自动控制原理 第二章 数学模型学习资料

第二章线性系统的数学模型

§2-1引言§2-2微分方程模型§2-3传递函数模型§2-4方块图模型§2-5状态空间表达式§2－1引言数学模型：描述系统输入、输出及内部物理量之间关系的数学表达式。常用的数学模型：微（差）分方程传递函数（或脉冲传递函数）频率特性状态空间表达式1)为何要建模？定量分析系统的性能；对系统进行仿真的基础；2)建模方法解析法：根据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出各变量之间的数学关系式；实验法：人为施加某种测试信号，记录系统的响应曲线，根据系统的输入输出辨识系统模型；3)建模要求准确性简化性一、系统建模}折中考虑二、数学模型的分类及形式分类静态：静态（稳态）下的代数方程（不含各阶导数，信号无变化率）动态：动态条件下的微分方程（差分方程）形式时域：微分方程差分方程状态空间表达式复域：传递函数结构图（方块图）信号流图频域：频率特性

z域：脉冲传递函数集总参数系统——分布参数系统定常系统——时变系统线性系统——非线性系统SISO系统——MIMO系统经典控制理论研究对象是：

SISO、集总参数、线性定常系统三、关于系统四、线性系统1、线性系统：描述系统的微分方程满足叠加原理。叠加原理的意义：对线性系统进行分析和设计时，根据线性系统的叠加原理，可以把复杂的问题简单化：1、每个外作用在数值上可以只取单位值；2、如果有几个外作用同时作用于系统时，可以依次求出各个外作用单独作用于系统时的输出，然后叠加得到总输出；3、系统的全响应分为零输入响应和零状态响应，可以分别进行分析和求解；

根据线性系统的叠加原理，可以把复杂的问题简单化：1、每个外作用在数值上可以只取单位值；2、如果有几个外作用同时作用于系统时，可以依次求出各个外作用单独作用于系统时的输出，然后叠加得到总输出；3、系统的全响应分为零输入响应和零状态响应，可以分别进行分析和求解；试问：某系统静特性如下图，从控制理论的观点看此系统是线性系统吗？结论：此系统不是线性系统。原因：自动控制系统一般都有一个平衡工作点，特别是恒值控制系统主要研究系统处于平衡工作点时，扰动作用产生偏差后的动态过程。（错）yxx0y0bAo设系统的平衡工作点为，经扰动作用后工作于，则：(2)-(1)得：结论：控制理论是研究系统在平衡工作点附近的性能，是研究变量的增量之间的关系，称为动态关系。yxx0+Δxx0y0y0+ΔybA’Ao2、非线性系统的线性化——小偏差理论小偏差理论适用范围：1）连续系统；2）有一个额定工作点；3）小偏差；4）在工作点处可微；饱和特性磁滞特性继电特性实质：在工作点处，用切线来代替非线性特性。A不可微—>本质非线性—>非线性理论小偏差理论适用范围：1、连续系统；2、有一个额定工作点；3、小偏差；4、在工作点处可微；小偏差理论继电特性总结：1、关于模型：建模的意义，形式、方法2、关于系统：控制理论中线性系统是指增量线性的系统；对于非线性系统，运用小偏差理论，在工作点处近似为增量式线性方程；本章主要内容：微分方程的建立（时域）传递函数的概念与求取（复域）方块图的建立和化简（时域或复域）状态空间表达式（时域）返回首页§2-2

线性系统的微分方程

微分方程的建立相似系统本节内容：一、用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：1、确定系统或元件的输入、输出变量；3、从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理定理，列写出原始微分方程组；4、消去中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方程。5、标准化。（输出项降阶排列＝输入量降阶排列）2、进行适当的简化，忽略次要因素；注意：若有a个中间变量，就要列写a+1个线性无关的方程。用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，原处于平衡状态，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。

线性弹簧；忽略弹簧、阻尼器质量；质量与阻尼器是刚性连接；1、输入：输出：解：例2-12、简化kF(t)mfy(t)阻尼力：弹簧力：由阻尼器、弹簧的特性可得：式中f—阻尼系数,k—弹性系数。F1(t)为阻尼器的阻力，F2(t)为弹簧力。3、依据牛顿定律：kF(t)mfy(t)4、消去中间变量：5、标准化（输出项降阶排列＝输入量降阶排列）质量块:RLC电路如图所示，ur(t)为输入电压，uc(t)为输出电压，输出端开路。要求列出uc(t)与ur(t)的关系式。1、输入：输出：2、简化解：3、根据克希霍夫定律写出原始方程式：4、消去中间变量i(t)，并且标准化：例2-2克希霍夫电压定律：在集总参数电路中，任何时刻，沿任一回路，所有支路电压的代数和恒等于0.相似系统相似系统：本质不相同的物理系统具有相同结构的微分方程。相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。为我们利用简单易实现的系统（如电气系统）去研究复杂难实现的系统（如机械系统）提供了方便。P41:习题2－3设机械系统如图所示，其中Xi为输入位移，X0为输出位移。试分别列写各系统的微分方程式。2、简化（线性弹簧；忽略弹簧、阻尼器质量；刚性连接；）解：3、列原始方程组：1、输入：输出：4、消去中间变量，标准化：设阻尼块向下位移为xf(t)例2－3K1K2fxixo该题关键在于阻尼器向下位移为xf，缸体向下位移为xo，那么两者的相对位移为xf-xoP42:习题2－7设RC电路如图所示，若以电压ur为输入，电压uc为输出，试写出该电路的微分方程。urR1R2ucC2i1i2C1解：1、输入：输出：

2、简化例2－4urR1R2ucC2i1i2C14、消去中间变量，且标准化得：3、设回路电流i1、i2如图中所示，从输入端开始，按信号传递顺序写出各变量间的微分方程式如下：uc1注意

整个电路虽然是由两个RC电路所组成，但不能把它看作是两个独立的RC电路的连接。因为第二级电路的i2要影响第一级电路的i1和uc1，列写方程式应考虑这个影响。这种后一级对前一级的影响叫做负载效应。存在负载效应时，必须把全部元件作为整体来加以考虑。若将本例看作两个独立的RC电路的连接，求解如下：

消去中间变量得：显然，与前面得到的结果不同。urR1R2ucC2i1i2C1试证明图2-2(a)、(b)所示的机、电系统是相似系统。例2-5i对电气网络(b)：输入为Ur，输出为Uc，根据克希霍夫定律列写电路方程如下：解：对机械网络（a）：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式:标准化：B1B2K1K2XrXcR2C2R1C1UrUci利用②、③、④求出将上式代入①，将①两边微分得：力-电压相似性中的相似量机械阻尼B1阻尼B2弹性系数K1弹性系数K2电气电阻R1电阻R21/C11/C2线性系统的微分方程优点：1、时域中精确描述系统动、静态性能的数学模型；2、输入信号和初始条件已知时，通过求解微分方程可以得

到系统的输出响应，并可通过响应曲线直观地反映出系

统的动态过程；缺点：1、高阶微分方程求解困难；2、输出响应中包含了系统初始条件和输入信号的信息，不能单纯反映系统自身的固有响应特性，不利于各系统之间的横向比较；3、只要初始条件或输入信号发生变化，就要重新求解微分程；返回§2-3线性系统的传递函数

根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统的另一种数学模型——传递函数。它不仅可以表征系统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基础上建立起来的。

一、传递函数的定义线性定常系统①在零初始条件②下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G(s).

若线性定常系统的微分方程为:

零初始条件下，进行拉氏变换，由微分定理，得：根据传递函数的定义，描述该线性定常系统的传递函数为:可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出的。系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下图表示，输出是由输入经过G(s)的传递而得到的，因此称G(s)为传递函数。G(s)R(s)C(s)传递函数的优点之一：将微积分关系转变为代数关系。RLC电路如图所示，ur(t)为输入电压，uc(t)为输出电压，输出端开路，求系统传递函数。解：例2-6系统输入输出微分方程为：零初始条件下取拉氏变换：二、关于定义的说明①只适用于线性定常系统②零初始条件的物理意义输入信号是在t=0以后才作用于系统，故输入量及各阶导在t=0时均为零；b)系统在输入信号作用前是相对静止的，故输出量及各阶导在t=0时均为零；试问：线性定常系统初始条件不为零，有没有传递函数？全响应＝零输入响应＋零状态响应三、传递函数的性质1、G(s)与微分方程在零初始条件下等价；2、G(s)是用系统参数表示输入与输出之间的关系，即系统传递输入信号的能力，反映系统自身固有的特性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号和初始条件无关；3、同一个系统中，可以有不同的传递函数；同一个传递函数可以对应不同的物理系统；4、实际系统中，G(s)是复变量s的有理分式函数，其分母多项式的次数n大于或等于分子多项式的次数m，即n≥m,且系数均为实数,称为物理现实性条件；5、G(s)的物理意义是系统单位脉冲响应的拉氏变换，因此可以表征系统的动态性能；6、G(s)的局限性：①适用范围窄，只适用于SISO线性定常系统；②零初始条件：不包含初始条件的信息，只是零状态响应；③是一种外部描述，称为“黑箱模型”；四、传递函数的表示形式1、通式2、零极点形式（首一形式）3、典型环节形式（尾一形式）传递函数的增益零点根轨迹增益极点分子多项式分母多项式分母多项式的阶次决定系统的阶次。运动模态：在数学上，非齐次线性微分方程的通解由非齐次线性微分方程的特解和齐次微分方程的通解组成；齐次微分方程对应系统的特征方程，通解由微分方程的特征根决定，如果n阶微分方程的特征根是λ1，λ2…λn，且无重根，则齐次微分方程的通解为：

其中称为该微分方程所描述的自由运动模态，也叫振型。每一种模态代表一种类型的运动形态，齐次微分方程的通解则是它们的线性组合。五、传递函数的零点和极点对输出的影响

单位脉冲响应：c(t)=Ae-at零极点分布图：Φ(s)=传递函数：AS+a0-aj0运动模态1单位脉冲响应：c(t)=Ae-atsin(bt+α)零极点分布图：tΦ(s)=传递函数：A1s+B1(S+a)2+b2运动模态20-ajb0单位脉冲响应：c(t)=Asin(bt+α)零极点分布图：tΦ(s)=传递函数：A1s+B1S2+b2运动模态30jb0单位脉冲响应：c(t)=Aeatsin(bt+α)零极点分布图：tΦ(s)=传递函数：A1s+B1(S-a)2+b20ajb0运动模态4单位脉冲响应：c(t)=Aeat零极点分布图：tΦ(s)=传递函数：AS-a0aj0运动模态5

式中前两项具有与输入函数r(t)相同的模态，后两项中包含由极点－1和－2所形成的自由运动模态，这是系统“固有”的成分，但其系数却与输入函数有关，因此可以认为这两项是受输入函数激发而形成的。这意味着传递函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态。传递函数的零点并不形成自由运动的模态，但它们却影响各模态在响应中所占的比重，因而也影响响应曲线的形状。五、传递函数的零点和极点对输出的影响

例2-7:例2－8具有相同极点不同零点的两个系统

,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为：

极点决定系统响应形式（模态），零点影响各模态在响应中所占比重。

五、传递函数的零点和极点对输出的影响

六、典型环节的传递函数

一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件的结构和作用原理多种多样，但若考察其数学模型，却可以划分成为数不多的几种基本类型，称之为典型环节。比例环节惯性环节积分环节振荡环节微分环节-延滞环节1.比例环节微分方程：传递函数：若：r(t)=1(t)，K=2，则：c(t)=2*1(t)，如下图所示。试问：反馈控制系统中，比例环节能否为负？特点：输出与输入成正比，不失真也不滞后。实例：理想的杠杆、放大器、测速发电机，电位器。2.惯性环节T－惯性时间常数若在零初始条件下对惯性环节输入单位阶跃信号，则有:可见，在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数函数变化的。当t=3T或4T时，输出才能接近其稳态值。2.惯性环节T－惯性时间常数T越大，表示系统惯性大，系统响应越慢惯性环节的实例:RC复位电路

RCuruc直接用复阻抗方法列写系统传递函数：特点：惯性环节通常含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即复现，输出无振荡。3.积分环节特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。积分电路当输入为单位阶跃函数时，输出响应如右图所示：4.振荡环节（欠阻尼二阶系统）T－时间常数－阻尼比对振荡环节有：

0<<1

振荡环节的实例

(a)输出电压uc和输入电压ur之间的微分方程为

(b)输出位移y(t)与输入作用力F(t)之间的微分方程为可见它们都是典型的振荡环节。RLCuruc(a)F(t)Kmfy(t)(b)特点：该环节存在两个独立储能元件，且所储两种能量可以互相转换，故动态过程表现出振荡特性。

理想微分环节在瞬态过程中其输出量是输入量的微分，理想微分环节的单位阶跃响应为：这是一个强度为1的理想脉冲。在实际物理系统中得不到这种理想微分环节。5.理想微分环节特点：输出量正比输入量的变化率，能预示输入信号的变化趋势。可用于超前控制算法中。5.理想微分环节理想微分环节的单位阶跃响应曲线：R(t)=1(t)C(t)

当输入信号作用到环节以后，其输出量要等待一段时间后，才能复现输入信号，在时间0到的时间内，输出量为零，这种具有延时效应的环节称为延滞环节。式中为延滞时间。当输入信号为下图(a)所示的单位阶跃函数时，其响应曲线如下图(b)所示。r(t)1t0tc(t)10

(a)(b)6.延滞环节时域位移定理

上述各典型环节，是从数学模型的角度来划分的。它们是系统传递函数的最基本的构成因子。在和实际元件相联系时，应注意以下几点：⑴典型环节是按数学模型的共性来划分的，与实际系统中使用的元件并非是一一对应，一个元件的数学模型可能是若干个典型环节的组合，而若干个元件的数学模型的组合也可能就是一个典型环节。⑵同一装置（元件），如果选取的输入、输出量不同，它可以成为不同的典型环节。关于典型环节的几点说明⑶在分析和设计系统时，将被控对象（或系统）的数学模型进行分解，就可以了解它是由哪些典型环节所组成的。因而，掌握典型环节的动态特性将有助于对系统动态特性的分析研究。既然可以把组成控制系统的元件划分为若干典型环节，那么控制系统的传递函数也可以写成典型环节形式：式中都是微分环节和比例环节的组合，称为一阶微分环节和二阶微分环节。由于它们在控制系统中较常用，所以也可以把他们当作典型环节对待。（4）

采用传递函数模型后，在设计和校正系统时，可以只

考虑调节器环节（或叫控制器），将被控对象环节视

为不变环节。R(s)C(s)E(s)U(s)N(s)B(s)调节器被控对象检测元件六、系统传递函数的求法方法1：方法2：方法3：复阻抗法TroublesomeWork!EasyWork!适用于简单的电气系统。P42:习题2－7设RC电路如图所示，若以电压ur为输入，电压uc为输出，试写出该电路的传递函数。urR1R2ucC2i1i2C1例2－9解：1、输入：输出：

2、简化方法一urR1R2ucC2i1i2C14、消去中间变量，且标准化得：3、设回路电流i1、i2如图中所示，从输入端开始，按信号传递顺序写出各变量间的微分方程式如下：5、零初始条件下求拉氏变换：方法二解：1、输入：输出：

2、简化3、设回路电流i1、i2如图中所示，从输入端开始，按信号传递顺序写出各变量间的微分方程式如下：4、零初始条件下，对方程组求拉氏变换：5、消去中间变量得传递函数：解：根据电路的基本定理可以得到如下的关系式：uru0C1i2R1i1iR2C2例2－10设下图所示电路中，输入电压为ur，输出电压为u0，试写出其传递函数。在零初始条件下，对方程组进行拉氏变换，得：消去中间变量得：传递函数为：§2-4控制系统的方块图方块图：描述系统各组成元件之间信号传递关系的图形模型，表示系统中各变量之间的因果关系。采用方块图，不仅能形象直观地表明信号在系统各元件间的传递过程，而且能方便地求取复杂系统的传递函数。

方块图的组成方块图的建立方块图的等效变换方块图的化简闭环控制系统的传递函数本节内容：一、方块图的组成：信号线、方块、综合点、引出点G(s)xr(s)xc(s)2.方块：方块代表元件的功能，通常将元件的传递函数写在方块中，表示输入信号经过该方块的传递变成输出信号。1.信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，且信号只能单向传输。信号线上标记着信号的函数。X(s)3.综合点：表示对两个或多个信号进行代数运算。其中

“＋”号表示相加，“－”表示相减。“+”号可以省略，“－”号必须标明。注意：只有具有相同量纲的量才能进行加减运算。X2(s)+-X3(s)X1(s)Xc(s)综合点的运算关系为：x(s)x(s)4、引出点：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同。绘制系统方块图的步骤如下：

1.列写出系统各元件的微分方程。在建立方程时应分清各元件的输入量、输出量。

2.在零初始条件下，对微分方程组进行拉氏变换，并将变换式写成标准形式。

3.由标准变换式利用方块图的四个基本单元，分别画出各元部件的方块图。

4.按照系统中信号的传递顺序，依次将各元部件的方块图连接起来，便可得到系统的方块图。

二、方块图的建立例2-11

下图中，输入电压为ur，输出电压为uc，试画出系统的方块图。urR1R2ucC2C1i1i22.对上述方程组进行拉氏变换，并整理成标准式。输入量输出量C(s)=G(s)R(s)3.按标准变换式画出各元件的结构图：1/R1Ur(s)Uc1(s)I1(s)_1/c1s_I2(s)I1(s)Uc1(s)1/c2sI2(s)Uc(s)1/R2Uc1(s)Uc(s)I2(s)_1/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s)---4.按照信号传递顺序，依次将各元部件的结构图连接起来。1/R1Ur(s)Uc1(s)I1(s)_1/c1s_I2(s)I1(s)Uc1(s)1/R2Uc1(s)Uc(s)I2(s)_1/c2sI2(s)Uc(s)例2-12：试绘制图中无源网络的方块图urucCR1R2ii1i2课堂练习！CurucR1R2ii1i2[4]将所有部分结构图在相同信号处叠加起来[3]对每个方程绘制相应的部分结构图Uc(s)I(s)R2I1(s)R1CsI2(s)I1(s)I(s)I2(s)ÄUc(s)¾¾®¾®Ä)(1)(1r1sIsURI1(s)R1CsI2(s)R21/R1I(s)Uc(s)Ur(s)ÄÄ-

方块图变换应按等效原理进行，所谓等效，就是对方块图的任一部分进行变换时，变换前、后其输入、输出总的数学关系应保持不变。三、方块图的等效变换1、串联方块的等效变换2、并联方块的等效变换3、反馈连接方块的等效变换4、引出点的移动5、综合点的移动6、相邻综合点和引出点的移动1、串联方块的等效变换C(s)G2(s)G1(s)V(s)R(s)(a)C(s)G2(s)G1(s)R(s)(b)(a)变换前R(s)C1(s)C3(s)

C2(s)

-G1(s)G2(s)G3(s)C(s)G1(s)+G2(s)-G3(s)(b)变换后R(s)C(s)2、并联方块的等效变换3、反馈连接方块的等效变换C(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)

H(s)C(s)C(s)=G(s)[R(s)

H(s)C(s)]

R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)

(a)变换前(b)变换后R(s)C(s)注意：负反馈对应＋，正反馈对应－。

例2-13G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)①并联等效＋串联等效②并联等效③反馈等效＋串联等效G(s)C(s)R(s)R(s)G(s)C(s)C(s)R(s)？4、引出点的移动等效原则：移动前后引出的信号不变。a)引出点前移G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)G(s)R(s)C(s)R(s)b)引出点后移？5、综合点的移动a)综合点前移G(s)-B(s)C(s)R(s)G(s)B(s)C(s)R(s)-C(s)=G(s)R(s)-B(s)等效原则：移动前后局部总输出不变。？C(s)G(s)R(s)B(s)-5、综合点的移动b)综合点后移等效原则：移动前后局部总输出不变。？C(s)R(s)G(s)-B(s)G(s)C(s)=[R(s)-B(s)]G(s)

=R(s)G(s)-B(s)G(s)C(s)=R(s)G(s)-B(s)X(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)-V2(s)V1(s)-C(s)R(s)V1(s)V2(s)C(s)R(s)-6、相邻综合点和引出点的移动a)相邻综合点:可以互换位置或合并。b)相邻引出点：可以互换位置或合并。A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)6、相邻综合点和引出点的移动c)相邻的综合点和引出点如何互换位置？V(s)C(s)R(s)-C(s)V(s)C(s)R(s)-C(s)V(s)-

四、方块图的简化简化规则：1、首先确定输入输出；2、先去交叉，先内后外，化零为整；综合点、引出点移动反馈等效变换串、并联等效变换例2-14、引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H1G1G2G3G4H3H2H1G1H1G2H1G1G3例2-15、综合点移动向同类移动G1G2G3H1G1G2H1G1G3G1G2H1G1G1G1G4H3G2G3H1例2-11、作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1G4H1H3G1G2G3H3H1G4G4G4例2－16

方块图化简RH2+G3H1G1G2G3H2G4(-)Y(a)G4G3H2YR(b)G4YR(c)H1H2G1G2G3G4(-)(-)RY①引出点A前移＋并联等效A②反馈等效＋串联等效③反馈等效＋串联等效④并联等效YR(c)例2－17

双RC网络的结构图简化（判断变换准则）Ui(s)R1(-)(-)(-)Uo(s)(b)Ui(s)(-)(-)Uo(s)R1(c)

R1C2sUi(s)Uo(s)(-)(e)(d)Ui(s)R1C2s(-)Uo(s)(-)Ui(s)(-)(-)(-)Uo(s)(a)综合点前移＋综合点互换位置负反馈等效引出点后移串联等效＋负反馈等效(f)Ui(s)Uo(s)

R1C2sUi(s)Uo(s)(-)(e)串联等效＋负反馈等效

五、闭环控制系统的传递函数R(s)C(s)E(s)U(s)N(s)B(s)给定输入扰动输入

一般，反馈通路传函＝1的控制系统称为单位反馈系统;

反馈通路传函≠1的控制系统称为非单位反馈系统;被控对象控制器检测元件1、前向通道传递函数前向通道：指信号从输入端传递到输出端的传输通道；前向通道传递函数:前向通道上各环节传递函数的乘积；R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)2、反馈通道传递函数反馈通道：指信号从输出端反送到输入端的传输通道；反馈通道传递函数:反馈通道上各环节传递函数的乘积；R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)3、闭环系统的开环传递函数开环传递函数:闭环系统前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积；4、闭环系统的闭环传递函数R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)根据线性系统的叠加原理，系统的总输出应为各输入引起的输出的叠加，因而得到系统总输出为：这表明，采用反馈控制系统，适当地配置控制器和测量元件的参数，有可能获得较高的精度和较强的抑制干扰的能力，这是反馈控制优于开环控制之处。若：5、闭环系统的误差传递函数闭环系统的误差为：误差传递函数：R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)输入为给定R(s)或扰动N(s)，输出为误差E(s)。被控量的测量值（1）给定输入作用下的误差传递函数令N(s)=0，方块图变成如下形式：R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)（2）扰动输入作用下的误差传递函数令R(s)=0，方块图变成如下形式：R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)（3）系统的总误差R(s)N(s)B(s)E(s)C(s)5、闭环系统的特征方程试问：已知闭环系统的稳定性仅与系统闭环传递函数的分母多项式有关，由于同一个系统选取不同输入输出，可以有不同的传递函数，请问系统的稳定性会因输入输出的不同而变化吗？

上面导出闭环传递函数及误差传递函数虽然各不相同，但是分母却是一样的，均为：闭环系统的特征多项式＝1＋开环传递函数

可以是实数或共轭复数，称为特征方程的根，或称为闭环系统的极点。

特征方程：闭环系统的特征方程对给定的系统而言，特征多项式是唯一的，即闭环极点的分布是唯一的。闭环系统的极点与控制系统的瞬态响应和系统的稳定性密切相关。特征多项式与开环传函相关，因此其动态特性可用开环传函分析。课堂练习：试求下图所示系统的输出答案：返回古典控制理论和现代控制理论区别古典控制理论输入、输出、误差关系频域单输入－单输出线性系统定常系统系统设计基于图解或手工的方法通过经验和试探法测试适于简单系统的设计现代控制理论状态空间表达式时域多输入多输出线性系统定常系统时变系统可以根据性能指标设计最优控制系统可用计算机辅助设计可用于设计复杂系统§2-5线性系统的状态空间描述法

1．控制系统的两种基本描述方法：

输入-输出描述法——经典控制理论状态空间描述法——现代控制理论

2．经典控制理论的特点：优点：对单输入-单输出系统的分析和综合特别有效。缺点：内部信息无法描述，仅适于单输入-单输出系统。

3.现代控制理论

(1)适应控制工程的高性能发展需要，可用计算机辅助设计。

(2)

可处理时变、非线性、多输入-多输出问题。

(3)应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识，自适应控制……一、引言R(s)C(s)外部描述：微分方程、传递函数内部描述：状态空间表达式{数学模型uyx输入引起内部状态的变化，用一阶微分方程组表示----状态方程内部状态和输入引起输出的变化，用代数方程表示----输出方程§2-5线性系统的状态空间描述法状态空间分析法在状态空间中以状态变量或状态向量描述系统状态的方法称为状态空间分析法。基本概念状态状态变量状态向量状态空间状态空间表达式

1、

先看一个例子：

例2-18

试建立图示电路的数学模型。二.基本概念RLCuruci(t)

由微分方程的知识可知，如果已知初始条件i(0)、uc(0)以及t≥0时的ur(t),那么上述方程组在t>0后的任一时刻的解就完全被确定了。同时该系统其余的变量在t＞0时的值，也均能用这两个变量i(t)和uc(t)的线性组合来表示.

上面的例子说明，系统的变量往往有好多个，但它们并不一定都是互相线性独立的。若从中选择一组线性独立的变量xi(t)，i＝1，2，…，n，当这组变量的初始值xi(0)以及系统的输入u(t)被确定以后，则这组变量在t＞0时的值也就被完全确定了。同时该系统的其余变量在t＞0时的值，也均能用这组独立的变量的线性组合来表示,那么通常把这组独立的变量xi(t)，i＝1，2，…，n，叫做系统的状态变量。①状态：所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况。例如电路中的电流、电压，平移系统的位移、速度、加速度等；②状态变量：状态变量是指能够确定系统运动状态的一组线性独立、数目最少的变量。

a)线性独立：变量之间线性无关；b)数目最少：n阶系统有n个独立状态变量；c)系统其余状态能够用状态变量的线性组合表示；d)状态变量的选取：一般选择容易测量的物理量为状态变量，如电容电压、电感电流；2.定义状态变量的选取

1.状态变量的选取是非唯一的；

2.选取方法

（1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。

（2）可选取独立储能元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流i、电容电压uc

、质量m

的速度v

等。

变量的线性无关试确定系统中独立变量的个数。③状态向量：以n个状态变量作为分量的向量x(t)称为状态向量。④状态空间：以n个状态变量为坐标构成的n维空间，称为状态空间。系统在任意时刻的状态对应状态空间中的一个点。由原点指向该点的矢量就是对应的状态向量，随时间变化，状态向量的端点轨迹形成一条状态轨迹；⑤状态空间表达式：状态方程＋输出方程状态方程——由系统n阶微分方程转换成一阶微分方程组的形式，表示系统输入向量u和状态向量x的关系；输出方程——将系统的输出向量y表示为输入向量u和状态向量x的线性组合，表示系统输出向量y与输入向量u及状态向量x之间的关系；其中：输入向量：u(t)

输出向量：y(t)

状态向量：x(t)线性定常系统线性时变系统非线性系统状态空间表达式的形式对于p个输入，q个输出的n阶线性定常系统：状态方程输出方程状态矩阵输入矩阵输出矩阵直接作用矩阵维数分析通常用{A、B、C、D}表示一个系统。将状态空间表达式画成方块图形式：直接作用矩阵状态矩阵输入矩阵输出矩阵状态空间描述的优越性：能揭示系统内部的状态信息并加以利用；一阶微分方程组比高阶微分方程宜于在计算机上求解；采用向量－矩阵形式，当变量数目增加时，不增加数学表达的复杂性；适用于各种系统；

例2-19

图示弹簧-质量-阻尼器系统，外作用力u(t)为该系统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该系统的状态方程和输出方程。

k

mu(t)y(t)f2.列写状态方程3.列写输出方程4、写成状态空间表达式例2-20

由质量块、弹簧、阻尼器组成的机械位移系统如图示系统输入量为：外力F和阻尼器汽缸速度V，输出量为：质量块位移、速度和加速度。试写出该双输入－三输出机械位移系统的状态空间表达式。图中m、k、f分别为质量、弹簧的弹性系数、阻尼系数，x为位移。解：根据牛顿第二定律得到该系统的微分方