实际问题与二元一次方程组（六大题型）-2024-2025学年浙教版七年级数学下册题型专练（含答案）

专题03实际问题与二元一次方程组（六大题型）

题型归纳________________________________________

【题型一二元一次方程组的应用-方案问题】

【题型二二元一次方程组的应用-行程问题】

【题型三二元一次方程组的应用-工程问问题】

【题型四二元一次方程组的应用-数字问题】

【题型五二元一次方程组的应用-年龄问题】

【题型六二元一次方程组的应用-分配问题】

【题型七二元一次方程组的应用-销售、利润问题】

【题型八二元一次方程组的应用-和差倍分问题问题】

【题型九二元一次方程组的应用-几何问题问题】

【题型十二元一次方程组的应用-古代问题】

【题型十一二元一次方程组的应用-其他问题（问题】

流题型专练

【题型一二元一次方程组的应用-方案问题】

（24-25七年级上•宁夏中卫•期末）

1.中卫七中组织七年级学生研学，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果

租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满.试问：

（1）七年级学生人数是多少？

⑵已知45座客车的日租金为每辆1000元，60座客车的日租金为每辆1200元，要使每位同

学都有座位，该校单独租用哪种车更合算？

（24-25八年级上•重庆・期中）

2.南开学子组织秋游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座

车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满.

（1）若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题）

（2）因场地停车位置有限，只能停靠24辆车.故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐

7人，每辆大巴车的租金为30元一次.若每种车型必须都租用，请你通过计算说明有哪些

试卷第1页，共16页

租车方案，并计算最低租金.

(23八年级上•四川达州•期末)

3.已知：用5辆N型车和1辆8型车载满货物一次可运货200吨；用1辆/型车和5辆8

型车载满货物一次可运货232吨，某物流公司现有304吨货物待运，计划/型车加辆，B

型车〃辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)请问1辆4型车和1辆车8型车都载满货物一次可分别运货多少吨；

(2)请你帮该物流公司设计租车方案；

(3)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次.请选出最省钱的租车方

案，并求出最少租车费是多少.

(2024・甘肃天水•三模)

4.某校准备组织九年级340名学生参加北京夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次

可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；

(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？

(2)若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满，若小客车每

辆需租金4000元，大客车每辆需租金8000元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金.

(23-24七年级下•山东烟台•期末)

5.某物流公司的经营理念是“智慧引领行业，创新创造价值”.该物流公司在向灾区运送捐

赠物资时，调度员发现用3辆A型车和2辆8型车装满货物一次可运货12吨；用2辆A型车

和3辆3型车装满货物一次可运货13吨.

(1)求1辆A型车和1辆8型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

(2)该物流公司现有24吨物资需要运往灾区，计划同时租用A型车“辆，3型车6辆(每种

车辆至少1辆)，一次运完且恰好每辆车都装满货物，请问调度员有哪几种租车方案？

(23-24七年级下•山东临沂•期末)

6.下表是某工厂设计玩具的裁剪方案.

课

设计裁剪方案

题

素如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成.如图②所

材1示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是40cmx40cm；如图③所示，制作一个豌豆荚所

试卷第2页，共16页

需布料均尺寸是40cmx140cm.三.个豌豆和一个豌豆荚可以组成一•套完整的玩具.

§

40cm40cm

40cm

图①图②图③

素某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批80cmxl000cm的布料，于是厂家准备将

材2这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸.（不计剪裁时的损耗）

若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整.

任拟定

方案一：裁剪张豌豆的布料和张豌豆荚的布料；

我500

务裁剪

方案二：裁剪张豌豆的布料和______张豌豆荚的布料；

是8

方案

方案三：裁剪_____张豌豆的布料和张豌豆荚的布料.

裁4

剪

任解决若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下

师

务实际按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库

问题拿几张布料？

（23-24七年级下•湖南邵阳•期末）

7.随着科技的发展，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提

升.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆8型汽

车的进价共计45万元；3辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计85万元

（1）求A、8两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？

（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买）,

请你帮助该公司设计购买方案；

（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利10000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，

在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是

多少元？

【题型二二元一次方程组的应用-行程问题】

（24-25七年级上•安徽亳州•阶段练习）

8.甲、乙两地相距200千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向

试卷第3页，共16页

而行，快车10小时追上慢车：如果两车相向而行，2小时后两车相遇，试问：

（1）两车的速度分别是多少？

（2）若两车同时相向而行，多少时间可以相距100千米？

（24-25七年级上•湖南怀化•期末）

9.甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡.一汽车从甲地下午1点出发到乙地

是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地.已知汽车在上坡路每

小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行

驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？

（2024八年级上•全国•专题练习）

10.甲、乙两车分别从相距210千米的A,3两地相向而行.

（1）两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，

则甲车出发后3小时两车相遇.求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）?

（2）如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距

30千米？

（22-23七年级下•广西来宾•期中）

11.某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为0〜3km,超过3km的部分按每km

另行收费.小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了4.5km,付车费5.25元.”小李说：“我

从我家乘出租车到汽车站走了6km,付车费7.5元.”

（1）出租车的起步价是多少元？超过3公里后每km收费多少元？

（2）小明乘出租车从学校到汽车站走了8.5km,应付车费多少元？

（23-24七年级下•吉林•期末）

12.甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔2min

相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔6min相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、

乙二人每分钟各跑多少圈？

【题型三二元一次方程组的应用-工程问问题】

（24-25八年级上•全国•课后作业）

13.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两

个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工,

由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土

方量103.2万立方.甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？

试卷第4页，共16页

（23-24七年级下•吉林•期末）

14.为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生,

2024年5月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行.已知甲工程队1天，乙工程队2天共

修路400米；甲工程队2天，乙工程队3天共修路700米，求甲乙两工程队每天分别修路多

少米？

（2024七年级下•全国•专题练习）

15.为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校

舍、建造新校舍.拆除旧校舍的费用为80元/n?,建造新校舍的费用为700元/n?.计划

在年内拆除旧校舍与建造新校舍共72000?.在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了

计划的80%,而拆除校舍则超过了10%,结果恰好完成了原计划的拆建总面积.

（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米；

（2）如果绿化的费用为200元/n?,那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面

积大约是多少？

（2024七年级下•全国•专题练习）

16.一项工程，甲队独做需12天完成，乙队独做需15天完成，丙队独做需20天完成.按

原计划，这项工程要在7天内完成，现在甲、乙两队先合作若干天，以后为加快进度，丙队

同时加入这项工作，这样比原计划提前一天完成，求甲、乙两队先合作了多少天.

（23-24八年级上•广东梅州•期中）

17.为绿化祖国的大好河山，每年的3月15日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗

给学生栽种，绿化一片荒地，初一年级的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6

棵，则剩下20棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种20棵，一班有多少个

同学，领到有多少棵树苗？

（23-24八年级上•海南海口•期末）

18.某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够,

工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始

后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名

新工人每月可安装14辆电动汽车.

（1）求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？

（2）如果工厂招聘〃名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任

务，求所抽调的熟练工的人数.

试卷第5页，共16页

【题型四二元一次方程组的应用-数字问题】

（23-24八年级上•重庆沙坪坝•期末）

19.已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1,若对调个位与十位上的

数字，得到的新数比原数小9,求这个两位数，所列方程组正确的是（）

\x-y=lx-y=1

1(X+J/)-(J-X)=9

10x+y=y+x+9

、卜=了+1[x=y+\

110x+y=10>+x+9[10x+y=10y+x-9

(23-24七年级上•安徽宿州•期中)

20.图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示.相传，大禹时，洛阳西洛宁县

洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹.大禹依此治水成功，遂划天下为九州.洛书是一

个三阶幻方，就是将已知的9个不同整数填入3x3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两

条斜对角线上的数字之和都相等.图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求

出X-〉的值应为（）

<*>OOOOOOOOO..

图1图2图3

A.3B.-3C.-2D.2

（24-25八年级上•辽宁沈阳•阶段练习）

21.列二元一次方程组解应用题:

爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下:

时刻9:0010:0011:30

里程是一个两位数，它是一个两位数，它的十位与个是一个三位数，它比9

表上的两个数字之和位数字与9:00所看到的正好9:00时看到的两位数中间

的数是6互换了多了个0

设：9:00时里程碑上的这个两位数十位数字为x,个位数字为外回答下列问题:

试卷第6页，共16页

⑴用含X,y代数式表示：9:00时里程碑上的数字；10：00时看到里程表上的数

;11：30时看到里程表上的数；

⑵列方程组并求出10：00时里程碑上的数.

【题型五二元一次方程组的应用-年龄问题】

（23-24七年级下•全国•课后作业）

22.一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话：

'两年后，妹妹年龄的L伊

蹈《我和哥哥的年龄、

倍与我的年龄相加

和是岁.,3z$

I16、恰好等于爸爸的年龄j.

根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是.

（23-24七年级上•福建三明•期中）

23.在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是77岁、88岁、99岁的雅称.小花

在她年龄是她妈妈年龄的g时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的g时，又为奶奶贺

米寿，则小花在岁时，将为奶奶贺白寿.

【题型六二元一次方程组的应用-分配问题】

（2024八年级上•全国・专题练习）

24.1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果In?木料可以做50个桌面或300条桌腿，现

有5m3木料,应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？

（2023•吉林白山•一模）

25.在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破.某工厂一月份生产甲、

乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双.求该工

厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？

（23-24七年级下•辽宁大连•期末）

26.为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种类型的货车若干辆

为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运

输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销

售公司租用甲乙两种类型货车各多少辆？

（23-24七年级下•湖北襄阳・期末）

27.据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2,现要把一块长200m、宽100m

的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、

试卷第7页，共16页

乙两种作物的总产量的比是2：1?请你设计两种不同的种植方案.

图1图2

【题型七二元一次方程组的应用-销售、利润问题】

（24-25八年级上•陕西西安•阶段练习）

28.美丽服装店购进2两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进

价，标价如表所示.

类型价格/型8型

进价（元/件）60100

标价（元/件）100160

（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；

（2）如果/种服装按标价出售，2种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美

丽服装店一共可获利多少元？

（24-25八年级上•陕西宝鸡•阶段练习）

29.某商场计划购进A,3两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：

价格类型进价（元/件）售价（元/件）

A3045

B5070

（1）若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件？

（2）若商场卖完这批服装，则获利多少元？

（22-23八年级下•辽宁本溪•开学考试）

30.某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100

个，共花去10000元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、标价如下表：

冰墩墩雪容融

进价（元/个）12070

试卷第8页，共16页

标价（元/个）160100

（1）求该商场冰墩墩和雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个？

（2）如果商场将冰墩墩毛绒玩具按标价的9折出售，雪容融毛绒玩具按标价的8折出售，那

么商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利多少元？

（24-25七年级上•四川成都・开学考试）

31.甲、乙两种商品成本共200元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定

价.后来两种商品都按定价的90%打折出售，结果仍获得利润27.7元.甲种商品的成本是

多少元？

（23-24六年级上,山东青岛,期末）

32.根据图提供的信息，

共43元共94元

（1）可知一个杯子的价格是多少？

（2）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动,

甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯.若某单位想要

买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由.

【题型八二元一次方程组的应用-和差倍分问题问题】

（24-25八年级上•山西太原•阶段练习）

33.某学校科技节展示了使用无人配送车和无人机配送货物.已知一台无人机一次可运送4

千克货物，一台无人配送车一趟可运送80千克货物.活动提供了无人机和无人配送车共20

台一趟共运送460千克货物，那么运送物货使用的无人机和无人配送车各有几台？

（24-25八年级上•陕西西安•阶段练习）

34.某机械林场经过三代务林人的持续奋斗，已知现在该林场的林木总蓄积比原来增加了

1073万立方米：又知现在该林场的林木总蓄积比原来的35倍还多19万立方米，请问该林

场原来和现在的林木总蓄积分别是多少万立方米？

（2024•湖南株洲•模拟预测）

35.某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购

试卷第9页，共16页

进若干个足球和篮球.已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3

个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？

（23-24七年级下•海南省直辖县级单位•期末）

36.在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知1辆甲种车和1辆

乙种车一次共可运土20立方米，5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64立方米，求甲、

乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米.

（23-24七年级下•江苏淮安•阶段练习）

37.连水某校开展读书月活动，现把一堆书分给学生，如果每名学生分4本，那么多4本;

如果每名学生分5本，那么最后一名学生只有3本.问：有多少名学生？有多少本书？

【题型九二元一次方程组的应用-几何问题问题】

（2024七年级上•云南•专题练习）

38.现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片，按如图所示两种方式摆放，则小长方形

（2024九年级上•全国・专题练习）

39.如图，在长为10m,宽为8m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分割出三个

形状与大小完全相同的小长方形花圃，则花圃（阴影部分）的面积为________m2.

试卷第10页，共16页

(24-25八年级上•广东佛山,阶段练习)

40.现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了

一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积.

小明设小长方形的长为x,宽为外观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y

的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积.

(1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；

(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所

示.若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是cm；

(3)拓展学习：如图4,是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形N的边

长为1,求这个长方形的面积.

(23-24七年级上•辽宁沈阳•期末)

41.在长方形/BCD中，放入5个形状大小相同的小长方形(空白部分)，其中

/8=7cm,3c=11cm,求阴影部分图形的总面积.

4D

BC

试卷第11页，共16页

（23-24六年级下•全国•单元测试）

42.某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片90张，长方形铁片180张，长

方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）.如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种

无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）.

甲乙

（1）画出甲、乙两种铁盒子的直观图.

（2）问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？

【题型十二元一次方程组的应用-古代问题】

（2022九年级上•吉林长春•学业考试）

43.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：今有三人共车，二车空；二人共

车，九人步.问人与车各几何？译文：今有若干人出行，如果三人同乘一辆车，两车空；二

人同乘一辆车，有九人步行.问人与车各是多少？设人数为x人，车数为y辆，可列方程组

为（）

（）无（）（

A-]23yy-+29==xB-[23yv++92==xxC-[3—2-D-A3y-2l=-x

（24-25八年级上•安徽合肥•期末）

44.在中国传统数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有二马、一牛价过一万，如

半马之价一马、二牛价不满一万.如半牛之价，问牛、马价各几何？”译文：“今有2匹马、

1头牛的总价超过10000钱，其超出的钱数相当于g匹马的价格，1匹马、2头牛的总价不

足10000钱.所差的钱数相当于g头牛的价格.问每头牛、每匹马的价格各是多少？”设每

匹马的价格为x钱，每头牛的价格为y钱，则依据条件可列方程组为（）

试卷第12页，共16页

x+2y=10000+gxx+2y=10000+；》

2x+y=10000一；》

2x+y=l0000~~x

2x+y=10000+；＞

2x+>=10000+

x+2y=10000一；》

x+2y=10000-—x

（24-25八年级上•山东枣庄•阶段练习）

45.《九章算术・盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问

人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果

每人出7钱，就少了4钱.问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有工人，物品的

价格为V钱，则可列方程组为（）

fx-Sy=3（Sx-3=y

r

A・\^y-7x=4B.\jx-4=y

C]8x一3、D.”-3

[7x+4=y[7x=歹+4

（2024八年级上•全国・专题练习）

46.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈

不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问

人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又

差4钱.问人数、物价各多少？”设人数为工人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正

确的是（）

Sx-3=ySx+3=y

A.

7x-4=y7x+4=y

Sx-3=y8x+3=y

C.D.

7x+4=ylx-4=y

（24-25八年级上•陕西西安•阶段练习）

47.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿

子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托.“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳

索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长工尺,

竿长y尺，则符合题意的方程组是（）

试卷第13页，共16页

x=y+5x=y-5

x=y+5x=y-5

A.〈1「B.〈1「c.D.

—x=y-j2x=y-52x=y+5

[2'

（2024七年级上•全国•专题练习）

48.文化情境•数学文化《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的

应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、

燕的重量各为多少？”解：设雀每只X两，燕每只y两，则可列出方程组为（）

5x+6y=165x+6)=16

+y=6y+x4x+y=5y+x

6x+5j=166x+5y=16

6x+y=5y+x5x+y=4y+x

（23-24八年级上•全国•单元测试）

49.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“今有黄金九枚，白银一十一

枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有

黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银质量相同）.称重两袋相

等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）.问黄金、白银每枚

各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重歹两，根据题意得（）

[\\x=9y（10y-x=8x+y

A.j（lOy+x）-（8x+j；）=13[9x-13=lly

（9x=lly（9x=lly

,[（8x+y）-（10y+x）=13D，+x）-（8x+j^）=13

（24-25八年级上•广东深圳•期中）

50.《九章算术》是我国东汉年间的数学经典著作，在“方程”一章里二元一次方程组是由算

筹布置而成的.算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排.如图1,各行从左到右

列出的算筹数分别表示未知数＞的系数与方程中的常数项，以方程组的形式表述出来就

3x+2y=19

是,”，类似地，图2所示的算筹图可以用方程组表述为:

x+4y=23

IIIII—IlliIIII—1111

I巾|=巾川IIII三I

图1图2

试卷第14页，共16页

【题型十一二元一次方程组的应用-其他问题（问题】

（24-25八年级上•广东深圳・期中）

51.小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏，各投6支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，三

人中靶和得分情况如图，则小红得分为分.

小亮36分笑笑30分小红_分

（24-25八年级上•山东济南•期中）

52.甲、乙两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套70元，乙

乐团购买的演出服每套80元，两个乐团共75人，购买演出服的总价钱为5600元.

⑴甲、乙两个乐团各有多少人？

⑵现从甲乐团抽调。（。＞0）人，从乙乐团抽调6仅＞0）人，去儿童福利院献爱心演出，并在

演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团

每位成员负责6位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温

暖.请写出所有的抽调方案，并说明理由.

（2024七年级上•全国•专题练习）

53.如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度

为40。。，流速为20mL/s；开水的温度为100℃,流速为15mL/s,整个接水的过程不计热量

损失.

阅读并结合以上信息解决下列问题：

（-----------------------------------------------------------X

◎。。国。C》◎

、_____________，

温水□

出水口

（1）甲同学要接一杯400mL的水，如果他先接开水8s,则再接温水的时间为s；

（2）乙同学先接温水，再接开水，得到一杯360mL的水，如果接水的总时长是20s,求乙同学

分别接温水和开水所用的时间；

（23-24七年级下•吉林・期末）

54.【阅读感悟】

试卷第15页，共16页

有些关于方程组的问题,欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值,

如以下问题：

己知实数满足5x-y=6①，4x+2y=7②，求x-3夕和13x+3y的值.

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得X、》的值再代入欲求值的代数式得到答

案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以

通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①一②可得由①+②x2可得

13x+3y=20.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.

【解决问题】

_[2x+y=4

(1)已知二元一次方程组《、」则x-y=，x+y=；

(2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票

共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光

船票共需多少元？

(3)对于实数X/,定义新运算：xy=ax+by+c,其中“、b、c是常数，等式右边是通常的

加法和乘法运算.已知1*2=5,1*3=12,求1*1=.

试卷第16页，共16页

1.（1）240A

（2）单独租用60座客车更合算

【分析】（1）设原计划租用45座客车x辆，学生总人数为y人，根据“原计划租用45座客

车若干辆，但有15个人没座，若租用同样数量的60座客车则多出一辆，其余客车恰好坐

满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金=每辆车的租金x租车

辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论.

【详解】（1）解：设原计划租用45座客车x辆，学生总人数为y人，根据题意得：

J45x+15=y

[60（x-l）=y'

答：学生总人数为240人；

（2）解：只租用45座，需要6辆，费用：6x1000=6000（元），

只租用60座，需要4辆，费用：4x1200=4800（元），

•■•4800<6000,

••・单独租用60座客车更合算.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出

二元一次方程组；（2）求出租两种客车各需多少费用.

2.（1）租用两座车共25辆，租用五座车共10辆

（2）租车方案有3种：方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆；方

案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆；方案三：乘2人的车12辆,

乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租；方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，

乘7人的车8辆，租金最低为832元

【分析】①②

本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计

算的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式.

（1）设租用的两座车共能坐学生。人，租用的五座车共能坐学生6人，根据共100名学生

参与了活动，一共花去车费1300元，列出方程组求解即可；

答案第1页，共28页

（2）设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车（24-x-y）辆，根据共100名学生参

与了活动，列出方程组求解即可.

【详解】（1）解：设租用的两座车共能坐学生。人，租用的五座车共能坐学生b人，根据题

-zfe.

思；

,+6=100①

[18。+86=1300②‘

①xl8-②得：106=500,

解得：6=50,

将b=50代入②得：a+50=100,

解得：a=5Q,

则50+2=25（辆），50+5=10（辆），

答：租用两座车共25辆，租用五座车共10辆；

（2）解：设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车（24-x-y）辆，根据题意：

2x+5y+7（24-x-y）=100,即5x+2y=68,

・•.x,y为非负整数，且x+j<24,

fx=8fx=10[x=12

"或c或一

[y=14[y=9[y=4

则大巴车租用的数量依次为：2,5,8,

则租车方案有3种：

方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆，租金为

2x8x18+5x14x8+2x30=908（元）；

方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆，租金为

2x10x18+5x9x8+5x30=870（元）；

方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金为

2x12x18+5x4x8+8x30=832（元）；

•••832<870<908,

.••方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元.

3.（1）1辆/型车可运32吨，1辆3型车可运40吨.

（2）有两种方案：方案一：租/型车7辆，2型车2辆方案二：租/型车2辆，2型车6辆.

答案第2页，共28页

(3)租/型车2辆，8型车6辆，最少租车费为9200元.

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键.

(1)设1辆/型车可运x吨，1辆8型车可运y吨，根据“用5辆/型车和1辆3型车载满

货物一次可运货200吨；用1辆/型车和5辆5型车载满货物一次可运货232吨，”列方程

组求解即可；

(2)根据“某物流公司现有304吨货物待运，计划4型车加辆，5型车"辆，”得出

32加+40〃=304,再根据加，〃都是自然数，即可得出加，"的值，从而得出方案；

(3)由(2)可知两种方案，再将值分别代入两种方案中求出值后再比较即可得出答案.

【详解】(1)解：设1辆/型车可运x吨，1辆8型车可运y吨，

5x+y=200

根据题意可列方程组:

x+5y=232

答：1辆N型车可运32吨，1辆8型车可运40吨.

(2)根据题意得：32加+40"=304

304-40/7

则加二32，且加，〃都是自然数.

当〃=2时，m=7；当力=6时，〃？=2时；

故一共有两种方案：方案一：租/型车7辆，8型车2辆

方案二：租/型车2辆，3型车6辆.

(3)根据题意可知，方案一需租金：7x1000+2x1200=9400(元)

方案二需租金：2x1000+6x1200=9200(元)

•••9400>9200,

••.最省钱的租车方案为方案二：租/型车2辆，3型车6辆，最少租车费为9200元.

4.(1)每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生

(2)最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四

则混合计算的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式.

(1)设小客车能坐。名学生，大客车能坐b名学生，根据用3辆小客车和1辆大客车每次

可运送学生105人;用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人列出方程组求解即可;

答案第3页，共28页

（2）根据（1）所求可得方程20x+45y=340,求出方程的非负整数解即可得到两种方案,

求出两种方案的花费即可得到答案.

【详解】（1）解：设小客车能坐。名学生，大客车能坐6名学生，

3。+6=105

由题意得,

a+2b=l\0

答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生；

（2）解：由题意得，20x+45y=340,

「二34。-45、7_纹

204

•••尤，V都是整数，

二学一定是整数，

4

•1•y一定是4的倍数，

[x=17"8

•'Jn或｛A'

[y=。[y=4

••・一共有2种租车方案：方案一，租用小客车17辆，大客车。辆；方案二：租用小客车8

辆，大客车4辆；

方案一的费用为4000x17=68000（元），

方案二的费用为4000x8+4x8000=64000（元），

68000>64000,

••.最省钱的方案是8辆小客车，4辆大客车，租金为64000元.

5.（1）1辆A型车装满货物一次可运货2吨，1辆3型车装满货物一次可运货3吨

（2）共有3种租车方案，方案一：租用A型车9辆，8型车2辆；方案二：租用A型车6辆，B

型车4辆；方案三：租用A型车3辆，&型车6辆

[分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，

（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆8型车装满货物一次可运货了吨.根据题

意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；

（2）根据题意得：2a+3b=24,进而根据。力均为正整数，求得整数解，即可求解.

【详解】（1）解：设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货》

答案第4页，共28页

吨.

3x+2y=12

根据题意得:

2x+3y=13

1辆A型车装满货物一次可运货2吨，1辆B型车装满货物一次可运货3吨；

(2)根据题意得：2a+36=24

2

•••«,6均为正整数，

\a=91Q=6[a=3

tc或八”或入N

[b=2[6=4[6=6

二.共有3种租车方案，方案一：租用A型车9辆，8型车2辆；

方案二：租用A型车6辆，8型车4辆

方案三：租用A型车3辆，8型车6辆

6.任务一：12；36；任务二：还需从仓库拿100张布料；

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找到题中的等量关系，列出二元一次

方程和二元一次方程组是解题的关键.

(1)设一张该布料裁剪切张豌豆的布料和"张豌豆荚的布料，根据原始布料尺寸和所需布

料尺寸，可以先将原始布料对半裁剪，再根据长度进行裁剪，利用布料长度相等列出二元一

次方程，求出整数解即可；

(2)设用x张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用了张布料按方

案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料，列方程组可得答案.

【详解】解：任务一：设一张该布料裁剪加张豌豆的布料和"张豌豆荚的布料，根据布料尺

寸为80cmx1000cm,豌豆所需布料的尺寸是40cmx40cm,豌豆荚所需布料的尺寸是

40cmx140cm,因此可以先将原始布料对半裁剪，即得到2块40cmxlOOOcm的布料，然后

裁剪所需布料的长度即可.根据裁剪前后布料长度相等，可得：

40m+140n=2000,即2%+7"=100,

...=100-77?,其中机，〃为正整数，

当机=50,77=0,即为方案一：裁剪50张豌豆的布料和。张豌豆荚的布料；

答案第5页，共28页

当机=8,〃=12,即为方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；

当”=4,加=36,即为方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料.

任务二：设用x张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用V张布料

按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料.

8尤+36y=800x3-4x50

12x+4y=800

%=50

解得

y=50

•/50+50=100,

还需从仓库拿100张布料.

答：在没有布料浪费的条件下，还需从仓库拿100张布料.

7.（1）A种型号的汽车每辆进价分别为25万，3种型号的汽车每辆进价分别为10万元；

⑵购买汽车的方案有三种：①A种汽车2辆，8种汽车15辆；②A种汽车4辆，8种汽车10

辆；③A种汽车6辆，3种汽车5辆；

（3）方案①的利润最大，最大利润是95000元.

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用；

（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，8型汽车每辆的进价为了万元，根据题意即可得出

关于x,V的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设A种汽车。辆，8种汽车6辆，则可列二元一次方程为25a+106=200,结合b

均为正整数，即可得出结论；

（3）利用总价=单价x数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论.

【详解】（1）解:设A种汽车每辆x万元，8种汽车每辆为V万元，

[x+2y=45

则可列二元一次方程组为.0,

x=25

解得: