视图与投影综合题拓展训练（5考点40题）原卷版-2024-2025学年人教版九年级数学下册

视图与投影综合题拓展训练（5考点40题）

目录与链接

考点一、几何体表面积（体积）的计算............................................2

考点二、组成几何题的小立方体..................................................11

考点三、中心投影的综合应用....................................................25

考点四、平行投影的综合应用....................................................40

考点五、盲区的综合应用........................................................51

考点一、几何体表面积（体积）的计算

1.左图是我国古代南北朝时期独孤信的印章，其俯视图如右图所示，该印章有条棱，若棱长

均为1、则表面积等于___________.

2.如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积

是..（结果保留根号）

3.如图所示是一种棱长分别为3cm,4cm,6cm的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体:

如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是—cm2,

如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是—cm2,

如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是—cm2.

4.(1)一个由小正方体摆成的几何体，无论从正面，还是从左面都可以看到如图所示的图形，那么，最多

可以用_个小正方体，最少可以用一个小正方体.

(2)一个正方体截去一角后，剩下的几何体有一条棱，_个面，一个顶点.(说明：截去部分的边长都不超过

正方体的边长.)

(3)如图1,一个边长为2大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体.

②所得几何体的表面积为

②如果图1中大正方体各棱的长度之和比图2中几何体各棱的长度之和少3,那么，所得几何体的体积是一

5.由若干个棱长为1c加的小正方体构成的几何体，无论从正面看还是从左面看，得到的视图都如图所

示.

（1）该几何体最多有个小正方体，最少有个小正方体；

（2）按实际的大小，用直尺画出正方体个数最少的一种俯视图，并标出每个位置小正方体的个数.

6.用棱长为2cm的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体.图中每个几何体自上而下分

别叫第一层、第二层，…，第”层（”为正整数）

（1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为

（2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积.

（3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂1c病需要油漆0.2克，求喷涂第

20个几何体，共需要多少克油漆?

7.小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原.有一天，小明突然

想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图,

图1是一个长、宽、高分别为a,b,c（应2,b>2,c>2,且a,b,c是正整数）的长方体，被分成了axbxc

个棱长为1的小立方体.这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+〃

问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得

出一般性的结论.

探究一：如图2,该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体.如图3,该几何体有2

个小立方体组成，那么它一共包含1+2=3个长方体.如图4,该几何体有3个小立方体组成，那么它一共

包含个长方体.如图5,该几何体-共包含210个长方体，那么该几何体共有个小立方体组成.

探究二：如图6,该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）x（1+2）=9个长方体.如图7,

该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含个长方体.如图8,该几何体共有2加个小立方体组

成，那么该几何体一共有个长方体.

探究三：如图1,该几何体共有个"6xc小立方体组成，那么该几何体共有个长方体.

探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了.在九阶魔方（即。=b=c=9）中，含有个长方体.

探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若。=6,6=4,c=5,如果

拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走个小

立方体；此时，剩下的几何体的表面积是.

8.如图，一透明的敞口正方体容器N8C。一49CO中装有一些液体，棱N8始终在水平桌面上，容器底部

的倾斜角为a(/C2E=a).

探究：如图①，液面刚好过棱CD,并与棱8夕交于点。，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如

图②所示.

解决问题：

(1)C。与的位置关系是,8。的长是dm；

(2)求液体的体积(提示：%版=12CQx高Ag)；

33

(3)求液面到桌面的高度和倾斜角a的度数rsm37o«-,tan370=->.

考点二、组成几何题的小立方体

9.如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（）

主视图左视图

A.4个B.5个C.6个D.7个

10.如图，用棱长为1的27个小正方体堆成一个棱长为3的正方体，它的主视图、俯视图、左视图均为一

个3x3的正方形.现从中拿走若干个小正方体，但不改变图形的三视图，那么最多能拿走.个

311

131

113

11.用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所

示.请从A,B两题中任选一题作答.我选择题.答案是.

□zSlziD

从左面后从上面看1

A.搭成该几何体的小立方块最少有_________个.

B.根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出种不同的图形.

12.如图1,是一个由53个大小相同的小正方体堆成的立体图形，从正面观察这个立体图形得到的平面图

形如图2所示.

（1）请在图3、图4中依次画出从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形

（2）保持这个立体图形中最底层的小正方体不动，从其余部分中取走k个小正方体，得到一个新的立体图

形.如果依次从正面、左面、上面观察新的立体图形，所得到的平面图形分别与图2、图3、图4是一样的,

那么k的最大值为

ffll图2（从正面楫）图3（从左面杆）图4（从匕囱科）

13.用6个相同的小正方体摆成如图所示的几何体.

(1)画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图；

(2)如果每个小正方体棱长为1,则该几何体的表面积是—；

(3)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再

添加个小正方体.

14.用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示完

成下列问题:

主视图俯视图

(1)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体

搭成的几何体的左视图；

(2)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共

有一种不同形状.

(3)用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有多少种不同形状？

15.(1)一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中

的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图.

从上面看从正面看从左面看

（2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示.请在从上面看到

的图形的小正方形中填入相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数.其中，图1

填入的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块

的个数.

图1图2

从正面看从左面看从上面看

16.在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示.

(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图；

(2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，

I.在图①所示几何体上最多可以添加一个小正方体；

n.在图①所示几何体上最多可以拿走_个小正方体；

in.在题II的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若给

该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米？

17.如图是一些棱长为1cm的小立方块组成的几何体.

/正面从正面看从左面看从上面看

(1)请画出从正面看，从左面看，从上面看到的这个几何体的形状图.

(2)该几何体的表面积是_c/.

(3)如果把它拼成一个无空隙的正方体，则至少还需要同样的小立方块一块.

(4)如果保持从正面和上面看到的形状不变，最多可以再添加一个小立方块.

18.用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中

的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问：

(1)俯视图中b=,a=.

(2)这个几何体最少由个小立方块搭成.

(3)能搭出满足条件的几何体共种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多时几何体的左视

图.(为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例：■).

19.在桌面上，有6个完全相同的小正方体对成的一个几何体，如图所示.

Cl）请画出这个几何体的三视图.

（2）若将此几何A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体有一个.

（3）若另一个几何体B与几何体A的主视图和左视图相同，而小正方体个数则比几何体A多1个，则共

有种添法.请在图2中画出几何体B的俯视图可能的两种不同情形.

（4）若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，则最多

可以添个.

20.空间任意选定一点。，以点。为端点作三条互相垂直的射线Ox,Oy,Oz.这三条互相垂直的射线分

别称作X轴、y轴、Z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为Ox（水平向前），Oy（水平向右），Oz（竖

直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系.将相邻三个面的面积记为印邑,S3,且d<S2Vs3的小

长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体H

所在的面与X轴垂直，邑所在的面与了轴垂直，,3所在的面与Z轴垂直，如图1所示.若将X轴方向表示的

量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，2轴方向表示的量称为几何体码放的

层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2

列6层，用有序数组记作（1,2,6）,如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2,3,4）.这

样我们就可用每一个有序数组（xj,z）表示一种几何体的码放方式.

（1）有序数组（3,2,4）所对应的码放的几何体是

（2）图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为（

.）,组成这个几何体的单位长方体的个数为一个;

（3）为了进一步探究有序数组（xj,z）的几何体的表面积公式》”，某同学针对若干个单位长方体进行码

放，制作了下列表格:

单位长

几何体表面上面积表面上面积表面上面积

方体的表面积

有济数组为$的个数为52的个数为舟的个数

个数

(1,1,1)12222S]+2s2+2S3

(1,2,1)24244s产2s2XS3

。，1,1)32662S「6S卢6S3

(2,1,2)448441-85+453

(1,5,1)510210109|+252+1053

(1,2,3)61264125|+652+45)

1414

(1,1.7)72145,+I45;+2SJ

(2,2,2)88888sl+85?+85]

•••…••••••

根据以上规律，请直接写出有序数组（xj,z）的几何体表面积品,”）的计算公式；（用X/,Z,S”S2，S3表示）

（4）当豆=2,$2=3,S3=4时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，我

们可以对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，请你根据自己探究的结果直接写出使

几何体表面积最小的有序数组，这个有序数组为（_，—,—）,此时求出的这个几何体表面积的大小为

.（缝隙不计）

考点三、中心投影的综合应用

21.在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形以点P为圆心，1为半径作。P,图形M上的每一个

点。(不是原点)，都能使得直线。。与O尸有公共点，那么称图形M和点P关联.

(1)点，下列图形中与点P关联的图形是;

①V轴；

②直线x=g;

③半径为1的。。；

④线段胸，其中〃(0,-1),

(2)点尸在直线y=l上，点A在X轴上，点3在第一象限，已知△0/2为等边三角形，若与点尸关联,

求点尸横坐标t的取值范围；

(3)平面上一点C满足OC=20,将点C绕点。顺时针旋转60。得到点C',连接CC',点尸在线段CC'上.点

E在以。为中心，边长为8的正方形上，OE与点尸关联，直接写出。£的半径，,的取值范围.

22.如图所示，在某点光源下有两根直杆〃"，M垂直于平整的地面，甲杆的影子为"/,乙杆M的

影子一部分落在地面上的NG处，一部分落在斜坡GC上的GK处.

①点光源所在的位置是（从A,B,C,。中选择一个）；

②若点光源发出的过点/的光线长，GZ,斜坡GZ与地面的夹角为30。，NG=1米，GK=也米，则乙杆收

3

的高度为米.

EOGNMF

23.小明在晚上由路灯A走向路灯5,当他走到尸处时，发现身后影子顶部正好触到路灯A底部，当他向

前再步行12m到达。时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯8的底部.已知小明的身高是1.6m,两个路

灯的高度都是9.6m,且/尸=%=疝1.

PFQ

(1)求：两个路灯之间的距离；

(2)小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如

果不是定值，求说明理由.

24.雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关《测量物体的高度》的知识，测量路灯的高度

AB.如图所示，当小明直立在点C处时，小亮测得小明的影子CE的长为5米；此时小明恰好在他前方2

米的点尸处的小水潭中看到了路灯点/的影子.己知小明的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出路灯

的高度AB.

25.数学兴趣小组的同学要测算一盏路灯灯泡P的高度.

CBEF

(1)小华(用线段表示)的影子是8C,小明(用线段表示)的影子是所，在同一盏路灯下的影长

如图所示，请找出该路灯灯泡P的位置；

(2)小华身高1.8m,影长2m,小明身高1.5m,形长1m,小华和小明两人相距13m,求该盏路灯灯泡尸的高

度.

26.小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个

路灯的高.如图1所示，路灯顶部/处发光，光线透过窗子。C照亮地面的长度为E尸，小明测得窗户距离

地面高度。。=hn,窗高CD=1.5m,某一时刻，0E=hn,£尸=4m,其中8、0、E、尸四点在同一条直

线上，C、D、。三点在同一条直线上，且COLOE.

图1图2

(1)求出路灯的高度

(2)现在小明想让光线透过窗子。C照亮地面的最远端位置离右墙角点厂的距离为2m,如图2所示，需将路

灯48的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离。点的距离是多少？(画出图形并解答)

27.【画图操作】

（1）如图1,三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图

所示.请在图中画出光源尸的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法）

ffll

【数学思考】

（2）如图2,夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点3,设他的影长为V,他与点A之间的

距离为x,那么下列四幅图象中，能表示了与x之间函数关系的是哪一个，请说明理由（从函数的变化趋势

的角度说明理由即可）.

28.一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯(灯杆底部不可到达)的高43.如图所

示，当小明爸爸站在点。处时，他在该景观灯照射下的影子长为。尸，测得。尸=2.4m；当小明站在爸爸影

子的顶端尸处时,测得点A的仰角a为26.6。.已知爸爸的身高8=1.8m,小明眼睛到地面的距离£尸=1.6m,

点尸、D、2在同一条直线上，EFLFB,CDVFB,ABLFB.求该景观灯的高48.(参考数据：

sin26.6°«0.45,cos26.6°«0.89,tan26.6°®0.50)

29.学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规

律.如图，在同一时间，身高为1.6m的小明(48)的影子2C长是3m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下

方H点、,并测得H3=6m.

A

HB1Bc

(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；

(2)求路灯灯泡的垂直高度G/Z；

(3)如果小明沿线段8"向小颖(点⑶走去，当小明走到8〃中点用处时，求其影子4G的长；当小明继续

走剩下路程的;到与处时，求其影子与的长；当小明继续走剩下路程的;到耳处，…按此规律继续走下

去，当小明走剩下路程的一］到纥处时，其影子的长为_m.(直接用"的代数式表示)

〃+1—

考点四、平行投影的综合应用

30.如图，某学校旗杆AB旁边有一个半侧的时钟模型，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆

的半径2m,旗杆的底端A到钟面9点刻度C的距离为11m,一天小明观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚

好投到时钟的11点的刻度上，同时测得1米长的标杆的影长1.2m.求旗杆AB的高度.

31.如图，广场上一个立体雕塑由两部分组成，底座是一个正方体，正上方是一个球体，且正方体的高度

和球的高度相等.当阳光与地面的夹角成60。时，整个雕塑在地面上的影子AB长2米，求这个雕塑的高

度.（结果精确到百分位，参考数据：百刃.73）

32.李航想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情

况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可

以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同.此时，测得李航落在墙上的影

子高度CD=1.2m,CE=0.6m,CA=30m(点A、E、C在同一直线上).已知李航的身高EF是1.6m,请你帮

李航求出楼高AB.

33.如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心。的正下方.某一

时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片CM,OB,此时各叶片影子在点"右侧成线段CD,测得MC=8.5〃z,

2

CD=13m,设光线与地面夹角为a,测得tana=§.

(1)求点。，M之间的距离.

(2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度.

34.操作与研究：如图，△/8C被平行于8的光线照射，CDL/5于。，在投影面上.

图1

(1)指出图中线段NC的投影是,线段8c的投影是.

(2)问题情景：如图1,RtA45C中，ZACB=90°,CD1AB,我们可以利用△4BC与-8相似证明

AC2=AD-AB,这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理.

(3)【结论运用】如图2,正方形4BCD的边长为15,点。是对角线4C,区D的交点，点E在8上，过点C

作C尸，2E,垂足为尸，连接。尸，

①试利用射影定理证明ABOFSABED；

②若DE=2CE,求OF的长.

35.甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得

到的一些信息：

甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm.

乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm.

丙组：如图③，测得校园景灯？(灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计)的灯罩部分影长”。为90cm,灯

杆被阳光照射到的部分PG长为50cm,未被照射到的部分K尸长为32cm.

(1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度.

(2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题：

①求灯罩底面半径的长；

②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积.

36.实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动.有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后

面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为100cm.王诗嬷观测到高度90cm矮圆柱的影子落在

地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示.已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线

儿W互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，=1:0.75,在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请

解答下列问题：

（1）若王诗嬷的身高为150cm,且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm?

（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内.请直接回答这

个猜想是否正确？

（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm,则高圆柱的高度为多少cm?

A

考点五、盲区的综合应用

37.如图，大楼48。（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面.地面上有甲、乙两人，

他们现在分别位于点W和点N处，M、N均在的中垂线上，且M、N到大楼的距离分别为60米和206

米，又已知4B长40米，4D长120米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲.若乙沿着大楼的外面地带行

走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为米.

.M

D

A

B

C

N

38.如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成N、8、C三

个不同的票价区.其中与场地边缘的视角大于或等于45。，并且距场地边缘的距离不超过30m的

区域划分为N票区，8票区如图所示，剩下的为C票区.（兀取3）

O眼睛

/窥角\

MN

MNj

8JB上赛场地

区2。？区

PT-30^-*10比赛场地

（1）请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出/票区所在的区域（只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作

法）；

⑵如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算Z票区有多少个座位.

39.背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的

方法.它在“4T领域有着广泛的应用.

材料一：基本介绍

如图1,是双目视觉测距的平面图.两个相机的投影中心。,的连线叫做基线，距离为3基线与左、右

投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距了,两投影面的长均为/（3/,/是同型号双目相机中，内置的

不变参数），两投影中心a,&分别在左、右投影面的中心垂直线上.根据光的直线传播原理，可以确定目

标点尸在左、右相机的成像点，分别用点弓，门表示.4，&分别是左、右成像点到各投影面左端的距离.

材料二：重要定义

①视差——点尸在左、右相机的视差定义为"=|4-4|.

②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点尸位于该区域时，若在左、右投影面

上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图