2025人教版七年级数学下册 第十章《二元一次方程组》教案

第十章二元一次方程组

10.1二元一次方程组的概念

【素养目标】

1.认识二元一次方程和二元一次方程组，体会二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量

关系的重要数学模型.

2.了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会检验所给的一对未知数的值是否为二元一次

方程或二元一次方程组的解.

3.会求二元一次方程的正整数解.

【教学重点】理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义.

【教学难点】

1.感知二元一次方程解的不确定性和二元一次方程组解的确定性.

2.求二元一次方程的正整数解.

【教学过程】

活动一：旧知回顾，新课导入

［设计意图］

回顾方程知识，为突破本课时重难点做准备.

同学们，在七年级上册，我们学习了一元一次方程，你还记得什么是一元一次方程吗？“元”

“次”分别表示什么含义？请举例说明.

一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数

都是1,这样的方程叫作一元一次方程.如：2x+3=5,y+6=8.

用一元一次方程可以解决许多实际生活问题.请大家思考教材P87引言中的问题，对于此类含

有两个未知量的问题，我们能否根据题意设出两个未知数，并列出方程解决问题呢？

本节课我们将对该问题进行探究与学习.

［教学建议］学生代表独立回答，教师提示并总结，引出二元一次方程（组）的有关知识.

活动二：问题引入，自主探究

［设计意图］

以实际问题为例，进行分析探究，引入二元一次方程（组）的概念.

探究点1认识二元一次方程（组）

某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8hm2棉田的采摘.如果大型采

棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租

用了大、小型采棉机各多少台？

问题1问题中包含了哪些必须同时满足的相等关系？

①大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数；

②大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=1h采摘总面积.

问题2设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关

系表示出来吗？

这两个相等关系可以分别用方程x+y=6,2x+y=8表示.

问题3上面的两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？

这两个方程都含有两个未知数，左边都是整式，所含未知数的项的次数都是1.

与一元一次方程的不同点：比一元一次方程多一个次数为1的未知数，即有两个未知数.

概念引入：

一个方程中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1,

像这样的方程叫作二元一次方程.

上面的问题中包含两个必须同时满足的相等关系，也就是未知数x,y必须同时满足方程x+

y=6和2x+y=8.把这两个方程合在一起，写成x+y=6,2x+y=8,就组成了一个方程组.

［教学建议］学生独立思考并完成相应的问题，教师引导学生一起得出二元一次方程和二元一

1

次方程组的概念.在识别二元一次方程（组）时，应提醒学生注意二元一次方程（组）的三个特征：①

“二元”，即方程（组）中含有两个未知数；②（方程组中的两个）方程的两边都是整式；③“一次”,

即方程（组）所含未知数的项的次数都是1.

概念引入：

一个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是

1,一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.

［对应训练］

1.下列方程中，是二元一次方程的是（D）

A.3x—2y=4zB.6xy+9=0C.lx+4y=6D.4x—y-24

2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（A）

［设计意图］

结合问题中未知数的实际意义，列举出所有满足方程的未知数的值，引入二元一次方程（组）

的解的概念.

探究点2二元一次方程（组）的解

下面我们继续来探究上个

探究点中的问题.

问题1满足方程x+y=6,且符合问题的实际意义的x,y的值有哪些？把它们填在表中.

结合问题的实际意义，采棉机台数均为正整数.

x12345

y54321

2x+y7891011

如果不考虑方程x+y=6与前面实际问题的联系，那么x=-1,y=7；x=0.1,y=5.9；•••

也都是这个方程的解.

概念引入：

一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.

问题2一个一元一次方程有几个解？一个二元一次方程呢？

一个一元一次方程只有一个解，一个二元一次方程有无数对解.

问题3结合在上表中填入的x,y的值，计算2x+y的值并填在表中.上表中哪对x,y的值

同时满足方程2x+y=8.

x=2,y=4同时满足方程2x+y=8.

x=2,y=4既满足方程x+y=6,又满足方程2x+y=8.也就是说，x=2,y=4是方程x+y

=6与方程2x+y=8的公共解.我们把x=2,y=4叫作二元一次方程组x+y=6,2x+y=8的

解，这个解通常记作x=2,y=4.

概念引入：

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.

问题4请联系上面的问题，确认这个种棉大户租用了多少台大、小型采棉机.

这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机.

［对应训练］

1.教材P90习题10.1第1题.

2.若x=2,y=5是关于x,y的方程kx—2y=-2的一个解，则k的值为4.

［教学建议］学生独立思考并完成表格，教师引导学生得出二元一次方程（组）的解的概念，加

深对该概念的理解.

二元一次方程组的解的特点：

①是一对数值，即x=a,y=b.

②同时满足方程组中的每一个方程.

活动三：重点突破，提升探究

［设计意图］

以实际问题为例，让学生独立完成由实际问题建立方程模型，并结合实际意义求方程组的解

2

的过程.例观察小红与小明的对话，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，确定成人、

儿童的人数.

解：设成人的人数为X,儿童的人数为y.根据题意，得x+y=8,5x+3y=34.①②

因为x,y均表示人数，所以x,y都是非负整数.

在方程①中，满足条件的x,y的值有

X012345678

y876543210

经验证，x=5,y=3也是方程②的解.则二元一次方程组的解是x=5,y=3.

答：他们去了5个成人，3个儿童.

［对应训练］

教材P89练习.

［教学建议］学生分小组讨论解答.教师适时引导学生根据问题的实际意义确定未知数的取值.

通常此类问题中未知数是非负整数（或正整数），要具体问题具体分析.

活动四：随堂训练，课堂总结

［课堂总结］师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

1.如何判断一个方程（组）是不是二元一次方程（组）?

2.如何判断一对数值是不是二元一次方程（组）的解？

【作业布置】

1.教材P90习题10.1第2,3,4,5题.

10.2消元一一解二元一次方程组

10.2.1代入消元法

第1课时用代入消元法解简单的二元一次方程组

【素养目标】

1.了解解二元一次方程组的“消元”思想，体会学习数学中的“化未知为已知”，“化复杂为

简单”的化归思想.

2.了解代入消元法的概念，掌握代入法的基本步骤.

3.会用代入消元法求简单的二元一次方程组的解.

【教学重点】了解代入法的一般步骤，会用代入法解简单的二元一次方程组.

【教学难点】对代入消元法解方程组的过程的理解.

【教学过程】

活动一：回顾旧知，新课导入

［设计意图］

回顾上节课的内容，为引入新课做准备.

在上节课中，我们探究了教材P87的问题，通过设租用的大型采棉机的台数为x,小型采棉

机的台数为y,结合问题中的相等关系，列出了二元一次方程组x+y=6,2x+y=8.①②之后我

们又结合未知数的实际意义，通过逐一尝试的方法，找出了方程组的解.

很明显这种方法较为受限且求解过程比较烦琐，那有没有一种简单的方法解方程组呢？

这节课我们继续研究怎样解二元一次方程组.

［教学建议］教师直接列举不适合列表求公共解的实际问题，激发学生探究方程组其他解法的

兴趣.

活动二：问题引入，自主探究

［设计意图］

将解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，引入将“二元”转化为“一元”的“消元”

思想，总结出用代入消元法解二元一次方程组的步骤.

探究点用代入法解简单的二元一次方程组

问题1对于教材P87的租用大、小型采棉机问题，你能否列一元一次方程求解？

设这个种棉大户租用了大型采棉机x台，则租用了小型采棉机（6—x）台.

3

根据题意，得2x+(6—意=8.③

解得x=2.

则6—x=4.

这个种棉大户租用了大型采棉机2台，小型采棉机4台.

问题2对于教材P87的问题，采用不同的设未知数的方法，由问题中的相等关系，可以分

别列出二元一次方程组和一元一次方程③.你能由所列出的二元一次方程组得到所列出的一元一

次方程③吗？

方程①可以写为y=6—x,因为方程①②中的y都表示租用小型采棉机的台数，所以可以通

过等量代换，把方程②中的y换为6—x,即可得到方程③.解方程③，得x=2.把x=2代入y=6

-X,得y=4,从而得到这个方程组的解.

概念引入：

将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想.

把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一

个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作代入

消元法，简称代入法.

例1(教材P92例1)用代入法解方程组问题1选择哪个方程进行变形会比较简便，为什

么？

选择方程①进行变形会比较简便，因为方程①中x,y的系数的绝对值都是1.

问题2用含y的式子表示x,写出解答过程.

问题3问题2中的方程③可以代入方程①吗？为什么？

不能.把方程③代入方程①后，会得到不含未知数的恒等式3=3,无法继续求解.方程③由方

程①变形得到，不能代入原方程.

问题4问题2中的y=—l代入方程①或方程②，能求得x的值吗？

能.代入方程①，②还需要进一步变形才能求得x的值，代入方程③更简便.

问题5方程①能否用含x的式子表示y来求解？试试看.能.

解：由①，得y=x—3.③

把③代入②，得3x—8(x—3)=14.解这个方程，得x=2.

把x=2代入③，得y=—1.所以这个方程组的解是x=2,y=-l.

例2(教材P92例2)用代入法解方程组3x—5y=3,①2x—y=16.②

分析：方程②中y的系数是一1,用含x的式子表示y,再代入方程①，比较简便.

解：由②，得y=2x—16.③

把③代入①，得3x—5(2x—16)=3.

解这个方程，得x=ll.

把x=ll代入③，得y=6.

所以这个方程组的解是x=n,y=6.

［对应训练］

教材P93练习第1,2题.

［教学建议］学生分组讨论合作完成问题，感悟探究过程中所蕴含的化归思想.教师适时予以提

示或指导，最终引导学生得出代入消元法的概念.

［教学建议］教师注意规范学生的解题格式，并强调二元一次方程组的解是一对，应写成x=a,

y=b的形式.

在用代入法解二元一次方程组时，若未知数的系数比较复杂，可将求得的解回代入方程组进

行检验.

活动三：重点突破，提升探究

［设计意图］

将二元一次方程组的解与解二元一次方程组结合，加深对概念的理解，强化解方程组的方法

的应用.例3已知x=2,y=l是二元一次方程组mx+ny=8,nx—my=l的解，求m,n的值.

解：把x=2,y=l代入原方程组中，

4

得到关于m,n的二元一次方程组2m+n=8,2n—m=l.①②

由②，得m=2n—1.③

把③代入①，得2(2n—l)+n=8.解这个方程，得n=2.

把n=2代入③，得m=3.

所以这个方程组的解为m=3,n=2.

所以m的值为3,n的值为2.

［对应训练］

已知x=2,y=l是二元一次方程组ax+by=7,ax—by=l的解，求a—'b的值.

解：把x=2,y=l代入原方程组中，

得到关于a,b的二元一次方程组2a+b=7,2a—b=l.

解这个方程组，得a=2,b=3.

所以a—b=2—3=—1.

［教学建议］学生独立思考完成，教师提醒学生，方程组的解必定满足方程组中每一个方程，

故将方程组的解回代，即可得到关于其他字母的方程(组).

活动四：随堂训练，课堂总结

［课堂总结］师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

1.解二元一次方程组的基本思想是什么？

2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤是怎样的？

3.用代入法解二元一次方程组时，有哪些技巧？(以变形和代入两方面为例)

【作业布置】

1.教材P99习题10.2第2⑴⑵,4,8题.

第2课时用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组

【素养目标】

会用代入消元法求稍复杂的二元一次方程组的解，进一步体会“消元”思想.

【教学重点】用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组.

【教学难点】方程组中未知数的系数都不为1(或一1)时，如何用一个未知数表示另一个未知

数从而实现代入消元的灵活运用.

【教学过程】

活动一：旧知回顾，新课导入

［设计意图］

通过回忆上节课所学，引出稍复杂的二元一次方程组的形式，为新课进行铺垫.

(1)什么是二元一次方程组？

方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1,

一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组._

(2)①y=3x,2x—y=9,②x+5y=8,2x—y=5,③2x+7y=ll,3x—4y=6是二元一次方

程组吗？①②和③有什么不同？

都是二元一次方程组.①②的两个方程中有一个未知数的系数为1或一1,③的两个方程中未

知数的系数都不为1或一1.

(3)如何用代入法解方程组①②？试着做一做.

解方程组①，得x=—9,y=—27.解方程组②，得x=3,y=l.

像③这样的方程组也可以用代入法求解吗？这就是我们这节课将要学习的内容.

［教学建议］教师提问，学生代表进行回答，重点在于引导学生观察方程组中未知数的系数特

征.也可在进入正课之前给学生时间自行尝试仿照上节课的代入法解一解,有助于体会方程形式上

的特点，并对于解题难度上的区别有一个初步认知.

活动二：交流合作，探究新知

［设计意图］

通过例题逐步设问，引导学生利用代入法解稍复杂的二元一次方程组.

探究点1用代入法解稍复杂的二元一次方程组

5

例1(教材P93例3)用代入法解方程组2x—5y=—11,①9x+7y=39.②

问题1类比上节课所学，用代入法求解这种未知数的系数都不为1或一1的二元一次方程组

时，第一步应做些什么？

应对某个方程进行变形，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，并注意将被表示

的未知数的系数化为1.

问题2对于这个方程组，选择表示出哪个方程中的哪个未知数会使计算更简便？为什么？

由于方程①中的x的系数的绝对值最小，所以在方程①中用含y的式子表示x会使计算更简

便.

问题3根据你在问题2中的结论，写出解答过程.

解：由①，得x=52y—H2.③

⑴变形

把③代入②，得9(52y—112)+7y=39.

(2)代入

解这个方程，得y=3.(3)求解

把y=3代入③，得x=2.(4)回代

所以这个方程组的解是x=2,y=3.

(5)写解

问题4解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看.

可以.

解：由①，得y=25x+H5.③

把③代入②，得9x+7(25x+H5)=39.

解这个方程，得x=2.

把x=2代入③，得y=3.

所以这个方程组的解是x=2,y=3.

［对应训练］

教材P95练习第1题.

［教学建议］这部分采用上节课的教学模式，将例题分解成多个小问，学生分组讨论，合作完

成解答，感悟探究过程中所蕴含的化归思想，教师适时予以提示或指导.由于本节课涉及的方程组

的系数较为复杂，学生在解答完毕后可将解代回进行检验.教师也可对学生提问不同的变形方式会

不会改变方程的解，鼓励学生用不同的方式去解方程，并让学生从中自行感悟缘由.

［设计意图］

通过运用代入法解决实际问题，提高解方程组的能力和应用意识.

探究点2代入法解二元一次方程组的实际应用

例2(教材P94例4)快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快

递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数

分别为90件和25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，

他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？

问题1写出题中所包含的相等关系.

相等关系1：送120件的报酬+揽45件的报酬=270元；

相等关系2：送90件的报酬+揽25件的报酬=185元.

问题2设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元，请用含x,y的式子

表示你在问题1中得到的相等关系.

120x+45y=270,90x+25y=185.

问题3请根据你在问题2中的设元，及本节课学过的用代入法解稍复杂的二元一次方程组,

完成本题的解答.

解：根据问题2中的设元，列得方程组120x+45y=270,①90x+25y=185.②

由①，得x=94—38y.③

把③代入②，得90(94—38y)+25y=185.

6

解这个方程，得y=2.

把y=2代入③，得x=1.5.所以这个方程组的解是x=1.5,y=2.

答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元.

［对应训练］

教材P95练习第2题.

［教学建议］教师引导学生分析题中的两个相等关系，从而列出方程组，并独立完成解答过程.

教师可引导学生对用代入法解二元一次方程组的实际问题的一般步骤进行总结：①审题，找出题

中的相等关系；②设元，设出两个未知数；③列式，根据两个相等关系列出二元一次方程组；④

求解，解方程组；⑤检验：有些情况下要检验方程组的解是否符合实际意义；⑥作答：最后要写

出实际问题的答案.

活动三：变式训练，巩固提升

［设计意图］

考查构造稍复杂的二元一次方程组并进行计算，强化本节课所学内容.例3对于实数x,y,

定义新运算x*y=ax+by+l,其中a,b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算.若3*5=15,

4*7=28,求5*9的值.

解：根据题意得3a+5b+l=15,4a+7b+l=28,

即3a+5b=14,4a+7b=27.

解这个方程组，得a=—37,b=25.

所以5*9=5X(-37)+9X25+1=41.

［对应训练］

若|3a+2b+7|+(5a-3b+l)2=0,求a,b的值.

解：根据题意，得3a+2b+7=0,5a-3b+l=0,

解这个方程组，得a=—2319,b=-3219.

所以a的值为一2319,b的值为一3219.

［教学建议］解决此类求值问题，通常是根据式子中隐含的相等关系构造二元一次方程组，然

后解方程组得到未知数的值，再代入所要求的式子中求值.形式多样，包括但不限于例题中的新定

义运算与对应训练中的利用非负性列方程组.

活动四：随堂训练，课堂总结

［课堂总结］师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

1.你能用代入法解稍复杂的二元一次方程组吗？如何变形方程能使计算更简便？举例说明.

2.你能用代入法解决与二元一次方程组有关的实际问题吗？

【作业布置】

1.教材P99习题10.2第22(3)(4),H题.

10.2.2加减消元法

第1课时用加减消元法解简单的二元一次方程组

【素养目标】

1.体验加减消元法，在此基础上学习加减消元法的概念，理解加减消元法.

2.会运用加减消元法求二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解简单的二元一次方程组的

一般步骤.

【教学重点】掌握用加减法解简单的二元一次方程组.

【教学难点】对于运用加减消元法，把“二元”转化为“一元”，从而正确求解二元一次方程

组的理解.

【教学过程】

活动一：旧知回顾，新课导入

［设计意图］

复习等式的性质，方便引入加减消元法.

在前面的课时，我们研究了用代入法解二元一次方程组，这种方法的基本思想是消元，即把

二元一次方程组转化为一元一次方程.

7

除了用代入法消元外，还有没有其他的方法消元呢？大家看下面3个问题：

①如果a=b,那么a土c=b±c.

②如果a=b,那么ac=bc.

③如果a=b,c=d,那么a±c=b土d成立吗？为什么？

以上这些性质运用在方程上，是否有助于解方程组呢？本节课我们将对该问题进行探讨.

［教学建议］教师带领学生一起回顾等式的性质，引出方程的变形、加减法解二元一次方程组

有关知识.

活动二：问题引入，自主探究

［设计意图］

通过探究的方式，让学生初步体会到用加减消元法解二元一次方程组的思想、方法和步骤.

探究点用加减消元法解简单的二元一次方程组

1.同一未知数的系数相等一一两个方程相减

（教材P95上方的思考）前面我们用代入法求出了方程组x+y=6,①2x+y=8②的解.除此之

外，还有没有别的方法呢？

问题1这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系并结合“活动一”中

的问题，你能发现新的消元方法吗？

这两个方程中未知数y的系数相等，我们可以通过两个方程相减，即②一①（或①一②）来消

去未知数y.

问题2②一①的意义是什么？为什么要②一①？

②一①就是用方程②的左边减去方程①的左边,方程②的右边减去方程①的右边.解二元一次

方程组需要“消元”，通过②一①可以消去未知数y,得到关于x的一元一次方程.

问题3②一①的理论依据是什么？

等式的性质.等式两边都加（或减）相等的量，结果仍相等.

问题4请用②一①的方式解方程组.

解：②一①，得x=2.

把x=2代入①，得y=4.

所以这个方程组的解是x=2,y=4.

问题5①一②也能消去未知数y,求得x吗？（请学生上台板演）

能.①一②，得一x=-2,即x=2.把x=2代入①，得y=4.

所以这个方程组的解是x=2,y=4.

2.同一未知数的系数互为相反数一一两个方程相加

（教材P95下方的思考）联系前面的探索过程，想一想怎样解方程组3x+10y=2.8,15x-10y

=8.①②

问题1这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？该如何消元？

两个方程中未知数y的系数互为相反数，则两个方程相加即可消去未知数y.

问题2根据你的消元思路解方程组.

解：①+②，得18x=10.8,x=0.6.

把x=0.6代入①,得3X0.6+10y=2.8,y=0.1.

所以这个方程组的解是x=0.6,y=0.1.

概念引入：

当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两

边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的

解.这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法.

例1（教材P96例5）用加减法解方程组3x+y2=0,①2x—y2=15.②

解：①+②，得5x=15,x=3.

把x=3代入①，得3X3+y2=0,y=-18.

所以这个方程组的解是x=3,y=-18.

问题把x=3代入例1中的方程②，可以解得y吗？

8

可以.把x=3代入②，得2X3—y2=15,y=—18.

［对应训练］

教材P96练习.

［教学建议］学生分组讨论完成加减法的探究过程.教师适时予以提示或指导，最终引导学生得

出加减消元法的概念，并结合“活动一”说明加减法的理论依据就是等式的性质.初学加减法时，

涉及的方程中未知数的系数或者相等，或者互为相反数，对于不是这两种的稍复杂情形，在下节

课再进行深入学习.

活动三：强化训练，巩固提升

［设计意图］

设置利用加减法解方程组求参数的值或取值范围的题目，强化学生学以致用的能力.例2已

知x+y=O,且x,y满足二元一次方程组2x+5y=k,x—4y=15,求k的值.

解：根据题意，可得x+y=O,x—4y=15.

解这个方程组，得x=3,y=-3.

把x=3,y=—3代入方程2x+5y=k,得k=2X3+5X(―3)=—9.

例3已知关于x,y的方程组2x+y=2a+l,①x+2y=aT②的解满足x—y=4,求a

的值.

解：①一②，得x—y=a+2.

又关于x,y的方程组2x+y=2a+l,x+2y=a—1的解满足x—y=4,

所以a+2=4,所以a=2.

［对应训练］

已知关于x,y的方程组2m—5n=2a—3,①m+3n=5a②的解满足3m—2n=4,求a的值.

解：①+②，得3m—2n=7a—3.

因为3m—2n=4,所以7a—3=4,所以a=l.

［教学建议］教师讲解例题，重点关注学生对于解题思路的把握.在例2中学生可能采用先解原

方程的方法，但这样的解题过程会比较烦琐，应启发学生构建新的方程组从而简化解题过程.例3

同样如此，若把x,y用含a的式子表示出来再代入会比较复杂，可引导学生观察，把x-y看成

整体，用加减法得到用参数表示的相关形式的式子，即可进一步得到参数值.

活动四：随堂训练，课堂总结

［课堂总结］师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

1.用加减法解二元一次方程组的一般步骤是什么？

2.如果直接用加减消元法解方程组，未知数的系数应满足什么条件？

【作业布置】1.教材P99习题10.2第3(1)(2),5,9题

第2课时用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组

【素养目标】

1.会用加减消元法求稍复杂的二元一次方程组的解，进一步体会“消元”思想.

2.能运用合适的方法解二元一次方程组，体验先观察，再选择合适的方法是做数学题的重要

技巧.

【教学重点】用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组.

【教学难点】方程组中未知数的系数既不相等，也不互为相反数时，如何运用等式的性质对

方程进行适当变形，从而实现加减消元的灵活运用.

【教学过程】

活动一：悬疑设置，新课导入

［设计意图］

引出稍复杂的二元一次方程组的形式，为新课中学习用加减法求解进行铺垫.

(1)观察方程：

①x+6y=0,2x—6y=9；②3x+5y=7,3x~4y=-11；③2x+7y=10,4x—5y=6.

①②和③有什么不同？

①②的两个方程中都有一个未知数的系数相等或互为相反数，③的两个方程中未知数的系数

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不具备这种特征.

(2)如何用加减法解方程组①②？试着做一做.

解方程组①，得x=3,y=—12.解方程组②，得x=—1,y=2.

像③这样的方程组也可以用加减法求解吗？这就是我们这节课将要学习的内容.

［教学建议］与学习用代入法求解稍复杂的二元一次方程组时类似，以设问的方法导入新课，

教师提问，学生代表进行回答，重点在于引导学生观察方程组中未知数的系数特征.

活动二：交流合作，探究新知

［设计意图］

通过例题逐步设问，引导学生利用加减法解稍复杂的二元一次方程组.

探究点1用加减法解稍复杂的二元一次方程组

例1(教材P96例6)用加减法解方程组3x—2y=4,①7x+4y=18.②

问题1观察方程组两个方程中未知数的系数，这个方程组能否直接加减消元？

这两个方程中没有同一个未知数的系数相等或互为相反数，直接加减这两个方程不能消元.

问题2怎样对方程①②变形，才能使得这两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数,

从而用加减法求解呢？

观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系，将①X2可以使两个方程中y的系数互为相

反数.

问题3根据你在问题2中的结论，写出解答过程.

解：①X2,得6x—4y=8.③⑴变形

②+③，得13x=26,⑵加减

x=2.⑶求解

把x=2代入①，得3X2—2y=4,y=l.(4)回代

所以这个方程组的解是x=2,y=l.

(5)写解

问题4如果用加减法消去x,应该怎样解？解得的结果一样吗？与消去y相比，哪个计算更

简便？

如果用加减法消去x,需要对两个方程都进行变形，使两个方程中x的系数相等，可以①X7,

②X3.

解：①X7,得21x—14y=28.③

②X3,得21x+12y=54.④(1)变形

④一③，得26y=26,(2)加减

y=l.(3)求解

把y=l代入①，得3x—2X1=4,x=2.(4)回代

所以这个方程组的解是x=2,y=l.

(5)写解

解得的结果一样.用加减法消去y比用加减法消去x计算更简便.

归纳总结：解方程组时，先消去哪个未知数都可以，结果是确定的，不会因为先消去哪个未

知数而产生变化.一般地，先消去哪个未知数简便就先消去哪个.

［对应训练］

教材P98练习第1题.

［教学建议］这部分采用上节课的教学模式，将例题分解成多个小问，学生分组讨论，合作完

成解答，感悟探究过程中所蕴含的化归思想，教师适时予以提示或指导，要使学生理解加减消元

的本质是利用等式的性质，将未知数的系数化为相等或互为相反数，从而将方程组演变为上节课

所学的形式.通过整个探究过程，使学生发现规律：消去哪个未知数，就找寻两个方程中该未知数

系数的最小公倍数.

［设计意图］

通过运用加减法解决实际问题，强化解方程组的技巧和应用意识.

探究点2加减法解二元一次方程组的实际应用

10

例2（教材P97例7）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：

今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？

意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两.那么每头牛、每

只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？

问题1写出题中所包含的相等关系.

相等关系L5头牛的价格+2只羊的价格=10两金；

相等关系2：2头牛的价格+5只羊的价格=8两金.

问题2设每头牛值金x两，每只羊值金y两，请用含x,y的式子表示你在问题1中得到的

相等关系.

5x+2y=10,2x+5y=8.

问题3请根据你在问题2中的设元，及本节课学过的用加减法解稍复杂的二元一次方程组,

完成本题的解答.

解：根据问题2中的设元，列得方程组5x+2y=10,①2x+5y=8.②

①X2,得10x+4y=20.③

②X5,得10x+25y=40.④

④一③，得21y=20,y=2021.

把y=2021代入①，得x=3421.

所以这个方程组的解是x=3421,y=2021.

答:每头牛和每只羊分别值金3421两和2021两.

［对应训练］

教材P98练习第2题.

［教学建议］教师引导学生分析题中的两个相等关系，从而列出方程组，并独立完成解答过程.

注意提醒学生，在用加减消元法解方程组时，通常要先将得到的二元一次方程组整理成ax+by=

m,cx+dy=n的形式，再求解.在关于例题的教学中，也可让学生上台板演，自己尝试用加减法

消去y,并计算出结果，看是否一致.

活动三：交流新知，灵活运用

［设计意图］

强化学生对二元一次方程组解法的认识，能够选择合适的方法解方程组.（教材P98思考）（1）

怎样解下面的方程组？

问题1观察上面的两个方程组，你分别选择用什么方法求解？为什么？

方程组I中方程①中y的系数是1,选择用代入法；方程组H中y的系数互为相反数，选择

用加减法.

问题2方程组I能直接用加减法求解吗？若不能，要如何变形才能使用加减法？

不能.如果要消去x,可以②X5—①X2；如果要消去y,可以①X3—②X5.

问题3求出方程组的解.

解：（I）由①，得y=1.5—2x.③

把③代入②，得0.8x+0.6（1.5—2x）=1,3,—0.4x=0.4,x=—1.

把x=—l代入③，得y=3.5.

所以这个方程组的解是x=—1,y=3.5.

（II）①+②，得4x=8,x=2.

把x=2代入①，得2+2y=3,y=0.5.

所以这个方程组的解是x=2,y=0.5.

（2）选择你认为简便的方法解习题10.1的第4题（“鸡兔同笼”问题）.

解：设笼中有鸡x只，兔子y只.根据题意，得x+y=35,2x+4y=94.①②

①X2,得2x+2y=70.③

②一③，得2y=24,y=12.

把y=12代入①，得x+12=35,x=23.

所以这个方程组的解是x=23,y=12.

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答：笼中有鸡23只，兔子12只.

［对应训练］

1.用合适的方法解下列方程组：

(1)3x—y=2,6x-3y=5；①②(2)2x—5y=-21,4x+3y=23.①②

解：⑴由①，得y=3x—2.③

把③代入②，得6x—3(3x—2)=5,x=13.

把x=13代入③，得y=—1.所以这个方程组的解是x=13,y=-1.

(2)①X2,得4x—10y=-42.③

②一③，得13y=65,y=5.

把y=5代入②，得4x+15=23,x=2.

所以这个方程组的解是x=2,y=5.

2.某商场第一次用10000元购进甲、乙两种商品共180件，其中甲种商品每件进价60元，

乙种商品每件进价50元.该商场购进甲、乙两种商品各多少件？

解：设该商场购进甲种商品x件，乙种商品y件.

根据题意，得x+y=180,60x+50y=10000.

解这个方程组，得x=100,y=80.

答：该商场购进甲种商品100件，乙种商品80件.

［教学建议］学生独立思考作答，教师统一答案.加减法和代入法都是通过消元解方程组，对一

个方程组用哪种方法解都可以，但是不同的解法在难度上会有差异，应根据方程组的具体情况，

选择适合它的解法.当方程组中任意一个未知数的系数的绝对值不是1,且相同未知数的系数不成

整数倍关系时，一般经过变形，利用加减法会使过程更简便.

活动四：随堂训练，课堂总结

［课堂总结］师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

1.你能用加减法解稍复杂的二元一次方程组吗？你能用加减法解决与二元一次方程组有关的

实际问题吗？

2.对于一个二元一次方程组，你能选择最适合它的解法吗？

【作业布置】

1.教材P99习题10.2第3(3)⑷,6,7,10,12题.

10.3实际问题与二元一次方程组

第1课时和差倍分问题

【素养目标】

1.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组.

2.学会比较估算与精确计算以及检验方程组的解是否符合题意并正确作答.

3.在用二元一次方程组解决实际问题的过程中，培养应用数学的意识，体验数学的实用性，

提高学习数学的兴趣.

【教学重点】以方程组为工具，分析、解决含有多个未知数的实际问题.

【教学难点】确定解题策略，比较估算与精确计算.

【教学过程】

活动一：旧知回顾，新课导入

［设计意图］

复习二元一次方程组的解法及列一元一次方程解应用题的步骤，引入本节课内容.

结合之前所学的知识，回答下面的问题.

(1)解二元一次方程组的基本思想是什么？常见方法有哪些？

解二元一次方程组的基本思想是消元，常见方法有代入消元法和加减消元法.

(2)列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？

一般步骤是审、设、歹U、解、验、答.即(1)审清题意，找出已知量和未知量；(2)设未知数，

并用含未知数的式子表示出相关的量；(3)根据题中的相等关系列出方程；(4)解方程；(5)检验所

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得结果是否满足所设方程且具有实际意义；（6）根据提问作答.

前面我们结合实际问题,讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组.本节课我们继

续探究如何用方程组解决实际问题.

［教学建议］教师可让学生结合教材P94例4和P97例7,初步探究列二元一次方程组解应用

题与列一元一次方程解应用题的共性问题.

活动二：问题引入，自主探究

［设计意图］

以教材探究题为例，探讨用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤和方法，引入和差倍分

问题.

探究点和差倍分问题

例1（教材P101探究1）养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后

又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料

18〜20kg,每头小牛1天需饲料7〜8kg.你能通过计算检验他的估计吗？

我们分步来解决这个问题：

问题1怎样判断李大叔的估计是否正确？

根据题中给出的数量关系求出每头大牛和每头小牛1天各约需饲料用量，再来判断李大叔的

估计是否正确.

问题2写出题中的已知量和未知量.

已知量：购进前后大牛和小牛的数量，购进前后每天饲料的用量.

未知量：大牛1天饲料的消耗量和小牛1天饲料的消耗量.

问题3设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg.写出题中的相等关系并用含未

知数的等式表示.

问题4请将下面的解答过程补充完整.

设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料xkg和ykg.

根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组解这个方程组，得这就是说，每头

大牛1天约需饲料20kg,每头小牛1天约需饲料5kg.

问题5饲养员李大叔的估计正确吗？

根据问题4的结果可知，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高.

归纳总结：列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

审审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系

设设未知数（分直接设元和间接设元），用含未知数的式子表示出相关量

列根据相等关系列出两个方程，组成方程组

解解方程组，求出未知数的值

验检验所求未知数的值是否满足题意和实际意义

答根据问题作答（包括单位名称）

和差倍分问题中常见的相等关系：

较大量=较小量+多余量；总量=一份的量X倍数；各分量相加=总量.

［对应训练］

教材P101练习第1,2,3题.

［教学建议］学生可以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，再与同

学交流，教师注意规范解题过程.对于学生列出的其他正确方程，如12x+5y=265,教师可让学

生介绍自己的想法并予以肯定，指出列方程组时应尽量使用原题中的数据，如265应写成940—

675；对于同一问题的不同解法，结果应一致，若不一致，则需仔细检查过程是否有维漏.

活动三：知识延伸，举一反三

［设计意图］

引导学生用二元一次方程组解决配套问题.例2某瓷器厂共有120名工人，每名工人一天能

生产200只茶杯或50只茶壶，8只茶杯和1只茶壶为一套.要使每天生产的茶杯和茶壶配套，应

如何安排生产？

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问题1写出题中的已知量和未知量.

已知量：工人总数，每名工人一天能生产茶杯或茶壶的数量，组成一套茶具所需茶杯和茶壶

的数量.

未知量：生产茶杯的工人数量，生产茶壶的工人数量.（1）审

问题2应如何设元？

设安排x名工人生产茶杯，y名工人生产茶壶.（2）设

问题3找出题中的相等关系并用含未知数的等式表示.

①生产茶杯的工人数量+生产茶壶的工人数量=120；x+y=120

②茶杯的数量：茶壶的数量=8：1.200x：50y=8：1

（可变形为200x=8X50y）（3）列

问题4写出完整的解题过程.

解：设安排x名工人生产茶杯，y名工人生产茶壶.

根据工人总数，茶杯、茶壶的生产量与配比的数量关系，列方程组x+y=120,200x=8X50y.

解这个方程组,得x=80,y=40.⑷解⑸验

答：要使每天生产的茶杯和茶壶配套，应安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶.（6）

答

归纳总结：配套问题中常见的相等关系：

数量较少量X相应倍数=数量较多量；

总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例.

［对应训练］

某家具厂接到了一笔定制方桌的订单，下面是两位木匠师傅的对话.

如何分配木料才能完成这笔订单？这笔订单需要方桌多少张？

解：设用xm3木料做桌面，ym3木料做桌腿.

根据题意，得x+y=5.5,4X50x=300y+100.解这个方程组，得x=3.5,y=2.

所以50X3.5=175（张）.

答：用3.5m3木料做桌面、2m3木料做桌腿即可完成这笔订单，这笔订单需要方桌175张.

［教学建议］学生独立思考作答，解决配套问题的关键就是找出各部件之间的数量关系，通过

比例的性质将比例式转化为等积式.在用二元一次方程组解决实际问题时，审、验这两个步骤通常

是在草稿纸上进行.

活动四：强化训练，学以致用

［设计意图］

进一步巩固用二元一次方程组解应用题的思想，强化对列二元一次方程组解应用题的方法和

步骤的掌握.例3为支援抗洪救灾工作，甲、乙两运输队接受了运输20000箱救灾物资的任务,

任务要求在15天内（包含15天）完成.已知两队共有18辆汽车，甲队每