三角函数与解三角形-2024年北京高考数学复习分类汇编（解析版）

专题17三角函数与解三角形

、.冗

1.(2023•北京)已知函数/(x)=sindxrcos0+cosG%sin0,0>0,\(p\<—.

(I)若/(0)=一冬求9的值；

(II)若在［-上单调递增，且;■(与)=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一

个作为已知，求。、°的值.

条件①：/(y)=1；

条件②：/(-y)=-l；

条件③：“X)在［一年，一?上单调递减.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】见解析

【详解】(I)因为函数/(x)=sins:cos0+cos5sin0=sin3>x+e),

所以f(0)=sin(p=一号,

又因为|如<］,所以夕=—g.

(II)若选①:吗)=1；

因为f(g)=l,

所以/(幻在x和*=与时取得最大值1,这与/(无)在［-(,g］上单调递增矛盾，所以0、9的值不

存在.

若选②：/(--)=-1;

因为〃无)在［］,争上单调递增，且/咛)=1,

所以〃x)在x=-g时取得最小值-1,》=与时取得最大值1,

所以了(元)的最小正周期为T=2x仔+至=2万，计算。=爷=1,

又因为f(与)=sin(^+Q)=1,所以与+°=2左万+5，k&Z,

角军得cp=2kn-W，keZ,,

又因为|°|＜生，所以夕=—工；

26

若选③：/（X）在［q，一？上单调递减，因为/⑴在［_（,予上单调递增，且/仔）=1,

所以/（X）在尤=-（时取得最小值-1,x=g时取得最大值1,

所以〃尤）的最小正周期为T=2x（^+?=2;r,所以。=半=1,

又因为/（g）=sin（g+⑼=1,所以g+e=24万+］,AeZ,

'rr

解得（p-2kjr――fkeZ,,

又因为|例＜工，所以9=一工.

26

2.（2022•北京）在AABC中，sin2C=sinC.

(I)求NC；

（II）若》=6,且AABC的面积为6如，求AABC的周长.

【答案】见解析

【详解】(I)sin2C=y/3sinC,

2sinCeosC=A/3sinC,

又sinCw0,/.2cosC=6，

cosC=——,0vCv万,

2

(II)•.・AABC的面积为6石,

—absinC=6-j3,

2

又b=6,C=—J

6

11

—xtzx6x—=6^r3，

22

/.a=4^/3,

a1+/_2

又cosC=c

lab

.73(4^3)2+62-C2

一2-2X4A/3X6'

c=2^/3,

:.a+b+c=6+6-Ji，

，AABC的周长为6+6/.

2万

3.(2021•北京)在AA5c中，c=2bcosB,NC=—.

3

(I)求ZB；

(II)在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在且唯一确定，并求3c边

上的中线的长.

条件①c=~Jlb；

条件②AABC的周长为4+2^；

条件③AABC的面积为主叵.

4

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

【答案】见解析

【详角军】(I)\,c=2bcosB,

由正弦定理可得sinC=2sin6cos6,即sin。=sin26,

―2万

JC=——，

3

，当。二26时，5=-,即。+3=»,不符合题意，舍去，

3

:.C+2B=兀,

:.2B=-,

3

即3=工.

6

(II)选①c=\[2b,

由正弦定理可得

c=sinC=^_=^＞与已知条件。=叵矛盾，故AABC不存在，

bsinB1

2

选②周长为4+26，

•;C=M,B，,

36

,兀

•，•A=--9

6

由正弦定理可得“一=―竺=^=2R,即==，=—%=2R,

sinAsinBsinCLL

22T

/.a=R,b=R,c=y(3R,

a+Z?+c=(2+yJ^)R-4+2^/5^,

..R=2,即。=2,b=2,c-2^/5,

.•.AABC存在且唯一确定，

设的中点为

.•.CD=1,

在AACD中，运用余弦定理，AD?=AC2+CZ)2—2ACC»COSNC,

即3=4+1—2x2xlx(—g)=7,AD=yf7,

.•.6。边上的中线的长度近.

选③面积为S.8C=5^，

•・•A=B=~,

6

:.a=b,

/.S^r=—absinC=—a2x—=,解得〃=指,

2224

余弦定理可得

AZ)2=AC2+CD2-2xACxCDxcos—=3+-+^x—=—,

3424

s后

AD=-----•

2

4.(2020•北京)在AABC中，a+b=ll,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求:

(I)。的值；

(II)sinC和AABC的面积.

条件①：c=7,cosA=--；

7

条件②：cosA=—,cosB=—.

816

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】见解析

【详解】选择条件①（I）由余弦定理得储=/+。2一2"8$4,即/一/二49—14〃x（—；）=49+2〃，

（a+b）（a—Z?）=49+2Z?,

・「a+h=ll,

/.11^-11Z?=49+2Z?,

即Ila—136=49,

联立［Mi

解得a=8,b=3,

故a=8.

(II)在AABC中，sinA>0,

.4L-----rr473

/.smA=A/1—COSA=-----,

7

由正弦定理可得

sinAsinC

7W[

.-csinAX7G

a82

*'•^AABC=；Q〃sinC=：x8x3x*=66.

选择条件②(I)在AABC中，sinA>0,sinB>0,C=7r-(A+B),

1「9

cosAx.——,cosB——,

816

/.sinA=\/l-cos2A=,sin5=\J1-COS2B=,

816

由正弦定理可得—=―心，

sinAsinB

asinA_6

bsinB5

・「a+〃=ll,

..a—6,b=5,

故a=6；

(II)在AABC中，C=7r-(A+B),

■「•0、.,.3A/795A/71A/7

/.sinC=sin(A+B)=smAcosBD+cosA4smBD=-----x——+------x—=——,

8161684

.0一1,•1A<V7_15A/7

..DAp——absinC——xox5x-------------

AABrC2244

5.(2023•朝阳区一模)设函数/(x)=AsinGXcos@x+cos2Gx(A>0,0>0),从条件①、条件②、条件③这

三个条件中选择两个作为己知，使得了(幻存在.

(1)求函数〃尤)的解析式；

(2)求了⑺在区间呜］上的最大值和最小值.

条件①：/(x)=/(-%);

条件②：/(X)的最大值为g;

条件③：/(%)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为T.

注：如果选择的条件不符合要求，得。分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分.

【答案】见解析

【详解】(1)若选择条件①，

、AAA

因为/(x)=—sin2a)x+cos2cox,所以f(-x)=—sin(-2G%)+cos2sin2cox+cos2cox,

由/(%)=/(-%)可得Asin2<uv=。对恒成立，与A>0，G>。矛盾，

所以选择条件②③，

由题意可得/(-x)=Asin(一妙)cos(-s)+cos2(一GX)=-Asin2s+cos2cox,

7171

设——<67<——,

22

2

A11JA_i_11

由题意可得/(x)=—sinICDX+—cos2①x+—=----------sin(2ox+0)+一,

22222

其中cos67=/,sin。=i1

因为了(尤)的最大值为：，所以当至+<=^,解得4=后,

所以sin9=！，(p=—,

26

由/(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为|•可得(=9,

所以T=---=71、解得G=l,

2G

JT1

所以f(x)=sin(2xH——)+—.

62

(2)由正弦函数的图象可得当xe[O,[时，2x+-e[-,—],sin(2x+-)e[-1,1],

266662

所以/(龙)在区间[o,g上的最大值为g,最小值为o.

6.(2023•西城区一模)如图，在AWC中，ZA=—,AC=应，CD平分NACB交AB于点。，CD=石.

3

(I)求NADC的值；

(II)求ABCD的面积.

【详解】（I）在AADC中，由正弦定理可得，———=，匕

sinZADCsinA

,L

.AC-sinA"2也

贝miUlsmZADC=--------=----=—，

CD732

7t

«.•0<ZAZ?C<-,

3

（II）由（/）可知，AXCD=n--7t--=—,

3412

CD平分NACB交AB于点。，

71

...ZACB=-

6f

71

..ZB=ZADC-ZBCD=-,

6

「.AABC为等腰三角形，

二.BC=2xACxcos—=y/6,

6

./\rr\6

•.・sinZACD=si.n（/---兀----）、=——x--叵-------'-x也——=--7--6----7--2--,

3422224

.•.ABCD的面积为Lx8CxCT>xsinZACZ）=Lx#x若乂通一®=36-3

2244

7.（2023•东城区一模）已知函数/（元）=$也尤+5侬*+|0.

(I)求/(%)的最小正周期;

(II)若％=2是函数y=/(尤)一/(%+0)(0>0)的一个零点，求°的最小值.

6

【答案】见解析

【详解】(I)因为/(%)=5111%+5111(%+事)=5111%+(51口无+*cosx=Tsinx+*cos%=Gsin(x+E)，

所以/(九)的最小正周期为2万；

(II)由题设y=f(x)-f(x+°)=百sin(x+-)-y/3sin(x+—+(p),

66

由x是该函数零点可知,百5皿看+?)一百sin(£+?+9)=0,即sing+夕)=，，

故一+0=——F2k万，keZ,或——\-(p=----F2k兀，keZ,

3333

、TC

解得(p=2k兀,keZ或(p=i+2k兀,keZ,

因为9>0,所以9的最小值为

8.(2023•丰台区一模)已知函数/(x)=2sin(s+0)3>O,0<°</)的部分图象如图所示.

(1)求了(%)的解析式；

(2)若函数g(X)="x)sinx,求g(x)在区间［0,刍上的最大值和最小值.

【答案】见解析

【详解】(1)由图象可知：7=4(—--)=2^,

44

@二1,

将点(£,2)代入y"(无)得/(£)=2sin(£+°)=2,

444

71

'.cp=—F2k7i,kQZ,

4

・「0<夕<万，

71

(D——,

4

71

：./(x)=2sin(x+—)；；

(2)g(x)=f(x)sinx=A/2sinx(sinx+cosx)=(sinlx—cos2x)+=sin(2x-—)+，

由尤e[0,£]得勺，

4444

当2%-5=-5时,即％=0，g(%)加加=。，

当2》一"="时，即x=gg(x)s=^.

3

9.(2023•顺义区二模)在AABC中，a=6,sinA=-sinB.

2

(I)求6；

(II)在下列三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在且唯一确定，并求AABC的面积.

条件①：ZB=—；

3

条件②：边上中线的长为J万；

条件③：sinB=sin2A.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】见解析

【详解】(/)因为sinA=]Sin3,

在AABC中，由正弦定理一匕=—也，

sinAsinB

可得：a=—b，

2

又因为a=6，

所以b=4；

(II)选择条件①,

因为COS8/+L*

2ac

36+C2-16

所以—

212c

贝！|C2+6C+20=0,无解;

选择条件②,

设3C边上的中线为AD,贝1|AD=&7,CD=3,在AACD中，由余弦定理得:

222222

「AC+CD-AD4+3-(#7)1

cosC=------------------------=----------------------=—,

2ACCD2x4x33

因为cosC=；,Ce(0,%),所以sinC=J1-COS2C=¥

ii2XF1r-

所以MBC的面积为3=—。/^诂。=一、6乂4>^^=8尤；

223

选择条件③，

、3

由题设，因为sin2A=2sinAcosA,所以sin5=2sinAcosA,因为sinA=—sinB,所以sin5=3sinBcosA,

2

因为5e(0,»),所以sin5w0,

所以cosA=—,

3

由余弦定理片=。2+，—2bccosA可得：

1

36=16+c92-2x4xcx—,

3

整理得3c之一8c—60=0,解得c=6或一W(舍)，

3

因为cosA=g,A£(0,1),所以sinA=Jl一cos?A=,

所以AABC的面积为5=工6csinA=^x4x6x^l=8a.

223

10.(2023•石景山区一模)如图，在AABC中，AC=4应，C=-,点。在边BC上，cosZADB=~.

63

(I)求4)的长；

(II)若AABD的面积为2&,求AB的长.

【答案】见解析

【详解】(I)cosZADB=-,cosZADC=~-且OvNADCv万，

33

sinZADC=Jl-(1)2=半,

根据正弦定理*_=,

sinZCsinZADC

—曰sACsinZC.nr13.

可得AD=------------=4^2x—x—产=3；

sinZADC220

26

(II)・・・sinNAZ>5=sin(4—ZADC)=sinZADC=^-

•••1AD-BD-sinZADB=yf2BD,

y/2BD=2A/2,得BD=2,

又cosZ.ADB=cos(乃-ZADC)=-cosZADC=：,

2

由余弦定理得AB?=32+2-2X3X2X-=9,

3

AB=3.

11.(2023•东城区二模)在AABC中，bsinA-acos-=0.

2

(I)求ZB；

(II)若b=3,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在且唯一确

定，求。及AABC的面积.

条件①：sinA+sinC=2sinB；

条件②：c=y/3；

条件③：tzc=10.

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

【答案】见解析

【详解】(I)由正弦定理得sinAsin5-sinA-sinAcosO=0,/.sinB-cos—=0,

22

因为0<0〈工，所以々cos'w0.

222

ma.51B7t„n

所以sin—=—,—=—,B=—.

22263

(II)选条件①：sinA+sinC=2sinB.

jr

因为〃=3,5=sinA+sinC=2sin6.

由正弦定理得a+c=2&=6,由余弦定理得9=/+。2一QC=(〃+C)2—3〃C

解得ac=9.

所以SAABC=|acsinB=^.

由卜立，解得a=3.

[a+c=6,

选条件②：c=6

已知5=工)=3,c=6,由正弦定理得sinC=£sin3=',

3b2

因为cvb,

所以C=&，A=—,.a=y/b2+c2=2』.

62

所以SMBC=；bc=^^・

选条件③：ac=10,由余弦定理得9=Q2+。2—〃=（Q+C）2一3〃。，gpa-^c=y/39,

所以〃（屈一。）二10,即〃_扬〃+10=0,因为（如产一4x10=—1<0,

所以不存在。使得AABC存在.

12.(2023•海淀区二模)已知函数f(x)=asinxcosx+cos(2x+^-),且/(?)=；,

(1)求。的值和/(%)的最小正周期；

(2)求/(%)在［0,%］上的单调递增区间.

【答案】见解析

【详解】(1)因为/(x)=asinxcos%+cos(2x+令，且/(?)=g,

所以/(—)=CLsin—cos—+cos(2x—+—)=-,

444462222

解得。=2,

所以/(%)—2sinxcosx+cos(2x+令=sin2x+cos2xcos看—sin2xsin看

—sin2x4cos2xsin2x—cos2x4sin2x—sin(2xH),

22223

即/(%)=sin(2x+y),

O■rr

所以了(元)的最小正周期7=§=万；

(2)由一至+2AT微必x+工—+2kTi,keZ,

232

解得——+左通！k巴+k兀,左£Z,

1212

所以f(x)=Sin(2x+1)的单调递增区间为［-||+左匹［+左加，左£Z,

当左=0时，/(%)的单调递增区间为［—言会

当左=1时，/(%)的单调递增区间为［卫,史］,

所以/(无)在[0,句上的单调递增区间为。工]，[卫，力.

1212

13.(2023•西城区二模)已知函数/(%)=$111(2%+0)+8$2%,其中|夕|<1.再从条件①、条件②、条件③

中选择一个作为已知，使“X)存在，并完成下列两个问题.

(I)求。的值；

(II)当xe[-工，勺时，若曲线y=/(x)与直线y=%恰有一个公共点，求机的取值范围.

63

条件①：f(^)=-l;

条件②：-春是“X)的一个零点；

条件③：f(0)=/(j).

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】见解析

【详解】(I)选①时，/(a=sing+0)+cos(g)=-1,即sin(5+e)=_]_cos(q)=_]_<=一■!，

sin(g+9)最小值是-1,故选条件①时，/(x)不存在；

选②时，/(一_—)=sin(-—+(p)+cos(--)=0,

1266

EPsin(-—+(p)=-cos(--)=--，

662

rCLI、I17C__p,TC47r_,

n\以---(P=----------F2k77i，k7JZ,或i------F0=--------F，kGZ.

6363

兀_3兀

(P------F2&7T，kGZ,(p-------F2左TT，左£Z,

62

因为，所以e=q；

选③时，/(0)=sin^+cosO=sin^+l,/(§)=sin(w+°)+cos彳=sin(§+9)-5.

即sin°+l=sin(夸+0)一；，

日口.1百1.1

B|Jsm^+l=-^-cos^---,

整理得OsinQ一^^COSQ=，

222

利用辅助角公式得石sin(夕-生)=-』，即sin(p-e)=-走，由选②同理可知0=-工；

62626

(II)由(I)可知9=一工，

贝U/(x)=sin(2龙-3)+cos2x=-sin2x--cos2x+cos2x=—sin2x+—cos2x=sin(2元+,

8

(1)求AABC的面积；

(2)求c及sinA的值.

【答案】见解析

【详解】(1)由cosC='且0<C<%,则sinC=』包，

88

所以S^c=gabsinC=

(2)由c2=a2+b2—2"cosC=16+25—5=36,贝!Jc=6,

=则sinA=^^=也.

sinCsinAc4

15.(2023•海淀区一模)在AABC中，6sin2A=gasinB.

(I)求ZA；

(II)若AABC的面积为36，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使AABC存

在且唯一确定，求。的值.

条件①：sinC=RI；条件②：2=±8；条件③：*=叵

7c47

注：如果选择的条件不符合要求，第(〃)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答

计分.

【答案】见解析

【详解】(I)因为。sin2A=J5asinB,由正弦定理得，sinBsin2A=y/3sinAsinB,

又5c(0,»),所以sin5w0,得至！Jsin2A=GsinA,

又sin2A=2sinAcosA,所以2sinAcosA=6sinA,

又AW(0,TT),所以sinAwO,得到cosA=立，所以A=2；

26

(II)选条件①：sinC=£I；

7

2"

由(1)知，A=-,根据正弦定理知，-=­=^-=—>1,即c>“，

6asinA7

2

所以角C有锐角或钝角两种情况，AABC存在，但不唯一，故不选此条件.

选条件②：叽空;

c4

因为5MBe=^besinA=^bcsm^=-^bc=3^,所以be=12百,

又2=氧|,得到6=拽^,代入m=12g,得到更c2=i2g,解得c=4,所以6=3若，

c444

由余弦定理得，a2=Z?2+C2-2Z7CCOSA=(3A/3)2+42-2x373x4x^=27+16-36=7,所以a=77.

选条件③：cosC=叵;

7

因为SMBC=3^csinA=gocsin?=1oc=3/，所以Z?c=12百,

由cosC=，得至ljsinC=A/1-COS2C=.11--=^2-,

7V497

jr

又sin5=sin(»—A—C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,由(1)知4=—,

6

所以sinB」x画+也x@=通，

277214

又由正弦定理得2=皿=^^=空，得至Ij6=^c,代入6c=12退，得至I］述c?=i2若，解得。=4,

csinC2J7444

7

所以Z?=3A/3,

由余弦定理得，a2=Z72+C2-2/7CCOSA=(3T3)2+42-2X3A/3X4X—=27+16-36=7,所以。=曲.

2

16.（2023•丰台区二模）在四边形ABCD中，AB=1,CD=DA=2,BC=3,再从条件①、条件②这两个

条件中选择一个作为已知，解决下列问题.

（I）求班）的长;

(II)求四边形ABCD的面积.

条件①：cosZDBC=—；

3

条件②：ZDCB+ZDAB=TT.

【答案】见解析

【详解】（I）选①，在ABC。中，3C=3,CD=2,cosZDBC=—

3

由余弦定理可得cosZDBC=BD2+BC2-CD。,

2BDBC

可得或=也上々，

32x3x5。

整理可得—2b5D+5=0,

解得89=百；

、小।z.-j-m―曰/n4c+AZ)2—BD?I2+22—BD^5-BD^

选②，在MBD中，由余弦TE理可得cosNBAD=-----------------------=------------------=-----------，

2ABAD2x1x24

六「八>…-口占E-r，曰小「八BC2+CD2-BD231+21-BD213-BD2

在ABCD中，由余弦定理可得cosN3CD=------------------------=------------------=------------,

2BCCD2x2x312

因为NDCB+NH4B=%,

C_DF)21Q_DF)2

所以cosNa4D+cosN3CD=0,即:——+———=0,解得BD=S.

412

(II)选①，由(I)BD=如，sinNDBC=J1-cos2NDBC=2,

3

可得心8=|BDJBC-sinZDBC=1x^/5x3x|=A/5,

在AAfiD中，因为AB'AO'BD2,可得AB_L">,可得鼠初AD=：xlx2=l,

所以四边形ABCD的面积5=5枷°+5M8=如+1;

选②，由(I)BD=@,

在MBD中，由余弦定理可得cosNDAB=R+S-M=F+Z—M=_J_,

2ABAD2x1x22

可得sinNDAB=Jl-cos^NDAB=走,可得=-AB-AD-sinZDAB=-xlx2x—,

在ABCD中，由余弦定理可得cos/BCD=5c?+'―A灰=学+展—(币*=j_,可得sinN5c。=走，

2BCCD2x2x322

可得%8=（3CCO.sinN5cD=；x2x3x弓二¥，

所以四边形ABCD的面积S=SM5£）+S^CD=~~+=2百.

17.(2023•房山区一模)已知函数/(jr)=sin(cu%+0)(G>O,0<°〈万)的最小正周期为万.

(1)求g值；

(2)再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定了(X)的解析式.设函数

g(x)=/(%)-2sin2%,求g(x)的单调增区间.条件①：/(X)是偶函数；条件②：/(X)图象过点(三,1)；条

6

件③：人无)图象的一个对称中心为(||,0).注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给

分.

【答案】见解析

_OJr

【详解】⑴由条件可知，—=71,解得0=2；

CD

(2)由(1)可知，f(x)=sin(2x+(p){co>0,0<夕〈万)，

若选择条件①：/(乃是偶函数，

-JT

所以2x0+o=——Fk兀、左£Z,

2

因为0<°〈万，

所以0=(,

■JT

所以f(x)=sin(2x+—)=cos2x,

所以g(x)=cos2x-2sin2x=cos2x+cos2x—1=2cos2x-l,

令-7i+2左通必r2kji,keZ,

77-

解得---F左技!kkji,左£Z,

2

函数g(x)的递增区间是[-1+k7t,k%],k&Z;

若选择条件②：于(X)图象过点(-,1)，

6

jrjr

贝lj/(—)=sin(2x——F0)=1,

66

贝!Jg+0=]+2k兀,keZ,即夕二g+2左犯kwZ,

因为Ov°<»，

所以夕=2

所以/(x)=sin(2xd——)，

6

所以g(x)=sin(2x+?)-2sin2x=~~~s^n2x+geos2x+cos2x-l=^-sin2x+geos2x-1=A/3sin(2x+^)-1,

令一二+2左感©%+二—+Ikn,k^Z,

232

解得：-米+左成觌—+^,

1212

所以g(x)的单调递增区间是+左凡展+左加水£Z.

如选择条件③：于(X)图象的一个对称中心为(尢■,()),

5454

所以2x----\-(p=kn,左wZ,(p=k7T------,

126

因为。所以夕=看

jr

所以/(%)=sin(2xH——)，

6

所以g(犬)=sin(2x+—)-2sin2x=^^sin2x+—cos2x+cos2x-l=-sin2x+—cos2无一1=Gsin(2x+-)-1，

622223

令一二+2左展电工+e—+2kn,k^Z,

232

解得—包+版麴I—+k7i,

1212

所以g(x)的单调递增区间是［-||+0噌+keZ.

18.(2023•平谷区一模)在AABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,且atanB=2Z?sinA.

(1)求角5的大小;

(2)若3C=4,A=生，求AABC的面积.

4

【答案】见解析

【详解】(1)atanB=2〃sinA,

/.sinA--------=2sinB-sinA,

cos5

\,0<A<7r,0<B<7r,

/.sinA>0,sinB>0,

二.cosB=—,

2

\,0<B<7Tf

・•.B=-；

3

(2)由(1)知，B=-

39

4兀

*:A=一,

4

C=7r—A—B，

.V21A/27376+^

sinC=sm(A+B)=sinAcosB+cosAsmBD=——x—+——x——=-----------,

22224

4XA/6+V|

由正弦定理^=-^,^c=a'SmC=----/一=2+2-，

sinAsinCsinA/2

~T

故％c=|acsinB=1x4x(2+2^)x^=6+2V3.

19.(2023•通州区一模)在AABC*中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinAcosB=2sinA—cosAsinB.

(i)求电£的值；

sinA

(2)若6=3,从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得A/WC存在且唯一确定，求AABC的面积.

条件①：cos8=U;条件②：sinC=巫；条件③：AABC的周长为9.

164

【答案】见解析

【详解】(1)sinAcosB—2sinA—cosAsinB,则2sinA=sinAcosB+cosAsin3=sin(A+B)=sinC,

.sinC

..------=z；

sinA

(2)由(1)得sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,

z72+62_*.47—911

若选条件①：由余弦定理得cos5="+。"，即"+4。'J,

lac4〃16

又a>0,角军得a=2,贝！Jc=4,

此时AABC存在且唯一确定，

jjr

­/cosB=—>0,则5£(0,—),

162

/.sinB=^1-cos2B=,

16

.q-1.nJ°/3厉3A

..S二-acsinB=-x2x4x-------=----------；

22164

若选条件②：即C>A,

若C为锐角，则cosC=A/1—sin2C=—,

4

/4—―21,Q_4/o

由余弦定理cosC="，即1+”例，整理得2a2+〃_6=0,且〃>0,解得〃=士，贝Uc=3；

2ab46a2

若。为钝角，则cosC=-J1-Sil?C=—L

4

由余弦定理得cosC="，即—_L=Q十"，整理得2片—a—6=0,且a>0,解得4=2,贝lc=4；

lab46a

综上所述，此时AABC存在但不唯一确定，不合题意；

若条件③：由题意得a+〃+c=9,即a+3+2a=9,解得。=2,贝!Jc=4,

此时AABC存在且唯一确定,

22—

rArJL,-j-m/R-6Z+t?2—Z?4+16911

由余弦定理得cosB=---------------=-------------=—>0,

2ac2x2x416

则BG(0,—),sin3=A/1-COS2B=

216

=L"、2x4工迎

22164

20.（2023•海淀区校级模拟）在AABC中，,cosA=—

a510

（I）求证：AABC为等腰三角形;

（II）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在且唯一，求6的值.

条件①：ZB=—；

6

条件②：A4BC的面积为”;

2

条件③：池边上的高为3.

【答案】见解析

【详解】（I）证明：因为在AABC中,

所以由正弦定理可得包或，所以粤刍=叵，解得sin8=3,

asinA3，1055

10

因为2=巫<1,即6<°,可得3为锐角,

a5

所以cosB=y/1—sin2B=',

所以cosC=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=一^^x—+3yx—==cosA,

10510510

又A,Cw(0,»),

所以A=C,即AABC为等腰三角形，得证;

(II)若选条件①：因为N5=