二次函数压轴题-存在性问题（解析版）

第12课二次函数压轴题-存在性问题

一、解答题

1.如图，抛物线y/=af+c的顶点为加，且抛物线与直线>2=丘+1相交于A、2两点，且点A在X轴上,

点8的坐标为(2,3),连结AM、BM.

(1)。=,c=,k=(直接与出结果)；

⑵当力<”时，则X的取值范围为—(直接写出结果)；

(3)在直线AB下方的抛物线上是否存在一点尸，使得AABP的面积最大？若存在，求出AABP的最大面积及

点P坐标.

【答案】(1)1,-1,1；

(2)-1<x<2；

的最大面积为二；点尸坐标为(J,-f-).

824

【分析】⑴将点8的坐标(2,3)代入/=丘+1求得左=1,得到竺=尤+1,求出A(-1,0),将A(-1,

0)、B(2,3)代入以=加+。解得。=1,c=-1；

(2)根据A(-1,。)、B(2,3),结合图象可得：当”时，贝心的取值范围为-l<x<2；

(3)设平行于直线”=尤+1和抛物线相切的直线解析式为*=x+6,由%=厂［解得>=-之，A=x_5

=x+b44

求得P(1,-j),此时，△ABP的面积最大，设》=尤-：与无轴交于点C则点C(T，0),过点C作

2444

CDLAB,可知线段。的长度即为AABP的高的长度，证明AACD为等腰直角三角形，根据AC=g-(-1)

=7,求得CZ)_AC_4_9底，求出48=5(2+1)2+32=3五,算出△48尸的面积为！x3虚x述=幺.

4一正一次一丁288

(1)

将点8的坐标(2,3)代入丫2=日+1得：

3=2%+1,

解得:k=l,

.\y2=x+l,

令m=0得：O=x+1,

解得：x=-1,

•，-A(-1,0),

将A(-1,0)、B(2,3)代入刃=一+c得：

f0=a+c

[3=4a+c'

解得：a=l,c=-1,

故答案为：1,-1,1；

(2)

VA(-1,0)、B(2,3),

；・结合图象可得：当刃<”时，贝Ix的取值范围为-1<x<2,

故答案为：-l<x<2；

(3)

在直线AB下方的抛物线上存在一点P,使得AAB尸的面积最大.

如图，设平行于直线N2=x+1的直线解析式为：”=x+6,

由卜「X一1得：尤2_1=x+"

[y3=x+b

/.x2-x-1-=0,

令△=0得：1-4(-1-b)=0,

解得:&=-(,

4

•••/二钎：，

Ax2-x-1+9=0,

4

解得：XI=X2=g,

5153

..X

42~4~~4

-2)

，当点。坐标为(|,4)时，△叱的面积最大

设”一：与X轴交于点C,则点C坐标为：G，0),过点C作皿越

由平行线间的距离处处相等，可知线段CD的长度即为△ABP的高的长度,

y2=x+l与x轴所成锐角为45。,

△ACD为等腰直角三角形,

9

AC=­~(-1)

44

9

CD_AC4_9/,

~8

A(-1.0).B(2,3),

22

AB=A/(2+1)+3=3A/2,

尸的面积为：-x3V2x—=—

288

在直线A5下方的抛物线上存在一点尸，使得AABP的面积最大；△A8P的最大面积为《27；点尸坐标为

8

(〜-1

【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式综合

运用一次函数性质和二次函数性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握函数与不等式的关

系.

2.如图，抛物线y=-；尤2+云+。与x轴交于点A(-2,0)和点8(8,0),与y轴交于点C,顶点为D连

接AC,BC,8C与抛物线的对称轴/交于点E.

(1)求抛物线的表达式；

7

(2)点尸是第一象限内抛物线上的动点，连接尸2,PC,当SP8C二五时，求点尸的坐标；

(3)点N是对称轴/右侧抛物线上的动点，在射线加上是否存在点使得以点N,E为顶点的三角形

与402C相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=gd+3x+8

(2)P；(1,10.5),P2(7,4.5)

(3)存在，(3,8)或(3,5+岳)或(3,11)

【分析】(1)直接将A(-2,0)和点B(8,0)代入尤2+公+。(“¥()),解出％,c的值即可得出答案;

(2)先求出点C的坐标及直线8C的解析式，再根据图及题意得出三角形P8C的面积；过点P作尸G,无

轴，交x轴于点G,交BC于点尸，设尸”,：/+3尤+8),根据三角形尸2。的面积列关于「的方程，解出r的

值，即可得出点尸的坐标；

(3)由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM,MN=NE,A®=EM三种情况讨论结合

图形得出边之间的关系，即可得出答案.

(1)

解：：抛物线y=-；/+6尤+。过点A(-2,0)和点8(8,0),

•*ay=-不(尤+2)(了-8)

抛物线解析式为：y=-；/+3x+8;

⑵

解:当x=0时，y=8,

，C(0,8),

直线BC解析式为:y=-x+8,

,•,^C=1-AB-OC=1X10X8=40,

.7

,,SBCP=与SABC=14

过点P作尸轴，交x轴于点G,交BC于点F,

设尸。,；/+3f+8),

:，F(t,-r+8),

1„

:.PF=——t2+4t、

2

=

••SBCP14,

即:]fx8x/=14,

•*-ti=l,念=7,

.,.Pi(1,10.5),P2(7,4.5)；

(3)

解：存在，点M的坐标为：(3,8),(3,5+厉)或(3,11).

VC(0,8),B(8,0),/COB=90。,

...△02C为等腰直角三角形，

1-b-3--

抛物线丁=万/+3工+8的对称轴为“一2a-2x(_JL)—，

.•.点E的横坐标为3,

又：点E在直线BC上，

...点E的纵坐标为5,

•••£(3,5),

设A/(3,/w),N(“,L』+3/7+8)

2

①当MN=EM,/EMN=90°,

m-5=n-3

ANME^ACOB,贝叫12，

——n+3n+8=m

I2

«=6n=—2

解得加=8或(舍去))

m=n(J

・•・此时点M的坐标为（3,8）,

②当ME=EN,当NM&V=90。时,

m—5=n—3

则1

——/+3〃+8=5'

I2

m=5+y/15仁盛（舍的

解得：或4

〃=3+厉1

此时点〃的坐标为（3,5+后）；

③当MN=EN,ZMNE=90。时,

此时△MNE与4COB相似，

此时的点M与点E关于①的结果(3,8)对称,

设M(3,in),

贝IJ"7_8=8-5,

解得m=11,

/•A/(3,11)；

此时点M的坐标为(3,11)；

故在射线上存在点使得以点N,E为顶点的三角形与△O8C相似，点M的坐标为：(3,8)或

（3,5+岳）或（3,11）.

【点睛】本题是一道综合题，涉及二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股

定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线.

3.如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A,D,C三点，已知点4(4,0),点C(0,4).若该抛物线与正方形

0ABe交于点G且CG:G8=3:1.

(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；

(2)若线段。4,OC上分别存在点E,F,使EnLPG.

已知OE=m,OF=t.

①当t为何值时，机有最大值？最大值是多少？

②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线0B对称.问是否存在。使点。恰好落在抛物线

上?若存在，直接写出/的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=-炉+3》+4,点£)的坐标为(-1,0)；

⑵①当r=2时，加有最大值，加最大=g；②存在，当/=11±省7时点G恰好落在抛物线上

【分析】(1)先求得点G的坐标，再用待定系数法求解即可；

(2)①证明△EOFS^BCG,利用相似三角形的性质得到相关于f的二次函数，利用二次函数的性质即可

求解；

②根据轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质先后求得点EG町2。，点。(2。-利)，代入二次函数的

解析式得到方程，解方程即可求解.

(1)

解：•.•点4(4,0),点C(0,4),且四边形。42c是正方形，

OA=OC=8C=4,

VCG:GB=3:1.

ACG=3,BG=1,

•••点G的坐标为(3,4),

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

16。+4/?+。=0

把A(4,0),C(0,4),G(3,4),代入户62+次+。得(c=4,

9〃+3Z?+c=4

a=-1

解得b=3,

c=4

抛物线的解析式为y=-/+3x+4,

令y=0,则-X2+3X+4=0,

解得x=4或x=-l,

二点。的坐标为(-L0)；

(2)

解：①AZEOF=ZGFE=ZGCF=90°,

•・•/EFO+/FEO=/EFO+/CFG=9U。,

：.ZFEO=ZCFG,

，丛EOFs丛FCG,

.OEOF日口mJ

CFCG4-Z3

•1,41,…4

..m=--12+—t=~~(t-2y+—,

3333

4

...当r=2时，机有最大值，最大值为§;

②•.•点A(4,。)，点C(0,4),且四边形。4BC是正方形，

.••点B的坐标为(4,4),

设直线0B的解析式为y=kx,

把(4,4),代入得：4=4匕解得仁1,

二直线OB的解析式为产x,

过点R作RSJ_y轴于点S,

,/点E与点R关于直线FG对称，EFLFG,

：.RF=EF,NRFS=/EFO,

：.^RFS^^EFO,

：.RS=EO=m,FS=FO=t,贝S0=2f,

；•点尺的坐标为Gm,2f),

,•1点R与点。关于直线OB对称.

同理点。的坐标为(2/,-优)，

把Q(20-/")代入y=-/+3x+4,得：-zn=-4f?+6/+4,

14

由①得m=--t2+—t,

14

：,-t2--t=-4t2+6t+4,

33

解得公11+标,「七里(舍去)，

113213

・.・0W%«4,.，•当'1+历时点G恰好落在抛物线上.

13

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、二次

函数的性质、轴对称图形的性质，根据题意画出图形是解答问题的关键.

4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.

(D求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为町AAMB的面积为S,求S关于的函数关系

式，并求出S的最大值；

(3)若点P是抛物线上的动点，点。是直线＞=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P,Q,B,O为顶点

的四边形为平行四边形(要求尸直接写出相应的点。的坐标.

【答案】⑴yJl+xT

⑵：S=-/-4%,当根=-2时，S的最大值为4

⑶Q(-2+262-2回或卜2-2行,2+2回或(-4,4).

【分析】(1)先假设出函数解析式，利用待定系数法求解函数解析式即可；

⑵设出M点的坐标，5=SAAOM+SAOBM-SAAOB,即可进行解答；

(3)由PQ〃O8,贝IJO8,PQ是平行四边形的边，根据平行四边形的对边相等，列出方程求解即可.

【解析】(1)解：设此抛物线的函数解析式为：>=江+公+。(W0),

将A(-4,0),8(0,-4),C(2,0)三点代入函数解析式得：

116a-4A+c=0

ic=-4

；4〃+2Z?+c=0

i1

1a=—

I2

解得〃=1,

ic=-4

i

i

所以此函数解析式为：y=^x2+x-4；

(2)解：连接。河,

点的横坐标为见且点M在这条抛物线上，

点的坐标为;皋,《川+小4,

秒2

S=S^AOM+S^OBM-S^AOB=yx4x(--m2-m+4)+yx4x(-m)-Jx4x4

2222

=-(m+2)2+4,

*.*-4<m<0,

当初=-2时，S有最大值为：S=0+4=4.

答：加=-2时，S的最大值为4；

(3)解：设尸(尤，^x2+x-4).

根据平行四边形的性质知「。〃。8,且尸。=。尻贝【JOB,尸。为平行四边形的边,

二。的横坐标等于尸的横坐标，

又：直线的解析式为y=-尤,

则Q（尤，-x）.

由尸0=02,得-X-覆f+尤-4=4,

整理得：-；/-2x+4=4,

所以-工彳2_2x+4=4或-工/_2x+4=-4,

22

解得x=0或-4或一2±2若（x=0不符合题意，舍去）.

由此可得：0（-2+2班,2-2君）或「2-2石,2+2回或（-4,4）.

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，有一定的综合性，

熟练的利用二次函数的性质与平行四边形的性质解题是关键.

5.如图，抛物线y=«x2+2x+c（°<0）与x轴交于点A和点8（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧）,

与y轴交于点C,OB=OC=3.

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）如图1,连接BC,点。是直线BC上方抛物线上的点，连接。。CD,0D交BC于点、F,当S^/SCOB

=1：3时,求点尸的坐标；

3

（3）如图2,点E的坐标为（0,-y）,在抛物线上是否存在点P,使/。8尸=2NO8E?若存在，请求出点

尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y——%2+2x+3；

（3）存在，尸（；吊）或（怖）

【分析】(1)先求出点8、C的坐标，再利用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)由Sc“：Sc°B=l：3可得。点横坐标为1,则。(1,4),分别求出直线BC和直线。。的解析式，

联立解析式成方程组即可求得点尸的坐标；

(3)先求出tan/08E=过点。作于N,在BE上截取过点M作M乩LAB于H,

_4

再求出tan/OMN=由题意可得/OMN=N08P,过P点作PGJ_x轴于G,设尸(t,-产+2/+3),则

tanZOMN=tanZPBG=——---,-,求出f的值即可得到点尸的坐标.

BG\3-t\3

(1)

解：'：OB=OC=3,

­■B(3,0),C(0,3),

(c=3

将点8⑶0),C(0,3)代入y="2+2x+c得：

[9。+6+。=0

[a=—1

解得:。，

[c=3

...抛物线的函数解析式为：y=-x2+2x+3；

(2)

SCOD：SCOB=1：3,OB=3,

点横坐标为1,

­■D(1,4),

设直线。。的解析式为丫=依，

代入。(1,4)得：4=匕

•••y=4x,

设直线BC的解析式为y=k'x+b\

3k'+b'=0

代入8(3,0),C(0,3)得：

b'=3

k'=-l

解得

b'=3

・••直线3。的解析式为y=-1+3,

y=-x+3

联立

y=4x

x=—3

解得11,

ry

“(13'TI?);

(3)

存在点尸，使/0BP=2/0BE；

3

・・,点E的坐标为(0.

-'OE-2'

•・・O5=3,

tanZOBE=g,

如图，过点。作0N，5石于N,在BE上截取5M=。M,过点M作"于”,

3_

：.HB=

2

■an/HBM=*=g

：.HM

：.BM

23

OBOE3x]=36

：.ON=

BE3^/5-5

F

***tanNOBN-=—,

BN2

：・BN=2ON=成,

5

20

3.

,ON-V4

：.tanZOMN=w=T=-

MN9753

20

*：ZOMN=2ZOBE,ZOBP=2ZOBE,

：.NOMN=ZOBP,

过尸点作PG，龙轴于G,

设尸（兀-产+2,+3）,

PG卜/+2/+3|4

tanZOMN=tanZPBG=—=J~~：——；~^=一

BG\3-t\3

17

解得：/=3（舍）或片耳或片-十

图2

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数的交点问题，解直角三角形，勾

股定理的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握待定系数法及函数图象交点坐标的求法是解题的关键.

6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/+b尤+c与直线相交于A,B两点,其中A(-3,-4),

(1)求该抛物线的函数表达式.

(2)点P为直线下方抛物线上的任意一点，连接出，PB,求面积的最大值.

(3)在二次函数的对称轴上找一点C使得△A3C是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标.

27

【答案】(1)y=/+4x-1；(2)—；(3)C点坐标为G(-2,-L+W),Q(-2,-l-^),C3(-2,^+V17),

o

Q(-2,-1-717),C5(-2,-1)

【分析】(1)直接把A、8坐标代入抛物线解析式求解即可；

(2)先求出直线AB的解析式为y=x-1,设尸(a,o2+4a-1),则。(a,a-1),PQ=-a2-3a,可得

i3327

=7X3x(一—3。)=—7(〃—不)2+,利用一次函数的性质求解即可；

2228

(3)分当AB=BC时，当AB=AC时，当BC=AC时，三种情况讨论求解即可.

【解析】解：(1)将A(-3,-4),B(0,-1)代入y=/+6x+c,

[-4=9—36+c

得1，

c=-1

[0二4

解得「

[c=­l

六抛物线解析式为y=『+4尤-1;

(2)设直线A8的解析式为7=为+“

\-3k+b=^X

则71-

[D--1

解得[「I，

^=-1

・・・直线A3的解析式为y=x-1,

设尸(a,a2+4a-1),则。设a-1),

PQ=-4_3a,

]33227

3AB=-x3x(-a?_3〃)=--(<2--)+—,

3

——<0,

2

・・・当〃二13■时，△B45的面积有最大?值7?；

28

(3)V抛物线解析式为y=A~+4.r-1,

抛物线的对称轴为-b二=-2,

2a

设点C(-2,>),

VA(0,-1),B(-3,-4),

AAB2=32+32=18,BC2=22+(y+1)2,AC2=12+(y+4)2

①当=时，

：.22+(y+1)2=18,

解得y=-1土,

Cj(—2,—1+y/14),C2(—2,—1—V14)；

12+(y+4)2=18,

解得y=-4±Vn,

G(-2T+M，G(-21—加；

：.22+(y+1)2=12+3+4)2

7

解得y=

7

综上所述：C点坐标为G(—2,-1+巧)，C2(-2,-1-714),G(-2,Y+W),G(—2,T-W),C5(-2,--)

【点睛】本题主要考查了一次函数综合，二次函数综合，待定系数法求函数解析式，两点距离公式，等腰

三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识.

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-/+丘-2左伏＜0)与无轴正半轴交于点C,与y轴

的交点为A.

(1)若抛物线经过点B(-3,1),求抛物线的解析式；

(2)无论左取何值，抛物线都经过定点加，求点M的坐标；

(3)在(1)的条件下，点尸是抛物线上的一个动点，记AAB尸的面积为S/,AABM的面积为S2,设S2=

nSlt若符合条件的点尸有三个，求〃的值.

【答案】(1)y=f=2x+4；⑵点M的坐标为(2,-4)；⑶〃的值为夺.

【分析】(1)直接把点B(-3,1)代入抛物线解析式进行求解即可；

(2)由抛物线解析式为y=—无日—2左=一一+(%—2泳，则当尤=2时，y=-4,函数值与/的取值无关,

由此即可得到答案；

（3）设直线的解析式为y=£x+6,直线于y轴的交点为E,可求得直线8M的解析式为y=-x-2,

得到E点坐标为（0,-2）,从而求出现4刎=15；如图所示，在直线A2上方作直线乙〃45且直线4与抛物

线只有一个交点匕，对应的在直线A8下方作直线4//AB,其中直线乙与直线A8的距离等于直线4与直线

AB的距离，则S”如=5"牝=右加丹（等底等高），根据除去尤居，得这三个位置外，符合邑的尸点的

个数为4个或2个；推出邑="S△曲，由此先求出直线AB的解析式为y=x+4,则可设直线乙的解析式为

y=x+b2,联立[尸二%，得一+3》-4+,=0,求得"=?从而求出点片的坐标为（-1,当，

[y=-%—21+4424

过点片作X轴的垂线交AB于H,根据SVABR=S、P、BH+S、P、AH,求出&AB4即可得到答案.

【解析】解：⑴•..抛物线y=-v+区一24经过点8（-3,1）,

：.1=-（-3）2-3k-2k,

•*.k=—2,

・••抛物线解析式为y=_f_2x+4；

（2）：抛物线解析式为y=——+丘—2左=一无2+（x-2欣，

当x=2时，y=T,函数值与左的取值无关，

；•点/的坐标为（2,-4）；

（3）:抛物线y=-f-2x+4与y轴交于点A,

•••点A的坐标为（。，4）,

设直线BM的解析式为y=kxx+b,直线于y轴的交点为E,

.[-3kx+b=\

一12左+1Z?=—4'

.妆=T

•・[b=-2'

/.直线BM的解析式为y=-X-2,

•••E点坐标为（0,-2）,

XX

,"SVABM=SyABE+SvAME=]人召'M人召,（~B）=15,

如图所示，在直线AB上方作直线4〃A8,且直线（与抛物线只有一个交点片，对应的在直线下方作直

线l2//AB,其中直线4与直线AB的距离等于直线4与直线AB的距离,

S/\A56-S/XABP?.S4ABP3（等底等高）,

:除去片，P2,8这三个位置外，符合邑刁耳的尸点的个数为4个或2个；

**•S?-n^^ABPi.

设直线AB的解析式为y=k2x+b1,

.J-3左2+4=1

’,日=4

%2=1

4=4'

直线A3的解析式为y=x+4,

可设直线4的解析式为y=x+b2l

；二；1+4得尤2+3x-4+8=。，

联立

2

**.A=3+4（4—Z>2）=0,

,9

.**x+3xH——0,

4

3

解得x=-1

2

工点耳的坐标为（-3李?19）

过点月作x轴的垂线交AB于H,

3

.•.点”的横坐标为-今

点H的纵坐标为!■,

2

9

••SyA期―S~p1BH+SvqAH

27

T

【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，平行线间距问题，待定系数法求函数解析式等等，解

题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解.

4

8如图,在平面直角坐标系中，直线y=§%+4与x轴交于点A,与y轴交于点C抛物线y=a?+"+c（Qwo）

经过A、。两点，与x轴的另一交点为点5.

y

(1)求A、C两点的坐标；

(2)当ABC为轴对称图形时，求抛物线的解析式；

(3)当ABC关于y轴成轴对称时，若点/、N是抛物线上的动点，且有肱V〃尤轴，点P是龙轴上的动点,

在坐标平面内是否存在一点。，使以M、N、P、。为顶点的四边形构成正方形？若存在，求出。点坐标：

若不存在，请说明理由.

2O

【答案】(1)A(-3,0),C(0,4);(2)当=时，y=-^x+4；当AB=3C时,y=--(x+3)

21|,oj；。3(6,0)，。4(-6,0);

当小=AC时,「…号心仁+3)。+8)⑼存在，当

【分析】(1)分别令x=o,y=o代入解析式求出坐标即可；

(2)当ABC为轴对称图形时时，要进行分论讨论所有存在的情况，求出点8的坐标，根据两根式求出解

析式；

(2)利用分论讨论思想和图形关于y轴的对称性来求解.

4

【解析】解：⑴当尸0时，0=-x+4,解得：x=_3；当x=0时，y=4;

.-.A(-3,0),C(0,4),

(2)当C4=CB时，有一种情况：

设B(x,0),CA=CB,由两点间距离公式得：

7(0+3)2+(4-0)2=7X2+(0-4)2,

解得：x=3,x=-3(与重合A(-3,0),舍去)

A(-3,0)、8(3,0)、C(0,4)

根据两根式，设抛物线的解析式为：y=a(尤-3)(x+3),

4

将点C(0,4)代入上式，解得：°=q,

:.y=--x2+4

9

当AB=3C时，有一种情况：

同理：设8(x,0),AB=BC,由两点之间的距离公式得：

J(X+3)2=JY+(O_4)2,

7

解得：X=g

0

4(一3,0)、喉,0)、C(0,4)

7

由两根式，设抛物线的方程为：y=〃(尤-二)(x+3),

6

Q

将点。(0,4)代入上式，解得：a=,

_8,/71

..y=-y(x+3)lX--I

当AB=AC时，有两种情况：

同理：设8(无,0),AB=AC,由两点之间的距离公式得：

7(%+3)2=732+42,解得：尤=2,元=一8,分论如下：

4-3,0)、3(2,0)、C(0.4)

由两根式，抛物线的方程设为:y=a(尤-2)(尤+3),

2

将点。(0,4)代入上式,解得：〃=_；,

二,=_》+3)(尤_2)

4-3,0)、8(-8,0)、C(0,4)

由两根式，抛物线的方程设为：y=a(x+3)(x+8),

将点。(0,4)代入上式，解得：

6

...y='（无+3）（尤+8）

O

4

（3）由⑵知，抛物线解析式为y=-《/+4

当MN为正方形一边时，设Q(%,0),

43

1.2k=—k9+4,k=—6,k=—

92

a

①当MN在冗轴上方，且为正方形一边时，k=j,根据对称性；

有呜,。)4iq；

②当MV在无轴下方，且为正方形一边时，k=—6,根据对称性：

有Q(6,0)，Q(-6,0)；

当MN为正方形对角线时时，设。(0,外

解得：人出警

,-9+3岳

③当MV在无轴上方，且为正方形对角线时,k=---------------

4

有。5

,-9-3月

④当MN在x轴下方，且为正方形对角线时,k=---------------

4

【点睛】本题考查了求解函数与坐标轴的交点坐标，分类讨论求解二次函数的解析式，动点问题，是函数

与几何问题的综合题型，题目较难，解题的关键是：利用数形结合的思想，进行分类讨论，逐一解决.

9.如图，抛物线尤(a>0)过点E(8,0),矩形ABC。的边A3在线段OE上(点A在点B的左

侧)，点C、。在抛物线上，/胡。的平分线AM交BC于点点N是C。的中点，已知04=2,且。4：

AD=1：3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、尸构成四边形MNG尸，求四边形MNG尸周长

的最小值；

(3)在x轴下方且在抛物线上是否存在点P,使AODP中。。边上的高为5叵？若存在，求出点尸的坐

5

标；若不存在，请说明理由；

【答案】(1)y=^x2-4x；(2)12^/2；(3)存在，点尸坐标为(6,-6)满足使△尸中边上的高

*6M

为二一

5

【分析】(1)由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以42,0)；由OA=2,

且Q4:AD=1:3得AD=6.由于四边形ABCD为矩形，故有？所以点O在第四象限，横坐标与A

的横坐标相同，进而得到点。坐标.由抛物线经过点。、E,用待定系数法即求出其解析式.

(2)画出四边形由于点尸、G分别在x轴、丁轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点AT,

作点N关于丫轴的对称点点N',得FM=FM'、GN=GN'.易得当M'、F、G、N'在同一直线上时

N'G+GF+FM，=MN最八、故四边形MNGF周长最小值等于MV+MN'.根据矩形性质、抛物线线性质等

条件求出点V、M，、N、V坐标，即求得答案.

(3)因为。。可求，且已知AOD尸中。。边上的高，故可求AODP的面积.又因为AODP的面积常规求法

是过点尸作尸。平行y轴交直线。。于点Q,把AODP拆分为AOPQ与ADPQ的和或差来计算，故存在等量

关系.设点P坐标为f,用f表示PE的长即列得方程.求得f的值要讨论是否满足点P在*轴下方的条件.

【解析】解：(1)点A在线段OE上，E(8,0),OA=2,

A(2,0),

OA-.AD=V.3,

.AD=3OA=6,

四边形ABC。是矩形，

:.AD±AB,

0(2,-6),

抛物线y=af+bx经过点。、E,

J4tz+2Z?=-6

一164"+汕=0'

1

d——

解得：2,

b=-4

二抛物线的解析式为>=白2-4x,

(2)如图1,作点M关于x轴的对称点点AT,作点N关于，轴的对称点点N',连接助T、GN'、M'N',

M

1i

x29-4x=—(x-4)92-8,

••・抛物线对称轴为直线％=4,

点C、O在抛物线上，且CD//x轴，。(2,-6),

「•无=%=-6,即点C、。关于直线％=4对称，

.,.2=4+(4-与)=4+4-2=6,BPC(6,—6),

,\AB=CD=4,3(6,0),

AM平分44。，ZBAD=ZABM=90°,

：.ZBAM=45°,

:.BM=AB=4,

・••”(6,-4),

点M、M'关于x轴对称，点厂在x轴上，

•・M(6,4),FM=FM',

QN为CO中点，

・•.N(4,-6),

,「点N、N’关于y轴对称，点G在y轴上，

.•.N'(T,-6),GN=GN,

二•C四边形MVG尸=MN+NG+GF+FM=MN+NG+GF+FM：

当M'、F、G、N'在同一直线上时，NG+GF+FM，=MN最小,

C四边mvGF=MN+M'N'=7(6-4)2+(-4+6)2+7(6+4)2+(4+6)2=20+10夜=12应，

，四边形MNGV周长最小值为120.

(3)存在点尸，使AODP中。。边上的高为小区.

5

过点P作「。〃＞轴交直线。。于点Q,

£)(2,-6),

OD=V22+62=2M,直线。。解析式为y=-3x,

设点尸坐标为«,1f2-4r)(0<r<8),则点。(r,-3f),

①如图2,

当0</<2时，点P在点。左侧，

1,1,

二.尸。=%一丁产二一3/一(5%-4t)=--t+t,

ODPAPQQX2中边上的

S^=S0+S^=—PQ»xp+—PQ»(D-xp)=—PQ(xp+xD-xp)=—PQ»xD=PQ=--t+tAODPOD

_6A/10

1=]/l=---------->

5

SXODP=_OD・h.

.L+uLz®迦，

225

方程无解，

②如图3,

当2<,v8时，点尸在点。右侧,

1919

PE=yP—yE=-t—4?—(-30=-t—t,

SAODP=SAOPQ_Sap。=—PQ,Xp—-PQ^xp-xD)=—PQ(xp-xp+xD)=—尸Q♦和二万产T,

.1121义2皿等,

•,一r

22

解得：。=-4(舍去)，L=6,

「•尸(6,-6),

综上所述，点P坐标为(6,-6)满足使AODP中。。边上的高为处.

5

【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中

求三角形面积，抛物线的平移，解题的关键是对点。、C、8坐标位置的准确说明，及明白点。左侧不存

在满足的P在点。左侧的讨论.

1711

2

10.在平面直角坐标系中，抛物线C外：y=--x--x+l,抛物线C内：y=or+bx的对称轴为直线*=

6610

且C内的图象经过点4(-3,-2),动直线x=f与抛物线C内交于点与抛物线C外交于点N.

(1)求抛物线C内的表达式

(2)当AMN是以为直角边的等腰直角三角形时，求f的值；

(3)在(2)的条件下，设抛物线C外与V轴交于点8,连结AM交V轴于点P,连结PN.

①在尸点上方的y轴上是否存在点K,使得/©VP=NONS?若存在，求出点K的坐标，若不存在，说明

理由.

②若平面内有一点G,且PG=1,是否存在这样的点G,使得/GNP=NONB?若存在，直接写出点G的

坐标，若不存在，说明理由.

①存在，K(0,-4)；②存在，满足条件的G点坐标为：(0,-4),

【分析】(1)根据对称轴公式及点A坐标利用待定系数法求值即可；

⑵表示出点M、N的坐标，分/ANM=90。、/AMN=90。两种情况，利用等腰直角三角形的性质计算判

断；

⑶①先求出直线AM的表达式从而得到点P坐标，再利用ASA证明△MN丝△03N,利用全等三角形

性质即可求出点K坐标；

②根据题意画出满足条件的图形，由①可找到第一个满足条件的G,再通过延长和圆的对称性找到剩余三

个点，利用两点间的距离进行计算.

【解析】解：(1)抛物线C内：>=依2+法的对称轴为直线式=-2，且C内的图象经过点A(-3,-2),

<2。10,

9(2-3/?=-2

5

a=—

解得：6,

b=——

16

5o11

・••抛物线C内：y=~~7X；

66

(2),・,动直线％=，与抛物线C内交于点M,与抛物线C外交于点N,

I66

当NANM=90。，AN=MN时，此时AN〃x轴,

VA(-3,-2),

解得:—

当r=2时，N（2,-2）,M（2,-7）,此时AN=MN=5,符合题意，

当/=—9时，N（-9,-2）,M（-9,-51）,此时ANrMN,不符合题意，故舍去；

当/AMN=90。，AM=MN时，此时AM〃x轴，

4

解得：%=-3,

当f=-3时，不符合题意，故舍去，

当，='时，AM#MN,不符合题意，故舍去,

综上所述，r的值为2;

（3）①存在，K（0,-4）.

如图所示，此时=

由⑵知，N(2,—2),M(2-7),

二直线AM表达式为：y=-x-5,

•••P(0,-5),

•,.PN=