北京市昌平区某校2025届高三年级上册开学考试数学试题（解析版）

北京市昌平区东方红学校

2024-2025学年高三第一学期开学考试数学试卷

考生注意：

1.本试卷共3页，三大题21小题；卷面满分150分.

2.考试时间120分钟.

3.一律用蓝、黑色笔答题，一律答在答题纸上.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

L若集合人小eZ|G2},八{+2小3},则…=（）

A.1x|0<%<3}B.|x|-2<%<4}C.{0,1,2,3}D.{-2,-1,0,1,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出集合A,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由五<2，则0KxW4,

所以A=卜ez|VxW2}={xeZ10WxW4}={0,1,2,3,4},

又5={%卜2Vx<3},

所以A5={0,l,2,3}

故选：C

2.已知复数2="①（i是虚数单位），则z的虚部是（）

2+i

A.1B.75C.iD.75i

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的除法运算，代入计算，即可求解.

5+5i史则匕i）=3+i

【详解】z的虚部是1.

（2+i）（2f

故选：A.

3.二项式［x+工)的展开式中常数项是()

A.1B.4C.6D.0

【答案】C

【解析】

【分析】根据二项式［x+工］展开式的通项公式，令x的指数为0,即可求出对应展开式的常数项.

【详解】二项式［x+工］展开式的通项公式为4M=C；X4f［L］=C/4-2r,

Ix)\x)

令4—2厂=0,得厂=2,所以展开式的常数项为c：=6.

故选：C.

4.设q,人是非零向量，则“a=—>或a=6”是—b)=0”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】若a=—6,则a+b=0,所以—》)=0,

若a=6，则”6=0，所以(。+叶(。叫=0,

故由“a=—人或.=人”推得出乂°+今(">)=0"，即充分性成立；

若(a+B>(a—5)=0,则J_『=o，所以.|=忖,

所以由“(a+b》(a—Z?)=0"推不出“a=_b或a=6"，故必要性不成立；

所以“a=—人或a=6”是“(a+今(a—b)=0”的充分不必要条件.

故选：A

5.直线y=x+l被圆(x—2)2+(y—3)2=1所截得的弦长为()

A.1B.73C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆心(2,3)在直线y=x+l上可得结果.

【详解】由己知得圆心为(2,3),半径厂=1，

因为圆心(2,3)在直线x—y+l=O上，

所以直线＞=x+l被圆(x—2)2+(y—3)2=1所截得的弦长为2.

故选：C

6.将函数/(x)=cos(2x-j图象上的所有点向左平移g个单位长度，得到函数g(x)的图象，则()

A.g(x)=cos12x—TjB.g(x)在—!■，!■上单调递增

C.g(x)在0,|上的最小值为半D.直线x=:是g(x)图象的一条对称轴

【答案】D

【解析】

【分析】由平移变换内容得g(x)=dx+g[=sin2x可判断A；求出g(x)的增区间可判断B；依据2x

的范围即可求出g(x)的值域即可判断C；根据对称轴方程求解g(x)的对称轴方程即可判断D.

【详解】对于选项A,由题意，可得

g(x)=/1+g)=cos+

71=cos|2x+—|=sin2x,

6I2J

故A错误;

jrjr

兀771

对于选项B,4'--+2fer<2x<—+2hr(Z：GZ),=>-----\-kn<x<+kn{kGZ),

44

所以g(x)在一：,(上单调递增，故B错误;

jr2兀

对于选项C,因为XC0,J,所以2xe0,—,故sin2xe[o,l],

.•.g(x)在0,|上的最小值为0,故C错误；

对于选项D,函数g(x)=sin2x的对称轴方程为2x=E+三(左eZ),

化简可得X=」+工仅eZ）,取左=0,可得X=°,

24V74

所以x=:是g（x）图象的一条对称轴，故D正确.

故选：D.

5兀

7.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为二，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）

6

4355

A.-B.-C.—D.—

551213

【答案】c

【解析】

【分析】设圆锥的底面圆半径为「，母线长为/,利用侧面展开图条件建立/与r的关系式，作出圆锥轴截面

图，证明并求出线面所成角的余弦值即可.

作出圆锥的轴截面图S4B,设圆锥的底面圆半径为乙母线长为/,依题意可得，—l=2nr,

6

r5

即一=一，因顶点S在底面的射影即底面圆圆心。，故母线SB与底面所成的角即Z.SBO.

I12

丁5

在RtzXSQB中，cos/SBO=—=—.

I12

故选：C.

22

8.已知耳,用分别为双曲线C:=—1=1（。〉0］〉0）的左、右焦点，过玛的直线与双曲线。的左支交

ab

于A,3两点，若|时|=2闺/=4,|43|=|%|,则双曲线C的焦距为（）

A.B.C.-D.2.73

332^

【答案】B

【解析】

【分析】利用双曲线定义、已知条件求出。、|叫|,设'=行天，由余弦定理、

cosZBF^+cosZAF^=0求出c可得答案.

【详解】如图，由于|时|=2|耳目=4,|AB|=|%|,

有2a=忸闾—忸耳|=6—2=4,可得。=2,

又由|A闾=|AFj|+2a,可得设c=Ja2+及，

4+4*_364r2-32r2-8

在△A3耳耳中，由余弦定理有COS/B片乙=-----------=--------=------

2x2x2c8c2c

2

1£.L4r-644c2—48。2—12

在△人与心中，由余弦定理有cosNA^E,=242—

16c4c

又由ZAFF=兀，有cosZAF^=0,

ZBFXF2+12COSZBF{F2+

可得匚U=o,解得c=马旦，所以双曲线c的焦距为上叵.

2c4c33

“、（—ci—5]x—2,x>2/、f（x）

9函数小）4+2""3"<2'若对任意"的"9），都有个「2<0成立，

则实数。的取值范围为（）

A.B.[-4,-2]

C.（—5,—1]D.[-5,-4]

【答案】A

【解析】

【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解.

【详解】因对任意*%），都有'〃<0成立,

可得/（九）在R上是单调递减的,

—ci—5<0

则—(a—1)22,解得YWaW—1.

22+2(a-l)x2-3a>(-o-5)x2-2

故选：A

10.己知集合A=1—4,—3,—若a,dceA且互不相等，则使得指数函数丁=优，对数函

数y=log/,幕函数y=X。中至少有两个函数在(0,+8)上单调递减的有序数对S，仇C)的个数是

()

A.36B.42C.72D.84

【答案】C

【解析】

【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解.

【详解】若〉=优和〉=108/,%在(。,+8)上单调递减，>=必在(0,+8)上单调递减增，

则0<a<l,0<b<l,c>0,此时有序数对(a,6,C)的个数有：A>CL=18个；

若丁=口工和>=优在(0,+co)上单调递减，y=log,x在(0,+co)上单调递增，

则0<a<l/>l,c<。，此时有序数对(。,瓦c)的个数有：C；=18个；

若y=log,x和y=必在(0,+co)上单调递减，y=优在(0,+co)上单调递增,

则0<b<l,a〉l,c<0,此时有序数对(。，4c)的个数有：C；C-C；=18个；

若y=a*、y=logb%和y=优在(0,+8)上单调递减，

则0<Z?<l,0<a<l,c<0,此时有序数对(a,6,c)的个数有：A，C；=18个；

综上所述：共有18+18+18+18=72个.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：关键在于恰当的进行分类，做到不重不漏，由此即可顺利得解.

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数/(x)=—二+lnx的定义域是.

x+1

【答案】(0,+8)

【解析】

【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.

x>0

【详解】由题意得，C，.•.龙〉0

%+1^0

故答案为:(0,+8)

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

12.已知双曲线。：工一匕=1,则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离是

63

【答案】①.(3,0)②.73

【解析】

【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直

线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.

【详解】在双曲线C中，a=Ab=5则。=加+加=3,则双曲线C的右焦点坐标为(3,0),

双曲线。的渐近线方程为y=土乎x,即x±0y=O,

=W>.

所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为

故答案为：(3,0)；yfi.

【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，

属于基础题.

44

13.在VABC中，若a=2,tanA=——,cosB=~,则b=.

35

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

【分析】根据题意，求得sinAsinB的值，结合正弦定理，即可求解.

4443

【详解】因为tanA=——,cosB=—,且A,Be(0,兀)，可得sinA=—,sin_B=—,

3555

c3

又因为a=2,由正弦定理得a=b,所以匕=竺电曰=^=2.

sinAsinBsinA42

5

3

故答案为：一.

2

14.已知两点K(TO),耳(1,0).点尸(cos。,sin。)满足|「印=则-P片工的面积是一；。的一

个取值为.

171

【答案】①.一##0.5②.一(答案不唯一)

26

【解析】

【分析】根据条件求出点尸的轨迹方程，联立方程后求点尸的坐标，即可求解面积和角的取值.

122

【详解】由点P(cos6,sin0)可知，cos6>+sin6»=l；所以点尸在圆必+/=1,

且|尸月|-|尸鸟|=鱼，则点P在双曲线的右支上，其中2a=J5，2c=2,b2=c2-a2=1,则双曲线

方程为2f_2y2=1,%〉。

fx2+y2=1L-6

联立2好-2/=1,解得：12或12；

C11

x〉(_)y=—y=—

122

则「耳工的面积5=3*|483乂=；*2*；=；；

当x=——,y=工时，tan0=——，0=—+2hi,左eZ,

2236

当x=y——■^时，tan0――---，0=----1-2kli,左eZ,

2-236

7T

则其中。的一个取值是

6

1兀

故答案为：一；一(答案不唯一)

26

15.若存在常数左和6,使得函数/(%)和g(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足：f(x)>kx+b

和g(x)WAx+Z?恒成立或(/(%)<近+/?和g(x)之质+/?恒成立)，则称此直线y=Ax+b为/(%)和

g(x)的“隔离直线”.已知函数〃x)=d,g(x)="<0),有下列命题：

X-

①直线y=0为/(尤)和g(x)的“隔离直线”.

②若y=—x+匕为/(%)和g(x)的“隔离直线”，则6的范围为—4,一；.

③存在实数%,使得/(尤)和g(x)有且仅有唯一的“隔离直线”.

④/(X)和g(x)之间一定存在“隔离直线”,且b的最小值为T.

其中所有正确命题的序号是.

【答案】①④

【解析】

【分析】根据“隔离直线”的定义逐个分析判断即可

【详解】对于①，因为当x<0时，/(x)=x2>0,g(%)=-<0,所以直线y=。为和g(x)的

JC

“隔离直线”，所以①正确，

对于②，因为广T+6为/(%)和g(x)的“隔离直线”，所以尤22—X+5恒成立，所以

b<x2+x=(%+—-—，所以匕

(2)44

L«-x+b(x<0)恒成立，所以b2x+L(x<0)恒成立，

XX

因为％+,=一(-%)+—<-2j(-x)--=-2(x<0),当且仅当—x=」-即x=—1时取等号，所以

x__x_V_x一%

b>-2,

综上一2«6«-工，所以②错误，

4

对于③④，设/(x)=%2,g(x)=L(x<0)之间的隔离直线为丁=丘+6,即日+0，

JC

d—Ax—bNO恒成立，所以左2+4bW0，所以640，

因为工〈息+。(*<0),所以扇+桁一1W0(尤<0)恒成立,

x

当左>0时，不合题意，

当左=0,6=。时，符合题意，

b

当左<0时，y=kx2+bx-l,对称轴x=---<0,

-2k

所以只需满足廿+4左WO，

所以左24b且/左，

所以44«16〃W—64左，所以7<女<0,

同理可得

所以和g(x)之间一定存在“隔离直线”,且6的最小值为Y,“X)和g(x)之间有无数条“隔

离直线”，且实数人不唯一，所以③错误，④正确，

故答案为：①④

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在三棱柱ABC—中，平面ABC，D,E分别为AC,AG的中点,

AB=BC=布,AC…=2.

(1)求证：ACJ_平面瓦汨；

(2)求直线。石与平面ABE所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵逅

6

【解析】

【分析】(1)根据4。15。证得4。，平面3/汨；

(2)建立空间直角坐标系D-孙z,平面/WE的一个法向量为加=(2,1,1),DE=(0,0,2),用空间向量

求解直线DE与平面4适所成角的正弦值.

【小问1详解】

在三棱柱43。-4四。1中，因为平面ABC,ACu平面ABC,所以A&LAC.

又£>,E分别为AC,的中点，则。E〃AA「所以ACLDE.

因为=为AC中点，所以ACIBD.

又BDDE=D,£)Eu平面3£>E,u平面3DE,

所以AC，平面BOE.

【小问2详解】

由(1)知AC，DE,AC，5。，DEHAA,.

又至上平面人台。，所以平面ABC.

因为BDu平面ABC,所以。E，B£),

所以ZM,DE两两垂直.

如图，建立空间直角坐标系。-孙z,

则0(0,0,0),A(l,0,0),3(0,2,0),E(0,0,2),

所以0E=(0,Q,2),AB=(-1,2,0),AE=(-1,0,2).

设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z),

m-AB=0,[-x+2y=0,

则即＜"

m-AE=0,[r+2z=0.

令y=i,贝1]%=2,2=1.于是加=(2』,1).

设直线DE与平面ME所成角为a,则sina=|cos(m,DE)|=吠匹=—.

\m\\DE\6

所以直线DE与平面ABE所成角的正弦值为逅.

6

17.已知函数/(x)=sin(2x+e)+cos2x,其中|如＜^.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已

知，使/(x)存在，并完成下列两个问题.

(1)求0的值；

JTJT

(2)当xe时，若曲线y=/(x)与直线y=m恰有一个公共点，求加的取值范围.

63_

条件①：dW=T；

条件②：-1是/(%)的一个零点;

71

条件③：/(0)=/

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【解析】

【分析】(1)根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解e=-B，

6

jr

(2)由和差角公式以及辅助角公式化简/(x)=sin(2x+—),由整体法即可代入求解.

6

【小问1详解】

选条件①：/[《]=sin[]+e[+cos；=—lnsi"[]+0]=—|■无意义，所以选条件①时/(x)不存

在，故不能选①，

选条件②.

由题设f(-----)=sin(-------1-(p)+cos(----)=0,所以sin(e——)=—.

126662

因为后<°<^，所以-字所以=

22363o3

所以夕=-，JT

O

选条件③，由题设sine+cosO=sin寺+@+cos].整理得sin(9.)=-1.

以下同选条件②.

【小问2详解】

由(1)f(x)=sin(2x-^)+cos2x=——sin2xd­—cos2%=sin2x+—

622I6

E、r兀//兀兀c71571

因为——<x<—,所以——W2x+—W-.

63666

于是，当且仅当2X+5=W，即x=2时，/(%)取得最大值1;

626

IT7T711

当且仅当2%+:=—，即％：时，/(%)取得最小值—.

6662

▼c71571兀_p.,71..5711

X+—=—,R即nxn时，/(—)=sin—=—.

oo3362

且当一枭2》+=无时，/（九）单调递增，所以曲线y=/（x）与直线,=加恰有一个公共点，则

666'/

11

一一＜机＜一或加=1

22

冽的取值范围是—g，gju{1}•

18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同

学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到

如下数据（单位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；

（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

7

【答案】（1）0.4（2）j

（3）丙

【解析】

【分析】（1）由频率估计概率即可

（2）求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.

（3）计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.

【小问1详解】

由频率估计概率可得

甲获得优秀的概率为。4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,

故答案为0.4

【小问2详解】

设甲获得优秀事件4,乙获得优秀为事件42,丙获得优秀为事件4

---------3

尸（X=0）=尸（444）=0.6x0.5x0.5=—,

尸（X=1）=尸（A4A）+P（44A）+尸（444）

Q

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——

20

p（x=2）=p（44&）+p（a44）+P（A4A）

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——

20

P(X=3)=P(A44)=0.4x0.5x0.5=.

・・・X的分布列为

X0123

3872

P

20202020

【小问3详解】

丙夺冠概率估计值最大.

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为工，甲获得9.80的概率为工,

410

乙获得9.78的概率为士.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.

19.已知椭圆E:三+斗=1（。〉。〉0）的一个顶点为A（0,l）,焦距为26.

（1）求椭圆£的方程；

（2）过点尸（-2,1）作斜率为左的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线AB,AC分别与x轴交于点

N,当|MN|=2时，求％的值.

V-2

【答案】（1）—+/=1

(2)k=Y

【解析】

b~\

【分析】（1）依题意可得2c=26,即可求出。，从而求出椭圆方程;

c2=a2-b2

（2）首先表示出直线方程，设3（无C（x2,y2）,联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线

AB.AC的方程，表示出为、根据|八四|=|/—x"|得到方程，解得即可;

【小问1详解】

解：依题意可得6=1,2c=26，又02="一加，

所以a=2,所以椭圆方程为三+＞2=1；

4

【小问2详解】

解：依题意过点尸(―2,1)的直线为y—1=左(％+2),设3(不%)、C(%,%),不妨令

-2<Xj<x2<2,

y-1=%(%+2)

由＜X221消去y整理得(1+4左2)V+06左2+8左)龙+16左2+16左=0,

—+y-=1

[4'

所以A=(1642+8左『一4(1+4/)06/+16左)>0,解得左<0,

1642+8左1642+16左

所以/+X,=—X1•X,=------；—

1+442121+442

直线的方程为y—1=2^尤，令y=。，解得税=产

石1-X

1%—1XQ

直线AC的方程为＞一1=二一％,令y=。，解得XN=L

x21一%

所以|MN|=E-拓|=尸一-

i-y2if

_x2再

—1—[.(％2+2)+1]―1—[.(％1+2)+1]

_左(冗2+2)Z(玉+2)

(々+2)%—々(％+2)

k(x?+2)(须+2)

2|石一司=2

[矶马+2)(%+2)'

所以上一百=网(七+2)(玉+2),

即J（X］+々）~-4石々=阳［々石+2（%+f）+4］

2

Bn\（1642+8左丫,16k+16k⑺「16%2+16kJ16k2+8公

即』--------丁-4x-------=^------+2--------厂

l+4k2）1+4F111+4公11+4左2J

即］+'J（242+1）2_0+4左2）①+上）+16左一206左2+8左）+4（1+4k2）］

整理得8Q=4阀，解得左=T

20.已知函数/■(无)=e」n(l+x).

(1)求曲线y=/(%)在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)设g(x)=/'(x),讨论函数g(x)在［0,+8)上的单调性;

(3)证明：对任意的s,/e(0,+8),<f(s+t)>f(s)+f(t).

【答案】(1)V=x

(2)g(x)在［0,+8)上单调递增.

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；

(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；

(3)令巩x)=/(x+f)-/(x),(xj>0),即证巩％)>m(0),由第二问结论可知〃7(x)在［0,+8)上

单调递增，即得证.

【小问1详解】

解：因为/(x)=e1n(l+x),所以/(0)=0,

即切点坐标为(0,0),

X/,(x)=eJ;(ln(l+x)+-1-),

1+x

切线斜率左=/'(0)=1

•••切线方程为：丁=%

【小问2详解】

解：因为g(x)=/'(x)=e*(ln(l+%)+」一),

1+x

21

所以g'(x)=e*(ln(l+x)+---------r),

1+x(1+x)

令3i(l+x)+占-.’

则〃(x)=」------二+="^=上乡〉0,

1+x(l+x)~(1+x)、(1+X)3

h(x)在［0,+oo)上单调递增,

：.h{x}>/z(0)=1>0

g'(尤)>0在［。,+8)上恒成立，

g(x)在［0,+oo)上单调递增.

【小问3详解】

解：原不等式等价于/(5+0-/")>/⑺一f(0),

令zn(x)=/(无+/)-/(尤)，(%,?>0),

即证机(%)>m(0),

'/m{x)=于(x+?)-/(x)=ex+zln(l+x+t)-exln(l+x)，

QX+,QX

m\x)=cx+,ln(l+x+0H-------QXln(l+x)----=g(x+/)-g(x),

1+x+t1+x'

由(2)知8。)=/口)=6':(111(1+；0+白)在［0,+8)上单调递增，

g(x+f)>g(x),

m(x)>0

M(X)在(o,+8)上单调递增，又因为x,/>0,

m(x)>m(0),所以命题得证.

21.已知｛a“｝是无穷数列.给出两个性质:

①对于｛4｝中任意两项4•吗(，>/),在｛凡｝中都存在一项。加，使」~=%；

aj

2

②对于｛%,｝中任意项a“(〃..3),在｛%｝中都存在两项如，。/(4〉0.使得4=".

al

(1)若。"="("=1,2,「)，判断数列｛4｝是否满足性质①，说明理由；

(11)若4=21(〃=1,2,),判断数列｛%｝是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(III)若｛4｝是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：｛4｝为等比数列.

【答案】(I)详见解析；(H)详解解析；(III)证明详见解析.

【解析】

【分析】(I)根据定义验证，即可判断；

(II)根据定义逐一验证，即可判断；

2

(III)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明为=&,最后，用数学归纳法证明数列为等比数列

即可.

解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得％，/，％成等比数列，之后证得％,外,%，%成等比

数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.

29

22

(II)QVz,jeN*,i>j,d=2⑵tz,2i-jeN*:.生=｛an｝具有性质①；

ajaj

2

nl

QV"eN*,"23日左=〃一1,/=〃一2,生=产a=2-=an,:.｛a,,｝具有性质②;

ai

(III)解法一

首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：

显然见wO(〃N*),假设数列中存在负项，设乂=max｛川4<0｝,

第一种情况：若M=1,即/<0<。］<出<%<,，

22

由①可知：存在叫，满足4=—<0,存在加2，满足&<0，

1

ax4

由No=1可知&=幺，从而a,=%，与数列的单调性矛盾，假设不成立.

%q

al

第二种情况：若乂22,由①知存在实数加，满足〃〃二』<（）,由N。的定义可知：m<N0,

a｛

22

a

另一方面，am=—>—=Nn>由数列的单调性可知：加>No，

这与No的定义矛盾，假设不成立.

同理可证得数列中的项数恒为负数.

综上可得，数列中的项数同号.

2

其次，证明为=&■:

利用性质②：取〃=3,此时％="（左>/），

由数列的单调性可知ak>a,>Q,

而。3=4,工〉W，故左<3,

%

2

此时必有k=2,1=1,即生=二，

ax

最后，用数学归纳法证明数列为等比数列:

假设数列｛«„｝的前左（左>3）项成等比数列，不妨设&=（1WsWk）,

其中弓〉。,“〉：!，（％<0,0<q<l的情况类似）

2

由①可得：存在整数加，满足=—^=4不>以，且。机=%■>以+i（*）