2023八年级数学下册 第17章 一元二次方程17.3 一元二次方程根的判别式教学设计 （新版）沪科版

2023八年级数学下册第17章一元二次方程17.3一元二次方程根的判别式教学设计（新版）沪科版学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析同学们，咱们今天要来聊聊数学里的一个超级有趣的话题——一元二次方程的根的判别式。这可是我们八年级数学下册第17章的重头戏哦！沪科版教材里可是详细介绍了这个概念。咱们得好好掌握，因为它不仅能帮我们解决很多实际问题，还能让我们对数学有更深的理解。准备好了吗？咱们这就出发！🚀📚核心素养目标1.**逻辑推理能力**：通过探究一元二次方程根的判别式，提升运用数学语言进行逻辑推理的能力。

2.**数学建模能力**：学会将实际问题抽象成数学模型，并运用判别式解决实际问题。

3.**直观想象能力**：通过图形和代数式的转换，增强对数学图形的直观想象和空间观念。

4.**数学运算能力**：熟练掌握判别式的计算方法，提高数学运算的准确性和效率。学习者分析1.**知识基础**：在进入这一章节之前，学生们已经对一元一次方程有了较为全面的理解，包括方程的解法、根与系数的关系等。同时，他们也对二次函数的基本性质和图像有了初步的认识，这些知识为学习一元二次方程及其根的判别式打下了基础。

2.**学习兴趣与风格**：学生们对于数学问题解决的过程往往充满好奇，尤其是在探索新的数学工具和概念时。他们中有些同学喜欢通过实际问题来理解数学知识，而有些则更倾向于通过逻辑推导和公式记忆来学习。总的来说，学生的学习兴趣被激发了，但他们的学习风格各异，有的倾向于独立思考，有的则更喜欢小组讨论。

3.**可能遇到的困难和挑战**：在接触到一元二次方程根的判别式时，学生可能会遇到以下困难：

-**概念理解**：判别式的概念比较抽象，学生可能难以理解其与方程根之间的关系。

-**运算技能**：正确应用判别式进行计算，对学生的数学运算技能要求较高，可能会让学生感到困惑。

-**实际应用**：如何将判别式应用于解决实际问题，学生可能需要更多实践机会来加深理解。教学资源准备1.教材：确保每位学生都能使用到最新的沪科版八年级数学下册教材，特别是第17章的内容。

2.辅助材料：准备相关的图片、图表和视频，如一元二次方程的图像变化，以及判别式的计算实例，帮助学生直观理解。

3.教学工具：准备计算器或计算软件，以便学生进行判别式的实际计算练习。

4.教室布置：设置多个小组讨论区，方便学生进行小组合作学习，并确保实验操作台的安全和清洁，以备可能的教学实验需要。教学过程一、导入（约5分钟）

1.激发兴趣：

-展示一组生活中常见的问题，如抛物线运动、建筑物的设计等，引导学生思考这些问题背后涉及的数学知识。

-提问：“同学们，你们知道这些问题背后隐藏着怎样的数学秘密吗？今天我们就来揭开一元二次方程根的判别式的神秘面纱。”

2.回顾旧知：

-回顾一元一次方程的解法，强调方程的根与系数的关系。

-回顾二次函数的基本性质和图像，为学习一元二次方程根的判别式做好铺垫。

二、新课呈现（约20分钟）

1.讲解新知：

-介绍一元二次方程根的判别式的概念，解释其含义和作用。

-讲解判别式的计算方法，包括公式和步骤。

2.举例说明：

-通过具体例子，如x^2-5x+6=0，展示如何计算判别式，并解释判别式的值与方程根的关系。

3.互动探究：

-引导学生分组讨论，探讨判别式在不同情况下的应用，如方程有两个实根、一个实根或无实根。

-通过小组合作，让学生尝试解决一些实际问题，如求解方程x^2-4x+3=0的根。

三、巩固练习（约30分钟）

1.学生活动：

-让学生独立完成一些练习题，如计算一元二次方程的判别式，判断方程根的情况。

-学生之间互相检查答案，讨论解题过程中的疑问。

2.教师指导：

-及时给予学生指导和帮助，解答学生在解题过程中遇到的问题。

-针对学生的不同情况，给予个性化的辅导。

四、课堂小结（约5分钟）

1.回顾本节课所学内容，强调一元二次方程根的判别式的重要性。

2.鼓励学生在课后继续探索判别式的应用，并将其应用于解决实际问题。

五、课后作业（约10分钟）

1.布置一些与一元二次方程根的判别式相关的练习题，让学生巩固所学知识。

2.鼓励学生尝试解决一些生活中的实际问题，如利用判别式判断抛物线与x轴的交点情况。知识点梳理1.**一元二次方程的根的判别式概念**

-定义：一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的判别式是Δ=b^2-4ac。

-作用：判别式Δ可以用来判断一元二次方程根的情况。

2.**判别式的计算方法**

-公式：Δ=b^2-4ac。

-步骤：首先确定方程的系数a、b、c，然后按照公式计算Δ的值。

3.**判别式的值与方程根的关系**

-当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

-当Δ=0时，方程有两个相等的实数根（重根）。

-当Δ<0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。

4.**一元二次方程根的性质**

-根与系数的关系：设方程ax^2+bx+c=0的两个根为x1和x2，则有x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

-根的判别式Δ可以表示为Δ=(x1-x2)^2。

5.**判别式的应用**

-判断一元二次方程根的情况：通过计算Δ的值，可以直接判断方程根的类型。

-解决实际问题：在物理学、工程学等领域，经常需要使用判别式来分析物体的运动轨迹或系统稳定性。

6.**判别式的几何意义**

-在二次函数y=ax^2+bx+c的图像中，判别式Δ的正负可以决定抛物线与x轴的交点个数和位置。

7.**判别式的代数意义**

-Δ的值可以用来判断二次方程的解是否为有理数或无理数。

-Δ的平方根可以用来表示方程的根的差值。

8.**判别式的扩展应用**

-在更高阶的数学学习中，判别式可以用来研究多项式的根的性质。

-在复数域中，判别式可以用来判断复数方程的解的性质。

9.**判别式的教学重点**

-理解判别式的概念和计算方法。

-掌握判别式与方程根的关系。

-能够运用判别式解决实际问题。

10.**判别式的教学难点**

-理解判别式在不同情况下的几何和代数意义。

-将判别式应用于解决复杂的实际问题。

-理解判别式在复数域中的特殊性质。内容逻辑关系①**一元二次方程的根的判别式概念**

-重点知识点：判别式Δ的定义

-重点词句：Δ=b^2-4ac，一元二次方程的根

②**判别式的计算方法**

-重点知识点：判别式的计算公式

-重点词句：通过方程系数a、b、c计算判别式Δ

③**判别式的值与方程根的关系**

-重点知识点：判别式值与根类型的关系

-重点词句：Δ>0，两个不相等的实数根；Δ=0，两个相等的实数根；Δ<0，无实数根

④**一元二次方程根的性质**

-重点知识点：根与系数的关系

-重点词句：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a

⑤**判别式的应用**

-重点知识点：判别式在实际问题中的应用

-重点词句：物理学、工程学中的应用，抛物线与x轴的交点

⑥**判别式的几何意义**

-重点知识点：判别式在二次函数图像中的应用

-重点词句：抛物线与x轴的交点个数和位置

⑦**判别式的代数意义**

-重点知识点：判别式在代数中的特殊性质

-重点词句：Δ的平方根，方程的解的性质

⑧**判别式的扩展应用**

-重点知识点：判别式在更高阶数学中的应用

-重点词句：多项式的根的性质，复数方程的解的性质

⑨**判别式的教学重点**

-重点知识点：判别式的基础知识和应用

-重点词句：理解概念，解决实际问题

⑩**判别式的教学难点**

-重点知识点：判别式的深入理解和应用

-重点词句：几何和代数意义的理解，复杂问题的解决作业布置与反馈作业布置：

1.**计算题**：计算以下一元二次方程的判别式，并判断根的情况：

-x^2-6x+9=0

-2x^2+5x-3=0

-x^2-2x-15=0

2.**应用题**：利用判别式解决实际问题：

-一个物体的运动轨迹可以表示为二次函数y=-0.5x^2+4x+1，求该物体何时落地（即y=0）。

3.**思考题**：讨论判别式在不同数学问题中的应用，并举例说明。

-思考判别式在解决实际问题中的作用，如工程设计的稳定性和可靠性分析。

作业反馈：

1.**批改作业**：在学生完成作业后，及时进行批改。对于计算题，重点检查学生是否正确理解并应用判别式的计算公式。对于应用题，关注学生是否能够将判别式应用于解决实际问题。

2.**指出问题**：在批改过程中，注意发现学生在解题过程中出现的问题，如概念混淆、计算错误、逻辑不清晰等。

3.**改进建议**：对于每个学生的问题，给出具体的改进建议。例如，如果学生未能正确计算判别式，可以指出错误步骤并指导他们如何正确进行计算。

4.**集体反馈**：在下一节课的开始，对学生的作业进行集体反馈。首先，表扬表现良好的学生，然后针对普遍存在的问题进行讲解和示范。

5.**个别辅导**：对于作业中表现不佳的学生，进行个别辅导，帮助他们理解和掌握相关知识。

6.**跟踪进度**：定期检查学生的作业完成情况，确保他们能够持续进步。对于进度较慢的学生，提供额外的学习资源和辅导。

7.**家长沟通**：与家长保持沟通，让家长了解学生的作业情况和进步情况，共同促进学生的学习。课后拓展1.**拓展内容**：

-**阅读材料**：《数学之美》中关于一元二次方程及其应用的章节，可以让学生了解判别式在数学史上的地位和作用。

-**视频资源**：YouTube上的数学教育频道，如“KhanAcademy”，提供一元二次方程和判别式的详细讲解视频，适合学生自主观看学习。

2.**拓展要求**：

-**自主探索**：鼓励学生利用课后时间，通过阅读材料或观看视频，自主探索一元二次方程根的判别式在不同数学领域中的应用。

-**实践应用**：引导学生尝试将判别式应用于实际问题中，如设计一个抛物线模型，分析其与地面交点的数量和位置。

-**数学建模**：让学生尝试自己构建一个简单的数学模型，使用判别式来预测或解释某个现象。

-**小组讨论**：组织学生进行小组讨论，分享各自的学习心得和发现，通过交流激发更多的学习灵感。

3.**教师指导**：

-**推荐阅读材料**：为对数学感兴趣的学生推荐《数学之美》等书籍，帮助他们更深入地理解数学的广泛应用。

-**解答疑问**：对于学生在拓展学习过程中遇到的疑问，教师应提供及时的帮助和解答，确保学生能够顺利地完成拓展任务。

-**组织活动**：可以组织一些数学竞赛或小型的数学讲座，让学生在活动中进一步巩固所学知识，并激发他们的学习热情。

-**评价反馈**：对于学生的拓展学习成果，教师应给予积极的评价和反馈，鼓励学生的创新思维和探索精神。

4.**预期成果**：

-学生能够通过拓展学习，加深对一元二次方程根的判别式的理解。

-学生能够将判别式应用于解决实际问题，提高数学建模能力。

-学生能够在小组合作中提高沟通能力和团队协作精神。

-学生能够培养自主学习和探索未知的兴趣和能力。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.**情境教学法**：在讲解一元二次方程根的判别式时，可以设计一些与学生生活息息相关的情境，比如利用抛物线模型来解释物体运动，这样不仅能激发学生的兴趣，还能让他们在实际情境中理解数学概念。

2.**互动式教学**：通过小组讨论和合作学习，让学生在互动中学习，这样可以培养学生的团队协作能力和沟通能力，同时也能够让他们在交流中加深对知识的理解。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.**教学深度不足**：在教学过程中，我发现部分学生对一元二次方程根的判别式的理解不够深入，可能在应用时遇到困难。

2.**课堂参与度不均**：有些学生对于数学问题的探讨不太积极，参与课堂讨论的机会不多，这可能导致他们的学习效果不佳。

3.**评价方式单一**：目前主要依赖作业和测试来评价学生的学习情况，这种评价方式可能无法全面反映学生的学习过程和实际能力。

反思改进措施（三）

1.**深化教学内容**：为了帮助学生更深入地理解判别式，我将尝试引入更多实际问题，让学生在解决具