2025版高中数学第一章导数及其应用1.5.3定积分的概念练习含解析新人教A版选修2-2

PAGEPAGE51.5.3定积分的概念课时过关·实力提升基础巩固1.设曲线f(x)在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]n等分,在每个小区间上任取ξi,则abf(x)dxA.limn→∞B.limn→∞∑iC.limn→∞∑i=1D.limn→∞∑i=1nf(ξi)解析:依据定积分的概念可知,B选项正确,其余均不等于abf(x答案:B2.设连续函数f(x)>0,则当a<b时,定积分abf(x)dxA.肯定是正的B.肯定是负的C.当0<a<b时是正的,当a<b<0时是负的D.以上结论都不正确解析:依据定积分abf(x)dx的几何意义可知,a答案:A3.下列各式成立的是()A.02[f(x)+5]dx=0B.02|x-1|dx=01(1C.-11f(x)dx=-10f(xD.-11|f(x)|解析:由于02|x-1|dx=01|x-1|dx+12答案:B4.已知定积分06f(x)dx=8,且f(x)为偶函数,则-66A.0 B.16C.12 D.8解析:因为偶函数的图象关于y轴对称,所以-66f(x)dx=206答案:B5.由函数y=-x的图象、直线x=1,x=0与y=0所围成的图形的面积可表示为()A.01(-x)dxC.-11xdx解析:由定积分的几何意义可知所求图形的面积为S=01答案:B6.不用计算,依据图形比较下列各式的大小:(1)01xdx_(2)024-x2d答案:(1)>(2)<7.02(x-1)dx=.答案:08.把由y=cosx,x=0,x=π2与y=0所围成的图形的面积表示为定积分的形式是解析:由定积分的定义和几何意义求解.答案:0π2cos实力提升1.依据定积分的定义,02x3dA.B.C.D.解析:将[0,2]等分为n个小区间2(i-1)n,2in(i=1,2,…,将[0,2]等分成2n个小区间i-1n,in(i=1,2,…,2n),则Δx答案:B2.已知ab[f(x)+g(x)]dx=12,abg(x)dx=6,则abA.12 B.6 C.18 D.24解析:∵ab[f(x)+g(x)]dx=abf(x∴abf(x)dx=12-∴ab3f(x)dx=3abf(x)d答案:C3.设a=01x13dx,b=01x2dx,c=A.c>a>b B.a>b>cC.a=b>c D.a>c>b解析:依据定积分的几何意义,易知01x3dx<01答案:B4.★已知甲、乙两车由同一起点同时动身,并沿同一路途(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示),则对于图中给定的t0和t1,下列推断肯定正确的是()A.在t1时刻,甲车在乙车的前面B.t1时刻后,甲车在乙车的后面C.在t0时刻,两车的位置相同D.t0时刻后,乙车在甲车的前面解析:由题图可知,曲线v甲比v乙在0~t0,0~t1与t轴所围成图形的面积大,则在t0,t1时刻,甲车均在乙车的前面,故选A.答案:A5.已知01x2dx=13,12x解析:由定积分的性质,可得02(x2+1)dx=0得02x2dx又由定积分的几何意义知021dx=1×2=2,故02(答案:146.(1)计算-33((2)已知f(x)=x,x∈分析:可先依据定积分的几何意义求出相关函数的定积分,再依据定积分的性质进行加减运算.解:(1)如图,由定积分的几何意义,得-339-由定积分的性质,得-33(9-x2(2)如图,由定积分的几何意义,得02xdx=23(4-x)dx=12×3552-x2dx=12×2×1=1,所以057.★弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比,即力F(x)=kx(k为常数,x是伸长量),求弹簧从平衡位置拉长b所做的功.解:将物体用常力F沿着力的方向移动距离x,则所做的功为W=Fx,本题F是克服弹簧拉力的变力,是移动距离x的函数F(x)=kx.将区间[0,b]n等分,记Δx=bn,分点依次为x0=0,x1=bn,x2=当n很大时,在分段[xi,xi+1]所用的力约为k