图形及记法棱柱结构特征(1)两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行(2)侧面都是平行四边形记作棱柱ABCDEF­A′B′C′D′E′F′分类按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱……棱锥结构特征(1)底面是多边形(2)侧面是有一个公共顶点的三角形记作棱锥S­ABCD分类按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……棱台结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台(1)上下底面互相平行，且是相似图形(2)各侧棱延长线相交于一点记作棱台ABCD­A′B′C′D分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……2.棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).3．多面体由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体．4．圆柱、圆锥、圆台、球分类定义图形及表示表示圆柱将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆柱圆柱OO′圆锥将直角三角形绕着它的一直角边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆锥圆锥SO圆台将直角梯形绕着它垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆台圆台OO′球半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球球O5．旋转体一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体．圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体．6．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点．画直观图时把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．7．空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．8．平面(1)平面的概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图．(2)平面的表示法平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示；如图的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.9．几何里的平面的特点(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．10．点、线、面之间的关系位置关系符号表示点P在直线AB上P∈AB点C不在直线AB上Ceq\o(∈,\s\up0(/))AB点M在平面AC内M∈平面AC点A1不在平面AC内A1eq\o(∈,\s\up0(/))平面AC直线AB与直线BC交于点BAB∩BC＝B直线AB在平面AC内AB⊂平面AC直线AA1不在平面AC内AA1⊄平面AC11．平面的基本事实基本事实文字语言图形语言符号语言作用基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面平面ABC①确定平面的依据②判定点线共面基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A∈α,B∈α))⇒AB⊂α①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上基本事实1：确定平面的依据；基本事实2：判定直线在平面内的依据；基本事实3：判定两个平面相交的依据．12．基本事实的推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．图形语言表述：如图所示．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．图形语言表述：如图所示．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．图形语言表述：如图所示．13．空间直线的位置关系(1)异面直线定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．(2)空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有14．平行直线(1)基本事实4文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫作空间平行线的传递性．符号表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))⇒a∥c．(2)“等角”定理如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．15．异面直线所成的角(1)定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)异面直线所成的角定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角(或夹角).范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．16．直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α图形语言17．直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言(1)线面平行的性质定理成立的条件有三个①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a⊂β.以上三个条件缺一不可．(2)定理的作用①线面平行⇒线线平行；②画一条直线与已知直线平行．(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．18．直线与平面垂直定义如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直记法a⊥α有关概念直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．19．直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n＝A⇒a⊥α20．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行②作平行线21．从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离．一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离．22．直线与平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段．如图所示，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影．平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．(2)规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角．(3)范围：直线与平面所成角θ的范围是0°≤θ≤90°.23．两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示α∥βα∩β＝l图形表示24.两个平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂α，b⊂α，a∩b＝A且a∥β，b∥β⇒α∥β图形语言(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．25．两个平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言26．公垂线、公垂线段与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段；我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离．27．二面角(1)定义：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面．(2)图形和记法图形：记作：二面角α­AB­β．28．二面角的平面角(1)定义：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．(2)图形、符号及范围图形：符号：OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角α­l­β的平面角．范围：0°≤∠AOB≤180°．平面角是直角的二面角叫作直二面角．29．平面与平面垂直(1)定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,l⊂α))⇒α⊥β30.平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a⊂α,a⊥l))⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直②作面的垂线31．直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积(1)有关概念：侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱．特别地，底面为正多边形的直棱柱叫作正棱柱．直棱柱的侧棱长就是直棱柱的高．如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形．正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台．正棱台的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰梯形．(2)公式：S直棱柱侧＝ch(c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高)S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′(c为正棱锥的底面周长，h′为斜高)S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c，c′分别为正棱台的上下底面周长，h′为斜高)32．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间的关系33．圆柱、圆锥和圆台的侧面积名称图形公式圆柱侧面积：S侧＝cl＝2πrl圆锥侧面积：S侧＝eq\f(1,2)cl＝πrl圆台侧面积：S侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)l＝πl(r＋r′)34.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系35．体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh．(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝eq\f(1,3)Sh．(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(SS′)＋S)h．36.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V柱体＝Sheq\o(→,\s\up7(S′＝S))V台体＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0))V锥体＝eq\f(1,3)Sh.37．球的表面积和体积公式设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2；球的体积V＝eq\f(4,3)πR3．对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．题型一棱柱的结构特征【例1】(1)下列命题中正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形(2)下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确的序号是__________．【解析】(1)由棱柱的定义可知，选D．(2)①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知正确；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.【答案】(1)D(2)③④思维升华棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．巩固训练1.如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．【解析】截面以上的几何体是三棱柱AEF­A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC­B1HGC1.题型二棱锥、棱台的结构特征【例2】下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确的序号是________．【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．所以正确说法的序号为②③④.【答案】②③④思维升华判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点巩固训练1．如图，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是()A．三棱锥 B．四棱锥C．三棱柱 D．三棱台【解析】选B．由题意知，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，剩下的部分如图所示，故剩余部分是四棱锥A′­BB′C′C.故选B．2．(多选)下列说法中，正确的是()A．棱锥的各个侧面都是三角形B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面D．棱锥的各侧棱长相等【解析】选AC．由棱锥的定义知，棱锥的各侧面都是三角形，故A正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故B错；四面体就是由4个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故C正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故D错．题型三旋转体的结构特征【例3】(多选)下列说法正确的是()A．圆柱的底面是圆面B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体【解析】A正确，圆柱的底面是圆面；B正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；C不正确，圆台的母线延长相交于一点；D不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．【答案】AB思维升华(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．巩固训练1.给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确的序号是________．【解析】根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．【答案】①④题型四简单组合体的结构特征【例4】如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A．【答案】A思维升华不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．巩固训练1.若将如图所示的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．【解析】①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．2.已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示，分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．【解析】(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示．(4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．题型五旋转体中的计算问题【例5】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长．【解析】设圆台的母线长为lcm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为rcm，4rcm.过轴SO作截面，如图所示，则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.所以eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA)，所以eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4).解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9cm.思维升华解决旋转体中计算问题的解法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．[注意]在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．巩固训练1．已知一个圆台的上、下底面半径分别是1cm，2cm，截得圆台的圆锥的母线长为12cm，则圆台的母线长为________．【解析】如图是圆台的轴截面，由题意知AO＝2cm，A′O′＝1cm，SA＝12cm.由eq\f(A′O′,AO)＝eq\f(SA′,SA)，得SA′＝eq\f(A′O′,AO)·SA＝eq\f(1,2)×12＝6(cm).所以AA′＝SA－SA′＝12－6＝6(cm).所以圆台的母线长为6cm.【答案】6cm2．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12πcm，如图所示，则该地球仪的半径是__________cm.【解析】如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12πcm，则该小圆的半径r＝6cm，其中∠ABO＝30°，所以该地球仪的半径R＝eq\f(6,cos30°)＝4eq\r(3)(cm).【答案】4eq\r(3)题型六画水平放置的平面图形的直观图【例6】画水平放置的直角梯形(如图所示)的直观图．【解析】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.思维升华画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度关系是否发生变化．巩固训练1.如图所示，在△ABC中，BC＝8cm，BC边上的高AD＝6cm，试用斜二测画法画出其直观图．【解析】(1)在三角形ABC中建立如图①所示的平面直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在坐标系x′O′y′中，在x′轴上截取O′B′＝OB，O′C′＝OC；在y′轴上截取O′A′，使O′A′＝eq\f(1,2)OA.(3)连接A′B′，C′A′，擦去辅助线，得到△A′B′C′，即为△ABC的直观图(如图③所示).题型七画简单几何体的直观图【例7】已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．【解析】(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作ABeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))EF，CDeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．(3)画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．(4)连接AA1，BB1，CC1，DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②).思维升华画空间图形的直观图的原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段．(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的eq\f(1,2).巩固训练1.已知一棱柱的底面是边长为3cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4cm，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图．【解析】(1)画轴．画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．以点O为中点，在x轴上画MN＝3cm，在y轴上画PQ＝eq\f(3,2)cm，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的底面．(3)画侧棱．过点A，B，C，D分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′，如图①所示．(4)成图．连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该棱柱的直观图，如图②所示．题型八直观图的还原与计算【例8】如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．【解析】如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图).由图可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底边长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.所以原图形面积为S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.思维升华(1)直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．(2)直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．巩固训练1.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2【解析】选D．如图①②所示，分别为正三角形ABC的实际图形和直观图．由②可知，B′C′＝BC＝a，O′A′＝eq\f(1,2)OA＝eq\f(\r(3),4)a，在图②中作A′D′⊥B′C′于点D′，则A′D′＝eq\f(\r(2),2)O′A′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)B′C′·A′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.题型九图形、文字、符号语言的相互转化【例9】(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.【解析】(1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．思维升华三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．巩固训练1.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.【解析】(1)点P∈直线AB.(2)点Ceq\o(∈,\s\up0(/))直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1eq\o(∈,\s\up0(/))平面AC.(5)直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB⊂平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.题型十点、线共面问题【例10】证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【解析】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：方法一：(纳入平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.又因为l2⊂α，所以B∈α.同理可证C∈α.又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α.所以直线l1，l2，l3在同一平面内．方法二：(辅助平面法)因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．思维升华证明点、线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．巩固训练1.如图，已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面．证明：因为a∥b，所以a和b确定一个平面α，因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故l⊂α.又a∥c，所以a和c确定一个平面β.同理l⊂β.即l和a既在平面α内又在平面β内，且l与a相交，故平面α，β重合，即直线a，b，c，l共面．题型十一三点共线、三线共点问题【例11】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．【证明】连接EF，D1C，A1B，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EFeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))eq\f(1,2)A1B.又因为A1Beq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))D1C，所以EFeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))eq\f(1,2)D1C，所以E，F，D1，C四点共面，可设D1F∩CE＝P.又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD，所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，所以根据基本事实3可得P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．思维升华巩固训练1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1上的点且D1F∩CE＝M．求证：点D，A，M三点共线．证明：因为D1F∩CE＝M，且D1F⊂平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，同理M∈平面BCDA，从而M在两个平面的交线上，因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，所以M∈AD成立．所以点D，A，M三点共线．2．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．证明：因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，所以AB，CD必定相交于一点，如图，设AB∩CD＝M.又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α且M∈β，又因为α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共点．3．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β(即平面ABCD)，又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．题型十二空间两直线位置关系的判定【例12】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以(1)应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以(2)(4)应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以(3)应该填“相交”．【答案】(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面思维升华(1)判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4判断．(2)判定两条直线是异面直线的方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为Aeq\o(∈,\s\up0(/))α，B∈α，l⊂α，Beq\o(∈,\s\up0(/))l⇒AB与l是异面直线(如图).巩固训练1．三棱锥A­BCD的6条棱所在直线成异面直线的有()A．3对 B．4对C．5对 D．6对【解析】选A．三棱锥A­BCD的六条棱所在直线中，成异面直线的有AB和CD，AD和BC，BD和AC，所以三棱锥A­BCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对．故选A．2．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面 B．相交C．平行 D．异面或相交【解析】选D．a与c不可能平行，若a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，这与b∩c＝A矛盾，但a与c异面、相交都有可能．题型十三平行公理和等角定理的应用【例13】如图，已知E，F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．【证明】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，取棱BB1的中点G，连接C1G，EG.因为E，G分别为棱AA1，BB1的中点，所以EGeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))A1B1.又A1B1eq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1D1，所以EGeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1D1.从而四边形EGC1D1为平行四边形，所以D1Eeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1G.因为F，G分别为棱CC1，BB1的中点，所以C1Feq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))BG.从而四边形BGC1F为平行四边形，所以BFeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1G，又D1Eeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))C1G，所以D1Eeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))BF.从而四边形EBFD1为平行四边形．不妨设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，易知BE＝BF＝eq\f(\r(5),2)a，故平行四边形EBFD1是菱形．思维升华(1)证明两直线平行的常用方法①利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边；②定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；③利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)证明两角相等的方法①利用等角定理；②利用三角形全等或相似．[注意]在应用等角定理时，应注意说明这两个角同为锐角、直角或钝角．巩固训练1.如图，已知在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图，连接AC，因为在△ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是△ACD的中位线，所以MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.所以MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1，所以四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.题型十四异面直线所成的角【例14】如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【解析】(1)如图，因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.思维升华求异面直线所成角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒]求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.巩固训练1．如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心，P是平面EFGH的中心，求OP和CD所成的角．【解析】连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.2．如图，在正方体ABCD­EFGH中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．【解析】连接MG，因为BCGF是正方形，所以BFeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))CG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BMeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.3.如图所示，在三棱锥A­BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．【解析】如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝eq\f(1,2)CD，GF＝eq\f(1,2)AB.所以∠GFE(或其补角)就是EF与AB所成的角，EG＝GF.因为AB⊥CD，所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°.所以△EFG为等腰直角三角形．所以∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.题型十五直线与平面平行的判定【例15】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.【证明】连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.又ABeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))A1B1eq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.思维升华应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：(1)空间直线平行关系的传递性法；(2)三角形中位线法；(3)平行四边形法；(4)成比例线段法．[提醒]线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．巩固训练1．如图，下列正三棱柱ABC­A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是()【解析】选C．在图A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，MN⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，PN⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.2．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.证明：如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，eq\f(PM,AB)＝eq\f(EP,EA)，eq\f(QN,CD)＝eq\f(BQ,BD).因为EA＝BD，AP＝DQ，所以EP＝BQ.又因为AB＝CD，所以PMeq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))QN，所以四边形PMNQ是平行四边形，所以PQ∥MN.又因为PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，所以PQ∥平面CBE.题型十六线面平行性质定理的应用【例16】如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【证明】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．又因为点M是PC的中点，所以AP∥OM.又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM.因为平面PAHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面PAHG，所以AP∥GH.思维升华巩固训练如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，点M在侧棱PC上且PM＝tPC.若PA∥平面MQB，试确定实数t的值．【解析】如图，连接BD，AC，AC交BQ于点N，交BD于点O，连接MN，易知O为BD的中点．因为BQ，AO分别为正三角形ABD的边AD，BD上的中线，所以N为正三角形ABD的中心．设菱形ABCD的边长为a，则AN＝eq\f(\r(3),3)a，AC＝eq\r(3)a.因为PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN，所以PA∥MN.所以eq\f(PM,PC)＝eq\f(AN,AC)＝eq\f(\f(\r(3),3)a,\r(3)a)＝eq\f(1,3).即PM＝eq\f(1,3)PC，所以实数t的值为eq\f(1,3).题型十七直线与平面垂直的定义【例17】(1)直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行 B．相交C．异面 D．垂直(2)如果一条直线垂直于一个平面内________，则能保证该直线与平面垂直，选择合适的序号填空()①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边A．①③ B．②C．②④ D．①②④【解析】(1)因为直线l⊥平面α，所以l与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．(2)由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③所在的平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直．【答案】(1)A(2)A思维升华对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.巩固训练1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m【解析】选B．对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．2．下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．【解析】当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．【答案】③④题型十八直线与平面垂直的判定【例18】如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝a，A1A＝2a，D为棱B1B的中点．求证：A1D⊥平面ADC.【证明】由题意可知，A1A⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，所以A1A⊥AC.又∠BAC＝90°，所以AC⊥AB.又AB∩A1A＝A，所以AC⊥平面A1ABB1.因为A1D⊂平面A1ABB1，所以AC⊥A1D.因为D为B1B的中点，B1B＝2a，AB＝A1B1＝a，在△A1DA中，A1D＝eq\r(2)a，AD＝eq\r(2)a，A1A＝2a，所以A1D2＋AD2＝A1A2.所以∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD.而AC∩AD＝A，故有A1D⊥平面ADC.思维升华(1)线线垂直和线面垂直的相互转化(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．巩固训练如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.题型十九线面垂直的性质定理的应用【例19】如图，已知正方体A1C.(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.【证明】(1)如图，连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因为CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C.(2)如图，连接B1A，AD1.因为B1C1eq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以A1C∥MN.思维升华(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．(2)直线与平面垂直的其他性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．巩固训练在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，底面对角线AC与BD相交于点O.(1)求证：BD1∥平面ACE；(2)求证：BD1⊥AC.证明：(1)连接OE，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为OB＝OD，E为棱DD1的中点，所以BD1∥OE，又因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.(2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，由AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC，又因为BD⊂平面BDD1，DD1⊂平面BDD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，又由BD1⊂平面BDD1，所以BD1⊥AC.题型二十直线与平面所成的角【例20】如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝eq\f(1,3)DB，点C为圆O上一点，且BC＝eq\r(3)AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.(1)求证：CD⊥平面PAB；(2)求直线PC与平面PAB所成的角．【解析】方法一：(1)证明：如图，连接CO，由3AD＝DB知，点D为AO的中点．又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.由eq\r(3)AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO为等边三角形，故CD⊥AO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角，又△AOC是边长为2的正三角形，所以CD＝eq\r(3).在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝eq\r(3)，所以tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(3),3)，∠CPD＝30°，即直线PC与平面PAB所成的角为30°.方法二：(1)证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB.在Rt△ABC中，由AB＝4，3AD＝DB，eq\r(3)AC＝BC得DB＝3，BC＝2eq\r(3)，所以eq\f(BD,BC)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(3),2)，则△BDC∽△BCA，所以∠BCA＝∠BDC，即CD⊥AO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD⊥平面ABC.又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD.由PD⊂平面PAB，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB.(2)由(1)知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的角．在Rt△PCD中，PD＝BD＝3，CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(3)，所以tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(\r(3),3)，∠CPD＝30°.即直线PC与平面PAB所成的角为30°.思维升华巩固训练如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB的长为4，∠MBC＝60°，求直线MC与平面CAB所成的角的正弦值．【解析】由题意知，A是M在平面ABC内的射影，所以MA⊥平面ABC，所以MC在平面CAB内的射影为AC.所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．又因为在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2).在Rt△MAB中，MA＝eq\r(MB2－AB2)＝eq\r(52－42)＝3.在Rt△MAC中，sin∠MCA＝eq\f(MA,MC)＝eq\f(3,\f(5\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),5).即直线MC与平面CAB所成的角的正弦值为eq\f(2\r(3),5).题型二十一两个平面平行的判定【例21】如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1.(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.【证明】(1)因为B1Beq\o(\s\up11(∥),\s\do4(＝))DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.易得GF∥AD，又因为GF＝AD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF，所以DF∥平面EB1D1.又因为BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.思维升华证明两个平面平行的方法(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．巩固训练已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP，而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC，又因为四边形ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.而BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PBC.题型二十二两个平面平行的性质定理的应用【例22】如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.【证明】如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC.因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因为α∥β，所以AC∥DE.又P，N分别为AE，CD的中点，所以PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，所以PN∥α.又M，P分别为AB，AE的中点，所以MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α.所以MP∥α，因为MP∩PN＝P，所以平面MPN∥α.又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.思维升华应用平面与平面平行性质定理的基本步骤[提醒]面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．巩固训练如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．【解析】(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，所以eq\f(PA,AB)＝eq\f(PC,CD)，所以eq\f(4,5)＝eq\f(3,CD)，所以CD＝eq\f(15,4)(cm)，所以PD＝PC＋CD＝eq\f(27,4)(cm).题型二十三二面角的概念及其大小的计算【例23】(1)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1­BD­A的正切值为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．eq\r(3)(2)一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()A．相等 B．互补C．相等或互补 D．不确定【解析】(1)如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点，因为A1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD.又因为在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA为二面角A1­BD­A的平面角．设AA1＝1，则AO＝eq\f(\r(2),2).所以tan∠A1OA＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2).(2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D­AA1­E与二面角B1­AB­C的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．【答案】(1)C(2)D思维升华(1)求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．(2)作出二面角的平面角的方法,方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角α­a­β的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE为二面角A­BC­D的平面角．方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB为二面角α­l­β的平面角[提醒]二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．巩固训练若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝eq\r(6)，那么二面角P­BC­A的大小为__________．【解析】如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P­BC­A的平面角，OP＝OA＝eq\r(3)，PA＝eq\r(6)，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.【答案】90°题型二十四利用定义证明平面与平面垂直【例24】如图，在四面体ABCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.【证明】因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.在△ABD中，AB＝a，BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，所以AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\f(\r(2),2)a.同理CE＝eq\f(\r(2),2)a，在△AEC中，AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a.所以AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，∠AEC是二面角A­BD­C的平面角，又因为∠AEC＝90°，所以二面角A­BD­C为直二面角，所以平面ABD⊥平面BCD.题型二十五利用判定定理证明平面与平面垂直【例25】(2020·高考江苏卷)在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.【证明】(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.思维升华证明平面与平面垂直的两种常用方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：巩固训练如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.求