第26讲 互斥事件和独立事件（解析版）

第26讲互斥事件和独立事件目标导航目标导航课程标准课标解读1.结合实例，会用频率估计概率。2.随机事件的独立性：结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义。结合古典概型，利用独立性计算概率。1.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念.2.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念；能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题。3.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系；能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题；了解随机模拟的含义，会利用随机模拟估计概率。知识精讲知识精讲知识点01互斥事件和对立事件1.互斥事件的定义对于事件A和事件B，若AB=Ø，即事件A与B不可能同时发生。这时，我们称A，B为互斥事件。2.对立事件的定义对于事件A和事件C，若AC=Ø，并且A+C=Ω，即互斥事件A，C中必有一个发生。这时，我们称A，C为对立事件，记作或。【微点拨】若两个事件对立，则这两个事件是互斥事件；反之，若两个事件是互斥事件，则这两个事件未必是对立事件。对立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B是对立事件，则事件A与事件B互斥，而且A∪B是必然事件。3.概率的加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。(2)互斥事件可以推广到n个事件的情形(n∈N，n>2)：如果事件中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件两两互斥。如果事件，两两互斥，那么。4.随机事件的概率的其他常用性质（1）（2）当A⊆B时，P(A)≤P(B)；（3）当A，B不互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。【微点拨】(1)概率的加法公式的应用前提是“事件A与事件B互斥”，否则不可用.对立事件的概率公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用。(2)当一个事件的概率不易直接求出，但其对立事件的概率易求时，可运用对立事件的概率公式，即可使用间接法求概率。【即学即练1】如图，随机事件A，B互斥，记分别为事件A，B的对立事件，那么（）A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件C．与一定互斥 D．与一定不互斥【答案】B【分析】用集合的思想看事件的Venn图即可的解.【详解】由Venn图可知A，B互斥，即为不可能事件，∪是必然事件，故选：B.知识点02相互独立事件1.相互独立事件的定义一般地，如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，那么称A，B为相互独立事件。事件A，B相互独立。2.性质：如果事件A与事件B相互独立，那么A与B，A与B，与也相互独立。3.独立事件可以推广到n个事件的情形(n∈N，n>2)。一般地，如果事件相互独立，那么4.相互独立事件与互斥事件的概率计算已知两个事件A，B，它们的概率为P(A)，P(B)，将A，B中至少有一个发生记为事件A+B，都发生记为事件AB，都不发生记为事件恰有一个发生记为事件，至多有一个发生记为事件。概率A，B互斥A，B相互独立P(A+B)P(A)+P(B)P(AB)0P(A)P(B)1-[P(A)+P(B)]P(A)+P(B)11-P(A)P(B)【即学即练2】已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式可先求三人都没有被录取的概率，再由对立事件的概率求至少一个被录取的概率.【详解】因为甲，乙，丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，所以他们三人都没有被录取的概率为，故他们三人中至少有一人被录取的概率为.故选:D能力拓展能力拓展考法01互斥事件概率的加法公式【典例1】进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识,某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为.(1)求的值及每题甲、乙两位同学同时答对的概率；(2)试求两人答对的题数之和为3的概率.【答案】(1)，甲、乙同时答对的概率为；(2)【分析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程可解得，再求解每题甲、乙两位同学同时答对的概率；（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．【详解】（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，.由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，.由题意可得，则，，所以，每题甲、乙同时答对的概率为；（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.由题意得，，，，.设{甲乙二人共答对3道题}，则.由于和相互独立，与相互互斥，所以.所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.考法02独立事件的乘法公式【典例2】11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10：10平后，甲先发球､假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．(1)求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率：(2)求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率．【答案】(1)0.5；(2)0.1【分析】（1）设双方10：10平后的第个球甲获胜为事件，又打了个球比赛结束，则由能求出结果．（2）且甲获胜，由此能求出事件“且甲获胜”的概率．【详解】（1）设双方10：10平后的第个球甲获胜为事件，又打了个球比赛结束，则；（2）且甲获胜.分层提分分层提分题组A基础过关练1．下列说法正确的是（）A．互斥事件与对立事件含义相同B．互斥事件一定是对立事件C．对立事件一定是互斥事件D．对立事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件【答案】C【详解】如果A,B为互斥事件,则;如果A,B为对立事件,则且.为样本空间),所以对立事件必是互斥事件,但反之不成立.故选：C.2．下列各组事件中，是对立事件的是（

）A．一名射手在一次射击中，命中环数大于6与命中环数小于8B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C．掷一枚骰子，向上点数为奇数与向上点数为偶数D．某人连续投篮三次，恰有两次命中与至多命中一次【答案】C【详解】在一次射击中命中环数为7同时包含于环数大于6与环数小于8，所以两事件不互斥，故A错误；一个班的数学成绩平均分为90分同时包含于平均分不低于90分与平均分不高于90分，所以两事件不互斥，故B错误；掷一枚骰子，向上点数不为奇数即为偶数，所以两事件是对立事件，故C正确；某人连续投篮三次，恰有两次命中与至多命中一次不会同时发生，且两事件有可能均不发生（当三次都命中时两个事件都没有发生），故两事件为互斥事件，但不为对立事件，故D错误．故选：C3．采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数:75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（

）A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75【答案】D【详解】因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140，1417，0371，6011，7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为.故选:D.4．已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】因为事件A，，两两互斥，所以，所以.故选：B．5．某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是，则他最终通过面试的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知，小王最终通过面试的概率为.故选：C.6．从m名男生和n名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为______.【答案】/0.2【详解】解析设事件A表示“所选3人中至少有1名女生”，事件B表示“所选3人都为男生”，则A，B互为对立事件，所以.故答案为：.7．若，为互斥事件，，，则______.【答案】0.3/【详解】因为随机事件，是互斥事件，所以,又，所以.故答案为：0.3.8．若事件A、B是对立事件，则______.【答案】1【详解】因为事件A、B是对立事件，所以.故答案为：.9．盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出粒都是黑子的概率是，从中取出粒都是白子的概率是，则从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是______.【答案】【详解】由题意，任意取出粒棋子，不考虑先后顺序，一共有粒都是黑子、粒都是白子和一粒黑子一粒白子种可能，设事件：取出粒都是黑子，事件：取出粒都是白子，事件：取出粒恰好是一粒黑子一粒白子，则，，两两互斥，由已知有，，∵，∴，∴从中任意取出粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是.故答案为：.10．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，其余均为不中奖．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，，，求：(1)事件，，的概率；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【答案】(1)事件，，的概率分别为，，；(2)；(3).【详解】（1）由题意，每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，故，，；（2）1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖，设“1张奖券中奖”这个事件为，则，∵，，两两互斥，∴．∴1张奖券的中奖概率为；（3）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件，则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴，∴1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为．题组B能力提升练1．若甲､乙､丙在10分钟之内独立复原魔方的概率分别为，则甲､乙､丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为（

）A．0.26 B．0.29 C．0.32 D．0.35【答案】D【详解】甲､乙､丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为.故选：D2．袋内分别有红､白､黑球个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（

）A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红､黑球各一个【答案】D【详解】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A中事件不是互斥的；对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，即可能是一个白球和一个黑球，这与“一个白球一个黑球”不互斥；对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故二者互斥，从袋中任取2个也可能是两个红球，即二者可能都不发生，故二者不对立，故选：D3．已知事件A与事件B是互斥事件，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为事件A与事件B是互斥事件，则不一定是互斥事件，所以不一定为0，故选项A错误；因为事件A与事件B是互斥事件，所以，则，而不一定为0，故选项B错误；因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C错误；因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件，所以，故选项D正确.故选：D.4．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（

）A．至少有1个黑球与都是黑球 B．至少有1个黑球与至少有1个红球C．至少有1个黑球与都是红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球【答案】D【详解】“至少有1个黑球与都是黑球”有公共事件：两个黑球，既不互斥也不对立；“至少有1个黑球与至少有1个红球”有公共事件：一个红球，一个黑球，既不互斥也不对立；“至少有1个黑球与都是红球”是互斥事件且对立事件；“恰有1个黑球与恰有2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，因为有可能是两个红球，故选：.5．现有7名世界杯志愿者，其中，，通晓日语，，通晓韩语，，通晓葡萄牙语，从中选出通晓日语、韩语、葡萄牙语志愿者各一名组成一个小组，则，不全被选中的概率为______．【答案】/0.75【详解】由题意，选出通晓日语、俄语、韩语的翻译人员各一人，包含下列样本点，，，共有种不同的选法，若表示事件“B1，C1不全被选中”这一事件，则表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于由，共有3个样本点组成，所以，所以.故答案为：.6．甲、乙、丙三名同学将参加2023年高考，根据高三年级半年来的各次测试数据显示，甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率分别为，和.设三人是否考135分以上相互独立，则这三人在2023年高考中至少有两人数学考135分以上的概率为_____________.【答案】【详解】已知甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率分别为，和，且三人是否考135分以上相互独立，则三人中两人数学考135分以上的概率为：，三人数学都考135分以上的概率为：，所以甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率为.故答案为：.7．某小组有3名男生和2名女生，从中任选出2名同学去参加演讲比赛，有下列4对事件：①至少有1名男生和至少有1名女生，②恰有1名男生和恰有2名男生，③至少有1名男生和全是男生，④至少有1名男生和全是女生，其中为互斥事件的序号是__．【答案】②④【详解】互斥事件是指不能同时发生的事件，①至少有1名男生和至少有1名女生，不是互斥事件，当取出的2个人正好是1名男生和1名女生时，这两件事同时发生了．②恰有1名男生和恰有2名男生，这两件事不能同时发生，故是互斥事件．③至少有1名男生和全是男生，不是互斥事件，因为“至少有1名男生”包含了“全是男生”的情况．④至少有1名男生和全是女生，是互斥事件，因为这两件事不能同时发生．故答案为：②④．8．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，黑球或黄球的概率是，绿球或黄球的概率也是.求从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是多少？【答案】得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，，【详解】从袋中任取一球，记事件“得到红球”，“得到黑球”，“得到黄球”，“得到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D彼此互斥.由已知可得，，，，则，即，所以，，.故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是，，.9．在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1个球.记事件A为“取出的球为红球”，事件B为“取出的球为黑球”，事件C为“取出的球为白球”，事件D为“取出的球为绿球”.求:(1)“取出的球为红球或黑球”的概率;(2)“取出的球为红球或黑球或白球”的概率.【答案】(1)；(2).【详解】（1）由题意可知，.易知“取出的球为红球”与“取出的球为黑球”为互斥事件，故“取出的球为红球或黑球”的概率为.（2）易知，“取出的球为红球”“取出的球为黑球”“取出的球为白球”两两互斥，故“取出的球为红球或黑球或白球”的概率为.10．某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】(1)派乙参赛赢得比赛的概率更大；(2)【详解】（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，所以表示“甲赢得比赛”，，表示“乙赢得比赛”，，因为，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大；（2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”由（1）知，，所以表示“两人中至少有一个赢得比赛”，所以，所以两人至少一人赢得比赛的概率为.题组C培优拔尖练1．从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设事件A=“三件产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不正确的是（

）A．A与C互斥 B．B与C互斥C．A、B、C两两互斥 D．A与B对立【答案】D【详解】随机抽取三件产品，总事件中包含“0件次品，3件正品”，“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品”，“3件次品，0件正品”事件A=“三件产品全不是次品”即“0件次品，3件正品”，事件B=“三件产品全是次品”即“3件次品，0件正品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”即“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品”由互斥事件的定义知：A、B、C两两互斥，故ABC正确；由互斥事件的定义知：A与B互斥，但是A与B的和事件不是总事件，故A与B对立不是对立事件，故D错误.故选：D.2．已知，，，则事件与的关系是（

）A．与互斥不对立 B．与对立C．与相互独立 D．与既互斥又独立【答案】C【详解】由可得，因为，则与不互斥，不对立，由可得，因为，所以与相互独立故选：C3．（多选题）下列对各事件发生的概率判断正确的是（

）A．某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为B．已知集合，，集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为C．甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球，从每个袋子中各任取一个球，则取到同色球的概率为D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是【答案】AC【详解】对于A选项，该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯，则该生在前个路口不是红灯，第个路口是红灯，由独立事件的概率乘法可知，所求概率为，A对；对于B选项，由题意可得，，因此，集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为，B错；对于C选项，甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球，从每个袋子中各任取一个球，则取到同色球的概率为，C对；对于D选项，由独立事件的概率公式可得，解得，D错.故选：AC.4．（多选题）设为两个互斥的事件，且，则下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】∵为两个互斥事件，,∴，即，故A正确，B选项错误，∵为两个互斥事件,则，∴故C选项正确，∵为两个互斥事件，∴，故D选项正确．故选∶．5．2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.【答案】【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，因为丙购买到冰墩墩的概率为，所以丙购买不到冰墩墩的概率，所以甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率.故答案为：.6．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________.【答案】【详解】解：设分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则,且与互斥,与,与分别相互独立,所以因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.故答案为：7．为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．【答案】(1)，；(2)．【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则，，，即，，所以，．所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和.（2）有0个家庭回答正确的概率，有1个家庭回答正确的概率，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．8．为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.(1)甲在比赛中恰好赢一轮的概率；(2)从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(3)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】(1)；(2)派甲参赛获胜的概率更大；(3)【详解】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则，，，相互独立，且，，，，设“甲在