2025版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第5讲古典概型讲义理含解析

PAGEPAGE10第5讲古典概型[考纲解读]1.理解古典概型及其概率计算公式，能计算一些随机事务包含基本领件及其事务发生的概率．(重点、难点)2.了解随机数意义，能运用模拟方法估计概率．[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲始终是高考的热点之一.预料2024年将会考查：①古典概型的基本计算；②古典概型与其他学问相结合.题型以解答题的形式呈现，与实际背景相结合，试题难度中等.1．基本领件的特点(1)任何两个基本领件都是eq\o(□,\s\up1(01))互斥的．(2)任何事务(除不行能事务)都可以表示成eq\o(□,\s\up1(02))基本领件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中全部可能出现的基本领件eq\o(□,\s\up1(01))只有有限个．(2)等可能性：每个基本领件出现的可能性eq\o(□,\s\up1(02))相等．3．假如一次试验中可能出现的结果有n个，而且全部结果出现的可能性都相等，那么每一个基本领件的概率都是eq\o(□,\s\up1(01))eq\f(1,n)；假如某个事务A包括的结果有m个，那么事务A的概率P(A)＝eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(m,n).4．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本领件的个数,基本领件的总数).1．概念辨析(1)在一次试验中，其基本领件的发生肯定是等可能的.()(2)“在相宜条件下，种下一粒种子视察它是否发芽”属于古典概型，其基本领件是“发芽与不发芽”．()(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事务．()(4)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,15)C.eq\f(3,5) D.eq\f(2,3)答案A解析由题意得，取到白球的概率为P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之积小于5的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案B解析从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6个基本领件，其中这两个数字之积小于5的有(1,2)，(1,3)，(1,4)共3个基本领件，则这两个数字之积小于5的概率为P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).故选B.(3)从5名医生(3男2女)中随机等可能地选派两名医生，则恰选1名男医生和1名女医生的概率为()A.eq\f(1,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)答案D解析从5名医生中选派两名医生的基本领件总数n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，恰选1名男医生和1名女医生的基本领件m＝Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6，所以所求事务概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故选D.(4)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)答案C解析全部可能的排列方法有Aeq\o\al(3,3)＝6种，2本数学书相邻的排列方法有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4种(先排列数学书，再把两本数学书作为整体和语文书进行排列)．所以依据概率的计算公式，所求概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).故选C.题型eq\a\vs4\al(一)古典概型的简洁问题1．(2024·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参与社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3答案D解析设2名男同学为A1，A2,3名女同学为B1，B2，B3，从以上5名同学中任选2人总共有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10种可能，选中的2人都是女同学的状况共有B1B2，B1B3，B2B3共3种可能，则选中的2人都是女同学的概率为P＝eq\f(3,10)＝0.3.故选D.2．(2024·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)答案D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的状况如图：基本领件总数为25，第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的事务数为10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故选D.3．(2024·沈阳模拟)将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)答案B解析A，B，C，D4名同学排成一排有Aeq\o\al(4,4)＝24种排法．当A，C之间是B时，有2×2＝4种排法，当A，C之间是D时，有2种排法，所以所求概率为eq\f(4＋2,24)＝eq\f(1,4).条件探究把举例说明2的条件“放回后”改为“不放回”，其他条件不变，结果又如何？解画出树状图如图：全部的基本领件共有20个，满意题意的基本领件有10个，故所求概率P＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2).结论探究举例说明2条件不变，求抽到第一张卡片上的数与其次张卡片上的数的和为偶数的概率．解全部基本领件共有25个，满意条件的基本领件有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共13个．故所求概率P＝eq\f(13,25).1．求古典概型概率的步骤(1)推断本试验的结果是否为等可能事务，设出所求事务A；(2)分别求出基本领件的总数n与所求事务A中所包含的基本领件个数m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事务A的概率．2．基本领件个数的确定方法1．用两个字母G，A与十个数字0,1,2，…，9组成5位的车牌号码，两个字母不能重复，且每个号码中都包含这两个字母．其中两个字母排在前两位的概率为()A.eq\f(1,20) B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,2)答案B解析总的基本领件的个数为Aeq\o\al(2,5)×103，其中两个字母排在前两位的状况有Aeq\o\al(2,2)×103，由古典概型的概率公式，得P＝eq\f(A\o\al(2,2)×103,A\o\al(2,5)×103)＝eq\f(2×1,5×4)＝eq\f(1,10).2．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以eq\f(7,10)为概率的事务是()A．都不是一等品 B．恰有1件一等品C．至少有1件一等品 D．至多有1件一等品答案D解析从5件产品中任取2件有10种取法，设3件一等品为1,2,3；2件二等品为4,5.这10种取法是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，其中2件均为一等品的取法有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种．所以至多有1件一等品的概率P＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).题型eq\a\vs4\al(二)古典概型的交汇问题角度1古典概型与平面对量相结合1．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，平面对量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事务“a⊥b”发生的概率；(2)求使得事务“|a|≤|b|”发生的概率．解由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)全部可能的取法共有36种．(1)若a⊥b，则有m－3n＝0，即m＝3n，符合条件的(m，n)有(3,1)，(6,2)，共2种，所以事务“a⊥b”发生的概率为eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).(2)若|a|≤|b|，则有m2＋n2≤10，符合条件的(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，故所求概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).角度2古典概型与函数、方程相结合2．(2024·河北武邑中学模拟)已知a∈{－2,0,1,3,4}，b∈{1，2}，则函数f(x)＝(a2－2)x＋b为增函数的概率是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,10)答案B解析从集合{－2,0,1,3,4}中任选一个数有5种选法，使函数f(x)＝(a2－2)x＋b为增函数的是a2－2>0，解得a>eq\r(2)或a<－eq\r(2)，所以满意此条件的a有－2,3,4，共有3个，由古典概型公式得函数f(x)＝(a2－2)x＋b为增函数的概率是eq\f(3,5).角度3古典概型与几何问题结合3．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．答案eq\f(7,12)解析依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满意直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满意eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，a＝4时，有3种，a＝5时，有2种，a＝6时，有1种，故共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).角度4古典概型与统计相结合4．(2024·贵州省黔东南州第一次联考)经探讨，城市公交车的数量太多简洁造成资源奢侈，太少又难以满意乘客需求．为此，某市公交公司从某站点的40名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间(单位：min)作为样本分成5组如下表：(1)估计这40名乘客中候车时间不少于20分钟的人数；(2)若从上表候车时间不少于10分钟的7人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人候车时间都不少于20分钟的概率．解(1)候车时间不少于20分钟的概率为eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)，所以估计候车时间不少于20分钟的人数为40×eq\f(1,5)＝8.(2)将候车时间在范围[10,20)的4名乘客编号为a1，a2，a3，a4；候车时间在范围[20,60)的3名乘客编号为b1，b2，b3.从7人中任选两人包含以下21个基本领件：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a4，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，其中抽到的两人候车时间都不少于20分钟包含以下3个基本领件：(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，故所求概率为P＝eq\f(3,21)＝eq\f(1,7).1．求解古典概型的交汇问题的步骤(1)依据相关学问构建事务满意的条件．(2)依据条件列举全部符合的基本领件．(3)利用古典概型的概率计算公式求概率．2．破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”1．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)答案D解析f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由题意知全部的基本领件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，其次个数表示b的取值．满意a2>b2的有6个基本领件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事务的概率为eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).2．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．答案eq\f(1,3)解析点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种状况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).3．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，k)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,2)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|≤5，k∈Z，则△ABC是钝角三角形的概率为________．答案eq\f(5,9)解析因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋k2)≤5，所以－2eq\r(6)≤k≤2eq\r(6).又因为k∈Z，所以k＝0，±1，±2，±3，±4.因为eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,2－k)，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))<0，则k<－2，k＝－3，－4；若eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<0，则－1<k<3，所以k＝0,1,2；若eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))<0，则k>8(舍去)．所求概率为eq\f(5,9).4．(2024·吉林省梅河口五中二模)某大型超市在2024年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有2个红球，1个黄球和1个蓝球(这些小球除颜色外大小形态完全相同)，从中随机一次性取2个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱．活动另附说