山西省2025届高三年级下册一模数学试题（含答案解析）

山西省2025届高三下学期一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数Z[=6-5i,z2=3+2i,其中i为虚数单位，则4+2?=()

A.9-3iB.9+3iC.9-7iD.9+7i

2.若直线4x-3y-m+2=0被圆尤2+丁=16所截得的弦的长度为4/，则机=()

A.12B.8C.12或-8D.8或一12

3.方差的单位是原数据单位的平方，为了使其与原数据的单位一致，对方差开方得到标准

差.利用方差和标准差可以刻画数据的离散程度或波动幅度.观察下面两组数据：

1,2,3,4,5

1001,1002,1003,1004,1005

它们的方差和标准差相等，但两组数据的数量级不同，两个个位数相差1与两个四位数相差

1,直观感觉应该是不同的.那么，最适合刻画这两组数据离散程度的统计量是()

A.方差B.标准差

原始数据的方差原始数据的标准差

'该组数据的平均数'该组数据的平均数

4.。>1是函数/。)=叫(3“.1/为增函数的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知向量a,5,满足I61=2,且石在苕上的投影向量为—a,则cos〈"=()

4

A.--B.IC.--D.-

2244

2

6.若。=1(^2,6=0.3S,c=_；则a,氏c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

2025

7.已知函数的定义域为R,且/(2x)+/(l—2x)=1,=则£")=

i=0

()

2025

A.0B.2025C.——D.1013

2

8.设A5为圆锥SO底面的一条直径，C为底面圆周上异于A3的一点，。为SO靠近。的

一个三等分点，且二面角S-4。-5与二面角。-3。-4的大小相等，则该圆锥的体积与三

棱锥S-ASC的体积之比是（）

.5口5c小c上

A.一兀B.—71C.--兀D.----7T

4332

二、多选题

9.已知函数/（尤）=4$m（。1+0）（4>0,0>0,0<。<无）的部分图象如图所示，贝！］（）

A.函数/（x）的最小正周期是2

B.（3）=1

2

C.（p=-7t

3

D.函数y=/（x）的图象向右平移!个单位得到一个偶函数的图象

0

22

10.已知椭圆C:土+匕=1,左，右焦点分别为尸I，工，点P是C上的动点，点

164

则下列结论正确的是（）

A.椭圆C的离心率为孚B.|「团+IPMI的最大值为10

C.|尸胤+|9|的最小值为5D.被点Af平分的弦所在直线的斜率为-日

11.已知函数〃x）=：ln尤（”>0）,过点A/（0,a）作平行于x轴的直线交曲线y=f（x）于点N,

曲线y=〃x）在点N处的切线/交y轴于点尸.则（）

2

A.当〃=1时，切线/的方程为》=—冗B.当a=l时，APMN的面积为

e2

C.点尸的坐标为。,“一D.APMN面积的最小值为4至

2

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知等比数列｛q｝的前〃项积为(，若4=32,贝1]。3=.

13.已矢口cos[1+=2c°s(i—0),贝I]tan6=.

14.投掷两枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数分别记为机、n,则能使〃“723帆+〃成立的

数对(m,H)共有对.

四、解答题

15.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

cTi—A.B+C.

(I)求证：2cos---sm---=sinA；

(2)若2(c-a)cossin。=csinC-Z?sinB.

(i)求8；

(ii)若6=5,且VABC的面积为8囱，求VABC的周长.

16.已知函数/■(尤)=/-4/-4(aeR).

(I)判断函数f(x)的单调性；

⑵若存在尤[-4,0],使得/(%)20,求。的取值范围.

17.在三棱柱A8C-A瓦£中，点。在8。上，且用。=2OC,E为线段A。上的动点.

AAl

⑴若E为AC的中点，

(i)在图中画出△ABC的重心G,并说明点G与线段BE的位置关系；

(ii)求证：AC〃平面BDE.

(2)若三棱柱ABC-44cl是棱长均为2的正三棱柱，当二面角E-AB-A为三时，求耳到

平面ABE的距离.

18.2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A,B,C三个工程队负

责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂

痕冰块就不能使用了4,B,C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5,冰块利用率即所

使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8,0,6,0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少

量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出

的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率.

⑴若只取1块，求它是由8队所采的概率；

(2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为求J的分布列和数学期望；

(3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65,那么能否判

断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？

19.定义：任取数列｛〃“｝中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为常数P(P>0),则称数列

｛4｝具有“性质已知项数为〃的数列｛%｝的所有项之和为，且数列｛q｝具有“性质P”.

(1)若〃=4,数列｛凡｝具有“性质2"，且q=1,%=3,写出加“的所有可能值；

⑵若数列｛%｝具有“性质2"，且％=985,n=202.5,证明：“〃25=5。33”是“>4

㈠=1,2,…,2024)”的充要条件；

(3)若数列｛%｝具有“性质P”，其中。为奇数，«1=0,n>2,Mn=0,证明：”或

〃=4〃?+1(相eN*).

试卷第4页，共4页

《山西省2025届高三下学期一模数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ACDAABDBACDABD

题号11

答案BCD

1.A

【分析】根据复数的加法运算求解即可.

【详解】因为4=6-5i,z2=3+2i,则z+z2=(6-5i)+(3+2i)=9-3i.

故选：A.

2.C

【分析】根据条件计算圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可得结果.

【详解】由题意得，圆/+丁=16的圆心坐标为(0,0),半径厂=4.

:弦长/=45/3,

圆心至直线的距离d=«/=而无=2,即点(。,0)至U直线4x—3y—根+2=0的距

离为2,

」_\-m+2\_n.

***d~/2/~2,解得机=12或机=一8.

出+(-3)

故选：C.

3.D

【分析】根据题干以及根据统计量构造的经验，应该除以相同单位的数据更合理，即可选出

答案.

【详解】题中已经明确指出，两组数据的方差和标准差相等，而两组数据的直观感觉是不同

的，

所以排除选项A与B.为了将这种“直观感觉应该是不同的”用统计量表达出来，

需要消除因两组数据数量级不同造成的影响，根据统计量构造的经验，

应该除以相同单位的数据更合理，即与鬻鬻寥W，所以排除C选择D.

该组数据的平均数

故选：D

4.A

答案第1页，共14页

【分析】根据函数/(X)为增函数求出。的取值范围，结合充分条件、必要条件的概念可得

结果.

2

【详解】由函数/(x)=log(3i)x是增函数，得3a-1>1,解得

是函数，(无)=log。.无为增函数的充分不必要条件.

故选：A.

5.A

【分析】利用投影向量公式即可求解.

【详解】设①,母=夕，由5在商上的投影向量为-1,知Wcos6»x力=—；匹解得cosd=-g.

故选：A

6.B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可判断.

【详解】因为函数y=Q3*在R上是减函数，-0.2<0,所以0.3«2>0.3°=1,

112

9

Xlog32=-log38<-log3=->所以a<c<6.

故选：B.

7.D

【分析】根据题干得到函数/(x)是周期为2的函数，又/(0)+/\1)=1,利用周期性即可得

到结果.

【详解】由/(2无)+/(l-2x)=l得/(0)+/⑴=1,且函数/(x)关于点心』对称；

由"1一x)=/(1+x)得/(X+2)=加+(1+X)]=/[1-(1+%)]=/(-%).

又由f(2x)+f(1-2x)=1得f(-x)=l-f(l+x)=l-f(l-x)=l-[l^/(%)]=/(x),

所以+2)=/(-X)=/(%),得函数/。)是周期为2的函数，

2025

当i=0时，/(20+f(2z+l)=7(0)+f⑴=1,故£/(/)=1013[/(0)+/(I)]=1013.

z=0

故选：D

8.B

【分析】在圆。所在平面内，作。W_LAC,作0N_L3C,可得NSMO=NDNO,进而得

到黑=绘=3,设N0=〃7(〃7>°),在RtAABC中分析几何性质可得代=10n?,表示几

NODO

何体的体积可得结果.

答案第2页，共14页

【详解】

在圆。所在平面内，过。作OMLAC,垂足为过。作ONJ.3C,垂足为N,

,:SA=SC,DB=DC,：.SM±AC,DNLBC,

NSMO为二面角S—AC—B的平面角，NEWO为二面角O—3C—A的平面角,

ZSMO=ZDNO.

・・•在RtASOM和•△DON中，tanZSMO=—,tanZDNO=—,

MONO

,SODO

MONO

为so上靠近。的一个三等分点，.•・盥

设NO=皿〃2>0),则MO=3m,底面圆半径为R,圆锥高SO=/z.

:点C在圆锥底面圆上，ACJ_3C,

:点。为AB中点，OM^AC,ONIBC,

：.AC=2ON=2m,BC=2OM=6m,

(2Ry=(2m)2+(6m)2,即尺？=10m2,

1112

•••咚棱锥S-ABC=3S^ABC/=§,5,2m-6mh=2m〜h,

%锥=/R2-h=L兀・lOn?/：©由器,

33

%锥二5兀

匕棱锥S-ABC3

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用二面角的平面角的概念得到NSMO=NDNO,

通过分析RtZXABC的几何性质得到圆锥底面圆半径与AC,的关系，由此可计算体积的比

值.

9.ACD

答案第3页，共14页

—2兀可得选项B错误；将点(g,代

【分析】根据图象可得选项A正确；根据最小正周期丁=

CD

入函数解析式可得选项C正确；根据函数图象平移求出平移之后的函数解析式，结合偶函

数的定义可得选项D正确.

4_£

【详解】.由图可知最小正周期丁=正确.

AA=2,2x3-32,A

2兀

B.由7=2,得—=2,故口=兀，B错误.

3

42sinH+0)=0,

C.将点代入f(x)=2sing+。)中，得/

44

—7i+^=for(A;eZ),即0=兀+E(左£Z),

2

0<^<7T,：,①=三,C正确.

D.由题意得，/(x)=2sinf7LX+|TI

y=/(x)的图象向右平移;个单位，所得函数解析式为

0

2Z7兀1_.71

g(x)=2sinTiH------2sinTCXH—=2cos7rx,

32

由函数g(x)定义域为R,g(-尤)=2cos(-7tx)=2cos(7ix)=g(x)得g(尤)为偶函数，D正确.

故选：ACD.

10.ABD

【分析】根据椭圆标准方程可得选项A正确；结合椭圆的定义转化求最值可得选项B正确,

选项C错误；利用点差法可得选项口正确.

【详解】

A.由题意得。=4,b—2,c=J16—4=2百,故椭圆C的离心率6=£=^^,A正确.

a2

B.由A得，4(—26,0),§(26,。)，=“26-6『+(0-1)2=2.

由椭圆定义得，|尸娟+归阊=2。=8,

答案第4页，共14页

.•.|尸4|+|「河|=8—卢q+归河|=8+（卢”|一户闾）V8+|M^|=8+2=10,B正确.

C.|P^|+|PM|=8-|P^|+|PM|=8-（|P^|-|PM|）＞8-|M^|=8-2=6,C错误.

D.由6包+上＜1可知点”在椭圆内部，设过点”的直线与椭圆相交于点人占另），

164

3（.%），

f无2_|_4y2=]6

•,/；,＜，两式相减，得9）&+龙2）+4（%-%）（%+%）=。，

[%+4%=16

•弦48被点M平分，，药+%=2括，M+%=2,

•••亘二达=-述=-且，即直线的斜率为-且，D正确.

玉一/4x244

故选：ABD.

11.BCD

【分析】由已知得N—M）,尸（无）=£，由点斜式方程即可得切线方程，当X=O,可得尸

的坐标，即可判断C；当0=1时，可判断A；根据面积公式即可判断B；由已知得S=—,

*PMN2a

通过求导即可求解最小值，即可判断D.

【详解】由已知得Nd@,广（H=!，

过点N的切线方程为y一。二一了（x-e"）,当％=0时，y=a—,

则尸（0,。一；|,故C正确；

当4=1时，N（e,l）,则广⑻=：,

以N为切点的切线方程为y-l=#x-e）,即y=5x,故A错误；

此时P（0,0）,APMN的面积S&MN=ge,故B正确；

因为M（O,a）,昨"刊，小,a-：）,

所以|MN|=e"2,\MP\=~,所以5谢=\'/=匚，

1111a"2a2a

令S（a）=:，所以5，伍）="二El,

2a—2a2

答案第5页，共14页

令S'(a)=O,即(2/一l)e『=0,解得°=］，

当0<〃<手寸，S⑷<0,所以函数5,)在„内单调递减，

当时，S'(a)>0,所以函数S⑷在内单调递增，

所以当.5时，函数S(a)有最小值，最小值为年，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：解决选项D的关键是确定点的坐标，构建关于三角形的面积的函数,

利用导数求单调性和最值.

12.2

【分析】根据等比数列下标和的性质计算可得结果.

【详解】由题意得，4=%%。3。4。5，

(二〃3,a2a4=〃3，

・・〃]〃2〃3〃4"5=〃3=32,

a3=2

故答案为：2.

【分析】根据两角和差公式，化简可得cos，-sine=2(cos6+sing),在由同角三角函数的基本

关系即可求解.

【详解】因为cos(：+d所以孝C0S0_曰sin6»=2f—COS0+—sinA

122J

化简得cos9-sin，=2(cos)9+sin(9),所以3sin〃=-COS，，得tan6)=-；.

故答案为：

14.12

【分析】用列表法把所有的基本事件一一列举，即可得到答案.

【详解】由题意知相，”的取值依次为1,2,3,4,5,6,因此可得沏-(3机+”)的取值如

答案第6页，共14页

下表.经检验，符合题中不等式加723根+”的在下表中用下划线标注，相应的数对共有12

对.

\m

mn-(3m+n)\123456

1-3-5-7-9-11-13

2-3-4-5-6-7-8

3-3-3-3-3-3-3

4-3-2-1012

5-3-11357

6-336912

故答案为：12

15.⑴证明见解析

TT

⑵(i)B=~；(ii)16

【分析】(1)根据三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式，即可证明.

(2)(i)结合(1)中的结论，结合正弦定理可得4+,2-巨=双，再用余弦定理可求角反

(ii)利用三角形的面积公式，可得ac=32,再结合余弦定理，可求a+c,进而可求VA3C

的周长.

【详解】(1)因为B+C=TT-A,所以sin"1£=sin?——=cos—.

222

又因为cos^~=sin—,所以原式左边=2sin4.cos4=sinA=右边，得证.

2222

(2)(i)由(1)可得(c—a)sinA=csinC—6sin8.

又由正弦定理得(c-a)。=c2-b2,HPa2+c^~b1=ac.

由余弦定理得cosB=

2ac2

答案第7页，共14页

jr

因为0<3<兀，得B=耳.

(ii)由题知身板=8石，由小.=：acsinB,得ac=32.

又由余弦定理炉-a2+c2-2accosB，可得。°="+d-ac=(a+c)2-3ac,

即25=(a+eV-96,所以a+c=ll.

所以a+6+c=16,故VABC的周长为16.

16.(1)答案见解析

(2)y,-3］

【分析】(1)讨论。的取值范围，根据导函数的正负可得函数的单调性.

(2)讨论。的取值范围，分析函数f(x)在［-4,0］上的最大值，由此可求出”的取值范围.

【详解】(1)由题意得，/(x)的定义域为R,

：/(x)=x3-a%2-4,/.f\x)-3x2-lax=x(3x-2a).

由/'(x)=0得尤=0或;a.

当a=0时，/'(xRO恒成立；

o9

当〃>0时，由/'(%)>0得，xvO或%>§〃，由得0<%<1〃；

o2

当a<0时，由/'(x)>0得，尤>0或由/'(彳)<。得

综上可得：当a=0时，在R上单调递增；

当a>0时，/(x)在(-co,0),上单调递增，在上单调递减；

当a<0时，/(x)在,(0,+co)上单调递增，在［ga,。］上单调递减.

(2)由(1)得a»0时，/(元)在［-4,0］上单调递增，在［-4,0］上最大值为/(0)=T,

故不存在x°e［-4,0］,使得/(%)之0.

当a<0时，若(aV-4,即aV-6,则了。)在HKO］上单调递减，/(彳)在［-4,0］上的最大

值为/(-4)=-16。-68.

若存在X。€［-4,0］,使得〃飞”0,只需一16。―6820,解得aV-1，故aW-6.

若即-6<。<0,则/(x)在-4,y上单调递增，在y,0上单调递减，/(x)在

答案第8页，共14页

[TO]上最大值为=一》3一4,

若存在x°w[-4,0],使得〃1)2。，只需一孩/一心。，解得-6<aW-3.

综上可得，。的取值范围为(口，-引.

【点睛】关键点点睛：解决第(2)问的关键是结合〃的取值范围，分析函数/Q)在[-4,0]上

的最大值，根据最大值大于等于0可求得。的取值范围.

17.(1)(i)作图见解析，点G在线段BE上；(ii)证明见解析

⑵百

【分析】(1)(i)利用重心的性质即可判断点G在线段BE上.

(ii)利用重心性质与对应线段比例即可证明AC〃平面BOE

(2)建立空间直角坐标系，设迎=/1可，可知Xe(0,l),所以E(424月-四)，再利

用面面角的向量求法即可求出参数4,再利用点面距的向量求法即可求出结果.

【详解】(1)(i)连结Af,A片交于点。，连结CO1交于点G.

因为01为的中点，E为的中点，

所以6为442(^的重心，所以CG=2GO[.

又因为CO1为耳C的中线，

所以点G也为△△4c的重心，所以点G在线段BE上.

(ii)连结与G,并延长交AC于点/，连结。G.

因为G为△AB。的重心，所以qG=2GF.

又因为B|D=2OC,所以。G〃b,即DG〃AC.

又因为ACC平面3£)E,OGu平面3QE,所以AC〃平面出汨.

答案第9页，共14页

(2)取AB的中点。.

因为ABC-A耳G为棱长相等的正三棱柱，所以VA3C为正三角形，所以COLAS.

又因为在正三棱柱中8与，平面ABC,所以COJ.B与，ABVBBX.

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。町z.

则C(0,0,®A(l,0,0),A(1,2,0),3(11,0,0),男(-1,2,0),

设区=4"，可知2e(0,l),所以£U,2；l,声-®I),

所以荏=(-2,0,0),BE=(A+1,22,73-^2).

m-AB=0,-2x=0,

设平面ME的法向量为抗=(x,y,z),则I__,所以＜

m-BE=0,(几+l)x+2几y+(用一后)Z=0.

令z=l,则可得­=]o,弋;石,1.

易知平面ABA的一个法向量为为=(0,0/),

11

兀I阳•为I-=-11

所以cosq」即23(52解得丸二—1(舍)，或％=

3h\*m\-\n\——一十13

VA422

(122,\/3)

所以石J5J,-，沅=(0,-6,1).又4A=(2,-2,0),

则修到平面小的距离公”

7

18.(1)—

18

答案第10页，共14页

2

（2）分布列见解析，§

⑶不能，建议见解析

【分析】）（1）利用比例关系即可求出概率.

（2）利用二项分布求出J的分布列，利用期望公式即可得到答案.

（3）利用条件概率求出今年冰块的利用率约为0.67,即可得到判断给出建议.

【详解】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块

中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的.

因为A,B,C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5,

77

所以若只取1块，它是8队所采的概率为尸=，r

（2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响，

即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取.

设事件A,B,C分别表示随机抽取的一块冰是由A,B,C二个队分别采回的，

6

与（1）同理可求得若只取1块，则尸（A）=[tu==,

6+7+53

由B,C两队所采的概率为P（A）=1-P（A）=§.

依题意可知&的取值为0,1,2,且4~（2,£|.

所以人=。）=《朗|"，尸一）=小酒J,Pg=需冏e

所以4的分布列为：

012

44£

P

999

412

数学期望E'©=1X3+2X§=§.

775

（3）设事件。表示冰块被利用，由（2）知尸（8）=，rJU，^（O=—.

所以尸A）=0.8,尸（q8A0.6,P（£>|C）=0.6.

又尸（£））二尸（ADu班）uCD）=尸⑷尸（D|A）+尸⑻尸（D⑻+尸（C）尸（£>|C）

1752

=—x0.8+—x0.6+—x0.6=—“0.67,即今年冰块的禾!1用率约为0.67.

318183

答案第11页，共14页

可见，今年冰块的利用率比往年提升了约0.67-0.65=2%.

但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著，

可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断.

19.(1)4,8,12

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)根据定义计算出吗的值，列出所有符合要求的数列，即可得到结果.

(2)从充分性和必要性两个方面证明可得结论成立.

(3)令ck=&+「&*=1,2,…,”一