2025年中考数学复习三角形综合压轴题 专项训练题

年中考数学复习三角形综合压轴题专项训练题1．（2025•重庆模拟）在等腰△ABC中，AC＝BC，点D在BC边上．（1）如图1，D是靠近C点的三等分点，N是AB的中点，，求腰长AC；（2）如图2，点E在CA的延长线上，连接ED交AB于H，其中FC＝AE＝BD，若点G是AF的中点且AD＝2GH；探究FD与AH的数量关系并证明；（3）如图3，若∠C＝45°，平面内有一动点C′，平面内有一动点P，满足∠C′AP＝∠C′BA且，直接写出△AC′P的面积．2．（2025•长春一模）【问题呈现】数学兴趣小组利用一副三角板进行实验探究活动．若在△ABC与△MDN中，∠BAC＝∠MDN＝90°，∠B＝45°，点D在线段BC上，DM、DN分别交边AB、AC于点E、F．若将△MDN绕点D旋转【问题解决】证明过程如下：证明：如图①，连接EF，取EF中点O证明过程缺失：∴点A、E、D、F在以点O为圆心为半径的圆上．补全证明中缺失的过程．【结论应用】如图②，若将△MDN绕点D旋转，使得EF∥BC，直接写出∠ADF的度数．【拓展提升】如图③，若点D为BC中点，连接AD、EF交于点Q．（填序号）①∠AFE＝∠ADE；②；③若AC＝2，则四边形AEDF周长的最小值为4；④．3．（2025•来安县一模）点O在凸四边形ABCD内，OA＝OD，OA⊥OD，OB⊥OC．（1）如图1，若AC，BD交于点E．（i）求证：AC＝BD；（ii）求证：AC⊥BD；（2）如图2，M为AB的中点，连接MO并延长交CD于点N，求4．（2025•西城区校级模拟）小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，什么时候他们离对方最近呢？小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，点D以1cm/s的速度从点C向点B运动，当点E到达点B时，两点同时停止运动，E同时出发，多长时间后DE取得最小值？小超猜想当DE⊥AB时，DE最小，探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，设C，D两点间的距离为xcm，D，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小超的探究过程，请补充完整：（1）由题意可知线段AE和CD的数量关系是；（2）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：x/cm012345y/cm6.04.83.82.73.0（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（3）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题，小超的猜想；（填“正确”或“不正确”）当两点同时出发了s时，DE取得最小值，为cm．5．（2025•邯山区校级一模）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，△ABC和△DMN均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠MDN＝90°，△DMN绕点D旋转，连接AM、CN．观察猜想：（1）在△DMN旋转过程中，AM与CN的数量关系为；实践发现：（2）当点M、N在△ABC内且C、M、N三点共线时，求证：CM-AM=√2DM；解决问题：（3）若△ABC中，AB＝，当AM＝且C、M、N三点共线时，直接写出DM的长．6．（2025•峰峰矿区校级一模）如图1，C，O，B三点在同一条直线上，点A在线段OC上，且OA＝OD，AC＝DE，AE．（1）求证：AE＝CD；（2）写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，OC，OE两根长度相等的木棍固定在点O处，点D在木棍OE上，AE与CD是两根皮筋，E固定，改变皮筋端点A，始终保持OA＝OD，且皮筋处于绷直状态，则∠CFE（填“增加”或“减少”）度．7．（2025•丰满区校级模拟）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，要求所画的三角形的顶点及线段的端点均在格点上，不要求写出画法（1）在图①中，以AB为腰画一个等腰直角三角形ABE；（2）在图②中，作线段CD⊥AB（画一条即可）；（3）在图③中，画线段FG，使FG与AB的夹角为45°（画一条即可）．8．（2025•安州区模拟）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G（1）如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是；（2）如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；（3）如图3，当AE＞EC，FB＞BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．9．（2025•安陆市校级模拟）【问题情境】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，点E是DB上一点，过点A作AF⊥CE于F，交CD于点G．（1）【特例证明】如图1，当k＝1时，求证：DG＝DE；（2）【类比探究】如图2，当k≠1时，（1）中的结论是否还成立？若成立，若不成立，请指出此时DG与DE的数量关系；（3）【拓展运用】如图3，连接DF，若k＝，DG＝3，求DF的长．10．（2025•徐汇区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，点D是边AC的中点，点M、N是射线BD上的动点（点M在左边）（1）求BD的长；（2）当点M是△ABC的重心时，求CN：BN的值；（3）如果△MCN是以MN为腰的等腰三角形，求BM的长．11．（2025•大渡口区模拟）如图1，在Rt△ABC中，BC＝3，点D从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着B→C→A运动到点A停止，DE的长为y，点D的运动时间为t．（1）直接写出y与t之间的函数关系式，并写出对应t的取值范围；（2）在图2的平面直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出函数y的一条性质；（3）若直线y＝kt+1﹣k与该函数图象只有2个交点，则k的取值范围为．12．（2025•郑州模拟）已知点O是线段AB的中点，直线l与线段AB交于点P（点P与点A，B不重合），分别过点A，垂足分别为点C，点 D．（1）【猜想验证】如图1，当点P与点O重合时，线段OC和OD的数量关系是；（2）【探究证明】如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，判断OC和OD的数量关系并说明理由；（3）【拓展延伸】若∠OCD＝30°，|AC﹣BD|＝2，当△POC为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．13．（2025•花山区校级一模）如图，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，D是CA延长线上一点且满足，E是BC的中点（1）求证：F为DE的中点；（2）求证：DB＝DE；（3）求sin∠BDE的值．14．（2025•河北模拟）如图1和图2，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，BC＝15，DF＝15，E分别在AB，AC边上滑动，当DF与AC相交时，交点记为P．（1）EF的长为，EP的最小值为；（2）如图1，当DP＝12时，请证明AP＝AD；（3）如图2，①尺规作图：过点A作直线DF的垂线AN，垂足为点N（保留作图痕迹，不写作图过程）；②若AM垂直平分DE，求AN的长；（4）直接写出点A与点F的最大距离．15．（2025•顺城区模拟）【问题背景】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α（0°＜α≤45°），E分别在线段BC，AC上，点F落在线段AB上．【问题初探】（1）如图1，当α＝45°，点E与点C重合时；【问题提升】（2）如图2，当α＝45°，点E在线段AC上时，交线段AB于点G，猜想线段AG与线段BF之间的数量关系；【问题拓展】（3）如图3，当α≠45°，点E在线段AC上时，交线段AB于点G，（2）的结论是否成立，请证明，若不成立，并说明理由．16．（2025•大渡口区模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是射线CA上一点，连接BD，过点A作AF∥BD交CE于点F．（1）如图1，点D在线段AC上，∠CAF＝75°，求△ABD的面积；（2）如图2，点D在CA延长线上，若DA＝AC，连接HE，求证：HE-HB=HF（3）如图3，点D在CA的延长线上，∠CDB＝30°，点N在BA的延长线上，点M在AC的延长线上，连接BM、DN，当BM﹣，请直接写出△BDN的面积．17．（2025•山东一模）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题：（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，你知道吗？”小波毫不思索的回答道：“太简单了，把△ABD绕点A逆时针转90°得到△ACF，连接EF2+EC2＝DE2．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指．【解决问题】①若，则BD＝；②请你帮助小波证明他的结论．【情境理解应用】（2）小波接着对小红说：“如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90度，∠ACD＝45°，若，你知道AC的长吗？18．（2025•扬州模拟）在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，点E在△ABC的内部，连接EC，设EC＝k•BD（k≠0）．（1）当∠ABC＝∠ADE＝60°时，如图1，请求出k值；（2）当∠ABC＝∠ADE＝90°时：①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化；如有变化，请求出k值并说明理由；②如图3，当D，E，C三点共线，请求出tan∠EAC的值．19．（2025•泉州模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中点，D是线段OB上不与O，AF⊥CD于点E，交CB于点F，BE．（1）求证：∠BCD＝∠CAF；（2）若D是OB的中点，如图2，求tan∠BED的值；（3）在（2）的条件下，用等式表示OE，CE之间的数量关系，并证明．20．（2025•永寿县校级一模）【问题提出】（1）如图1，在△BCD中，∠CBD＝30°，连接AB，若AB＝BC，点O是BD上的一个动点，连接OA、OC，∠COD的度数为°；【问题探究】（2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，AB＝AC，点D在边BC上，点F是BA延长线上一点，连接EF，判断EF与CD的数量关系；【问题解决】（3）如图3，△ABC是某公园门口规划的一块等腰三角形广场，在BC边上找一点D修建便民服务中心（即△ADE）的草坪，沿BE铺设一条石子小路（宽度忽略不计），∠BAC＝120°，若在线段AC上找一点P修建游客休息亭，当点B到点P的距离BP与AD的长度之和最小（即AD+BP最小）时，求此时铺设灯光地板AF的长度．

参考答案1．解：（1）∵DN＝AN，∴∠DAB＝∠ADN，∵N是AB的中点，∴AN＝BN，∴DN＝BN，∴∠B＝∠BDN，∵∠B+∠DAB+∠ADN+∠BDN＝180°，∴2∠ADN+2∠BDN＝180°，∴∠ADB＝90°，设CD＝a，BD＝2a，由AD2＝AC2﹣CD8＝AB2﹣BD2得，，∴a1＝5，a2＝﹣1（舍去），∴AC＝2a＝3；（2）如图1，FD＝4AH，理由如下：作DW∥AC，交AB于W，∴∠DWB＝∠CAB，∠E＝∠HDW，∵AC＝BC，∴∠B＝∠CAB，∴∠DWB＝∠B，∴DW＝BD，∴AE＝BD，∴DW＝AE，∴△AEH≌△WDH（ASA），∴AH＝HW，∵点G是AF的中点，∴FW＝2GH，∵AD＝2GH，∴AD＝FW，∴四边形AFDW是等腰梯形，∴FD＝AW＝6AH；（3）如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形AOB，∵，∴AB＝，∴OA＝OB＝，以O为圆心，OA为半径作⊙O，∴OC′＝2，作直径AD，连接C′D，连接C′P′，OP′，∴∠AC′D＝90°，AP′＝AP＝1，∠P′AC′＝∠C′AP，∴∠D+∠DAC′＝90°，∵，∴∠D＝∠C′BA，∵∠C′AP＝∠C′BA，∴∠D＝∠C′AP，∴∠P′AC′+∠C′AP＝90°，∴∠OAP′＝90°，∴OP′＝，∵OP′﹣OC′≤C′P′≤OP′+OC′，∴，∴，∴当P′、O、C′共线时最大＝，如图3，作AV⊥C′P′于V，∴AV＝，∵OP′＝，∴C′P′＝，∴S△AC′P＝S△AC′P′＝＝．2．【问题解决】证明：∵BAC＝∠MDN＝90°，∴△AEF和△DEF均为直角三角形，∵点O是EF的中点，∴OA是Rt△AEF斜边EF上的中线，∴OA＝OE＝OF＝EF，又∵OD是Rt△DEF斜边EF上的中线，∴OD＝OE＝OF＝EF，∴OA＝OE＝OF＝OD＝EF，∴点A、E、D、F在以点O为圆心；【结论应用】解：∵EF∥BC，∠B＝45°，∴∠AEF＝∠B＝45°，由【问题解决】的结论得：点A、E、D、F在以点O为圆心，由圆周角定理得：∠ADF＝∠AEF＝45°，故答案为：45°；【拓展提升】解：①由【问题解决】的结论得：点A、E、D、F在以点O为圆心，由圆周角定理得：∠AFE＝∠ADE，故结论①正确；②∵点A、E、D、F在以点O为圆心，∴AD，EF是该圆的两条相交弦，由相交弦定理得：QA•QD＝QE•QF，故结论②不正确；③∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∵点D为BC中点，∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD，∴∠ADC＝90°，∠BAD＝∠B＝45°，∴∠ADF+∠CDF＝90°，∵∠MDN＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，DE＝DF，∴AE+AF＝CF+AF＝AC＝8，∴四边形AEDF的周长为：AE+AF+DE+DF＝AC+2DF＝2+2DF，∴当DF为最小时，则四边形AEDF周长为最小，根据“垂线段最短”得：当DF⊥AC时，DF为最小，∵∠C＝∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，∴△ADC为等腰直角三角形，当DF⊥AC时，则点F是AC的中点，∴DF＝AF＝CF＝AC＝3，即DF的最小值为1，此时四边形AEDF的周长为：2+5DF＝2+2×4＝4，∴四边形AEDF周长的最小值为4，故结论③正确；④∵△ADE≌△CDF，∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形AEDF＝S△ADE+S△ADF＝S△CDF+S△ADF＝S△ADC，∵AD＝CD，AD⊥BC，∴S△ADC＝AD•DC＝AD4，∴S四边形AEDF＝AD3，故结论④不正确，综上所述：正确的结论是①③．故答案为：①③．3．（1）（i）证明：∵OA⊥OD，OB⊥OC∴∠AOD＝∠BOC＝90°，∴∠BOC+∠AOB＝∠AOD+∠AOB，∴∠AOC＝∠DOB，在△AOC和△DOB中，，∴△AOC≌△DOB（SAS），∴AC＝DB，（ii）证明：如图，设BD交AO于点H，∵△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OAC＝∠ODB，∵∠DHO＝∠AHE，∴∠AED＝∠AOD＝90°，即AC⊥BD；（2）解：在OM的延长线上取MG＝OM，如图：∵M为AB的中点，∴AM＝BM，∴四边形OAGB为平行四边形，∴AG＝OB，AG∥OB，∴∠GAO+∠BOA＝180°，∵OB＝OC，∴AG＝OC，∵∠AOD＝∠BOC＝90°，∴∠DOC+∠BOA＝360°﹣∠AOD﹣∠BOC＝180°，∴∠GAO＝∠DOC，在△GAO和△COD中，，∴△GAO≌△COD（SAS），∴OG＝CD，∵OM＝MG，∴＝．4．解：（1）由题意得：AE＝2x，CD＝x，∴AE＝2CD；故答案为：AE＝6CD；（2）如图所示，过D作DG⊥AB于G，由（1）知：CD＝x，则BD＝8﹣x，sin∠B＝，∴，DG＝，∴EG＝AE+BG﹣10＝2x+﹣10＝，∴y＝＝＝＝，当x＝3时，y＝＝；故答案为：3.6；（3）如图所示：（4）由（2）知：y＝，∵2≤x≤5，∴当x＝4时，y有最小值是＝，故答案为：不正确，4，2.4．5．（1）解：AM＝CN，理由如下，如图所示，连接AD，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵点D为BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ACD＝∠DAC＝45°，∴AD＝CD，∵△DMN为等腰直角三角形，∠MDN＝90°，∴DM＝DN，∠MDA+∠ADN＝∠ADN+∠NDC＝90°，∴∠MDA＝∠NDC，在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND（SAS），∴AM＝CN，故答案为：AM＝CN．（2）证明：如图所示，连接AD，由（1）可知，△AMD≌△CND（SAS），∴∠MAD＝∠NCD，AM＝CN，∴CM＝CN+MN＝AM+MN，∴CM﹣AM＝CM﹣CN＝MN，∵△DMN是等腰直角三角形，即DM＝DN，∴MN2＝DM2+DN3＝2DM2，∴，∴．（3）解：，AM＝，C、M，①由（2）可知，，由（1）可知，∠MAD＝∠NCD，∵∠ACD＝∠ACM+∠NCD＝45°，∠DCN+∠NCA+∠DAC＝90°，∴∠MAD+∠NCA+∠DAC＝90°，∴∠AMC＝90°，在Rt△ACM中，，AM＝CN＝，∴，∴（不符合题意）；②如图所示，由（1）可知，AM＝CN＝，∴∠DAM+∠MAC+∠ACD＝∠DCN+∠MAC+∠ACD＝90°，∴△AMC是直角三角形，∴，∴，在Rt△DMN中，，∴；③如图所示，连接AD，根据（1）中的证明可知，AD＝CD，∴∠ADM＝∠CDN，在△ADM和△CDN中，，∴△ADM≌△CDN（SAS），∴∠AMD＝∠N＝45°，∴∠AMD+∠DMN＝45°+45°＝90°，即△ACM是直角三角形，在Rt△ACM中，，，∴，∴，∵，∴；综上所述，DM的长为或，故答案为：或．6．（1）证明：∵OA＝OD，AC＝DE，∴OA+AC＝OD+DE，∴OC＝OE，在△AOE和△DOC中，，∴△AOE≌△DOC（SAS），∴AE＝CD；（2）解：∠2＝∠1+∠C，理由：∵△AOE≌△DOC，∴∠C＝∠E，∵∠6＝∠1+∠E，∴∠2＝∠4+∠C；（3）解：∵△AOE≌△DOC，∴∠1＝∠CDO，∴若∠1增加了8°，则∠CDO也增加3°，∵∠2＝90°，∴∠COD＝180°﹣∠5＝90°，∵∠1+∠COD+∠CDO+∠AFD＝360°，∴若∠1增加了3°，∠CDO也增加3°，∵∠AFD＝∠CFE，∴若∠1增加了5°，则∠CFE会减少6°，故答案为：减少；6．7．解：（1）如图①，△ABE即为所求（画出一个即可）．（2）如图②，线段CD即为所求（答案不唯一）．（3）如图③，线段FG即为所求（答案不唯一）．8．解：（1）如图所示，连接BE，∵△ABC，△DEF都是等边三角形，∴∠ACB＝∠EDF＝60°，∴B、D、C、E四点共圆，∵点E是AC的中点，∴∠BEC＝90°，∴BC为过B、D、C、E的圆的直径，又∵DE＝BC＝6cm，∴DE为过B、D、C、E的圆的直径，∴点H为圆心，∴EH＝BH，∴∠HBE＝∠HEB＝30°，∴∠GEB＝∠EBH＝∠GBE＝∠BEH＝30°，∴BG∥EH，BH∥EG，∴四边形BHEG是平行四边形，又∵EH＝BH，∴四边形BHEG是菱形，∴两张纸片重叠部分的形状是菱形，故答案为：菱形；（2）∵△ABC，△DEF都是等边三角形，∴∠ABC＝∠DEF＝∠C＝60°，AC＝BC＝6cm，∵EF∥BC，∴∠CHE＝∠DEF＝60°，∴∠ABC＝∠CHE，∴BG∥EH，∴四边形BHEG是平行四边形，∵∠C＝∠CHE＝60°，∴△EHC是等边三角形，过点E作ET⊥HC，∴设EH＝CH＝2xcm，则BH＝（6﹣2x）cm， ，∴ cm，∴＝＝，∵，∴当时，S重叠有最大值，最大值为；（3）AE＝BF，理由如下：如图所示，过点B作BM⊥AC于M，连接BE，∵△ABC，△DEF都是边长为5cm的等边三角形，∴AM＝cmDF＝6cm，∴由勾股定理可得，，∴EN＝BM，又∵BE＝BE，∴Rt△NBE≌Rt△MEB（HL），∴NB＝ME，∴FN+BN＝AM+ME，即AE＝BF．9．（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝kBC，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝CD＝BD，∵AF⊥CE，∴∠DAG+∠AEF＝∠DCE+∠AEF＝90°，∴∠DAG＝∠DCE，∴△ADG≌△CDE（ASA），∴DG＝DE；（2）解：当k≠1时，（1）中的结论不成立，理由：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ACD+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△ACB，∴，∴＝＝k，∵AF⊥CE，∴∠DAG+∠AEF＝∠DCE+∠AEF＝90°，∴∠DAG＝∠DCE，∴△ADG∽△CDE，∴＝k，∴DG＝kDE；（3）解：如图，连接GE，∵AF⊥CE，∴∠AFC＝∠AFE＝90°，∵AC＝AE，AF＝AF，∴RtAFC≌Rt△AFE（HL），∴FC＝FE，∴GC＝GE，∵∠CDE＝∠ACB＝90°，∴DF＝CE，∵DG＝DE，∴DE＝2，GE＝，∴CG＝7，∴CD＝CG+DG＝8，∴CE＝＝4，∴DF＝4．10．解：（1）如图，过A，垂足分别为E、F，∵AB＝AC，AE⊥BC，BC＝2，∴CE＝BC＝1＝，∵点D是边AC的中点，∴CD＝，在Rt△CFD中，cos＝，∴，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣＝，∴DF＝＝＝1，在Rt△BDF中，BD＝＝＝；（2）如图，连接AM并延长交BC于点H，∵点M是△ABC的重心，∴点M是△ABC的三条中线的交点，∴AH是△ABC的中线，∵AB＝AC，∴AM是BC的垂直平分线，∴BM＝CM，∴∠3＝∠4，∵∠1+∠7＝∠2+∠3，∴∠2＝∠3，∴∠3＝∠8，∵∠N＝∠N，∴△NCD∽△NBC，∴＝＝，∴CN：BN＝；（3）若△MCN是以MN为腰的等腰三角形，分以下两种情况，①当MN＝NC时，如图，∵∠1+∠2＝∠3+∠2，∴∠4＝∠3，∵MN＝NC，∴∠NMC＝∠2+∠5，∵∠NMC＝∠1+∠4，∴∠4＝∠4，∵∠MDC＝∠CDB，∴△DMC∽△DCB，∴，∴，∴DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝＝；②当MN＝MC时，如图，∴∠MCN＝∠MNC，∵∠ACB＝∠MCN，∴∠ACB＝∠MNC，∵∠BCD＝∠BCN，∴△BCD∽△BNC，∴，即，∴BN＝，NC＝，过M作MH⊥NC，垂足为H，∵MC＝MN，∴NH＝＝，∵cosN＝cos∠MCN＝cos∠ACB＝＝，∴MN＝，∴BM＝BN﹣MN＝﹣＝；综上，BM为或．11．解：（1）由勾股定理得：AB＝＝5，①当点D在BC上时，如图7，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵sinB＝＝，∵BC＝3，AC＝4，∴＝，∴y＝t②当点D在AC上时，如图2，由题意得：AD＝3+7﹣t＝7﹣t，∵sinA＝＝，∴＝，∴y＝＝﹣；综上，y与t之间的函数关系式为：y＝；（2）如图3，性质：当6＜x＜3时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；（3）如图4，由图可知：当t＝5时×3＝，∴点A的坐标为（3，），当y＝0时，﹣t+，∴t＝7，∴函数y＝﹣t+，3），直线y＝kt+1﹣k中，当t＝1时，∴直线y＝kt+6﹣k过定点（1，1），当直线在m，n的位置时，将点A（2，）代入y＝kt+1﹣k得：，则k＝；将点（7，4）代入y＝kt+1﹣k得：0＝4k+1﹣k；则k的取值范围为：﹣≤k＜，故答案为：﹣≤k＜．12．解：（1）∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，又∵O是AB的中点，∴AO＝BO，又∵∠AOC＝∠BOD，∴△ACO≌△BDO（AAS），∴OC＝OD；（2）OC＝OD，理由如下：如图2，过点O作直线EF⊥BD于点F，由（1）得OE＝OF，又∵BD⊥CD，AC⊥CD，∴∠ECD＝∠CDF＝∠DFO＝90°，∴四边形CEFD为矩形，∴CE＝DF，CE∥DF，∴∠E＝∠DFO＝90°，∴△OCE≌△ODF（SAS），∴OC＝OD；（3）如图3，过点O作直线EF⊥BD于点F，由（1）得AE＝BF，又∵BD⊥CD，AC⊥CD，∴∠ECD＝∠CDF＝∠DFO＝90°，∴四边形CEFD为矩形，∴CE＝DF，∴|AC﹣BD|＝|AE﹣CE﹣BF﹣DF|＝|CE+DF|＝6，∴CE＝DF＝1，在Rt△COE中，∠E＝90°，∴∠OCE＝90°﹣∠OCD＝90°﹣30°＝60°，∴，①当OP＝PC是，过点P作PQ⊥CO于点Q，∴，∴；②当CO＝CP时，同理，EC＝4，∴OC＝2，∴CP＝2，∴PQ＝8，CQ＝，∴OQ＝2﹣，∴OP＝＝＝＝，综上所述OP长为或．13．（1）证明：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，D是CA延长线上一点且满足，如图，连接EG，∴，EG是△ABC的中位线，∴AB∥EG，∴，∴DF＝EF，即F为DE的中点；（2）证明：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，连接AE，∴，AE⊥BC，∴DH∥AE，∴，∴，∴DH是BE的垂直平分线，∴DB＝DE；（3）解：过点E作EM⊥BD于点M，设AB＝AC＝a，则，在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，∴，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：，又∵∠C＝45°，∴，又∵，∴，∴．14．（1）解：在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE2+EF2＝DF7，∴，∵当DF与AC相交时，交点记为P，∴由垂线段最短得，当EP⊥DF时，∴此时EP为△DEF的高，∵，∴．故答案为：9；；（2）证明：∵AB＝20，BC＝15，EF＝8，∴，，∴，又∵∠DEF＝∠B＝90°，∴△DEF∽△ABC，∴∠EDF＝∠BAC，又∵∠EPD＝∠DPA，∴△PDE∽△PAD，∴，∴，∵DP＝12，DE＝12，∴DP＝DE，∴，∴AP＝AD．（3）解：①如图2，垂线AN即为所求；②如图，延长ED交AN延长线于点G，∵AM垂直平分DE，∴，∠AMD＝90°，由作图可得，AN⊥DF，∴∠AND＝90°，∵∠MAN+∠AND+∠MDN+∠AMD＝360°，∴∠MAN+∠MDN＝360°﹣2×90°＝180°，∵∠EDF+∠MDN＝180°，∴∠MAN+∠MDN＝∠EDF+∠MDN，∴∠MAN＝∠EDF，由（2）中的结论有，∠EDF＝∠BAC，∴∠BAC＝∠MAN，即∠EAM+∠MAD＝∠DAN+∠MAD，∴∠EAM＝∠DAN，在△AME和△AND中，，∴△AME≌△AND（AAS），∴AM＝AN，DN＝EM＝8，∵∠DNG＝∠DEF＝90°，∠EDF＝∠NDG，∴△DEF∽△DNG，∴，∴，，∴，∵∠DNG＝∠AMG＝90°，∠DGN＝∠AGM，∴△DGN∽△AGM，∴，即，解得：AM＝18，∴AN＝AM＝18，∴AN的长为18；（4）解：点A与点F的最大距离为．理由如下：作△ADE的外接圆，记圆心为O，连接OA、OD，∵圆O是△ADE的外接圆，∴OA＝OD＝OE，，∵OP⊥DE，∴，OP平分∠DOE，∴，又∵∠OPE＝∠ABC＝90°，∴△OPE∽△ABC，∴，即，解得：OP＝8，在直角三角形OPE中，由勾股定理得：，作FH⊥OP交OP延长线于H，连接OF，又∵∠DEF＝90°，∠EPH＝90°，∴四边形EFHP是矩形，∴FH＝EP＝4，PH＝EF＝9，∴OH＝OP+PH＝8+4＝17，在Rt△OFH中，由勾股定理得：，由两点之间线段最短性质得，AF≤OA+OF，∴，∴点A与点F的最大距离为．15．（1）证明：如图1，连接EF，当α＝45°，点E与点C重合时，∠EDF＝180°﹣2α＝90°，由旋转可得DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∴∠DEF＝∠ABC＝45°，∴FB＝FE，∵∠ACB＝90°，∴∠AEF＝∠BAC＝45°，∴FA＝FE，∴FB＝FA；（2）解：AG＝5BF；证明：如图2，过点D作DM⊥BC，连接EM，∴∠MDB＝90°，∵当α＝45°，点E在线段AC上时，∠EDF＝180°﹣2α＝90°，∴∠BMD＝45°，∠MDB＝∠EDF＝90°，∴∠ABC＝∠BMD＝45°，∴DM＝DB，∠EDM＝∠FDB，由旋转可得DE＝DF，在△EDM和△FDB中，，∴△EDM≌△FDB（SAS），∴ME＝BF，∠DME＝∠DBF＝45°，∴∠GME＝∠DMB+∠DME＝90°，∵EG∥BC，∴∠AGE＝∠ABC＝45°，∠AEG＝∠ACB＝90°，∴∠MGE＝∠MEG＝45°，∠MAE＝∠MEA＝45°，∴MG＝ME，MA＝ME，∴AG＝7ME，∴AG＝2BF；（3）解：成立；证明：如图，在线段上取点M，取AG中点N，EN，∴∠DMB＝∠DBM＝α，AG＝2NE，∴∠MDB＝180°﹣7α，∴∠MDB＝∠EDF，∴∠EDM＝∠FDB，由旋转可得DE＝DF，在△EDM和△FDB中，，∴△EDM≌△FDB（SAS），∴ME＝BF，∠DME＝∠DBF＝α，∴∠BME＝2α，∵EG∥BC，∴∠AGE＝∠ABC＝α，∠AEG＝∠ACB＝90°，∵N是AG的中点，∴NG＝NE，AG＝2NE，∴∠NGE＝∠NEG＝α，∴∠ENM＝4α，∠ENM＝∠BME＝2α，∴NE＝ME，∴AG＝2BF．16．（1）解：如图1，过点D作DH⊥AB于点H，∵AF∥BD，∠CAF＝75°，∴∠CDB＝∠CAF＝75°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠ACB＝45°，∴∠DBA＝30°，在Rt△BDH中，∠DBA＝30°，∴，∴，在Rt△ADH中，∠CAB＝∠ADH＝45°，∴AH＝DH＝6，∴，∴；（2）证明：如图6，过点E作EM⊥EH交CB延长线于点M，∵AF∥BD，CE⊥BD，∴∠AFC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCE＝∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠ACF＝∠CBE，在△AFC和△CEB中，，∴△AFC≌△CEB（AAS），∴BE＝CF，∵AF∥BD，∴，∵DA＝AC，∴CF＝EF，∴CF＝EF＝BE，∵FH⊥BC，∴∠FHC＝90°，∵EM⊥EH，∴∠HEM＝90°∵∠HFE＝∠FCH+∠FHC＝90°+∠FCH，∠EBM＝∠FCH+∠CEB＝90°+∠FCH，∴∠HFE＝∠EBM，∵∠FEH+∠BEH＝∠BEM+∠BEH＝90°，∴∠FEH＝∠BEM，在△FEH和△BEM中，，∴△FEH≌△BEM（ASA），∴HE＝ME，FH＝BM，∵HE2+EM2＝HM2，∴，∴，即；（3）解：如图3，取BG＝AB，AH⊥NI．∵AC＝BC，∴∠BAM＝∠NBG，∵AM＝BN，AB＝BG，∴△ABM≌△BGN（SAS），∴BM＝GN，BN＝AM，∵NG⊥BI，∴∠BNI＝∠NBI＝45°，∵AH⊥NH，∴∠ANH＝∠HAN＝45°，∴，∴，如图7，当I，取最小值，此时∠BGN＝∠ABM＝90°，∵AC＝BC＝2，∴∠CAB＝∠ACB＝45°，，∴∠CAB＝∠M＝45°，∴，∴，∵∠CDB＝30°，∴BD＝2BC＝5，，∴，过D作DK⊥BN于点K，∵∠CAB＝∠KAD＝45°，∴KA＝KD，∵KA2+KD7＝AD2，∴，∴．17．（1）①解：∵，∴，∵CE＝4，∴BD+DE＝8，∵BD3+EC2＝DE2，∴BD5+42＝（2﹣BD）2，解得：BD＝3，故答案为：4；②证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°；∵△ABD绕点A逆时针旋转 90°得到△ACF，如图1：则△ABD≌△ACF，∠FAD＝90°，∴CF＝BD，AF＝AD，∠CAF＝∠DAB，∴∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝90°；∵∠DAE＝45°，∴∠DAB+∠CAE＝90°﹣∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠CAF+∠CAE＝∠DAB+∠CAE＝45°，∴∠FAE＝∠DAE，在△FAE和△DAE中，，∴△FAE≌△DAE（SAS），∴EF＝ED；∵CF2+CE4＝EF2，∴BD2+EC6＝DE2；（2）解：作AG⊥CD于G，如图2：∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴，∵∠BCD＝90°，∴；∵∠ACD＝45°，AG⊥CD，∴∠CAG＝45°，∴AG＝CG，∴DG＝CD﹣CG＝CD﹣AG＝8﹣AG；∵DG2+AG2＝AD2，∴，解得：AG＝1或AG＝7，∵，∴或，在△ACD中，∠ACD＝45°，∴AC＞AD，∴，故答案为：．18．解：（1）k＝1，理由如下：如图1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，DA＝DE，∴△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∴∠DAB＝∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS）∴EC＝DB，即k＝2；（2）①k值发生变化，k＝，∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴＝，＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴＝，∠DAB＝∠EAC，∴△EAC∽△DAB，∴＝＝，即EC＝，∴k＝；②作EF⊥AC于F，设AD＝DE＝a，则AE＝a，∵点E为DC中点，∴CD＝2a，由勾股定理得，AC＝＝a，∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，∴△CFE∽△CAD，∴＝，即＝，解得，EF＝a，∴AF＝＝a，则tan∠EAC＝＝．19．（1）证明：∵AF⊥CD，∴∠AEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠CAF＝∠ACE+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAF；（2）解：如图，连接CO交AF于点H，由（1）得：∠BCD＝∠CAF，即∠BCE＝∠CAG，在△ACG和△CBE中，，∴△ACG≌△CBE（SA