2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级（上）数学期中试题和答案

试题PAGE1试题2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．7 B．6 C．5 D．42．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣13．（2分）学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购一份）．某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是（）A．15元 B．16元 C．17元 D．18元4．（2分）下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧 B．三个点确定一个圆 C．相等的弦所对的弧相等 D．圆的内接平行四边形是矩形5．（2分）如图，⊙O的弦AB，DC的延长线相交于点E，∠AOD＝142°，BC为64°，则∠AED的度数为（）A．38° B．39° C．40° D．41°6．（2分）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的两根之积是（）A．n+m﹣1 B．n+m+1 C．n﹣m+1 D．n﹣m﹣1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置）7．（2分）方程x2﹣2x＝0的解为．8．（2分）据调查，某班40位同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的中位数是码．尺码/码3536373839404142人数346875439．（2分）在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为．10．（2分）甲、乙两人分别进行5次射击练习，成绩如下（单位：环）：甲：7，8，7，7，10；乙：8，7，8，10，8．甲、乙的射击成绩的方差分别为s甲2，s乙2，则s11．（2分）建邺区2020年GDP为1122亿元，2022年GDP为1251亿元，设这两年GDP的年平均增长率为x，根据题意可列方程为．12．（2分）圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为cm2．13．（2分）如图，AB＝AC＝AD．若∠ADB＝α，则∠BCD＝．14．（2分）如图，在正六边形ABCDEF中，点P是AF上任意一点，连接PC，PD，则△PCD与正六边形ABCDEF的面积之比为．15．（2分）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx﹣（a+b）＝0（a，b是常数）的两个根．若x1x2＜0，则x1+x2的取值范围是．16．（2分）如图，在▱ABCD中，AB＝12cm，AD＝6cm，∠DAB＝60°，点P为AB上一点，过点C，D，P作⊙O，当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为cm．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x+1＝25；（2）（x﹣2）（x+3）＝（x﹣2）（2x﹣1）．18．（8分）“强国”自习室规定，每人每天学习需一次性支付10元场地费．随机抽取自习室一周的学习人数如下表（单位：人）：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计5468766496220178756（1）求该自习室本周的日平均营业额．（2）如果用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该自习室当月（按30天计算）的营业总额．19．（8分）根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”．如图1，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形．如图2，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度AB＝12m，拱高（弧的中点到弦的距离CD）3m，求盾构机刀盘的半径．20．（8分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB相交于点E，且∠ABC＝2∠E．求证：△ADE是等腰三角形．21．（7分）已知关于x的方程x2+kx+k﹣2＝0．（1）证明：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若k为整数，则当k＝时，方程的根是整数．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，BC=CD，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝10，AO＝13，求CE的长．23．（8分）2023年全国旅游市场持续回暖．经调研，“十一”假期期间，如果某景区门票定价为每张80元，那么当天入园人数预计将达到20000人；如果票价每增加1元，那么当天入园人数就减少200人．要使每日门票收入达到1620000元，票价应定为多少元？24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=CE，AE，CB的延长线交于点G，CF⊥AB交于AG于点F，垂足为（1）求证：∠CAB＝∠BCD；（2）求证：AF＝FG．25．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交CB的延长线，AC于点E，F，AF，BC的延长线交于点G．（1）求证AC＝CG；（2）若EB＝CG，求∠BAC的度数．26．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm，动点M从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度运动到点D．若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动．（1）出发1秒钟时，△MON的面积＝cm2；（2）出发几秒钟时，△MON的面积为1cm2？27．（8分）如图，已知△ABC和长度为m的线段．用圆规与无刻度直尺分别作出满足下列条件的圆．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（1）求作⊙A，使其与线段BC相交所形成的弦的长度为m．（2）求作⊙O，使其与△ABC各边相交所形成的弦的长度均为m．

2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，∴OP＜5．故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．2．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1【分析】由一元二次方程根的判别式，解出即可．【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴（﹣2）2﹣4×1×a＝0，解得，a＝1；故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．3．（2分）学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购一份）．某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是（）A．15元 B．16元 C．17元 D．18元【分析】根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解．【解答】解：15×40%+18×50%+20×10%＝17（元），即当天学生购买盒饭费用的平均数是17元．故选：C．【点评】本题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式．数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．4．（2分）下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧 B．三个点确定一个圆 C．相等的弦所对的弧相等 D．圆的内接平行四边形是矩形【分析】根据等弧的概念、确定圆的条件、弧与弦的关系、圆内接四边形的性质判断即可．【解答】解：A、两个半径相等的半圆是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；C、相等的弦所对的弧不一定相等，故本选项说法错误，不符合题意；D、圆的内接平行四边形是矩形，说法正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是等弧的概念、确定圆的条件、弧与弦的关系、圆内接四边形的性质，掌握相关的概念和性质是解题的关键．5．（2分）如图，⊙O的弦AB，DC的延长线相交于点E，∠AOD＝142°，BC为64°，则∠AED的度数为（）A．38° B．39° C．40° D．41°【分析】连接OB，OC，BD，利用圆周角定理求出∠ABD，∠BDC，再利用三角形的外角的性质求出∠AED即可．【解答】解：如图，连接OB，OC，BD，∵∠ABD=12∠AOD，∠∴∠ABD＝71°，∵BC为64°，∴∠BOC＝64°，∴∠BDC=12∠∵∠ABD＝∠BDC+∠AED，∴∠AED＝71°﹣32°＝39°．故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．6．（2分）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的两根之积是（）A．n+m﹣1 B．n+m+1 C．n﹣m+1 D．n﹣m﹣1【分析】把方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0看作关于t+1的一元二次方程，则利用关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2得到t1＝x1﹣1，t2＝x2﹣1，然后利用根与系数的关系得到结论．【解答】解：把方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0看作关于t+1的一元二次方程，设关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的两根为t1＝x1﹣1，t2＝x2﹣1，∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是m，两根之积是n，∴x1+x2＝m，x1x2＝n，∴t1t2＝（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝n﹣m+1．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置）7．（2分）方程x2﹣2x＝0的解为x1＝0，x2＝2．【分析】把方程的左边分解因式得x（x﹣2）＝0，得到x＝0或x﹣2＝0，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，x1＝0或x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．【点评】本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．8．（2分）据调查，某班40位同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的中位数是38码．尺码/码3536373839404142人数34687543【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：一共有40个数据，位置处于中间的数是：38，38，所以中位数是（38+38）÷2＝38．故鞋子尺码的中位数是38码．故答案为：38．【点评】本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．9．（2分）在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为60°．【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．【解答】解：如图，∵AB＝OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质．10．（2分）甲、乙两人分别进行5次射击练习，成绩如下（单位：环）：甲：7，8，7，7，10；乙：8，7，8，10，8．甲、乙的射击成绩的方差分别为s甲2，s乙2，则s【分析】分别计算两人的平均数和方差即可得出答案．【解答】解：甲的平均成绩为（7+8+7+7+10）÷5＝7.8，乙的平均成绩为（8+7+8+10+8）÷5＝8.2；甲的方差S2=15×[3×（7﹣7.8）2+（8﹣7.8）2乙的方差S2=15×[3×（8﹣8.2）2+（7﹣8.2）2故甲，乙两人方差的大小关系是：s甲故答案为：＞．【点评】本题考查了方差的计算，方差是各数据值离平均数差的平方和的平均数，熟练掌握计算公式是解答本题的关键．11．（2分）建邺区2020年GDP为1122亿元，2022年GDP为1251亿元，设这两年GDP的年平均增长率为x，根据题意可列方程为1122（1+x）2＝1251．【分析】根据建邺区2020年GDP为1122亿元，2022年GDP为1251亿元，列出一元二次方程即可．【解答】解：根据题意得：1122（1+x）2＝1251，故答案为：1122（1+x）2＝1251．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．（2分）圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为60πcm2．【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝π×6×10＝60πcm2．【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．13．（2分）如图，AB＝AC＝AD．若∠ADB＝α，则∠BCD＝90°+α．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出角BAD的度数，再根据四边形内角和为360°得出∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°﹣（180°﹣2α）＝180°+2α，再根据等腰三角形的性质即可推出结果．【解答】解：∵AB＝AD，∠ADB＝α，∴∠ABD＝∠ADB＝α，∴∠BAD＝180°﹣2α，∴∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°﹣（180°﹣2α）＝180°+2α，∵AB＝AC＝AD，∴∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，∴∠ACB+∠BCD+∠ACD＝180°+2α，即2∠BCD＝180°+2α，∴∠BCD＝90°+α，故答案为：90°+α．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，四边形内角和定理，熟记等腰三角形的性质以及四边形内角和定理是解题的关键．14．（2分）如图，在正六边形ABCDEF中，点P是AF上任意一点，连接PC，PD，则△PCD与正六边形ABCDEF的面积之比为1：3．【分析】设正多边形的中心为O，如图，连接CF，DF，OD，根据AF∥CD，得到S△PCD＝S△FCD，根据OC＝OF得到S△OCD＝S△OFD=12S△PCD，而S△OCD=1【解答】解：设正多边形的中心为O，如图，连接CF，DF，OD，∵AF∥CD，∴S△PCD＝S△FCD，∵OC＝OF，∴S△OCD＝S△OFD=12S△∵S△OCD=16S∴△PCD与正六边形ABCDEF的面积之比为1：3．故答案为：1：3．【点评】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．（2分）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx﹣（a+b）＝0（a，b是常数）的两个根．若x1x2＜0，则x1+x2的取值范围是x1+x2＜1．【分析】根据根与系数的关系得x1+x2=−ba，x1x2=−a+ba，由x1x2＜0，得−a+ba＜0，即−b【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx﹣（a+b）＝0（a，b是常数）的两个根，∴x1+x2=−ba，x1x2∵x1x2＜0，∴−a+b即﹣1−b∴−b∴x1+x2=−b则x1+x2的取值范围是x1+x2＜1．故答案为：x1+x2＜1．【点评】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键．16．（2分）如图，在▱ABCD中，AB＝12cm，AD＝6cm，∠DAB＝60°，点P为AB上一点，过点C，D，P作⊙O，当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为53cm．【分析】根据垂径定理确定圆心O所在直线，然后根据勾股定理得出圆心与CD中点之间距离的变化规律，从而得出O点的轨迹路程．【解答】解：当点O在CD上时，CD为圆的直径，∴OD=12CD＝6∴OD＝OP＝AD＝BC，∴P为AB中点或与B重合，当点O在CD下方时，过O作OE⊥CD于，交AB于F，过D作DG⊥AB于G，如图1，设AP＝xcm，则0≤x≤6，OE＝ycm，∵∠A＝60°，∴AG=12AD＝3cm，DG=3AG＝3又∵AB∥CD，∴EF＝DG＝33cm，DE＝FG＝6cm，∴AF＝AG+FG＝9cm，∴PF＝（9﹣x）cm，∵OP＝OD，由勾股定理得：OE2+DE2＝OF2+PF2，即y2+36＝（33−y）2+（9﹣x）2整理得：y=318x2−3x∴在0≤x≤6时，0≤y≤43，∴O移动了43cm，当O在CD上方时，过O作AB垂线，交CD于E，AB于F，如图2：设AP＝xcm，则6≤x≤12，OE＝ycm，∴OF＝（y+33）cm，根据勾股定理得：OE2+DE2＝OF2+PF2，即y2+36＝（y+33）2+（9﹣x）2，整理得：y=3∴x＝9时，y有最大值32，x＝6时，y＝0，x＝12时，y即O点向上移动32cm后，再向下移动32∴O的运动路线总长为：43+32×故答案为：53．【点评】本题主要考查了三角形的外心，通过勾股定理得出圆心O到CD中点距离的变化规律是本题解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x+1＝25；（2）（x﹣2）（x+3）＝（x﹣2）（2x﹣1）．【分析】（1）把方程左边化为完全平方式的形式，再求出x的值即可；（2）先移项，再提取公因式即可．【解答】解：（1）x2+2x+1＝25，（x+1）2＝25，x+1＝±25=x1＝4，x2＝﹣6；（2）（x﹣2）（x+3）＝（x﹣2）（2x﹣1），（x﹣2）（x+3）﹣（x﹣2）（2x﹣1）＝0，（x﹣2）[（x+3）﹣（2x﹣1）]＝0，（x﹣2）（x+3﹣2x+1）＝0，（x﹣2）（4﹣x）＝0，x﹣2＝0，或4﹣x＝0，x1＝2，x2＝4．【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和直接开方法是解题的关键．18．（8分）“强国”自习室规定，每人每天学习需一次性支付10元场地费．随机抽取自习室一周的学习人数如下表（单位：人）：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计5468766496220178756（1）求该自习室本周的日平均营业额．（2）如果用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该自习室当月（按30天计算）的营业总额．【分析】（1）根据平均数的定义计算可得；（2）从极端值对平均数的影响作出判断，可用该自习室本周一到周日的日均营业额估计当月营业额．【解答】解：（1）该店本周的日平均营业额为756×10÷7＝1080（元），所以该自习室本周的日平均营业额为1080元；（2）因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额，所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大，故用该自习室本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合理，方案：用该自习室本周一到周日的日均营业额估计当月营业额，当月的营业额为30×1080＝32400（元）．【点评】本题主要考查算术平均数及样本估计总体，解题的关键是掌握算术平均数的定义与样本估计总体思想的运用．19．（8分）根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”．如图1，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形．如图2，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度AB＝12m，拱高（弧的中点到弦的距离CD）3m，求盾构机刀盘的半径．【分析】设OA＝OC＝rm．构建方程求解．【解答】解：设OA＝OC＝rm．∵OC⊥AB，∴AD＝DB=12AB＝6（∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝62+（r﹣3）2，∴r＝7.5．∴盾构机刀盘的半径为7.5m．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程．20．（8分）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB相交于点E，且∠ABC＝2∠E．求证：△ADE是等腰三角形．【分析】根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的判定定理证明．【解答】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝∠BCE，∵∠ABC＝2∠E，∠ABC＝∠E+∠BCE，∴∠BCE＝∠BEC，∴∠A＝∠BEC，∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键，解答时，注意方程思想的灵活运用．21．（7分）已知关于x的方程x2+kx+k﹣2＝0．（1）证明：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若k为整数，则当k＝2时，方程的根是整数．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（k﹣2）2+4＞0，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；（2）将x＝﹣2代入原方程可求出k值，再根据两根之和等于−b【解答】（1）证明：Δ＝k2﹣4（k﹣2）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4．∵（k﹣2）2≥0，∴（k﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，∴不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；（2）将x2+kx+k﹣2＝0．整理得：k=2−x2x+1=x＝0，k＝2；x＝1．k=1x＝2，k=−2x＝﹣2，k＝2，……，答：k的值为2，方程的根是整数．故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）牢记两根之和等于−b22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，BC=CD，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝10，AO＝13，求CE的长．【分析】（1）连接OC，AC，OA＝OC，则∠OCA＝∠OAC，再由已知条件，可得∠OCE＝90°；（2）作OF⊥AD，得到四边形OCEF是矩形和AF＝5，根据矩形性质可得CE长．【解答】（1）证明：连接OC，AC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵BC=∴∠BAC＝∠CAD，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AE，∵∠E＝90°，∴∠OCE＝∠E＝90°，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：如图，作OF⊥AD，∵OF⊥AD，∴AF=12∵∠OFE＝∠FEC＝∠ECO＝90°，∴四边形OCEF是矩形，∴CE＝OF，在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF=1∴CE＝12．【点评】考查了切线的判定定理和勾股定理，垂径定理，都是基础知识要熟练掌握．23．（8分）2023年全国旅游市场持续回暖．经调研，“十一”假期期间，如果某景区门票定价为每张80元，那么当天入园人数预计将达到20000人；如果票价每增加1元，那么当天入园人数就减少200人．要使每日门票收入达到1620000元，票价应定为多少元？【分析】设票价应定为x元，根据票价×每日销售的票数＝每日门票收入，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：设票价应定为x元，由题意得：x[20000﹣200（x﹣80）]＝1620000，整理得：x2﹣180x+8100＝0，解得：x1＝x2＝90，答：票价应定为90元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=CE，AE，CB的延长线交于点G，CF⊥AB交于AG于点F，垂足为（1）求证：∠CAB＝∠BCD；（2）求证：AF＝FG．【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质得出∠CAB+∠ACD＝90°，等量代换即可得解；（2）连接CE，根据圆周角定理及直角三角形的性质推出∠ACD＝∠AEC，∠AEC＝∠CAE，则∠CAE＝∠ACD，根据等腰三角形的判定推出AF＝CF，再根据直角三角形的性质推出∠G＝∠BCF，进而推出CF＝FG，等量代换即可得解．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴CF⊥AB于D，∴∠CAB+∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠BCD；（2）如图，连接CE，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，∵∠ABC＝∠AEC，∴∠ACD＝∠AEC，∵AC=∴∠AEC＝∠CAE，∴∠CAE＝∠ACD，∴AF＝CF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAG+∠G＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∵∠CAG＝∠ACF，∴∠G＝∠BCF，∴CF＝FG，∴AF＝FG．【点评】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟记圆周角定理是解题的关键．25．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交CB的延长线，AC于点E，F，AF，BC的延长线交于点G．（1）求证AC＝CG；（2）若EB＝CG，求∠BAC的度数．【分析】（1）连接CF，根据垂径定理得到AF=CF，求得∠FAC＝∠（2）连接AE，过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接CF，∵过点O作AC的垂线，垂足为D，∴AF=∴∠FAC＝∠ACF，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠GFC＝∠ABC，∴∠GFC＝∠ACB，∵∠G＝180°﹣∠GFC﹣∠GC