高考数学重难点专项复习：截面、交线问题（3大考点+强化训练）（原卷版+解析）

微重点09截面、交线问题（3大考点+强化训练）

“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给

静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结

合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

知识导图

❶考点一：截面问题

★截面、交线问题

❷考点二交线问题

ill考点分类讲解

考点一：截面问题

规律方法作几何体截面的方法

（1）利用平行直线找截面.

（2）利用相交直线找截面.

考向1多面体中的截面问题

【例1】（2024・四川•模拟预测）设正方体ABCD-ABCiR的棱长为1,与直线AQ垂直的平面。截该正方

体所得的截面多边形为M,则M的面积的最大值为（）

A.-V3B.-A/3C.—D.V3

842

【变式1】（2024高三・全国•专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体-中，点加，N分别

为棱B&,。上的动点（包含端点），当M,N分别为棱Bg,C。的中点时，则过4，M,N三点作正

方体的截面，所得截面为边形.

【变式2】（23-24高三下,河南郑州•阶段练习）如图，已知四棱锥尸-ABCD的底面为矩形，/为尸C的中

点，平面ABM截得四棱锥上、下两部分的体积比为.

【变式3】（多选）（2023•河北承德•模拟预测）如图，正六棱柱书的各棱长均为1,下

A.过A,G，纥三点的平面。截该六棱柱的截面面积为也

12

B.过A,G，&三点的平面。将该六棱柱分割成体积相等的两部分

C.以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为，无

D.以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为11+*>

考向2球的截面问题

【例2】（2024高三•全国♦专题练习）已知正方形ABCD的边长为4,若将△ABD沿8。翻折到A3。的位

置，使得二面角A-3O-C为60。，N为AD的四等分点（靠近。点），已知点A,B,C,。都在球。的

表面上，过N作球。的截面a,则a截球所得截面面积的最小值为（）

A.—7tB.无C.岛D.37t

4

【变式1】（2024•河南新乡•二模）已知一平面截球。所得截面圆的半径为2,且球心。到截面圆所在平面的

距离为1,则该球的体积为.

【变式2］（2024高三・全国・专题练习）己知球。的直径SC=4,A、8是该球面上的两点，且AS=2,

ZASC=30°,ZBSC=45°,则三棱锥S—ABC的体积为（）

旦204夜»平

,3亍亍

考点二交线问题

规律方法找交线的方法

（1）线面交点法：各棱线与截平面的交点.

（2）面面交点法：各棱面与截平面的交线.

考向1多面体中的交线问题

【例3】（23-24高三上•辽宁•阶段练习）已知在正方体A3CD-ABG4中，AB=4,点尸，Q,T分别在

棱BB「CG和A3上，且4P=3,C,Q=1,BT=3,记平面PQT与侧面ADRA,底面43co的交线分别

为"2,",则（）

A.加的长度为越B.机的长度为拽

33

C.〃的长度为拽D.〃的长度为，6

33

【变式1］（2023•云南昆明•模拟预测）已知正方体ABC。-平面a满足AC〃①BCj/c,若直

线AC到平面a的距离与BG到平面a的距离相等，平面a与此正方体的面相交，则交线围成的图形为

（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【变式2】（23-24高三下•北京海淀,阶段练习）"十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱"垂直贯穿"构成

的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条

相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某"十字贯穿体"由两个底

面边长为2,高为3亚的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（）

A.一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直

B.该"十字贯穿体"的表面积是32加

C.该"十字贯穿体"的体积是应1

3

D.一只蚂蚁从该"十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为4近

【变式3】（多选）（23-24高三上•湖北•期中）如图,正方体ABCD-ABC9的棱长为4,点E、F、G分

D}ED,F1第=”几＞0）,记平面跳G与平面4耳8的交线

别在棱。小、DC、AA上，满足方'=方丁二z

JLV|ZA]JLV,I/L/1

A.存在Xe（0,1）使得平面E尸G截正方体所得截面图形为四边形

33

B.当4=二时，三棱锥3-EFG体积为:

42

3

C.当彳==时，三棱锥A-MG的外接球表面积为34万

D.当2==时，直线/与平面ABCD所成的角的正弦值为2叵

考向2与球有关的交线问题

[例4]（2024•陕西商洛•模拟预测）某圆柱的轴截面是面积为12的正方形为圆柱底面圆弧CD的

中点，在圆柱内放置一个球。，则当球。的体积最大时，平面R4B与球。的交线长为（）

人岳兀D2/式_4扃c4而兀

12555

【变式1]（2023•河南,模拟预测）如图，在三棱锥A-38中，AB,ACAD两两垂直，且

AB=AC=AD^3,以A为球心，而为半径作球，则球面与底面3CD的交线长度的和为（）

A.2班兀B.百兀»李

~2~

【变式2】（22-23高三上•河北保定•期末）已知三棱锥。-ABC的所有棱长均为2,以8。为直径的球面与

ABC的交线为L则交线L的长度为（）

2后无4百兀2娓n4"兀

A.-------D.-------。.-----L）.--------

9999

【变式3］（多选）（23-24高三上•辽宁•开学考试）若平面与一个球只有一个交点，则称该平面为球的切平

面.过球面上一点恒能作出唯一的切平面，且该点处的半径与切平面垂直.已知在空间直角坐标系。-孙z

上+美［作

中，球。的半径为1.记平面xQv,平面zOx,平面yOz分别为名尸,7.过球面上一点《

切平面阳），且兀。与a的交线为/。，下列说法正确的是（）.

A.的一个方向向量为（应，-1,0）.

B./（）的方程为x+0y+G=O.

C.过z正半轴上一点N（0,0㈤作与原点距离为1的直线厂，设「={加|加=/'八0},若「c/°=0,则

〃的取值范围为（3,+8）.

D.过球面上任意一点P（x,y,z）作切平面无，记。=nc=,%=ncA，n=xcy,dp,dm,d〃分别为

27

，私〃到原点的距离，则dp•"n,d几之1~

8

强化训练

一、单选题

1.（22-23高三上•四川成都,阶段练习）已知正四面体ABCD的棱长为。，E为CD上一点,且

CE:ED=2:1,则截面ABE的面积是（）

„&2R夜222

A.aB.—aCr.-------aDn.------a

421212

2.（23-24高三下,江西•开学考试）已知一正方体木块ABC。-ABC。的棱长为4,点E在校AA上，且

AE=3.现过。，区用三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（）

A.4726B.5A/17C.2726»平

3.（23-24高三上•陕西西安•阶段练习）若平面1截球。所得截面圆的面积为12兀，且球心。到平面a的距

离为&,则球。的表面积为（）

A.48兀B.50兀C.56兀D.64兀

4.（2024•全国，模拟预测）在正方体ABCD-ABC2中，E,尸分别为棱入4，的中点，过直线跖的

q

平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为s,最大值为S,则史=（）

S

A.显B.』C.叵D.色

2255

5.（2024・陕西榆林•一模）已知H是球。的直径上一点，AH:HB=1:2,ABJL平面a,"为垂足，«

截球。所得截面的面积为兀，M为a上的一点，且MH=也,过点〃作球。的截面，则所得的截面面积

4

最小的圆的半径为（）

aV14而退而

A.D.L.U.

2442

6.（2024・四川成都•二模）在正方体ABCO-中，P、。分别是棱A4、CQ靠近下底面的三等分

点，平面2尸。平面ABCD=/,则下列结论正确的是（）

A./过点6

B.IHAC

C.过点R,P,Q的截面是三角形

D.过点Q,P,Q的截面是四边形

7.（22-23高三上,广东广州,阶段练习）已知三棱锥P-ABC的棱AB,AC,AP两两互相垂直，

AB=AC=AP=y[2,以顶点A为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长

为（）

A4n6n2A/2K267r

2333

8.（2024•广西•模拟预测）在三棱锥u一ABC中，平面以LC,VA^l,AB=AC=y[2,ZVAC=~,点

4

厂为棱AV上一点，过点尸作三棱锥V-ASC的截面，使截面平行于直线和AC,当该截面面积取得最大

值时，C尸=（）

厢V17r75n713

3423

二、多选题

1.（23-24高三上•广东湛江•阶段练习）如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为现准备将该木块锯

开，则下列关于截面的说法中正确的是（）

A.过棱AC的截面中，截面面积的最小值为县

4

B.若过棱AC的截面与棱3。（不含端点）交于点P,则;<cosZAPCwg

2

C.若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为人

4

D.与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个

2.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）如图，已知正三棱台ABC-AqG是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，

其中招=2,以点A为球心，2将为半径的球面与侧面BCC内的交线为曲线尸为:T上一点，则下列结论

A.点A到平面BCC内的距离为2而B.曲线「的长度为4n

C.CP的最小值为26-2D.所有线段"所形成的曲面的面积为生色

3

3.（2024高三・全国・专题练习）已知正方形ABC。的边长为2,E为AB的中点，将△AED沿。£折起，连

接A8,AC,得到四棱锥A—3CDE,则（）

A.存在使的四棱锥

B.四棱锥体积的最大值是卓

C.平面ABE与平面AC。的交线平行于底面

D.在平面ABC与平面ADE的交线上存在点R使得砂=也

2

三、填空题

1.（23-24高三下•江西•开学考试）在正四面体尸-ABC中，M为阴边的中点，过点又作该正四面体外接

球的截面，记最大的截面半径为R,最小的截面半径为r，则:=_______；若记该正四面体和其外接球的

R

体积分别为匕和匕，则*

2.（23-24高三下•江苏•开学考试）在正三棱锥A-BCD中，底面&BCD的边长为4,E为AD的中点,AB^CE,

则以AD为直径的球截该棱锥各面所得交线长为.

3.（2024•河南•模拟预测）在三棱柱ABC-A4G中，四面体AABC是棱长为2的正四面体，。为棱CG的

中点，平面。过点。且与48垂直，则a与三棱柱ABC-表面的交线的长度之和为

四、解答题

1.（2024•内蒙古赤峰•一模）已知正方体ABCO-A81G2，棱长为2.

⑴求证：平面；

AC_LAB{DX

⑵若平面a〃平面A片2,且平面。与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图形

（不必说出画法和理由），并求出截面面积的最大值；

⑶在（2）的情形下，设平面a与正方体的棱A2、BB］、4G交于点E、F、G,当截面的面积最大时,

求二面角。-斯-G的余弦值.

2.（2024高三•全国•专题练习）四棱锥S-ABCD的底面为矩形，BC=a,AB=®，高SO=],。为底

面对角线的交点，过底面对角线BD作截面使它平行于S4,并求出此截面的面积.

3.（2024高三•全国•专题练习）单位正方体ABC。-A及GR中，2片和。R上各有一点£,F,且

BE=DF=b（O<b<l）,过A,E,尸作正方体的截面，是否可能是正三角形？正方形？

4.（23-24高三下•贵州•阶段练习）如图，已知正方体ABC。-AB1G。，E为。口的中点.

DyC,

⑴过。1作出正方体的截面a,使得截面a平行于平面ABE,并说明理由;

7CF

⑵方为线段CG上一点，且直线2尸与截面仪所成角的正弦值为:，求才7.

5d]

5.（2024高三•全国・专题练习）正三棱台ABC-44。中，下底面的边长为。，侧棱与底面成角60。，过AB

作截面垂直于CG，求截面面积.

微重点09截面、交线问题（3大考点+强化训练）

“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给

静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结

合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

知识导图

__________________L—❶考点一：截面问题

★截面、交线问题

----------一J一❷考点二交线问题

考点分类讲解

考点一：截面问题

规律方法作几何体截面的方法

（D利用平行直线找截面.

（2）利用相交直线找截面.

考向1多面体中的截面问题

[例1]（2024・四川•模拟预测）设正方体gGR的棱长为1,与直线AQ垂直的平面。截该正方

体所得的截面多边形为〃，则M的面积的最大值为（）

A.>6B.-73C.—D.G

842

【答案】B

【分析】首先确定截面的形状，再通过几何计算，确定面积的最大值.

【详解】连结A8,因为平面AB44，A耳u平面所以8CLA用

且平面ABC,所以A耳，平面ABC,ACu平面ABC,

所以A4，AC,同理且ABt,4〃<=平面4月。，

所以AC平面ABQ；

所以平面a为平面A瓦2或与其平行的平面，M只能为三角形或六边形.

当"为三角形时，其面积的最大值为立x（0）2=立；

42

当M为六边形时，此时的情况如图所示,

设7CD=x,则必=1-%乩=0（1-》）,村=缶，

依次可以表示出六边形的边长，如图所示：六边形可由两个等腰梯形构成,

【点睛】关键点点睛：本题的关键1是理解题意，并能利用转化与化归思想，直观象限和数学计算相结

合，2是确定平面a,从而将抽象的问题转化为具体计算.

【变式1】（2024高三・全国・专题练习）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-AAGR中，点N分别

为棱4G，。上的动点（包含端点），当M,N分别为棱Bg,CD的中点时，则过4，M,N三点作正

方体的截面，所得截面为边形.

【答案】五

【分析】利用线线、线面平行的性质作出截面即可判断.

【详解】

D\

如图，取BC中点M',连接AM',MM',有MM'UBBJ/AA,,且肽9=84=",

则四边形①跖口是平行四边形，有过N作W的平行线交A£）于点E,

此时DE=[D4,则EN/&W,即EN为过A，M,N三点的平面与平面ABCD的交线，

连接AE,在8C上取点下，使得CF=：CB,连接BJ,同证W//4也的方法得AE//BL，

在棱CG上取点G,使CG=#G，连接MG并延长交直线BC于//,则C”=gGM=CP,

即切=而FH//B1M,于是四边形五瓦是平行四边形，

有MGIIB、F"E,则MG为过4，M,N三点的平面与平面BCG耳的交线，

连接NG,则可得五边形AMGNE即为正方体中过A，M,N三点的截面.

故答案为：五

【变式2]（23-24高三下•河南郑州•阶段练习）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，加为PC的中

点，平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为.

【答案】3:5

【分析】设四棱锥P-ABCD的体积为V,取PZ）的中点N,连接MN、AN、BD、BN,即可得到

3

AffiWN为截面，再根据锥体的体积公式得到％.A.N=?V，从而得解.

O

【详解】设四棱锥P-ABCD的体积为V,取尸。的中点N,连接MN、AN、BD、BN,

因为M为PC的中点，所以MN//DC且MN=上DC,又AB//DC,

2

所以MN//AB,SPMN=^SPDC,所以A、B、M、N四点共面，即ABMV为截面,

又^P-ABMN~Vp_ABN+Vp_BMN,其中力一ABN=^B-PAN=万^B-PAD=，

Vp—BMN=VB—PMN=~^B-PCD=g，

3

所以^P-ABMN=6V，

O

即截面截得四棱锥上部分的体积为93V,则下部分的体积为59V,

OO

所以平面ABM截得四棱锥上、下两部分的体积比为3:5.

【变式3】（多选）（2023•河北承德•模拟预测）如图，正六棱柱A3CDE尸-A4GRE书的各棱长均为1,下

A.过A,G，用三点的平面a截该六棱柱的截面面积为

B.过A,G，&三点的平面a将该六棱柱分割成体积相等的两部分

C.以A为球心，1.为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为：无

D.以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为

【答案】ACD

【分析】对于A：根据平行关系分析交线，进而运算求解；对于B：利用割补法求体积，分析运算；对于

c、D：根据球的半径分析交线，运算求解.

【详解】对于A：过点A作GH〃G4,设GHIBC=G,GHIEF=H,

连接£G,E}H,设GGIBBy=M,E}HIFF、=N,

则过A,G，&三点的平面a截该六棱柱的截面即为AMCgN,

22

可得BC_LAG,AG=AH=；eg=咚，GB=；,CQ=^GC+CXC=半，

因为GB=2GC,且B8"/CG，则Affi=』CC]=2,C1M=2CIG=巫，

33131313

可得AM=^!AB-+BM-=—,

3

因为_L平面ABCDEF,G"u平面ABCDEF,

所以3耳J_G",

BCBBl=B,BC,BB}u平面BCCXB,,可得GH±平面BCCXB.,

GGu平面BCG耳，则GHLCQ,

由G//〃G&,则

连接3EMN,则MN=BF=6,

故截面面积S=+SMNEC=~XA/3x+A/3x,故A正确；

对于B：连接CE,

因为3片JL平面ABCDEF,G3u平面ABCDEF,

所以血口BG,

BF±BG,BFcBB1=B,防,8与u平面8M4，可得G5L平面8@片，

则四棱锥A-①™的高为GB=1,则其体积匕BFNM=-X-X-Xy/3=—,

2A-BFNM32318

四棱柱BCGM-BEgN的体积Q+l卜1五2出，

VBCCM-FE%N=--------------X小=亍

三棱柱CDE-G，耳的体积VCDE一c：6父八弋,

故平面a下半部分的体积匕=VA-BFNM+%GM-F%N+%E-G*I=++=+,

103121o1Z

正六棱柱ABCDEF-A#GRE■书的体积V=6x-Lxlxlx^xl=,

222

显然hwgv,故B错误；

对于C：因为球的半径为1,则球只与侧面AB51A、侧面Aga和底面ABCDEF相交,

7T9JI_1

因为乙犷产二幺”二子/出台二不，在侧面AB4A、侧面4尸耳片的交线为了个圆，在底面ABCDE尸的

交线为g个圆，半径均为1,

故交线的长为2xjx27rxl+2x2无xl=",故C正确；

433

对于D：因为球的半径为2,显然球不与侧面AB4A、侧面相交，

由选项A可知：GH_L平面BCC；瓦，且JAG?+92=2,

则球与侧面BCC石、侧面瓦石耳分别交于点C1、E,,

连接AC,则ACJ_CD,

因为CCj_L平面ABCDEF,ACu平面ABCDEF,

所以CCJAC,

CDICCj=C,CZ),CGU平面CD〃G,可得AC_L平面CDDG,

且AC=6422-(⑹2=1,则球与侧面CD2G的交线为:个圆，且半径为1,

同理可得：球与侧面EDR月的交线为;个圆，且半径为1,

又因为44,，平面44GA与£，且朋=1,V22-12=g,NgAC=y，

则球与底面A4CR64的交线为，个圆，且半径为6,

6

又因为AD=2,则球与底面ABCDEF的交点为，

所以球面与该六棱柱的各面的交线总长为2中2兀xl+32”退

故D正确;

故选：ACD.

【点睛】方法定睛：在立体几何中，某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空

间轨迹与探求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化.对于较为复杂的轨迹，常常要分段考

虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题.对每一道轨迹

命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性.

考向2球的截面问题

【例2】（2024高三•全国•专题练习）已知正方形ABCD的边长为4,若将AABD沿BD翻折至I]A!BD的位

置，使得二面角A-BD-C为60。，N为AD的四等分点（靠近。点），已知点A,B,C,。都在球。的

表面上，过N作球。的截面则a截球所得截面面积的最小值为（）

A.—itB.无C.岛D.3兀

4

【答案】D

【分析】记3c的中点为。，可得。为外接球球心，当ON,截面a时，截面面积最小，再利用余弦定理

及截面小圆性质计算求解.

【详解】如图，取BC的中点为。，

Af

N

D

A

由正方形ABCD的边长为4,则。5=0。=。4=0。=2后,

因此。为空间四边形A'BCD的外接球球心，外接球半径R=2丘,

设球心到平面。的距离为d,截面圆的半径为八贝U有尺2=产+/,

艮|3厂=,当ON_L截面。时，d最大,此时截面面积最小，且QV=d,

jr

在△OND中，OD=2y[2，DN=\,ZODN=-,由余弦定理可得,

ON=^DN2+OD2-2DN-OD-cos^=Jl+8-4=石，

止匕时r=4R2—d”=J8—5=A/3）

所以截面面积最小值为it/=3兀.

故选：D

【变式1】（2024•河南新乡•二模）已知一平面截球。所得截面圆的半径为2,且球心。到截面圆所在平面的

距离为1,则该球的体积为

［答案】苧

【分析】利用球的截面圆性质求得球的半径，再利用球的体积公式即可得解.

【详解】由球的截面圆性质可知球的半径R=炉至=百,

则该球的体积为"X（君）3=迎回.

33

故答案为：型叵.

3

【变式2】（2024高三・全国•专题练习）已知球O的直径SC=4,A、8是该球面上的两点，且AB=2,

ZASC=30°,ZBSC=45°,则三棱锥S-ABC的体积为（）

AV2R204&5&

3333

【答案】C

TT

【分析】根据题意，利用勾股定理证明=设.ABC的外心为8c中点V,可得平面

ABC,由VS_ABC=计算得解.

【详解】设球心为。，连结49、B0,

QSC为球的直径，A、3是球面上的点，，ZS4C=NSBC=90。.

又•,ZASC=30P,ZSCB=45°,SC=4,

:.AC=2,AS=2y/i,BS=BC=2也.

又一AB=2,AB2+AC2=BC2,

TT

/.ZBAC=-设;.ABC的外心为3C中点M,

29

连接ON,根据球的性质，可得0Ml.平面A3C,

:.OM=-SB=42,

2

.".ABCxOM=；x；x2x2x7^=g^,

••玛一枷=2%由=华，三棱锥5-ABC的体积为芈•

故选：C.

考点二交线问题

规律方法找交线的方法

(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点.

(2)面面交点法：各棱面与截平面的交线.

考向1多面体中的交线问题

【例3】(23-24高三上•辽宁•阶段练习)已知在正方体ABC。-A耳CQ中，AB=4,点2，°,丁分别在

棱明,和A3上，且4P=3,G°=l，BT=3,记平面PQT与侧面A£)AA，底面ABCD的交线分别

为加，几，贝(J()

A.优的长度为也B.的长度为递

33

c.〃的长度为2叵D.〃的长度为巫

33

【答案】A

【分析】做出截面，确定线段加，"，由平行线分线段成比例，相似三角形的性质以及勾股定理即可得解.

【详解】如图所示,

连接QP并延长交CB的延长线于E,连接ET并延长交AD于点S,

交8的延长线于点H,连接交。A于点R，连接SR,

则优即为SR,〃即为ST,

PBEB1

由P8〃QC，得透===§，所以班=2,EC=6,

AQAT117

由AS//EB,^―=—=-,则45=二防=/，

EDIDJJJ

所以“=ST=以1+犷=巫,故c,D项错误;

3

SDHS5

由SDHEC,得zn一=——=-

ECHE9

又易知SR〃PQ,得器嚏,所以建一95,

所以SR=[QE=/QC2+EC2=乎,故A项正确，B项错,

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用平面的性质作出截面，从而得到加为SR,"为ST,由此得

解.

【变式1]（2023•云南昆明•模拟预测）已知正方体48a）—4囱。0/,平面a满足AC〃a,BG//a,若直

线AC到平面1的距离与8。到平面a的距离相等，平面a与此正方体的面相交，则交线围成的图形为

()

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】D

【分析】设瓦凡G,H,M,N分别为ABIC,C£,£2,42441的中点，证明6点共面，为六边形，再证明

此平面满足条件即可得解.

【详解】如图，

设E,F,G,H,M,N分别为AB,BC,CQ,CR,AQ,44,的中点，

连接EF,FG,GH,HM,MN,NE,AB,CQ,ADV\CX,

FG//BQ,MN〃AD1,FG=IBC],MN=^ADVBCX//ADX,BCX=AD,,

FG//MN,FG=MN,

同理可得，EF//MH,EF=MH,GH//NE,GH=NE,

共面,

AC//EF,ACtz平面EFGHMN,EFu平面EFGHMN,

r.AC〃平面EFGHMN,

同理可得BCJ/平面EFGHMN,

E为AB的中点，

A到平面EFGHMN的距离与B到平面EFGHMN的距离相等，

即平面EfGfflWN为所求的平面a,故与正方体交线为正六边形EFG//MN.

故选：D

【变式2】（23-24高三下•北京海淀•阶段练习）"十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱"垂直贯穿"构成

的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条

相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某"十字贯穿体"由两个底

面边长为2,高为3亚的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（）

M

A.一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直

B.该"十字贯穿体"的表面积是320

C.该"十字贯穿体”的体积是迎回

3

D.一只蚂蚁从该"十字贯穿体"的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为4夜

【答案】C

【分析】对于A：求出OC,OD,£)C,看是否符合勾股定理即可；对于B：该"十字贯穿体"由4个正方形和

16个与梯形加0G全等的梯形组成，分别求出来即可；对于C：求出两个正四棱锥重叠部分为多面体

CHDOX7的体积，然后求整个几何体的体积；对于D：将面ACO,面ECON,面NFDO绕着面与面之间

的交线旋转到与面DOGB共面，则线段AB的长即为所求.

【详解】依题意，不妨设该几何体中心对称，

对于A：在梯形3DOG中，BD=3^~2^=—,BG=2,OG=^,DC=2^2,

222

则0c=0£>=/［孚—曰］所以OC'+OD?WDC"

即一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线不互相垂直，A错误；

对于B：该"十字贯穿体"由4个正方形和16个与梯形应>0G全等的梯形组成,

故表面积S=4x2x2+16x］X曰+^-x2=320+16,B错误；

对于C：如图两个正四棱锥重叠部分为多面体CHDOK7,取C/的中点/,

则多面体CHDOKJ可以分成8个全等的三棱锥C-"O/,

1x2x2=^1

又VJHOI=不ex

23

所以该“十字贯穿体"的体积是2x2x2x30-8x迪=2,C正确;

33

对于D：将面ACO,面ECON,面NEDO绕着面与面之间的交线旋转到与面OOG5共面，如图:

tanADOG=—k------=\/2>1„.

则3A/2V2,所以NNOG=2/DOG为钝角，

~2r

连接AB,则线段A3的长为一只蚂蚁从该"十字贯穿体"的顶点A出发，沿表面到达顶点8的最短路线长,

根据对称性可得AB,NO,

因为tanZDOG=应，所以tanZNOG=tan2NDOG=仝变=-272,

tan40G=金=限

~2~

贝D错误.

。B

E、

VG

故选：C.

【点睛】方法点睛：对于几何体表面距离和问题，一般通过将各面旋转转化为共面问题，然后距离最小问

题可以转化为两点之间线段最短或者垂线段最短的问题来解答.

【变式3】（多选）（23-24高三上•湖北•期中）如图，正方体ABCD-4qGQ的棱长为4,点、E、F、G分

别在棱AA、2G、4A上，满足羔=至=9，=记平面所G与平面的交线

为/，则（）

A.存在2e（0,1）使得平面印G截正方体所得截面图形为四边形

33

B.当力=—时，三棱锥3-瓦G体积为一

42

3

C.当彳=:时，三棱锥A-MG的外接球表面积为34万

D.当2=:时，直线/与平面ABCD所成的角的正弦值为2叵

233

【答案】BD

【分析】对于A,对彳分情况讨论，图形展示即可；

对于B,当彳=［时，要=］=妾，得出〃平面EFG,利用等体积可求体积；

44A442

3

对于C,当4=］时，三棱锥4-EFG的外接球心在过线段EG的中点，且垂直于平面ARDA的直线上，

4

可求出厂=画，得表面积；

2

对于D,求出/的方向向量与平面ABCD法向量，利用向量公式可得答案.

【详解】设正方体的棱长为4,以。为原点，以D4、DC、。口所在的直线分别为x轴，＞轴，z轴，建

立空间直角坐标系，如图所示：

鬻由所〃AC可知所〃AC，所以截面E产G即为四边形

JLx.ZTJJL-AI

EFCA,Xe(0,1)由图形知，截面所G为五边形或六边形.故A错误.

所以GB〃平面跳G,

峰—「

EFG=V(JEFG=VG-ciEF,又GAJ平面E『G，

所以bGELlsAcGAiAxCxBxin三棱锥3-EFG体积为4,故B正确.

D)1乙)乙L

3

对于c选项，当2=3时，4G=4E且A耳，平面AEG,

4

所以根据球的性质容易判断，三棱锥4-EFG的外接球的球心在过线段EG的中点，且垂直于平面ADtDA

的直线上,

£(1,0,4),G(4,0,l),所以EG的中点