北师大版九年级数学下册《二次函数的应用》同步检测题（附答案）

北师大版九年级数学下册《2.4二次函数的应用》同步检测题（附

答案）

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一.选择题（共6小题）

1.如图，若被击打的小球飞行高度力（单位：m）与飞行时间/（单位：s）具有

函数关系为人=20-4尸，则小球从飞出到落地的所用时间为（）

2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度力（单位：加）与小球的运动时间/

（单位：s）之间的关系式是/z=30「5P,则小球从抛出到落地所需要的时间

是（）

3.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个

喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高

度为3机，水柱落地处离池中心3机，则水管的长为（）

B.2mD.1m

4.如图，用总长度为12m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,

所有横档和竖档分别与AD,A3平行，则矩形框架ABCD的最大面积为（）

J

A.B.6帆'C.8mD.

5.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜

第1页共16页

园A3CD,设A3边长为x米,3C的长y米,菜园的面积为S（单位:平方米）.当

x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的

函数关系分别是（）

q菜园f

A'-------------'B

A.一次函数关系，二次函数关系

B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系

D.反比例函数关系，一次函数关系

6.一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比

例，当乒乓球滚下3米时，经过的时间为1.5秒，当x=2时，该乒乓球所经

过的路程为（）

A.5米B.■米C.］米D.1米

二.填空题（共6小题）

7.如图1,某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线ACB）的薄壳屋顶.已

知它的拱宽A3为4米，拱高C。为0.8米.为了画出符合要求的模板，通常

要先建立适当的平面直角坐标系，求表达式.如图2是以A3所在的直线为x

轴，0c所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图2中的抛物线的解析

式为.

8.把一个小球以20机/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度〃（机）与时间/

（s）满足关系：h=20t-5t1.当丸=15时，小球的运动时间为s.

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9.漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线.如图是

其中一个桥拱的示意图，拱跨AB=60m,以A3的中点。为坐标原点，A3所

在直线为x轴，过点。垂直于A3的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过

测量得AE=2m,DELAB且DE=1.16m,则桥拱（抛物线）的函数表达式

为.

10.某座石拱桥的桥拱近似抛物线形，以拱顶。为原点，建立如图所示的平面

直角坐标系，则其解析式为y=-4/,当水面宽度A3是10米时，水面到拱

顶的高度OC是米.

11.飞行中的炮弹经x秒后的高度为y米，且高度与时间的关系为丁=以2+法+。

（aWO）,若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时

间是第秒.

12.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成

30°角的方向击出，小球的飞行高度力（单位：m）与飞行时间f（单位：s）

之间的函数关系是：力=-5尸+203则小球运动中的最大高度是m.

三.解答题（共4小题）

13.镇江香醋受百姓喜爱，某商场平均每天卖出600份香醋礼盒，卖出1份礼盒

的利润是10元，经发现，每份礼盒售价每涨1元，平均每天少卖10份，为

了使每天获取的利润更多，该商场决定将售价上调.

（1）如果每份礼盒售价上涨X元,那么每份礼盒的利润为元，

该商场平均每天可卖出礼盒份;（结果用含x的代数式表示）

（2）为了控制价格，要求一份礼盒获利不超过20元，则每份礼盒售价上涨

多少元时，该商场每天获得的利润最大？

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14.如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2,AO,3C是桥墩，桥

的跨径A3为20口，此时水位在0C处，桥拱最高点P离水面6加在水面以

上的桥墩A。，都为2%以0C所在的直线为x轴、A。所在的直线为y

轴建立平面直角坐标系，其中x（加）是桥拱截面上一点距桥墩A。的水平距

离，y（m）是桥拱截面上一点距水面。。的距离.

（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；

（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正

对着桥洞在河中航行.当水位上涨2机时，水面到棚顶的高度为3处遮阳棚

宽12m,问此船能否通过桥洞？请说明理由.

15.网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播

销售板栗.已知板栗的成本价为10元伙g,每日销售量y（依）与销售单价x

（元/版）满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经调查发现销售单价

不低于成本价且不高于24元/依.设销售板栗的日获利为w（元）.

X（兀/依）17181920

y(kg)230220210200

（1）求日销售量y与销售单价x之间的函数解析式；

（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利攻最大？最大利润为多少

元？

16.

制作简易水流装置

设计方案如图，CD是进水通道，A3是出水通

道，OE是圆柱形容器的底面直径，从

CD将圆柱形容器注满水，内部安装调

节器，水流从5处流出且呈抛物线

第4页共16页

型.以点。为坐标原点，E。所在直线

为x轴，。4所在直线为y轴建立平面

直角坐标系xOy,水流最终落到x轴上

的点M处.

示意图为卜

0D1

B

A

v---

E、-----

0Mx

已知轴，AB=5cm,OM=15cm9点

5为水流抛物线的顶点，点A、B、0、

E、M在同一平面内，水流所在抛物线

的函数表达式为p二加+法+躇（oWO）

任务一求水流抛物线的函数表达式；

任务二现有一个底面半径为3cm,高为10cm

的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆

心恰好放在〃处，水流是否能流到圆

柱形水杯内？请通过计算说明理由；

（圆柱形水杯的厚度忽略不计）

任务三还是任务二的水杯，水杯的底面圆的

圆心P在X轴上运动，为了使水流能

流到圆柱形水杯内，求出OP长的取值

范围.

请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三.

参考答案与试题解析

题号123456

答案CAAAAB

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一.选择题（共6小题）

1.如图，若被击打的小球飞行高度力（单位：m）与飞行时间/（单位：s）具有

函数关系为人=20-4尸，则小球从飞出到落地的所用时间为（）

【分析】当小球落地时，则/2=0,于是得20「4户=0,解方程求出符合题意

的人的值即得到问题的答案.

【解答】解：抛物线力=20/-4产，当h=Q时，则20-4尸=0,

解得力=5,/2=0（不符合题意，舍去），

・.•小球从飞出到落地的所用时间为5s,

故选：C.

2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度//（单位：m）与小球的运动时间/

（单位：s）之间的关系式是/z=30「5P,则小球从抛出到落地所需要的时间

是（）

A.6sB.4sC.3sD.2s

【分析】由小球落地，即小球的高度h=0,代入关系式，解方程即可得出结

果.

【解答】解：根据题意得30L5产=0,

解得t=6或t=0,

r=0时，即小球还未抛出的时刻，舍去，

答：小球从抛出到落地所需要的时间是6秒，

故选：A.

3.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个

喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高

度为3机，水柱落地处离池中心3机，则水管的长为（）

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【分析】利用顶点式求得抛物线的解析式，再令尤=0,求得相应的函数值,

即为所求的答案.

【解答】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系,

由题意可知点（1,3）是抛物线的顶点,

・••设这段抛物线的解析式为丁=。（%-1）2+3.

该抛物线过点（3,0）,

解得：＜7=-1

4

,当x=0时，y=-jx(0-1)2+3=-7+3=7,

9

・••水管应长一帆.

4

故选：A.

4.如图，用总长度为12m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,

所有横档和竖档分别与平行，则矩形框架A5C。的最大面积为（）

4----------------Q

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【分析】用含x的代数式（12-3X）+3=4-X表示横档AD的长，然后根据

矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积.

【解答】解：•••川为x米，则4。=丝券=4-%,

S长方形框架ABCO=ABXAD=-x2+4x=-（x-2）2+4,

当x=2时，S取得最大值4；

・••长方形框架ABCD的面积S最大为4m2.

故选：A.

5.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜

园ABCD,设A3边长为x米,的长y米,菜园的面积为S（单位:平方米）.当

x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的

函数关系分别是（）

墙

.菜园f

------------------'5

A.一次函数关系，二次函数关系

B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系

D.反比例函数关系，一次函数关系

【分析】先根据AD+AB+3C=30得出y=-1+15；再根据矩形的面积公式列

出S关于x的函数关系式，从而得出结论.

【解答】解："：AB=x,BC=AD=y,AD+AB+BC=30,

.,.2y+x=3Q,

即y=粉（30-x）=—^x+15>

・••丁与x满足的函数关系是一次函数；

S=AB*B（—xy=x（-■^■x+15）=-$^+15x,

••.S与x满足的函数关系是二次函数.

故选：A.

6.一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比

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例，当乒乓球滚下3米时，经过的时间为1.5秒，当x=2时，该乒乓球所经

过的路程为()

A.5米B.■米C.］米D.1米

【分析】先由待定系数法求出函数关系式，再代入x=2即可求出结论.

【解答】解：设丁=。/,

将(1.5,3)代入上式得：3=2.25a,

解得：a=g,

则函数的表达式为：y=#,

422

--X-163

当尤=2时,3

即乒乓球所经过的路程是5米，

故选：B.

二.填空题(共6小题)

7.如图1,某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线ACB)的薄壳屋顶.已

知它的拱宽A3为4米，拱高C。为0.8米.为了画出符合要求的模板，通常

要先建立适当的平面直角坐标系，求表达式.如图2是以A3所在的直线为x

轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图2中的抛物线的解析

式为y=-0.2V+0.8.

图1图2

【分析】根据题意可得5(2,0),C(0,0.8),设函数解析式为：y=ax2+0.S,

将点B的坐标代入求出。的值即可得出结论.

【解答】解：如图，由题意可知，则3(2,0),C(0,0.8),

设函数解析式为：y=af+0.8,

第9页共16页

将（2,0）代入得出：

0=4t?+0.8,

解得：a=-0.2,

则抛物线解析式为：y=-0.2f+0.8.

故答案为：y=-0.2炉+0.8.

8.把一个小球以20/n/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度"（加）与时间/

（s）满足关系：h=20t-5t2.当人=15时，小球的运动时间为1或3s.

【分析】把人=15代入关系式得求解即可.

【解答】解：把人=15代入关系式力=20「5户得：

20/-5?-15=0,

/=1或t=3,

故答案为：1或3.

9.漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线.如图是

其中一个桥拱的示意图，拱跨A3=60m,以A3的中点。为坐标原点，A3所

在直线为x轴，过点。垂直于A3的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过

测量得AE=2m,DE±AB^.DE=1.16m,则桥拱（抛物线）的函数表达式为

y=-0.01%2+9.

%

C

OE工

【分析】根据题意得到A、B、E的坐标，设抛物线解析式为y=a（x+30）（x

-30）,将E的坐标代入解析式求出。的值，即可得到抛物线解析式.

【解答】解：•拱跨A3=60加以A3的中点。为坐标原点，

.\AO=BO=30m,

...A的坐标为（30,0）,3的坐标为（-30,0）,

设抛物线解析式为y=。（x+30）（%-30）,

'：AE=2m,DELAB且DE=1.16m,

：.OE=AO-AE=30-2=28m,

・..E的坐标为（28,1.16）,

第10页共16页

：.a(28+30)(28-30)=1.16,

解得a=-0.01,

・•.抛物线解析式为y=-0.01(x+30)(x-30)=-0.01x2+9,

故答案为：y=-0.01f+9.

10.某座石拱桥的桥拱近似抛物线形，以拱顶。为原点，建立如图所示的平面

直角坐标系，则其解析式为y=当水面宽度A3是10米时，水面到拱

【分析】根据题意，把x=5直接代入解析式即可解答.

【解答】解：•••水面的宽度A3为10米，

的横坐标为5,

把x=5代入y=

得尸J

：.B(5,

OC=jm.

故答案为：

4

11.飞行中的炮弹经X秒后的高度为y米，且高度与时间的关系为丁=奴2+法+。

(aWO),若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时

间是第10秒.

【分析】根据题意和二次函数的图象具有对称性，可以求得炮弹在最高处的

时间.

【解答】解：•••高度与时间的关系为y=a^+bx+c(aWO),此炮弹在第7秒

与第13秒时的高度相等，

•••炮弹在最高处的时间是第等=10(秒)，

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故答案为：10.

12.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成

30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：机）与飞行时间/（单位：s）

之间的函数关系是：〃=-5尸+203则小球运动中的最大高度是20m.

【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论.

【解答】解：h=-5产+20/=-5G-2）2+20,

：-5<0,

・,.当/=2时，〃有最大值，最大值为20,

故答案为：20.

三.解答题（共4小题）

13.镇江香醋受百姓喜爱，某商场平均每天卖出600份香醋礼盒，卖出1份礼盒

的利润是10元，经发现，每份礼盒售价每涨1元，平均每天少卖10份，为

了使每天获取的利润更多，该商场决定将售价上调.

（1）如果每份礼盒售价上涨X元，那么每份礼盒的利润为（10+X）元,

该商场平均每天可卖出礼盒（600-10x）份;（结果用含x的代数式表示）

（2）为了控制价格，要求一份礼盒获利不超过20元，则每份礼盒售价上涨

多少元时，该商场每天获得的利润最大？

【分析】（1）根据题意列式即可；

（2）设每份礼盒售价上涨x元时，该商场每天获得的利润为y元，根据题意

得到函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论.

【解答】解：（1）如果每份礼盒售价上涨x元，那么每份礼盒的利润为（10+x）

元，该商场平均每天可卖出礼盒（600-10%）份；

故答案为：（10+x）,（600-10x）；

（2）设每份礼盒售价上涨x元时，该商场每天获得的利润为y元，

根据题意得，y=（10+x）（600-10x）=-10f+500x+6000=-10（x2-50x

-600）=-10（x-25）2+12250,

获利不超过20元，

・••当x=10时，商场每天获得的利润最大.

14.如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2,AO,3C是桥墩，桥

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的跨径A3为20加，此时水位在0C处，桥拱最高点P离水面6冽，在水面以

上的桥墩A。，3C都为2%以0C所在的直线为x轴、A。所在的直线为y

轴建立平面直角坐标系，其中x(机)是桥拱截面上一点距桥墩A。的水平距

离，y(m)是桥拱截面上一点距水面。。的距离.

(1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；

(2)有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正

对着桥洞在河中航行.当水位上涨2机时，水面到棚顶的高度为3处遮阳棚

宽12机，问此船能否通过桥洞？请说明理由.

【分析】(1)先求出点A,点5,点尸的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式

进行求解即可；

(2)求出当y=5时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差的绝对值

即可得到答案.

【解答】解：(1)由题意知，A(0,2),P(10,6),B(20,2),

设抛物线解析式为y=a(x-10)2+6,

把A(0,2)代入解析式得，100a+6=2,

解得a=-克，

・••此桥拱截面所在抛物线的表达式为y=-亲(x-10)2+6；

(2)此船不能通过，理由：

当y=2+3=5时，—2^(x-10)2+6=5,

解得x=5或x=15,

V15-5=10<12,

・••此船不能通过桥洞.

15.网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播

销售板栗.已知板栗的成本价为10元/4，每日销售量y(依)与销售单价x

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(元/注)满足一次函数关系，如表记录的是有关数据，经调查发现销售单价

不低于成本价且不高于24元/依.设销售板栗的日获利为w(元).

X(兀/依)17181920

y(kg)230220210200

(1)求日销售量y与销售单价x之间的函数解析式；

(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利攻最大？最大利润为多少

元？

【分析】(1)用待定系数法求解即可；

(2)由题意可得攻关于大的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数

的性质可得答案.

【解答】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=Ax+6(—0),

把x=17,y=230和x=20,y=200代入函数关系式为尸质+0得：

(17k+b=230

l20k+b=200'

•(k=-10

F=400'

，函数关系式为y=-10x+400；

(2)Vw=(x-10)(-lOx+400)

=-10f+500x-4000

=-10(x-25)2+2250,

'：a=-10<0,对称轴为直线x=25,越靠近对称轴的x所对应的函数值越大

•••销售单价不低于成本价且不高于24元1kg.

：.当x=24时，w=-10X(24-25)2+2250=2240,

w有最大值为2240元.

•••当销售单价定为24元时，销售这种板栗日获利攻最大，最大利润为2240

元.

16.

制作简易水流装置

设计方案如图，CD是进水通道，A5是出水通

道，OE是圆柱形容器的底面直径，从

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8将圆柱形容器注满水，内部安装调

节器，水流从3处流出且呈抛物线

型.以点。为坐标原点，E。所在直线

为x轴，所在直线为y轴建立平面

直角坐标系xOy,水流最终落到x轴上

的点M处.

示意图%卜

WD,

B

A

-------

Ek-------