2025中考数学一轮复习：四边形（含解析+考点卡片）

2025年中考数学一轮复习

第23讲四边形

一.选择题（共10小题）

1.如图，E是口的边CD的中点，延长/£交2C的延长线于点/，若/BAF=90°,BC=5,EF

A.6B.8C.10D.12

2.如图，在平面直角坐标系中，点/,8在第一象限，点。在x轴正半轴上，且NC与08互相垂直平分,

。为垂足，连接CM,AB,BC.反比例函数y=又（％>0）的图象经过点。，与。/相交于E.若点2的

坐标为（8,4）,则点E的坐标是（）

A.(V2,1V2)B.(1V3,1V3)C.(1V5,1V5)D.(乃，|V6)

3.在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间

转换的条件，其中填写错误的是（）

A.①对角相等B.②有一组邻边相等

C.③有一组邻边相等D.④有一个角是直角

4.如图，在正方形45。中，点£、点尸分别是N5和8C边的中点，连接DE、/尸交于点尸，连接CP

和。下，若/BCP=CL,则NCP尸的度数为（）

AD

5.如图，四边形NBC。中，对角线4C、5。相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的

是()

三-----__D

A.AB//DC,AD//BCB.AB//DC,AD=BC

C.AO=CO,BO=DOD.AB=DC,AD=BC

6.如图，在口45。。中，对角线4c与5。相交于点。，E是边CD的中点,连接OE.若/48C=50°,

NA4C=80°,则N1的度数为()

BC

A.60°B.50°C.40°D.25°

7.如图，平面直角坐标系中，正方形O/2C的顶点。为原点,点、B(2,2),对角线的交点为M,CD平

分NOCA,交05于点。，交ON于点£,则点。的坐标为()

八y

Cr_______________J

X

0EA0C

B.()C.(V2—1/V2--1)D.(2-V2,2-V2)

8.如图，在矩形45C。中，48=2,对角线4C与AD相交于点。，4E垂直平分05于点E,则的长

为（)

9.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看,

景色宛如镶嵌于一个画框之中.图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角N1的大小为（）

图1图2

A.22.5°B.45°C.60°D.135°

10.如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形/BCD是该型号千斤顶的示意

图，保持菱形边长不变，可通过改变NC的长来调节3。的长.已知N3=30c⑶8。的初始长为30cm,

如果要使BD的长达到36cm,那么AC的长需要缩短（

A.6cmB.8cm

C.(30V3-36)cmD.(30A/3—48)cm

二.填空题（共5小题）

11.如图，在矩形/BCD中，AD=5,DC=1,菱形EFG”的三个顶点£,G,〃分别在矩形/8C〃的边

连接CF.当△产CG的面积为通时，0G的长为

12.如图，正八边形/BCD所G”的对角线/尸，77。交于点M,则N4WH的度数是

HG

13.如图，在正方形45CD中，点E为CD上靠近点。的三等分点，点尸为5C的中点，以斯为直角边,

4G

点£为直角顶点向右构造等腰RtZkEFG,连接/G、CG,则仁的值为.

14.如图，在矩形4BCD中，AB=6,40=12,£是线段4D上一动点，以E为直角顶点在E2的右侧作

等腰三角形EBF,连接。9，当点尸落在矩形ABCD的对角线上时，则。尸的长

为___________________.

15.如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角(/

0)为60°,点、A,B,C都在格点上，贝！Jsin//BC的值是.

三.解答题(共5小题)

16.如图，在矩形/BCD中，E为AB边上一点、,EC平分NDEB,尸为CE■的中点，连接/RBF,过点£

作分别交//，CA于G,〃两点.

(1)求证：AB=DE；

(2)请判断NF,3尸的位置关系，并说明理由.

17.如图，平分凡点4是射线期上一点，过点/作NO〃3N交8G于点。，过/作N£_L8N,

过点D作DF1BN.

(1)求证：四边形/EFD是矩形；

(2)在3尸上取点C使得CF=3E,连接/C、CD.求证：ACLBD.

18.如图，在口/BCD中，/£_L3C于点£,延长BC至点/，使CF=BE,连接。凡AF与DE交于点、O.

(1)求证：四边形/EFD为矩形；

(2)若48=3,OE=2,BF=5,求DF的长.

19.如图，在四边形/BCD中，AB//DC,AB=AD,对角线NC,BD交于■点、O,AC平分/B4D,过点C

作CEL4S,交的延长线于点£,连接。£.

(1)求证：四边形/BCD是菱形.

(2)若48=5,BD=6,求OE的长.

20.如图，在矩形中，点尸是2C上一点，且CF=23凡CELAF,垂足为点E,/BCE=3Q°.

(1)求证：AE=EF+CF；

(2)若ND=6c加，点尸是AD上一动点，以1c机/s的速度从点/运动到点D,问：点尸运动多少秒四

边形NFCP是菱形？请说明理由.

2025年中考数学一轮复习

第23讲四边形

选择题（共10小题）

I.如图，£是口/BCD的边CD的中点，延长/£交8C的延长线于点凡若NBAF=90°,BC=5,EF

=3,则CD的长是（）

A.6B.8C.10D.12

【考点】平行四边形的性质.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】由平行四边形的性质得出4D〃8C,AB//CD,证出ND=/ECF,由全等三角

形的性质得出4B=£F=3,由平行线的性质证出//££>=//=90°,求出DE,即可得出CD的长.

【解答】解：•..四边形/BCD是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,

；./DAE=/F,ND=NECF,

是口ABCD的边CD的中点，

：.DE=CE,

在△4DE和中，

（/DAE=/F

JZD=4ECF，

{DE=CE

.•.△4DE沿AFCE（AAS）,

:.AE=EF=3,

,JAB//CD,

：.ZAED=ZBAF=9Q°,

在△/£(£中，AD=BC=5,

22

:.DE=<AD-AE=7s2-32=4,

：.CD=2DE=8.

故选：B.

【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性

质，证明三角形全等是解决问题的关键.

2.如图，在平面直角坐标系中，点3在第一象限，点C在x轴正半轴上，且/C与03互相垂直平分,

。为垂足，连接CM,AB,BC.反比例函数y=[0：>0）的图象经过点。，与。/相交于E.若点8的

坐标为（8,4）,则点£的坐标是（）

A.（V2,1V2）B.（1V3,1V3）C.（1V5,1V5）D.（遍，1V6）

【考点】菱形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】反比例函数及其应用；矩形菱形正方形；应用意识.

【答案】D

【分析】由中点坐标公式可求点。坐标，由反比例函数的性质可求后的值，将各选项坐标代入可求解.

【解答】解：与互相垂直平分，点3的坐标为（8,4）,

...点。的坐标为（4,2）,

.,"=4X2=8,

，只有选项D的坐标满足人=逐x警=8,

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题

的关键.

3.在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间

转换的条件，其中填写错误的是（)

A.①对角相等B.②有一组邻边相等

C.③有一组邻边相等D.④有一个角是直角

【考点】平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】A

【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分

析，即可得出结果;

【解答】解：/、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意;

B,②，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；

C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；

。、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、

菱形、正方形的判定定理；

4.如图，在正方形45CD中，点£、点尸分别是48和8C边的中点，连接。£、AF交于点、P,连接CP

和。尸，若/BCP=oc,则/CPF的度数为（）

CY0（

A.45。-抗B.45。+^C.90°-aD.90°-2a

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】A

【分析】延长/RDC交于G,证明(”S),可得//PE=90°=ADPG,再证4/8产

^AGCF(ASA),可得CP为Rtz\DPG斜边上的中线，故NCPF=/G,即得/CPP+/CPP+(a+90°)

ct

=180°,NCPF=45°一全

【解答】解：延长4R。。交于G,如图:

・・•四边形/BCD是正方形，

:・AB=AD=BC=CD,ZDAE=ZB=90°

■:E,F是4B,5。的中点,

：.AE=^AB=^BC=BF,

・••△DAE义AABF(&4S),

・•・ZADE=/BAF,

VZADE+ZAED=90°,

ZBAF+ZAED=90°,

AZAPE=90°=/DPG,

VZB=ZGCF=90°,BF=CF,/AFB二/GFC,

：.AABF^AGCF(ASA)f

：.AB=CG,

：.CG=CD,

：.CP为Rt△。尸G斜边上的中线,

：.CP=^DG=CG,

:"CPF=/G,

9：ZCPF+ZG+ZPCG=180°,

：.ZCPF+ZCPF+（a+90°）=180°,

CY

：.ZCPF=45a--

故选：A.

【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等

三角形解决问题.

5.如图，四边形/BCD中，对角线/C、3。相交于点。，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的

是（）

月女------------------

A.AB//DC,AD//BCB.AB//DC,AD=BC

C.AO=CO,BO=DOD.AB=DC,AD=BC

【考点】平行四边形的判定.

【答案】B

【分析】利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）两组对边分

别相等的四边形是平行四边形.（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）两组对角分别相

等的四边形是平行四边形.（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可.

【解答】解：/、可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是

平行四边形，故此选项不合题意；

B、AB//DC,。不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；

C、AO=CO,。可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，

故此选项不合题意；

D、AB=DC,可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形,

故此选项不合题意；

故选：B.

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理.

6.如图，在中，对角线NC与3。相交于点。，£是边CD的中点，连接0E.若N/3C=50°,

NA4C=80°,则N1的度数为（）

A.60°B.50°C.40°D.25°

【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理.

【专题】多边形与平行四边形.

【答案】B

【分析】直接利用三角形内角和定理得出NBC4的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质

得出答案.

【解答】解：'：ZABC=50°,/B/C=80°,

AZSC4=180°-50°-80°=50°,

:对角线/C与8。相交于点O,£是边CD的中点，

是△OBC的中位线，

：.EO//BC,

；./l=N/C2=50

故选：B.

【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出E。是△D2C的中位线是

解题关键.

7.如图，平面直角坐标系中，正方形O42C的顶点。为原点，点3（2,2）,对角线的交点为CD平

分/交03于点。，交。/于点£,则点。的坐标为（）

C.(a-1,V2-1)D.(2-V2,2-V2)

【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质.

【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】过点£作即，/。于点凡过点。作CM于点区延长他交3C于点G,根据点8的

坐标得出正方形的边长，即可求出对角线/C的长，根据角平分线的性质得出OC=CF,OE=EF,求

出N尸的长即可得出O£的长，再根据正方形的性质证得根据相似三角形对应高之比

等于相似比即可求出。〃的长，最后根据所为等腰直角三角形即可得出点。的坐标.

【解答】解：过点£作于点凡过点。作。于点“，延长交3C于点G,

:四边形。/8C为正方形，

：.OA=AB=BC=OC,ZOAB=ZABC=ZBCO=ZCOA=900,ZOAC=ZAOB=45°,BC//OA,

■:点、B(2,2),

OA=AB=BC=OC=2,

由勾股定理得/C=Voc2+OA2=V22+22=2V2,

：。£)平分/。山，NCO4=/EFC=9Q°,

：.ZOEC=ZFEC,OE=EF,

：.OC=CF=2,

：.AF=AC-CF=2V2-2,

:NEE4=9Q°,ZOAC=45a,

...△NE/是等腰直角三角形，

：.EF=AF=2V2-2,

?.OE=2V2-2,

'：BC//OA,DHLOA,

：.DG±BC,

:.DG=OC=2,

■:BC//OA,

:.丛BCDs丛OED,

.BCDG

••_-，

OEDH

,22—DH

2V2-2一DH，

：.DH=2-V2,

VZAOB=45°,

是等腰直角三角形，

：.0H=2-V2,

.•.点。的坐标为（2—鱼，2-V2）,

故选：D.

【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，坐标与图

形性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键.

8.如图，在矩形NBC®中，AB=2,对角线NC与50相交于点O,/£垂直平分05于点£,则3C的长

【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】B

【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证是等边三角形，可得/24。=60°,即可求

解.

【解答】解：•••四边形N5CD是矩形，

；.A0=B0=C0=D0,

垂直平分0B,

：.AB=A0,

:・AB=AO=BO,

・・・△405是等边三角形,

AZBAC=60°,

：.BC=7142=2技

故选:B.

【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性

质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

9.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看,

景色宛如镶嵌于一个画框之中.图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角N1的大小为（）

图I图2

A.22.5°B.45°C.60°D.135°

【考点】平面镶嵌（密铺）；多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形；运算能力.

【答案】B

【分析】由多边形的外角和定理直接可求出结论.

【解答】解：•••正八边形的每一个外角都相等，外角和为360。，

,它的一个外角/I=360°4-8=45°.

故选：B.

【点评】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键.

10.如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意

图，保持菱形边长不变，可通过改变NC的长来调节3。的长.已知A8=30c%,AD的初始长为30c〃z,

如果要使BD的长达到36cm,那么AC的长需要缩短（）

B

A.6cmB.8cm

C.(30V3-36)cmD.(3073-48)cm

【考点】多边形；三角形的稳定性.

【专题】矩形菱形正方形；运算能力.

【答案】D

11

【分析】设/。与交于点。，4。于8。交于点由菱形的性质得80=230=15"[,D'O'=^BD'

=\8cm,AC=2AO,A'C=2A'O',BDLAC,BD'LA'C,在RtZ\/O3中由勾股定理可求出40=1575c加，

则/C=2/O=30百c%,在RtZU'OZT中由勾股定理可求出/'O』24c〃?，则力。=2HO』48c〃?，然后再

求出NC-/,。即可.

【解答】解：设/C与AD交于点。，4。于3。交于点O,如下图所示：

依题意得：四边形/BCD,四边形48。。均为菱形，且4S=N77=30cm,BD=30cm,BD'=36cm,

1I

：.BO=^BD=\5cm,D'O'=^BD'=l?,cm,AC=2AO,A'C'=2A'O',BDLAC,BD'LA'C,

在RtZX/OB中，AB=30cm,B0=15cm,

由勾股定理得：AO=7AB2—B(fi=15V3(cm),

；.4C=240=30V3cm,

在RtZ\4O'。中，A'D'=30cm,D'O'=18cm,

由勾股定理得：4。'=-DU=24(cm),

：.A'C'=2A'O'=48cm,

：.AC-A'C=(30V3-48)cm,

即要使BD的长达到36cm,那么AC的长需要缩短(30遮-48)cm.

故选：D.

【点评】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是

解决问题的关键.

二.填空题(共5小题)

11.如图，在矩形中，4D=5,DC=1,菱形EFG8的三个顶点E,G,X分别在矩形/BCD的边

AB,CD,DA±,DH=3,连接CF.当△/CG的面积为近时，0G的长为

【考点】矩形的性质；三角形的面积；菱形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】7-痘.

【分析】作W_LDC,”为垂足，连接GE,可以证明'之则W=H4=2,即无论菱形

EFG8如何变化，点尸到直线CD的距离始终为定值2.根据△尸CG的面积就可以解出GC,DG的长.

【解答】解：作FA1LDC,"为垂足，连接GE,

,:AB〃CD,

：.NAEG=ZMGE,

■:HE//GF,

：./HEG=NFGE,

：.NAEH=ZMGF.

在△///£和△VFG中，ZA=ZM=90°,HE=FG,

：.AAHE%AMFG.

：.FM=HA=2,即无论菱形EFG//如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2.

因此S&FCG=1X2GC=V5,解得GC=V5,

:.DG=1-瓜

故答案为：7-瓜

DGCM

O

【点评】本题考查了矩形的性质，解决本题的关键是了解无论菱形斯G8如何变化，点尸到直线CD

的距离始终为定值2,难度不大.

12.如图，正八边形/BCDEFGX的对角线4F,加交于点M,则N/MZ的度数是67.5°.

HG

【考点】多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】67.5.

【分析】先求出/NHG=/M43=135°,再根据正八边形的性质求出//HD和最后根据三角

形的内角和即可求得.

【解答】解：：八边形ASCDEFGH为正八边形,

：/4HG=NHAB=180°-360°4-8=135°，

:正八边形48CDEFG8的对角线4F,HD,

1

:./AHD=q/AHG=675°,

NE4B=90°，

：.ZMAH^135°-90°=45°,

?.Z^Affir=180°-45°-67.5°=67.5°.

故答案为:67.5.

【点评】本题主要考查多边形内角和外角，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质.

13.如图，在正方形N5CD中，点E为CD上靠近点。的三等分点，点尸为3c的中点，以斯为直角边,

点£为直角顶点向右构造等腰RtAEFG,连接/G、CG,则上的值为_.

Cu17

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力.

…川5^85

【答案］—

【分析】过点G作GM1CD于M,GM的延长线交AB于N,根据点E为CD上靠近点D的三等分点，

设DE=2a,则EC=4a,AB=BC=DC=AD=6a,BF=CF=3a,证明四边形/WD和四边形8CW

均为矩形，则BN=CM,再证明△尸EC和△EGM全等得CP=EM=3a,EC=GM=4a,

则BN=CM=CE-EM=a,GN=GM+MN=10a,AN=AB-BN=5a,然后由勾股定理分别求出

ZG

AG—5V5a,CG=据此可得力的值.

CG

【解答】解：过点G作GMLCD于GM的延长线交于N,如下图所示：

；点、E为CD上靠近点D的三等分点,

:.设DE=2a,贝!j£C=4a,

:.CD=DE+EC=6a,

:四边形/BCD为正方形，

：.AB=BC=DC=AD=6a,/ABC=/BCD=/D=/DAB=90°,

;点尸在BC的中点,

：.BF=CF=3a,

,/GMLCD于M,GM的延长线交.AB于N,

四边形MWD和四边形3cMN均为矩形，

.,.MN=AD=6a,BN=CM,

•••△EFG为等腰直角三角形，且点E为直角顶点，

:・EF=EG,ZFEG=90°,

AZFEC+ZMEG=90°,

VZBCD=90°,GMLCD,

：.ZFCE=ZEMG=90°,

：・/MEG+/EGM=90°,

・・・NFEC=ZEGM,

在△bEC和△EGM中,

ZFCE=ZEMG=90°

'乙FEC=^EGM，

^EF=EG

:.△FECmAEGM(AAS)f

:・CF=EM=3a,EC=GM=4a,

:・BN=CM=CE-EM=4a-3a=a,GN=GM+MN^^a+6a=1Otz,

:・AN=AB-BN=6a-a=5a,

在RtZXNGN中，由勾股定理得：AG=y/AN2+GN2=5V5a,

在RtZkGCM中，由勾股定理得：CG=>JGM2+CM2=V17a,

,AG_5岛5屈

"CG~y[V7a~17,

【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理

等，理解正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定

理进行计算是解决问题的关键.

14.如图，在矩形4BCD中，AB=6,40=12,£是线段4D上一动点，以E为直角顶点在E2的右侧作

等腰三角形EBF,连接DF,当点F落在矩形ABCD的对角线上时，则DF的长为2郭或6.

【考点】矩形的性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.

【专题】函数及其图象；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用；推理

能力.

【答案】2有或6.

【分析】由“44S”可证LABEmAHEF,可得4B=EH=6,AE=HF,分两种情况讨论，由锐角三角

函数可求解.

【解答】解：如图，过点尸作切，于X,

/.ZFHE=ZBEF=90°=ZBAE,

：.ZABE+ZAEB^90°=ZAEB+ZFEH,

：.ZABE=ZFEH,

又,：BE=EF,

:.XABEeMHEF(44S),

；・AB=EH=6,AE=HF,

设AE=HF=x,

.\DH=12-6-x=6-x,

40Up1

当点尸在上时，tanN4D5=而=而=a，

.x1

••—二，

6-x2

•・x=2,

:・HF=2,DH=4,

：.DF=7HD2+HF2=V4+16=2V5,

当点尸在NC上时，tan/ZX4C=^=黑=*,

•X___1

••—_,

6+x2

・・x=6,

：.HF=6,DH=3

二点下与点c重合，点〃与点。重合，

：.DF=6,

【点评】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等

知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

15.如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（/

V21

。）为60°,点、A,B,C都在格点上，贝！Isin//2C的值是—〒

【考点】菱形的性质；解直角三角形.

【专题】矩形菱形正方形；运算能力.

【答案】见试题解答内容

AI7

【分析】如图，连接口、EC,先证明N/£C=90°,E、C、8共线，再根据sin//8C=器，求出4E1、

AB即可解决问题.

【解答】解：如图，连接EN,EC,

设菱形的边长为。，由题意得//即=30°,/CEF=60°,

.,./£=2cos30°'a—43a,EC=a,

则ZC=2a,

：.AE2+CE2^AC2,

：.ZAEC=90°,

ZACE=60°,

AZACE^ZACG=ZBCG=60°,

：.Z£CS=180°,

；.E、C、3共线，

在RtzXABB中，sinZABC=空=簿=里.

AB"a7

故答案为：

E

【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造

直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

三.解答题（共5小题）

16.如图，在矩形/2C。中，E为48边上一点，EC平分/DEB,尸为CE的中点，连接NRBF,过点E

作分别交4尸，CD于G,〃两点.

（1）求证：AB=DE-,

（2）请判断NF,3尸的位置关系，并说明理由.

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】（1）证明见解析；

（2）AFLBF,理由见解析.

【分析】（1）由矩形的性质得出=根据平行线的性质得出根据角

平分线的定义得出ND£C=N3£C,于是有/DCE=/DEC,根据等角对等边得到于是问题

得证；

（2）连接。R先证和448尸全等，再证/DFC=90°,即可得出/凡8尸的位置关系.

【解答】（1）证明：•••四边形/5。是矩形，

：.AB//CD,AB=CD,

：.NDCE=ZBEC,

；EC平分/DEB,

：.ZDEC=Z.BEC,

：.NDCE=ZDEC,

：.CD=DE,

；.AB=DE；

(2)解：AFLBF,理由:

C.AB//CD,AB=CD,NABC=NBCD=9Q°,

:尸为CE的中点,

1

:.BF=^CE=CF=EF,

：.NFBA=/BEC,

,JAB//CD,

：.ADCE=/BEC,

：./DCF=ZFBA,

在△DCF和△NB/中，

CD=BA

乙DCF=乙ABF,

.CF=BF

.'.△DCF会44BF(SAS),

：.NDFC=ZAFB,

由(1)知CD=£>E,尸为CE的中点，

C.DFLCE,

；./DFC=90°,

：.ZAFB=90°,

即AFLBF.

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质,

角平分线的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键.

17.如图，8。平分凡点N是射线5M上一点，过点/作N£)〃3N交8G于点。，过/作NE_LBN,

过点D作DFLBN.

(1)求证：四边形NEED是矩形；

(2)在BF上取点C使得CF=BE,连接/C、CD.求证：ACLBD.

【考点】矩形的判定与性质.

【专题】矩形菱形正方形；几何直观；推理能力.

【答案】(1)证明见解析过程;

(2)证明见解析过程.

【分析】(1)先判定四边形/EFD是平行四边形，然后由即可得解；

(2)先判定四边形/BCD是平行四边形，再由AD平分//2C和AD〃2c得出4D=/2,证出四边形

/BCD是菱形，进而即可得证.

【解答】证明：(1)'CAELBN,DF1BN,

C.AE//DF,

'.'AD//EF,

：.四边形NEED是平行四边形，

'：AE±BN,

，四边形/EFD是矩形；

(2)•.,四边形4EFD是矩形，

C.AD//EF,AD=EF,

,:BE=CF,

：.BC=EF,

C.AD//BC,AD=BC,

/.四边形/BCD是平行四边形，

■:BD平分NABC,

：.ZABD=ZDBC,

,CAD//BC,

：.ZADB=ZDBC,

：.ZABD=ZADB,

：.AD=AB,

，四边形428是菱形，

：.AC±BD.

【点评】本题主要考查了特殊四边形的判定和性质，角平线的性质等知识点，熟练掌握其判定和性质是

解决此题的关键.

18.如图，在口A8CD中，/E_LBC于点E,延长至点尸，使CF=BE,连接DRAF与DE交于点、O.

(I)求证：四边形AEFD为矩形；

(2)若/2=3,。£=2,BF=5,求。尸的长.

【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】(1)证明见解析；

12

(2)—.

【分析】(1)先证四边形NEED为平行四边形，再证//即=90°,即可得出结论；

(2)由矩形的性质得AF=DE=4,再由勾股定理的逆定理得△氏4斤为直角三角形，ZBAF

=90°,然后由面积法求出NE的长，即可得出答案.

【解答】(1)证明：

:.BE+CE=CF+CE,

即BC=EF,

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.AD=BC=EF,

又•：ADHEE,

四边形/EFD为平行四边形，

'：AELBC,

：.ZAEF=90°,

平行四边形NEED为矩形；

(2)解：由(1)知，四边形4E7XI为矩形，

：.DF=AE,AF=DE=2OE=4,

：4B=3,DE=4,BF=5,

：.AB2+AF2=BF2,

.♦.△A4尸为直角三角形，ZBAF=90°,

11

S^ABF=2^xAF=《BFxAE,

：.ABXAF=BFXAE,

即3X4=54E,

.，口_12

.・AE=-g-,

12

：.DF=AE=昔.

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积

等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.

19.如图，在四边形/BCD中，AB//DC,AB=AD,对角线/C,BD交于■点、O,4c平分/B4D,过点C

作交的延长线于点£,连接。£.

(1)求证：四边形/BCD是菱形.

(2)若48=5,BD=6,求OE的长.

【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】(1)见解析；

(2)4.

【分析】(1)根据题意先证明四边形是平行四边形，再由43=/。可得平行四边形/BCD是菱

形；

(2)根据菱形的性质得出03的长以及//。2=90°,利用勾股定理求出。/的长，再根据直角三角

形斜边中线定理得出OE=AC,即可解答.

【解答】(1)证明：

：.ZCAB=ZDCA,

；AC为/D4B的平分线，

：.ZCAB=ZDAC,

：.NDCA=NDAC,

：.CD=AD,

；4B=AD,

:・AB=CD,

•:AB〃CD,

・・・四边形是平行四边形，

9：AD=AB,

・・・平行四边形是菱形；

(2)解：,・•四边形45C。是菱形，对角线4C,BD交于点O,

11

：.AC.LBD,OA=OC=^ACfOB=OD=^BD,

1

：.OB=^BD=3,

在RtZ\4O5中，ZAOB=90°,

・・・OA=7AB2-OB2=V52-32=4,

U：CELAB,

：.ZAEC=90°,

在RtZ\ZEC中，ZAEC=90°,。为4C中点，

1

：.OE=^AC=OA=4.

【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识,

熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

20.如图，在矩形中，点尸是BC上一点，且CF=23F,CELAF,垂足为点E,/BCE=3G°.

(1)求证：AE=EF+CF；

(2)若4D=6c〃z,点P是40上一动点，以ICTM/S的速度从点/运动到点。，问：点尸运动多少秒四

边形4FC尸是菱形？请说明理由.

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.

【专题】矩形菱形正方形；运算能力.

【答案】(1)见解答过程；

(2)点尸运动4秒，四边形NFC尸是菱形.

【分析】(1)根据四边形/BCD是矩形，得出N8=90°,通过已知条件证明△/时名/(ASA),

再进行等量代换即可；

(2)设点尸运动f秒，四边形/FCP是菱形，根据四边形//CP是菱形，得出/尸=/F=CF=CP=K

根据题意列出方程解答即可.

【解答】(1)证明：：四边形438是矩形，

.•.48=90°,

:AFLCE,

：.Z£=90°,

：/EC尸=30°,

1

；.EF=»CF,

CF=2BF,

；・BF=EF,

又,:ZAFB=ZCFEf

・,.△ABFQdCEF(ASA)f

：.AF=CF,

*：AE=EF+AF,

：.AE=EF+CF；

(2)解：设点。运动f秒，四边形/FCP是菱形，

・・•四边形4"尸是菱形，

JAP=AF=CF=CP=t,

•/CF=2BF,

1

：.BF=^t,

*：AD=6,

：.BC=6,

1

t+t=6,

2

即：f=4,

...点P运动4秒，四边形/尸。是菱形.

【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，菱形的判定，矩形的性质，熟练掌握相关性质是解

答本题的关键.

考点卡片

1.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到X轴的距离与纵坐标有关，到

y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的

符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问

题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.

2.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数（左为常数，kWO）的图象是双曲线，

①图象上的点（x,＞）的横纵坐标的积是定值左，即刈=怎

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在〉图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值卧

3.三角形的面积

（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底x高.

（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

4.三角形的稳定性

当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性.这一特性主

要应用在实际生活中.

5.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.

6.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，

有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，V

C在的平分线上，CDLOA,CE±OB：.CD=CE

o

c

7.线段垂直平分线的性质

（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）

垂直平分线，简称“中垂线”.

（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—