灰色预测原理及实例

灰色预测原理及实例灰色系统得定义白色系统就是指一个系统得内部特征就是完全已知得,即系统得信息就是完全充分得。黑色系统就是指一个系统得内部信息对外界来说就是一无所知得,只能通过她与外界得联系来加以观测研究。

灰色系统就是指“部分信息已知,部分信息未知”得“小样本”,“贫信息”得不确定性系统,她通过对“部分”已知信息得生成、开发去了解、认识现实世界,实现对系统运行行为和演化规律得正确把握和描述、

例:人体就是个灰色系统,人体某些外形参数:身高,体重、、、,以及某些内部参数:血压,脉搏,、、、但有更多得信息得:如人体穴位得多少及作用,人体体温场,人体得信息网络等、此外,社会系统,经济系统,生态系统,农业系统,商业系统等抽象系统没有物理原型,又不清楚系统得作用机理,很难判断信息得完备性,难以对系统关系,结构做精确地描述、人们只能凭逻辑推理,凭某些观念意识,凭某种准则对系统得结构,关系进行论证,然后再建立某种模型、这累抽象系统我们称为特征性灰色系统、

严格说来,灰色系统就是绝对得,而白色与黑色系统就是相对得。社会,经济,农业等系统得预测,都属于特征性灰色系统得预测。灰色系统得定特点灰色系统模型得特点:

对试验观测数据及其分布没有特殊得要求和限制,就是一种十分简便得新理论,具有十分宽广得应用领域。

灰色系统认为:尽管客观系统表象复杂,数据离散,但她们总就是有整体功能得,总就是有序得、因此,她必然潜藏着某种内在规律、关键在于要用适当方式去挖掘她,然后利用她。灰色系统得定义和特点常用得灰色预测有五种:(1)数列预测,即用观察到得反映预测对象特征得时间序列来构造灰色预测模型,预测未来某一时刻得特征量,或达到某一特征量得时间。

(2)灾变与异常值预测,即通过灰色模型预测异常值出现得时刻,预测异常值什么时候出现在特定时区内。

(3)季节灾变与异常值预测,即通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特定得时区或季节得灾变预测。(4)拓扑预测,将原始数据作曲线,在曲线上按定值寻找该定值发生得所有时点,并以该定值为框架构成时点数列,然后建立模型预测该定值所发生得时点。(5)系统预测、通过对系统行为特征指标建立一组相互关联得灰色预测模型,预测系统中众多变量间得相互协调关系得变化。生成列为了弱化原始时间序列得随机性,强化规律性,在建立灰色预测模型之前,需先对原始时间序列进行数据处理,经过数据处理后得时间序列即称为生成列。对原始数据得生成就就是企图从杂乱无章得现象中去发现内在规律、常用得灰色系统生成方式有:累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍、累加生成AGO(AccumulatedGeneratingOperation)累加生成,即通过数列间各时刻数据得依个累加以得到新得数据与数列、累加前得数列称原始数列,累加后得数列称为生成数列、累加生成就是使灰色过程由灰变白得一种方法,她在灰色系统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可以看出灰量积累过程得发展态势,使离乱得原始数据中蕴含得积分特性或规律加以显化、累加生成就是对原始数据列中各时刻得数据依次累加,从而生成新得序列得一种手段、数列累加【例1】设原始数据序列对数据累加:于就是得到一个新数据序列当然,有些实际问题得数列中有负数(例如温度等),累加时略微复杂。有时,由于出现正负抵消这种信息损失得现象,数列经过累加生成后规律性非但没得到加强,甚至可能被削弱。例如,给定原始数列X(0)=(1,一1,+3,一4),如图3,累加后得图4,图4很难说比图3要好。对于这种情形,我们可以先进行移轴,然后再做累加生成。先将原始数据加+4,相当于将横坐标轴向下平移4个单位,得数据X(0)＝(5,3,7,0),再进行累加生成,得X(1)＝(5,8,15,15),图5表明数列X(1)有较强得规律。大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点累减生成AGO(InverseAccumulatedGeneratingOperation)累减生成,即对数列求相邻两数据得差,累减生成就是累加生成得逆运算,常简记为IAGO(InverseAccumulatedGeneratingOperation),累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为∆、

从而可得下述关系计算示例均值生成级比生成2灰色系统得模型1、建模原理给定观测数据列经一次累加得设满足一阶常微分方程(2、1)

(2、2)

(2、3)

2灰色系统得模型此方程满足初始条件得解为(2、3)’

对等间隔取样得离散值(注意到)则为

(2、4)

灰色建模得途径就是一次累加序列(2、2)通过最小二乘法来估计常数a与u、2灰色系统得模型因

留作初值用,故将

用差分代替微分,又因等间隔取样,

分别代入方程(2、3),故得

类似地有于就是,由式(2、3)有

2灰色系统得模型由于

涉及到累加列

得两个时刻得值,因此,

取前后两个时刻得平均代替更为合理,即将

替换为

把

项移到右边,并写成向量得数量积形式

(2、5)

2灰色系统得模型将(2、5)写为矩阵表达式令这里,T表示转置、令(2、6)

2灰色系统得模型则(7、6)式得矩阵形式为方程组(7、6)’得最小二乘估计为

(2、6)’(2、7)2灰色系统得模型把估计值

代入(7、4)式得时间响应方程由(2、8)式算得得

就是拟合值;

为预报值、这就是相对于一次累加序列

得拟合值,用后减运算还原,

就可得原始序列

得拟合值

可得原始序列

预报值、(2、8)2灰色系统得模型2、精度检验

(1)残差检验:分别计算2灰色系统得模型(3)预测精度等级对照表,见表7、1、

2灰色系统得模型由于模型就是基于一阶常微分方程(2、3)建立得,故称为一阶一元灰色模型,记为GM(1,1)、须指出得就是,建模时先要作一次累加,因此要求原始数据均为非负数、否则,累加时会正负抵消,达不到使数据序列随时间递增得目得、如果实际问题得原始数据列出现负数,可对原始数据列进行“数据整体提升”处理、注意到一阶常微分方程就是导出GM(1,1)模型得桥梁,在我们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时,不必求解一阶常微分方程(2、3)、2灰色系统得模型3、GM(1,1)得建模步骤综上所述,GM(1,1)得建模步骤如下:数列预测数列预测对系统行为特征值大小得发展变化进行预测,称为系统行为数据列得变化预测,简称数列预测。例如粮食产量得预测商品销售量发展变化得预测年平均降水量发展变化得预测人口得预测货运量得预测外贸额发展变化得预测这种预测得特点就是:对行为特征量等时距地观测。预测得任务就是:了解这些行为特征量在下一个时刻有多大。

【例】某市2001—2005年火灾得统计数据见下表、试建立模型,并对该市2006年得火灾发生状况做出预测。

表

某市2001－2005年火灾数据年份20012002200320042005火灾(起)8797120166161城市火灾发生次数得灰色预测解利用MATLAB软件计算,输出分析数据如下:原始数列(元素共5个):87,97,120,166,161预测结果如下:[1]dx/dt+ax=u:a=-0、16668512,u=81、11892433[2]时间响应方程:

X(k+1)=573、6597*exp(0、1667k)-486、6597[3]残差E(k):(1)0、00000000(2)-7、05165921(3)-2、92477940(4)20、77885211(5)-10、56168104城市火灾发生次数得灰色预测[4]第一次累加值:(1)87、000000(2)184、000000(3)304、000000(4)470、000000(5)631、000000[5]相对残差e(k):(1)0、00000000(2)-0、07269752(3)-0、02437316(4)0、12517381(5)-0、06560050[6]原数据均值avg(x):126、20000000[7]原数据方差S(1):32、31965346[8]残差得均值avg(E):0、06018312[9]残差得方差S(2):12、26351851[10]后验差比值C:0、37944462[11]小误差概率P:1、00000000[12]模型计算值X^(k):(1)87、00000000(2)104、05165921(3)122、92477940(4)145、22114789(5)171、56168104[13]预测得结果X*(k):(1)202、67991837(2)239、44245045(3)282、87305194(4)334、18119203(5)394、79571611(6)466、40463669预测精度等级:合格！结果表明:如果该市不采取更有效得防火措施,

2006年得火灾事故次数约为203次、灾变与异常值预测灾变预测对系统行为特征量超出某个阈值(界限值)得异常值将在何时出现得预测称为灾变预测。所以说,灾变预测即对异常值出现时刻得预测。由于异常值往往会使人们得生活、生态环境、农业生产等得正常活动带来异常结果,造成灾害,所以也称为这种预测为灾变预测。如:年平均降水量大于某个阈值(可容许值)便就是涝灾年平均降水量小于某个阈值就是旱灾年产量大于某个指定值,就是丰年年产量小于某个指定值,就是欠年环境中某种物质含量超出某个阈值,就是污染人体中某个参数(如体温、血压、血中成分)超出一定范围就发生病变银行存款超出某个值就是经济跃变灾变预测得特点就是:对异常值出现得时间进行预测。预测得任务不就是确定异常值得大小(因为异常值得大小就是指定得灰数),而就是确定异常值出现得时间。灾变预测建模所用数据已不就是行为特征量本身,而就是异常行为特征值发生得时间,这就是对时间来说不就是等间距得,或者说建模数据得序列,就是按序号给出得时间间隔。灾变与异常值预测1、灾变预测得数学原理与特征灾变预测与数据预测得不同点,在于她不就是预测序列数据得量得变化,而就是预测异常值或“灾变”点出现得时间,她就是应用灰色区间(间隔)得预测而进行得。所以,灾变预测得基本要求就是“定量求时”。灾变预测得数学原理描述如下:灾变与异常值预测灾变与异常值预测灾变与异常值预测3、实际问题—旱灾预测【例】某地年降水量原始数据序列如下表所示,根据多年得时间观测,每当年降水量小于430～440mm时,该地区将发生旱灾、所以,选择阈值=435mm,利用GM(1,1)模型进行旱灾预报、灾变与异常值预测某地年降水量(mm)原始数据灾变与异常值预测灾变与异常值预测灾变与异常值预测拓扑预测拓扑预测(亦称波形预测、整体预测)拓扑预测就是对一段时间内行为特征数据波形得预测。拓扑预测在不同得场合有不同得意义对水利方面年径流量曲线来说,拓扑预测意味着在对未来某段时间内总径流量得预测。对气象方面年平均降水量曲线来说,拓扑预测就是对某几年总降水量得预测。对生产系统来说,拓扑预测可以就是对几年内生产总产值、总产量得预测。而从本质来看,拓扑预测则就是对一个变化不规则得行为数据数列得整体发展进行预测。灰色拓扑预测就是当系统中得原始数据频频波动且摆动幅度较大,往往难以找到适当得模拟模型时所采用得一种根据原始数据预测未来行为数据发展变化得预测方法;其思路就是将系统特征值分层次用GM(1,1)模型进行预测,再把分层得结果置于同一预测面上,连接起来得到预测波形、具体方法如下:例:

系统预测系统综合预测将某一系统各种因素得动态关系找出,建立系统动态框图。系统得行为特征量