北师大版七年级数学下学期期末压轴30题（解析版）

北师大版七年级数学下学期期末压轴精选30题

考试范围：全册的内容，共30小题.

一、选择题

1.（2022•湖南娄底•七年级期中）已知：（2021-。）（2020—。）=3,贝I］（2021-4+（2020-4的值为（）

A.7B.8C.9D.12

【答案】A

【解析】

【分析】

把（2021-a）、（2020-a）看成整体来处理即可.

【详解】

0［（2O21-a）-（2O2O-a）］2=（2O21-a）2+（2O2O-a）2-2（2O21-tz）（2O2O-a）

01=（2O21-a）2+（2O2O-a）2-2x3

（2021-«）2+（2020-a）2=7

故选：A.

【点睛】

本题考查完全平方公式的变形应用，把（2021-a）、（2020-a）看成整体，则题目变成已知两数积和差，求

平方和是解题的关键.

2.（2022.河北保定•七年级期中）如图，某购物广场从一楼到二楼有一部自动扶梯.右图是自动扶梯的侧面

示意图，自动扶梯A3上方的直线上有一点C,连接AC,BC.已知MN〃PQ〃BD,ZBAP=147°,

ZNCB=92°,则/CBA的度数为（）

A.55°B.1210C.125°D.147°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据MV〃PQ〃8£>,可得回84P=0ABD,0CBD+0BC^=18O°,从而得到S4BO=147°,aCBZ)=88°,即可求解.

【详解】

解：^\MN//PQ//BD,

00BAP=0ABr),0CBD+0BCA^=18O°,

回/BAP=147。，ZNCB=92°,

00ABD=147°,0CB£>=88°,

^CBA=36Q°-^ABD-^\CBD=125°.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

3.(2022•河南洛阳•八年级期末)根据等式：(x-l)(x+l)=x2-l,(x-l)(x2+x+l)=？-l,

(X—+X?+x+1)=x,—1,(x—l)(x4+丁+尤2+尤+1)=尤5—1,...的规律，则可以推算得出

22021+22020+22019+L+22+2=().

A.22022+1B.22022+2c.22022-1D.22022-2

【答案】D

【解析】

【分析】

2020

根据题目给出的规律即可得出2期1+2+2划9+…+2?+2+1的答案，再根据等式的性质得出答案即可.

【详解】

由题目中等式的规律可得：

22021+22020+22019+L+22+2+1=(2-1)X(22021+22020+22019+L+22+2+1)=22022-1

22021+22®0+22019+L+22+2=22022-1-1=22022-2

故选：D.

【点睛】

本题考查了数字类规律探索，发现并能够灵活运用〃次方差公式的规律是解题的关键.

4.(2022•福建省福州教育学院附属中学八年级期末)如图，点P为ZAOB内一点，分别作点P关于。8、04

的对称点月，乙，连接《巴交于交OA于N,片鸟=15,贝IUPMN的周长为()

P2

A.16B.15C.14D.13

【答案】B

【解析】

【分析】

根据轴对称的性质可得PiM=PM，PiN=PN,然后根据三角形的周长定义，求出APAW的周长为PR,从

而得解.

【详解】

解：团点P关于。8、Q4的对称点片，P2,

^P1M=PM,P2N=PN,

回APMN的周长=MN+PM+PN=MN+/]M+EN=qg,

回=15

EIAPMN的周长为15.

故选：B.

【点睛】

本题考查轴对称的性质，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个

对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.

5.(2022•河北保定•八年级期末)如图，C为线段AE上一动点(不与点A,E重合)，在AE同侧分别作等

边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点与BC交于点P,BE与。交于点。，连结尸。.以

下结论错误的是()

4.0A08=60°B.AP=BQ

PQ0AED.DE=DP

【答案】。

【解析】

【分析】

利用等边三角形的性质，BCSDE,再根据平行线的性质得到回CBE=aDE。，于是

SAOB=^DAC+SBEC=^BEC+^DEO=^DEC=60,),得出A正确；根据taCQBEBCHl(ASA),得出2正确；由

0ACD00BCE^CBE^DAC,力口之她C2=I3£)C£=6O°,AC=BC,得至胞。。203圆4(AS4),再根据回PCQ=60°

推出BPC。为等边三角形，又由&PQC=aDCE,根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据回C£>E=60。，

0£>g£=0EC2+0C£2=6O°+0CE2>可知回OQE距CCE,得出。错误.

【详解】

解：团等边M3C和等边国C。及

^\AC=BCfCD=CE,^\ACB=^\DCE=60°,

^\ACB^BCD=^DCE^BCD,即MCD二团BCE,

在94。。与团BCE中，

AC=BC

<ZACD=/BCE,

CD=CE

mACD^\BCE(SAS),

00CBE=0DAC,

又回R1AC3=团DCE=60°,

团团58=60。，^^ACP=^\BCQ,

又她C=3C,

在回CQ5与回中，

NACP=NBCQ

<AC=BC,

NPAC=NCBQ

团团CQB回团CB4(ASA),

团CP二c。，

又团团尸。。二60。可知团PC。为等边三角形，

^\PQC=^DCE=60°,

^\PQ//AE,

故C正确，

盟1C。施团CB4,

^1AP=BQ,

故8正确，

^\AD=BE,AP=BQ,

^\AD-AP=BE-BQf

即DP=QE,

^\DQE=^ECQ+^CEQ=60°^CEQ,0CZ)E=6OO,

^DQE^CDE,故。错误；

^ACB=^\DCE=60°,

团团3CD=60°,

团等边团0C£,

^\EDC=60°=^BCDf

SBC^DE,

^ECBE^DEO,

^3\AOB=^DAC+^BEC=^BEC+^\DEO=^DEC=60°,

故A正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量.

6.（2021・四川绵阳•八年级期中）如图，在0ABe中，0BAC=90°,是高，BE是中线，CP是角平分线,

CF交AO于点G,交BE于点、H,下面正确的结论有（）

①0ABE的面积=SBCE的面积;

②”=AG；

③回曲G=20ACP

④BH=CH

A.1个B.2个C.3个D4个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到0ABOSDAC,再根据角

平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到&BAO=0ACB,再根据角平分线

的定义可对③进行判断.

【详解】

解：是中线得到AE=CE,

0S0AB£=S0BCE,故①正确；

00BAC=9O°,AD是高，

0EL4BC=0£）AC,

团CF是角平分线，

0EIACF=0BCF,

^AFG^FBC^BCF,SAGF^GAC+SACF,

0EL4FG=0AGF,

SAF^AG,故②正确；

团团3AD+团ZMC=90°,回ZMC+0AC8=9O°,

mBAD^CB,

而明。3二2胡。凡

03E4G=2EIACF,故③正确.

根据已知条件不能推出回H8C=囱HC8,即不能推出B”=C〃，故④错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，

等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键.

7.（2022•广东•佛山市南海石门实验中学七年级阶段练习）下列有四个结论，其中正确的是（）

①若（x-l-=1,则x只能是-1；

②若（x-D（尤2+6+1）的运算结果中不含/项，贝！j〃=i；

③若Q+Z?=8,ab=7,贝!]〃一人=4；

④若4'=。，8y=6,则22,知可表示为f

b

A.①②③④B.②③④C.①③④D.②④

【答案】D

【解析】

【分析】

当x=2时，（2-l）"i=13=i,故可判断①错误；按照多项式乘多项式的法则展开可求得。的值，从而可判

断②；利用两个完全平方公式的变形即可判断③；逆用同底数募的除法及逆用募的乘方即可判断④，因

而可得到正确的答案.

【详解】

2+13

当x=2时，（2-1）=1=1;故①错误；

回（无一1）（尤~+ux+1）=尤3+（a—1）无2+（1—a）尤一1）

回当无2项系数。-1=0时，不含/项，

0«=1.

故②正确；

13（4-6）2=（a+6）2-4a6=8?-4x7=36,

团。一人=±6,

故③错误；

022A3,=②1+⑵>=4'+8y=a+b='，

b

故④正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了多项式的乘法，幕的运算，完全平方公式的变形应用等知识，掌握它们是解答本题的关键.

8.（2022•河北・保定市第十七中学七年级期中）如图，正方形ABCD的边长为2,动点尸从点8出发，在正

方形的边上沿3fC—O的方向运动到点O停止，设点尸的运动路程为x,在下列图象中，能表示△/%£）的

面积，关于x的函数关系的图象是（)

【解析】

【分析】

分0WxW2、2<xV4两种情况，分别求出函数表达式，即可求解.

【详解】

解：当0WxW2时，如图,

贝i]y=gADAB=；x2x2=2,为常数;

当2<xW4时，如下图，

贝lJy=gADxPD=；x2x(2+2_x)=4_x,为一次函数;

故选：D.

【点睛】

本题考查了动点函数图象问题，在图象中应注意自变量的取值范围，注意分类讨论.

二、填空题

9.(2022•广东茂名•七年级阶段练习)计算20222-2023x2021=.

【答案】1

【解析】

【分析】

把2023化为(2022+1),2021化为(2022-1),而后用平方差公式计算.

【详解】

20222-2023x2021=20222-(2022+1)(2022-1)=20222-20222+l=l.

故答案为1

【点睛】

本题考查了平方差公式，熟练把数据适当变形，运用平方差公式计算，是解决此类问题的关键.

10.(2022•山西大附中一模)若。+6=2,贝万+〃一6的值为.

【答案】-2

【解析】

【分析】

根据。+〃=2,可求出(a+b)2=4,BPa2+2ab+b2=4,再整体代入即可.

【详解】

回a+b=2,

222

0(a+b)=4,BPa+2ab+b=4,

回/+lab+62-6=4-6=—2.

故答案为：-2.

【点睛】

本题考查运用完全平方公式进行运算.利用整体代入的思想是解题关键.

11.(2022•福建三明•模拟预测)已知实数。满足"一3"-1=0,则/+与的值为.

a

【答案】11

【解析】

【分析】

先把已知条件的两边都除以。，把得到的常数项移项，然后等号两侧平方，利用完全平方公式计算即可.

【详解】

团片一3a—1=0,

0。-3=0,

a

061—=3,

a

1

9--2=9,

a~

,1

回H——=9+2=11,

a"

故答案为：11.

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式的运用，两边都除以。构造出。与其倒数的差是解题的关键，另外还要注意乘

积的二倍项不含字母。也非常重要.

12.（2022•江苏苏州•模拟预测）从如图的四张印有品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有品牌标志的

图案是轴对称图形的卡片的概率是

0

【答案】43

【解析】

【分析】

先由轴对称图形的定义判断轴对称图形的个数，再根据概率公式计算概率即可；

【详解】

解：由图可得第一个图形不是轴对称图形，第二个、第三个、第四个都是轴对称图形，

自从如图的四张印有品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有品牌标志的图案是轴对称图形的卡片的概率

3

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个

图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；概率=所求事件的结果数+总的结果数；掌握相关定义是

解题关键.

13.（2022•浙江台州•八年级期末）如图，在等边中，是NABC的平分线，点E是的中点，点尸

是3。上的一个动点，连接PE,PC,当PE+PC的值最小时，NEPC的度数为

【答案】60。##60度

【解析】

【分析】

由题意可知点A、点C关于8。对称，连接AE交8。于点P,由对称的性质可得，PA=PC,由两点之间线

段最短可知，AE即为尸E+PC的最小值，然后根据等边三角形的性质求出I3EPB=6O。，再通过△8PEH3CPE

得出EIEPC=I3EPB=6O°.

【详解】

解：EBABC是等边三角形，2。是0ABC的平分线，

回点。为AC的中点，BD^AC,

回点A、点C关于3。对称，

如图，连接AE,交BD于P,线段AE的长即为PE+PC最小值，

回点E是边BC的中点，

0AE0BC,

EEABC=60。，是0ABe的平分线,

fflPBE=30",

瓯BPE=60。，

回在ABPE和ACPE中，

PE=PE

<ZPEB=APEC=90°,

BE=CE

00BPE00CPE(SAS),

00£PC=0BPE=6O°.

故答案为：60°.

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键.

14.（2022・河北•石家庄二十三中七年级期中）如图（1）,在AABC中，N4=42。，BC边绕点C按逆时针方

向旋转一周回到原来的位置.在旋转的过程中（图（2））,当NACB'=时，CBV/AB.

【解析】

【分析】

根据平行线的判定，分两种情况：当CB，与第一次平行时，0A与0ACB,构成同旁内角，即0A+IMCB'=18O°,

当C8与AB第二次平行时，0A与EAC2'构成内错角，即EAC8'=EIA=42。.

【详解】

解：当CB，与第一次平行时，

aa4+EAC3'=180°,

EBA=42°,

aaACB'=180--0A=138°,

当CB，与AB第二次平行时，

aa4CB'=S4=42°,

综上所述：0A=42。或138。，

故答案为:42。或138。.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，运用分类讨论思想是解决问题的关键.

15.（2021・全国•八年级专题练习）如图（°）所示，在矩形ABC。中，动点尸从点8出发，沿BC,CD,DA

运动至点A停止.设点尸运动的路程为无，AAB尸的面积为y,如果y关于尤的关系如图（b）所示，则比

的值是.

【答案】5

【解析】

【分析】

先根据点（2,3）在图象上得出BC的长，然后利用三角形的面积求出的长，进而可得答案.

【详解】

解：由图象上的点（2,3）可知：BC=2,

由三角形面积公式，得：^xBCxAB=3,解得：AB=3.

2

..CD=AB=3,m=BC+CD=5.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查了利用图象表示变量之间的关系，属于常见题型,根据题意和图象得出2C和AB的长是解题关键.

16.（2022•山东泰安•七年级期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情.如图1,在R/AABC中，

2

ZABC=90°,5。是高，E是AMC外一点，BE=BA,NE=NC,^DE=-BD,AD=9,BD=12,求

△BOE的面积.同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取班'=

（如图2）.同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△瓦）E的面积为.

【答案】36

【解析】

【分析】

先通过等量代换推出=再利用“边角边〃证明AAaFM/^ED,再通过川树二；3/•AO求出△45户

的面积即可.

【详解】

解：Q3D是△回€：的高，

:.BDLAC,

/.ZA+Zz4BD=90°,

・・・ZABC=90°,

/.ZA+ZC=90°,

:.ZABD=NC,

•・・/E=NC,

:.ZABD=ZE.

在△ABE和△BED中，

BA=BE

</ABD=NE,

BF=DE

:.^\BF三#ED,

-v=q

-uAABF_04ED•

2

-：DE=-BD,BD=12,BF=DE,

3

22

...BF=DE=-BD=-xl2=8

33f

S=-BFAD=-x8x9=36,

由ARF22

''''"ED=S«ABF=36.

故答案为：36.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题中所给提示，通过证明三角形全等，将求ABDE的面积转化为

求△村的面积是解题的关键.

三、解答题

17.（2022・上海•七年级期末）完全平方公式：（“±6）2=/±2乃+〃适当的变形，可以解决很多的数学问题.例

如：^a+b=3,ab=l,求^+62的值；

解：因为a+6=3,所以（a+b>=9,即：a2+lab+b2=9,又因为仍=1,所以4+62=7.根据上面的解

题思路与方法，解决下列问题：

⑴若无+y=8,/+产=40,求孙的值；

⑵填空：①若(4-x)x=5,则(4-尤)2+尤2=；

②若(4-x)(5—x)=8,则(4一x)2+(5-尤)2=.

⑶如图，点C是线段A8上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=6,两正方形的面积和£+$2=18,

求图中阴影部分面积.

【答案】⑴12

⑵①6；017

【解析】

【分析】

(1)利用完全平方公式即可求解；

(2)注意整体法的运用，将(4-x)、(5-x)看成一个整体去求解；

(3)表示两个正方形的面积就、邑，得到4b+8。2=18,结合(AC+BC)2=6。推出AC.BC=9,再去计

算阴影部分面积.

⑴

回x+y=8,m(x+y)2=82,x2+2xy+y2=64,

又回/+;/=40,

E2xy=64-(x2+y2)=64—40=24,

回孙=12；

⑵

①(4-x)2+x2=(4-x+x)2-2(4-x)x=16—10=6；

②(4一x)2+(5-x)2=[(4-X)-(5-X)]2+2(4-x)(5-x)=(-1)2+2x8=17；

(3)

EL4B=6,

E(AC+BC)2=62,

国AC2+2AC.BC+BC2=36,

又团E+S2=18,

EIAC2+BC2=18,

回AC.8c=9,

BBC^CF,

19

回^AACF=2AC・Cf=—.

【点睛】

本题考查了完全平方公式的灵活运用，其中既要注意整体法的运用，又要注意数形结合思维的培养.

18.(2021,四川省南充市白塔中学八年级阶段练习)仔细阅读材料，再尝试解决问题：

完全平方式尤2±2孙+y2=(X土»以及"土y)2的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比如探求

2X2+12X-4的最大(小)值时，我们可以这样处理：

解：原式=212+6X-2)=212+6X+9-9-2)=2[(X+3『-〃]=2(X+3)2-22.

团无论x取什么数，都有(X+3)220,团(x+3『的最小值为0,此时x=-3,进而2(x+3『-22的最小值是

2x0—22=—22,回当*=—3时，原多项式的最小值是-22.

请根据上面的解题思路，探求：

⑴多项式尤2-6x+4的最小值是多少，并写出对应的x的取值；

⑵多项式-2/一8X+6的最大值是多少，并写出对应的x的取值.

【答案】⑴当尤=3时，原多项式的最小值是-5；

⑵当x=-2时，原多项式的最大值是14

【解析】

【分析】

(1)先利用配方法将式子进行整理得到(丈-3)2-5,即可求解；

(2)先利用配方法将式子进行整理得到-2(x+2y+14,即可求解.

(1)

x2-6x+4=(x2-6x+9)-5

=(x-3)2-5.

，当x=3时，原多项式的最小值是-5；

⑵

—2X2-8x+6=—2^x2+4x)+6=-2(丁+4x+4-4)+6

=-2(x2+4x+4)+6+8

=-2(x+2)2+14.

.,.当x=-2时，原多项式的最大值是14.

【点睛】

本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键.

19.(2021,重庆市黔江区教育科学研究所九年级期末)把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用

完全平方式的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法.配方法在代数式求值，解方程，

最值问题等都有着广泛的应用.

例如：①用配方法因式分解：〃+6a+8.

原式=。2+60+9-1=(。+3)2-1=(。+3-1)(。+3+1)=(。+2)(a+4)

②若M=〃一2"+2〃-26+2,利用配方法求知的最小值：

〃-2a6+2〃-2b+2+-26+1+1=(。-6)2+3-1)2+1

(A-&)2>0,0-1)2>0

.•.当。=%=1时，加有最小值1.

请根据上述材料解决下列问题：

⑴用配方法因式分解：a2-240+143;

=-a2+2a+l,求M的最小值.

4

22

(3)已知Q2+Z?+C-«Z?-3Z?-4C+7=0,求a+〃+c的值.

【答案】⑴(a—13)(a—ll)

⑵-3

(3)5

【解析】

【分析】

(1)先配方，然后根据平方差公式进行因式分解即可；

(2)先配方，然后根据完全平方式的非负性求最值即可；

(3)由a2+/+c2-a6-36-4c+7=o得(a-gb)+^(6-2)?+(c-2)2=0,即。一；匕=0,6—2=0,c—2=0,

求出a,b,c的值，然后代入求解即可.

⑴

解：M^=a2-24a+144-l=(a-12)2-l=(a-12-l)(a-12+l)=(a-13)(a-ll).

(2)

解：M=-a2+2a+l=-(a2+8a+16)-3=-(a+4)2-3,

444

0(<7+4)2>0,

回M的最小值为-3.

⑶

解：团片+匕2+。2__3匕_4。+7=0,

回「一ab+；d+*2-3b+3)+『4c+4)=0,

2

22

回a+1(^-2)+(C-2)=0,

4

Sa--b=O,b-2=0,c-2=0,

2

团Q=1,b=2,c=2,

团Q+》+C=1+2+2=5.

【点睛】

本题考查了运用公式法进行因式分解，完全平方的非负性，代数式求值.解题的关键在于理解题意并正确

的运算.

20.(2022•福建省漳州第一中学七年级期中)如图1,AB//CD,NPAB=25。，NPCD=37°,求/APC的

度数.

小明的思路：过点P作PE〃M，通过平行线的性质来求/APC.

图1

图2

⑴按照小明的思路，易求得/APC的度数为

(2)如图2,AB//CD,射线加与射线QV交于点O,直线A3分别交射线ON,射线3/于点A,B,直线

分别交射线QV，射线O”于点C,D.点P在射线加上运动(点P与点O,B,。三点不重合)，记

ZPAB=Za,NPCr>=N£，问/ARC与Na,〃之间有何数量关系？

【答案】(1)62°

(2)ZAPC=/a+N6

【解析】

【分析】

(1)根据平行线的性质可得NAPE=/R1B=25。，ZCPE=ZPCD=37°,根据NAPC=NAPE+NCPE计

算求解可得/APC的值;

(2)如图2,作尸石〃根据平行线的性质可得NAPE=NR4B=/a,ZCPE=ZPCD=Z/3,根据

NAPC=NAPE+/CPE计算求解可得/APC与N。，N6的关系.

⑴

解：^PE//AB,AB\\CD,

SPE//CD,

0ZAPE=ZPAB=25°,/CPE=/PCD=37。，

回NAPC=NAP石+NCPE=62。，

故答案为：62°.

(2)

解：ZAPC=N(z+/£.

图2

0PE/7AB,AB\\CD,

SPE//CD,

^\ZAPE=ZPAB=Za,NCPE=NPCD=,

S\ZAPC=ZAPE+ZCPE=Za+Z/3,

SZAPC=Za+Zj3.

【点睛】

本题考查了平行线的性质.解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等.

21.(2022・上海•七年级期中)如图，已知AM〃BN,NA=60°,点尸是射线AM上一动点(与A不重合),

BC、8。分别平分乙钻尸和NP8N,交射线AM于C、D,(推理时不需要写出每一步的理由)

⑴求NC3D的度数.

⑵当点P运动时，那么NAPB：NAOB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化,

请找出变化规律.

⑶当点P运动到使时，求NABC的度数.

【答案】⑴60。

⑵不变，NAPB：ZADB=2：1

(3)ZABC=30°

【解析】

【分析】

(1)由平行线的性质可求得/ABN,再根据角平分线的定义和整体思想可求得NCBA

(2)由平行线的性质可得ZADB=ZDBN,再由角平分线的定义可求得结论；

(3)由平行线的性质可得到NAC5=NC8N=60°+/DBN,结合条件可得到ND5N=NA5C,且

NABC+NDBN=60°,可求得NA3C1的度数.

(1)

*：AM//BN,

・・・NA8N+NA=180°,

ZABN=1SO°-60°=120°,

ZABP+ZPBN=nO°,

•・,8C平分NA3P,BD平分/PBN,

；・/ABP=2/CBP,/PBN=2/DBP,

：.2ZCBP+2ZDBP=120°,

ZCBD=ZCBP+ZDBP=60°；

(2)

不变，/APB：ZADB=2：1.

u

：AM//BNf

：.ZAPB=ZPBN,/ADB=/DBN,

•；BD平分/PBN,

：.ZPBN=2ZDBN9

：.ZAPB：ZADB=2：1；

⑶

9：AM//BN,

：.ZACB=ZCBN,

当NAC8=NA3£>时，则有/C8N=NA3O,

・•・/ABC+/CBD=/CBD+/DBN,

：.ZABC=ZDBN,

由(1)可知NABN=120。,ZCBD=60°,

/.ZABC+ZDBN=60°,

ZABC=30°.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键,①同位角相等0两直线平行,

②内错角相等=两直线平行，③同旁内角相等今两直线平行④〃〃4b//c=>a//c.

22.(2022广西钦州•七年级期中)如图1,已知直线尸Q〃跖V,点A在直线P。上，点5,C在直线MN上,

连接AB,AC,ZPAB=5O°,ZACB=30°,平分NPAC,5。平分NABC,A。与相交于点。.

⑴求NAD3的度数；

(2)若将图1中的线段AC沿MN向右平移到AG，如图2,此时AQ平分44AG，3。平分/ABC-与

相交于点。，ZPAB=50°,NAGB=30°,求NADB的度数；

⑶若将图1中的线段AC沿MN向左平移到AG，如图3,其他条件与(2)相同，求此时的度数.

【答案】⑴130。

(2)130°

(3)40°

【解析】

【分析】

(1)直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出呢汨4以及SBAZ)的度数，进而得出答案；

(2)直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出回胡。以及0X8。的度数，进而得出答案；

(3)直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出0ABN和0A8D的度数，进而得出答案.

(1)

回直线尸。〃MV,ZACB=30°,

回NACB=NQAC=30。，

13ZftlC=150°,

S\ZPAB=5O°,AD平分NPAC,

0ZPAD=75O,

SZBAD=25°,

可得/出5=44^=50。，.

回5£＞平分NABC,

回"54=25。，

EZADB=180°-25°-25°=130°；

⑵

如图2所示，

回乙41cl2=30。，线段AC沿MN向右平移到4Q,PQ//MN,

回NQAG=30°,

回"AG=150°,

国4。平分/A4tG，

^\ZPAlD=ZDAiC1=75°,

SZPAB=5O°,PQ//MN,

回ZBAQ=130°,ZABN=50。,

回8。平分

0ZABD=25°,

0NBDA=360°-25°-130°-75°=130°；

⑶

如图3所示，过点D作EO〃P。，

回乙41GB=30。，线段AC沿MN向左平移到AG，PQ//MN,

回“AG=30。，

回4。平分/Av;,

回/。4。=/4。石=15°,

0ZPAB=5O°,PQ〃MN,

^\ZABN=50°,

回8。平分/ABC,ED//MN,

0ZABD=ZDBN=NEDB=25°,

S1ZBDA,=ZEDB+ZAjDE=250+15°=40°,

【点睛】

此题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质是解题关键.

23.(2022•山西大同•八年级期末)如图，。是经过/3C4顶点C的一条直线，CA=CB,E、尸分别是直

线8上两点，B.ZBEC=ZCFA=a.

F/D

⑴若直线。经过/3C4的内部，且E、P在射线8上.

①如图1,若/3C4=90。，a=90°,则BECF.

②如图2,若0。<々。4<180。，请添加一个关于々与/BC4关系的条件,使①中的结论仍然成

立，并说明理由；

(2)如图3.若线8经过NBC4的外部，a^ABCA,请提出关于所，BE,AF三条线段数量关系的合理猜

想，并简述理由.

【答案】⑴①=;②。+/3C4=180。，理由见解析

(2)EF=BE+AF,理由见解析

【解析】

【分析】

(1)①由0BC4=90°,SiBEC=SCFA=a=90o,可得EICBE=EIACF从而可证△BC£EBCAF故BE=CP；

②若BE=CF,则可使得△8CE3E1CAR根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，ABC比回CAP便

可得证；

(2)题干已知条件可证△8C£EBCAF,故BE=CF,EC=FA,从而可证明EF=8E+AE

⑴

解：^^BEC=SCFA=a=90°,

fflBCE+EICBE=180°-EIBEC=90<,,

又EBBCA=I3BCE+0ACP=90°,

00CBE=EIACF,

NBEC=NCFA

在回BCE和△CA/中，<ZCBE=ZACF,

BC=AC

^\BCE^\CAF(A4S)

国BE=CF.

②a+回5cA=180°,理由如下：

团团BEC=BCFA=a,

^BEF=180°-^BEC=180°-。，

y^\BEF=团EBC+^BCE,

^EBC+WCE=180°-a,

又团a+团BC4=180°,

团团3cA=180°—a,

团团5cA=^\BCE+^ACF=180°-。,

^\EBC=BFCA,

在△BCE和△CA/中，

ZCBE=ZACF

</BEC=/CFA,

BC=CA

mBCE^BCAF(AAS)

^1BE=CF；

(2)

解：EF=BE+AF,理由如下：

aaBCA=a,

BBBCE+niACF=180°-iaBCA=180°-a,

又a3BEC=a,

EBEBC+回BCE=18O°-0B£C=180°-ct,

00£BC=EFCA,

在ABEC和ACRl中，

'NEBC=NFCA

<ZBEC^ZFCA,

BC=CA

00BEO30CM(A4S)

0BE=CF,EC^FA,

^\EF=EC+CF=FA+BE,即EF=BE+AF.

【点睛】

此题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

24.(2021•河南•开封市第二十七中学八年级期中)如图1,AC^BC,0ACB=9O。，点D在线段AC上，过

点A作BD的垂线交BD的延长线于点E,交BC的延长线于点P.

(1)求证：0ACP00BCr)；

(2)如图2,若点。在线段AC的延长线上，过点A作BD的垂线，交BC于点P,垂足为点E,试探索线段

AC,BP,CD三者之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,若ACjBCuga”，点。从点A出发，以lc”〃s的速度向点C匀速运动，同时点。从点8出发,

以2cMs的速度沿射线方向作匀速运动，设运动时间为fs,(0<r<6),直接写出f为何值时，

Sqs

^△DCP_3。丛DQP.

【答案】⑴见解析

(2)AC=BP+CD,理由见解析

⑶一|

【解析】

【分析】

(1)根据等角的余角相等可得继而根据AS4直接证明EACP回SBC。；

(2)同(1)方法证明可得EACPfflBCD得出CP=CD,进而根据线段的和差关系即可求解；

(3)根据题意先用代数式表示出CRPQ,根据面积关系列出方程，解方程即可，根据已知条件0</<6,

取舍结果即可

(1)

证明：•.•0AC2=9O°,

:"BCD=ZACP=90°,ZP+ZA=90°

AELBE

.-.ZB+ZP=90°

ZA=NB

又•.•AC=3C

0ACP0EBCD：

⑵

AC=BP+CD,理由如下，

同（1）可得AACP丝

:.CP=CD

AC=BC=BP+CP=BP+CD

即AC=BP+CD

（3）

如图，

••・点。从点A出发，以la〃/s的速度向点C匀速运动，同时点。从点8出发，以2c〃z/s的速度沿射线8C

方向作匀速运动，

/.AD=t,BQ=2t

:.CD=AC-AD=8-t（0</<6）

由（1）可知，CP=CD=8-t

:.PQ=\BC+CP-B^=\8+8-t-2t\^\l6-3t\

11,

：.S^-CPCD=-CD123

anrp22

,DQP=：X；PQ.CD=GPQ.CD

..-l

,口S△DCP-3□S△DQ尸

11

-CD92=-PQCD

即3CD=2PQ

.-.3（8-?）=2|16-3?|

解得：r=|或r=?

\,Q<t<6

,8

..t——

3

即f=§时，0cp=­S^DQP

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形面积公式，用方程的思想解决问题是解题的关键.

25.(2021•福建省华安县第一中学八年级期中)如图，AB=ncm,ACSAB,BD^AB,AC=BD=9°w,点尸在

线段AB上以3c”z/s的速度，由A向B运动，同时点。在线段BD上由B向。运动；设点P的运动时间为f

秒.

图⑴

(1)PB=cm.(用含f的代数式表示)

(2)如图1,若点。的运动速度与点尸的运动速度相等，当运动时间f=l秒时，AAC尸与ABP。是否全等？并

说明理由.

(3)如图2,将“AG3AB,2/泡42"改为"回C48=aD54”,其余条件不变；设点。的运动速度为尤加/s,是否存在

实数无，使得AACP与ABP。全等？若存在，求出相应的人r的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴(123)

(2)^\CAP^\PBQ,理由见解析

9

⑶满足条件的点。的速度为3或万5心.

【解析】

【分析】

(1)求出4尸，再根据题意写出尸8的值即可；

(2)求出AP,PB,2。的值，根据SAS证明团。PEBP3。(SAS)即可；

(3)分两种情形分别求解：①由(1)可知，。的速度为3cMs时，SACP^BPQ,这种情形符合题意.②

当以=尸2,AC=2Q时，SAPC^iBPQ(SAS),首先确定运动时间，再求出点。的运动速度即可.

(1)

解：由题意：B4=3r(cm),

^\AB=12cmf

^\PB=AB-AP=12-31(cm),

故答案为：(12-30；

⑵

解：^CAPS^PBQ,理由如下：

由题意：t=l(s)时，PA=BQ=3(cm),

^\AB=12cmf

^\PB=AB-AP=12-3=9(an),

HL4C=9cm,

^\AC=BP,

团团CAP=回尸30=90。，PA=BQ,

WCAP^IPBQ(SAS)；

(3)

解：①由(2)可知，。的速度为3c〃z/s时，0ACMBP2.这种情形符合题意.

②当孙=尸8,AC=BQ时，△APCH3BPQ(SAS),

6

0Z=-=2(s),

3

9

回点。的运动速度为5c九/s.

9

团满足条件的点。的速度为3或3cmis-

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵

活运用是解题的关键.

26.(2022•江苏徐州•模拟预测)(1)如图1,在四边形ABC。中，AB=AD,aB=BD=90。，E、2分别是边

BC、CD上的点，且回瓦lP=[aBAD,线段ERBE、阳之间的关系是;(不需要证明)

(2)如图2,在四边形ABC。中，AB=AD,0B+0D=18O°,E、尸分别是边BC、CD上的点，^EAF=1

SBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

(3)如图3,在四边形ABC。中，AB^AD,aB+BD=180。，E、尸分别是边8C、C。延长线上的点，且回区4尸

=~BBAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证

明.

【答案】(1)EF=BE+FD；(2)(1)中的结论仍然成立，见解析；(3)结论不成立，EF=BE-FD,见解

析

【解析】

【分析】

(1)延长CB至G,BG=DF,连接AG,证明△ABGfflAOR根据全等三角形的性质得到AG=A尸，SBAG

=0DAF,再证明AG4£HaME,根据全等三角形的性质得出Eb=EG,结合图形计算，证明结论；

(2)延长CB至使8知=。/，连接AM,仿照(1)的证明方法解答；

(3)在班上截取连接A/Z,仿照(1)的证明方法解答.

【详解】

解：(1)EF=BE+FD,

理由如下：如图1,延长CB至G,®BG=DF,连接AG,

在AABG和△AD尸中,

AB=AD

<ZABG=ZD=9Q",

BG=DF

m^BG^EADF(SAS),

0AG=AF,BBAG^DAF,

00EAF=gSBAD,

00£)AF+0BAE=0EAF,

^EGAE=SBAG+^BAE=SDAF+^\BAE^EAF,

在AGAfit和△船E中，

-AG=AF

<ZGAE=ZFAE,

AE=AE

H3GAEEB协E(SAS),

^\EF=EG,

团EG=BG+BE=BE+DF,

回EF=BE+FD,

故答案为：EF=BE+FD；

(2)(1)中的结论仍然成立，

理由如下：如图2,延长C8至使/，连接AM,

图2

团册3。+团。=180°,M3C+回1=180°,

团团1=团。，

在和△AO/中，

AB=AD

<Zl=ZDf

BM=DF

mABMmXDF(SAS),

0AM=AF,团3=团2,

WEAF=g^\BAD,

团团2+团4=团胡忆

团团团3+团4=团2+团4=团£4/，

在△MAE和△明石中，

AM=AF

</MAE=ZFAE,

AE=AE

^\MAE^\FAE(SAS),

^\EF=EM,

团EM=BM+BE=BE+DF,

国EF=BE+FD；

(3)(1)中的结论不成立，EF=BE-FD,

理由如下：如图3,在£3上截取/，连接

图3

同（2）中证法可得，^ABH^ADF,

^AH=AFf^\BAH=^DAFf

mHAE=^FAE,

在回HAE和团用E中,

AH=AF

ZHAE=ZFAE,

AE=AE

^\HAE^\FAE(SAS),

:.EF=EH

也EH=BE-BH=BE-DF,

回EF=BE-FD.

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键.

27.（2022•云南昭通•八年级期末）如图，为0ABC的角平分线.

图3

⑴如图1,若C£0A。于点F交AB于点E,AB=8,AC=5.则8E=

（2）如图2,若回C=2aB,点£在AB上，MAE=AC,AB=a,AC=b,求CO的长；（用含。、6的式子表示）

（3）如图3,8G0A。，点G在A。的延长线上，连接CG,若EACG的面积是7,求0ABe的面积.

【答案】⑴3

(2)CD=a~b

⑶ABC=14

【解析】

【分析】

(1)利用ASA证明妫EBEMCR得AE=AC=5,得出答案；

(2)利用ASA证明明。砸财。。，得团。二姐£0,DC=DE,再证明回乐团80£,得出BE二DE,即可得到结论;

(3)利用ASA证明MGBfflAGH,得出BG二HG,即可得出她3c的面积.

⑴

解：(1)财。是财3C的平分线，

团回衣4。=团。4。，

0CE0AZ),

团团。月4=回瓦A,

ZEAF=ZCAF

团在她Eb和国ACT中<AF=AF,

ZAFE=ZAFC

m^EF^ACF(ASA),

[E4E=AC=5,

[21AB=8,

^\BE=AB-AC=S-5=3,

故答案为：3；

(2)

^\AD平分团3AC,

mBAD=^\CADf

在她。石和她。。中

AE=AC

<ZEAD=ZCAD

AD=AD

W^ADE^\ADC

团团。=SAEO,DC=DE

又团团02团3,^AED=^\B^BDE

团团3二团8QE

国DE二BE,

WC=DE=BE=AB—AE=AB~AC=a—b；

(3)

如图，分别延长ACBG交于点H,