安徽省蚌埠市2025届高三第二次教学质量检查考试数学试卷（含解析）

蚌埠市2025届高三年级第二次教学质量检查考试

局二数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.己知集合Z={x|2x—L0},5={x|/〉3》},则（）

1

A.—,+°oB.（3,+OO）D.（一叫0）O-,+oo

2

2.已知复数z满足z（l+2i）=7+4i,则彳在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.小胡同学测得连续10天的最低气温分别为4,7,12,14,6,6,5,8,9,15（单位：。c），则这组数据的80%

分位数为（）

A.8B.8.5C.12D.13

4.已知公差不为0的等差数列{4}的前"项和为S“，若515=5（生+%+殁），则正整数左的值为

（）

A.llB.12C.13D.14

5.是“函数/（力=》+1+5r;为奇函数”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

SJTJTASJTJT

—立'77I上单调递减，直线x=------和》=一为函数/（X）的

[1212）1212

图象的两条对称轴，则/（）

A.lB.-lC.V3D.—V3

22

7.已知双曲线c：0-3=1（。〉0力〉0）的左、右焦点分别为片,鸟，过点8且斜率为疗的直线与C

的右支交于46两点，且忸闾=3|/闾，则需•的值为（）

8.函数/（x）的定义域为R,且对任意的实数x,都有〃x）=/（x—1）—42—x）,且=则

34

5[/⑴F=（）

Z=1

A.-7B.-8C.-9D.-10

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知随机变量X~N（3,4）,若P（X..5）=叽P（1<X<3）=〃，则下列说法正确的是（）

A.尸（1<X<5）=2〃B.加+〃=:

C.E（3X_2）=9D.O（3X—1）=36

10.在棱长为2的正方体48CQ—451GA中，点£,F,G分别为棱Z）A，GA，CG的中点，则下列说法

正确的是（）

A.FG〃平面4Ao

B.直线AE与FG所成角的余弦值为豆叵

10

4

C.点E到平面B[FG的距离为-

27

D.三棱锥用-2QG的外接球的表面积为万兀

11.在平面直角坐标系xQy中，抛物线E:r=4x的焦点为b,/（石,%）,8（%2，%）,。（七,乃）为£上的任

意三点（异于。点），且为+屈+正=0，则下列说法正确的是（）

A.|T^|+|FS|+|FC|=6

反存在点/,使得|E4|〉3

111c

C.若直线AB,AC,BC的斜率分别为kx,k2,k3,则厂+/+/=0

/v,|/v2/v^

D.X；+x；+x；=—

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在的展开式中，常数项为.

13.键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物蔡可以用如图所示的键线式

表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形CDE74汨为全等的正六边

形，且48=4,点M为正六边形CDEEG〃内的一点(包含边界)，则标.标的取值范围是

14.柯西不等式(Cauchy-SchwarzLnequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在

数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：(/+〃Xc2+d2[(ac+bd)2,当且仅当

。1=6。时等号成立.已知。＞0力＞0,直线歹=x—2。与曲线y=ln(x+»相切，则工+工+±+]

ab\ab

的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

记V48c的内角A,B,C的对边分别为a,"c,且2acos/+bcosC=ccos(Z+C).

(1)求角/的大小；

(2)若。=亚,8。边上的高为2互，求V4BC的周长.

7

16.(本小题满分15分)

如图，在四棱锥尸-45CD中，VP4D是边长为2的等边三角形，CA=CP=2®,BC=4,AD〃

8C,点E是棱尸。上的一点，且满足£>£=2£P,N£，OC.

(1)求证：平面尸40_L平面48cD；

(2)求平面Z5E与平面P8C的夹角的余弦值.

17.(本小题满分15分)

已知函数/(x)=(ax+l)e*T(aeR).

(1)若a=—2,求/(x)的极值；

(2)若/(X),,(a+l)x对任意的xe[0,+“)恒成立，求。的取值范围.

18.(本小题满分17分)

某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数

据：

排球

性别

喜欢不喜欢

男生78122

女生11288

(1)依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？

(2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球

者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记n次传球后球在乙手中的概率为P,,,〃=1,2,3,….

(i)求

(ii)若随机变量X,服从两点分布，且P(X,=1)=1-P(X,.=0)=q,J=l,2,…,〃，则

n\n

EfXj=Xz•.记前〃次(即从第1次到第〃次传球)中球在乙手中的次数为随机变量y,求y的数

\1=17i=l

学期望.

2

2_n(ad-be)

附，,(Q+b)(c+d)(a+c)0+d)其中n=a+b+c+d.

a0.0100.0050.001

Xa6.6357.87910.828

19.（本小题满分17分）

椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆G的“特征三角

形”为椭圆G的“特征三角形”为△?，若△[sZ\2,则称椭圆G与G相似，并将△】与的相

似比称为椭圆G与Q的相似比.已知椭圆G：：+[=1与椭圆&：[=1（。〉6〉0）相似，且G

与。2的相似比为2.

（1）求。2的方程；

（2）已知点少是。2的右焦点，过点厂的直线/与G交于48两点，直线/与G交于0，£两点，其中点

。在X轴上方.

（i）求证：|40|=忸同;

（ii）若过点歹与直线/垂直的直线交G于G,7/两点，其中点G在X轴上方，M,N分别为DE,GH

的中点，设尸为直线G。与直线E"的交点，求VPMN面积的最小值.

蚌埠市2025届高三年级第二次教学质量检查考试-高三数学

参考答案、提示及评分细则

1.D因为N=｛x|2x-l…0｝==卜/〉3.=(-oo,0)u(3,+oo),所以

A<JB=(-00,0)5，+°°：故选D.

/、7+4i(7+4i)(l-2i)

2.A因为复数z满足z(l+2i)=7+4i,所以2=。<=3_2i,所以彳=3+2iN在

''1+21(1+21)(1-21)

复平面内对应的点为(3,2),位于第一象限.故选A.

3.D将这组数据从小到大排列为：4,5,6,6,7,8,9,12,14,15,又10x80%=8,所以这组数据的80%分

位数为三14=13.故选D.

2

4.B设等差数列｛4｝的公差为d,由几=5(%+%+%)，得

15x14I-1

15%+—-—d=5[%+4d+q+6d+q+(左一l)dj,所以(左一l)d=lld,又dwO,所以左二12.故

选B.

5.A若函数/(x)=x+l+r——为奇函数，则/(-1)=一/。)，即

2—d

(2a\、2

-1+1+-I1+1+-I,解得Q=1或〃=一1.当〃=1时，f(x)=x+l+—―-,由

2「170,解得XHO,此时函数/(x)的定义域为饵xwO｝关于原点对称，且

22

/(-x)+/(x)=-x+l+——+X+14-——=0,故函数/(X)为奇函数,符合题意；当a=—1时,

2—12—1

2

/(x)=x+l-^-j,此时函数/(X)的定义域为R关于原点对称，且

2?

/(-x)+/(x)=-x+l-—7-j+x+l--r-j=0,故函数〃x)为奇函数，符合题意.所以“a=—l”

是“函数/(x)=x+l+亍二为奇函数”的充分不必要条件.故选A.

sjrjr\57rjr

-不，有I上单调递减，直线X=-----和工=一为函数

[1212)1212

jr(5兀、T27T

/(X)的图象的两条对称轴，所以为—1―万卜万，所以7=兀，即|同=不=2,所以0=2或—2.又

/[1]=一2,所以2sin12x^|+e[=—2或2sin1—2xA+e]=—2,所以

TTTTJTTT27T

2x一+0=——+2左兀,左eZ或一2x—+0=—+2左兀,左£Z,解得(p------+2左兀,左EZ或

1221223

0=-1+2左兀，左EZ,所以/(1)=25吊[21一]]或/(1)=2$m]一2、一^],所以

f=2sin[5兀-g]=6或/[g]=2sin]-5兀-=V3.故选C.

7.B如图，因为直线的斜率为J7,所以tan//外丹=J7,所以cos/47^F；=宁，

cos/%片=-¥.设M/=加,则忸阊=3加,又忸周—忸八|=2/|2周—M)|=2a,所以

\BFi\=2a+3m,\AF1\=2a+m,在V8片心中，由余弦定理得

222

忸周2=忸用2+闺闻2_2忸闻.阳鸟\COS^BF2F},即(2a+3m)=(3m)+(2c)-

2-3m-2cx---,整理得_4/+12。机=3近机。・在丫幺大片中，由余弦定理得

\/

H胤2+闺巴『一2以巴卜|4周cos/Z6耳,即(2a+机)2=m2+(2c)2-2.m-2cx^,整理

2

得—4/+4。加=—，所以8。加=4A/^"7。，即。二/^。，所以6=〃，加=]。，所以

以周+=2.故选B.

忸国2a+2a3

8.C因为/(》)=/(%-1)一/(2-力，所以/(l+x)+/(l-x)=/(x),令x=0,得

/(0)=2/(1)=2;令x=l,得/(2)+〃0)=/⑴,所以/(2)=/⑴_/(0)=1-2=_1；用-x

替换X,可得〃l—x)+/(l+x)=/(-x),所以〃x)=〃—x),所以函数为偶函数.令x=2,

得/(3)+/(T)=/(2),所以/(3)=/(2)-/(-1)=/(2)-/(1)=-1-1=一2；用x+1替换x,可

得/(2+x)+/(—x)=/(x+l),所以/(2+x)+/(x)=/(x+l),所以

f(x)^f(x+l)-f(x+2),所以

/(x)=/(x+l)-/(x+2)=/(x+2)-/(x+3)-/(x+2)=-/(x+3),即/(x+3)=—〃x).所以

f(x+6)=-f(x+3)=f(x),故/(x)是以6为周期的周期函数,又

〃4)=-/⑴=-1,/(5)=-/(2)=1,〃6)=-/(3)=2,所以

34

£[/(祝3=5[13+(-1)3+(-2)3+(-1)3+13+23]+13+(-1)3+(-2)3+(-1)3=—9.故选C.

Z=1

9.ABD因为随机变量X~N(3,4),所以尸(1<X<5)=2尸(1<X<3)=2〃，故A正确；

尸(X>3)=尸(X..5)+尸(3<X<5)=尸(X...5)+尸(1<X<3)=M+〃=；,故B正确；随机变量

X~N(3,4),所以E(X)=3,O(X)=4,所以

E(3X-2)=3E(X)-2=7,O(3X-1)=9O(X)=36,故C错误，D正确.故选ABD.

10.AC在棱长为2的正方体48c3-451GA中，点凡G分别为棱GA，CG的中点，所以尸G〃

,又EG<Z平面48。,48u平面45。，所以EG〃平面45。，故A正确；连接易

得4E〃BG,所以/8GE为直线ZE与EG所成的角或补角，又易得BG=逐,GF=0BF=3,

由余弦定理得“GF=叫焉产==-f'所以直线4E与FG所成

角的余弦值为巫，故B错误；在V8/G中，B[F=B[G=M,FG=6,所以

//-、2

2

SVB]TO=|xV2x（V5）-苧=|＜设点£到平面用尸G的距离为丸,又VE-B,FG=%「EFG，所以

1311/-I-44

_X-/2=-X-XV2XV2X2,解得〃=—,即点£到平面5/G的距离为一，故C正确；易得

323233

DD[=2,B]Di=141,DB}=273,所以V8QA为直角三角形，所以G在底面的射影为用。的

中点，设为。1，设外接球半径为A,球心为。，由衣2=oo：+qg2=OO；+3,R—og=GO]=应,

解得氏=迪，所以外接球的表面积为4位?2=生兀，故D错误.故选AC.

42

H.ACD因为46,C为E上的任意三点，且为+而+正=0,所以歹为V45c的重心，尸（1,0）,

所以X]+》2+》3=3，V[+v2+v3=0,所以++=西+%2+X3+3=6,故A正确；

M=（%+%）[，2（£+乂），所以孙,2（%+%）=2（3-再），解得再”2,所以]E4bxi+1”3,故B

错误；因为y；=4》1，状=4/两式相减，得（乂+%）（凹-乂）=4（石-/），所以

,v-y4,4,4111

12=------,同理可得左2=------，小=-------，所以1+厂+1=

占一々％+为Ji+v3y2+y3勺k2左3

2（%+72+%）

=0，故C正确；不妨设%.0,%20,为＜0,则必=26,%=2m"，%=一2直

4

2

I,所以

Xi%=X1+X2

X；+

2

=9—2卜+x2-1-

=9-2（X]+%2）+6（X]+%2）---6（再+%2）+2（再+12）——故D正确.故选ACD.

12,672由题意得7；+[(—x)'=(—1)'2沙(2"318,令5―18=0,解得厂=6,故常数项为

7；=(—1)623(2；=672.

13.[16,48]过点河作直线4g的垂线，垂足为,所以方.彳而=花.彳而—当点V与点〃重合

时，AS-ZA/min=4x4=16＞当点河与点E重合时，方•而max=4x12=48，所以懿•刀狂的取

值范围是[16,48].

14.10由y=ln（x+6）,所以y'=----设切点为(%,%),则-----=1故%=1-6,又

x+b•X。।U

%=%-2%为=皿/+6）,所以为=皿/+与=0,%-2a=0,所以2a+b=l,所以

="+3也.生+2丝.皿=10,当且仅当349b--Y~,即a=2时等号成

5a5b5a5b'5a5b105

的最小值为10.

15.解：（1）因为2次0$/+庆0$。=。（\）$（/+。），所以2ocos4+bcosC=—ccosB,

由正弦定理得2siib4cos/+sin5cosc=-sinCcos5,

所以2siib4cos/=-sinCcosB-sinScosC=-sin（5+C）=-siivl,又siib4w0,所以cos4=—1,又

AG（0,7i）,所以4=?-.

（2）因为Q=边上的高为其2,

7

所以V45c的面积S=—bcsinA=—bcsin—=-xV21x,解得/）c=4,

22327

由余弦定理得/=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2-be，即=（Z?+c）2-4，解得

b+c=5.

所以V48c的周长a+b+c=5+J五.

16.(1)证明：取R4的中点歹，连接。尸,。尸，如图所示，

又C4=CP,所以CELR4,

因为VP4D是边长为2的等边三角形，点厂是尸/的中点，所以。尸，R4,又

DFcCF=F,DF,CFu平面DCF,所以尸ZJ_平面。CE,

又。Cu平面。CE,所以尸2,DC,

又ZE_LDC,AEcPA=A,AE,PAu平面PAD,所以。C，平面PAD,

又DCu平面/BCD,所以平面尸ND，平面Z8CD.

(2)解：由(1)知。平面P40,又4Du平面尸40,所以。40,又CA=20AD=2,

所以DC=JCA2—AD?=2.

取40的中点。，连接P。，则尸0J.4D,由(1)可知，平面尸40_1_平面48cZ),

平面PADc平面ABCD=40,尸。u平面PAD,所以PO，平面45CD.

以。为坐标原点，。。,。尸所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示,

(]2O

所以尸(0,0,6),5(2,—3,0),C(2,1,0),2(0,—1,0),E0,-,^-,

I33J

设平面48£的一个法向量为五=(x,y,z),又方=(2,—2,0),/=

(42后、n-AB=2x-2y=0,

°可，亍'所以-前42Gn

IJJ)n-AE=-y-i-------z=0,

I33

令y=G，解得x=g,z=—2,所以平面45E的法向量为五=(G,G,—2).

设平面P8C的一个法向量为玩=(a,"c),又前=(0,4,0),而=卜2,-1,6)，所以

m-BC=4b=0,

<

mCP=-2a-b+也c=0,

令a=5解得6=0,c=2,所以平面P8C的法向量为成=(G,0,2),

设平面48E与平面P8C的夹角为。，所以

।।\n-m\1VTO

cos6)=cos<«,«>=匕=1-i==——,即平面ABE与平面PBC的夹角的余弦值

11|«|-|m|V3+3+4xV3+470

为回

70

17.1?：(1)若a=—2,则/(x)=(—2x+l)e'—l,所以/'(x)=(—2x+l)e、-2二=(―2x—l)e*,

令r(x)=o,解得》=—令r(x)〉o,解得x<—g,令r(x)<o,解得x>—g,所以在

上单调递增，在上单调递减，

所以/(弓的极大值为g]=2屋5—1,无极小值.

(2)/(X),,(a+l)x对任意的xe[0,+oo)恒成立，即(a+1)》一(如+1)二+L0对任意的xe[0,+功

恒成立，令g(x)=(a+l)x-(ax+l)ex+1,x...0,所以g'(x)=(a+1)-(ax+a+1)ex,

令=g'(x),所以〃'(x)=-(ax+2a+l)e*,x.0

,当a”一^时，2a+l”0,又x...0,所以(ax+2a+l),,0,

所以/(x)=-(ar+2a+1)eA...0在[0,+<x>)上恒成立，

所以即g'(x)在区间[0,+功上单调递增，

所以g'(x)…g'(0)=0,所以g(x)在区间[0,+句上单调递增，

所以g(x)…g(0)=0,符合题意；

当一1<a<0时，令i/(x)<0,解得0,,x<-2。+1,

2a

则“(X)即g'(x)在区间1°，一与B上单调递减；

所以当时，g,(x)<g,(o)=o,所以g(x)在区间上单调递减，

所以当xe[O,——1J时，g(x)<g(O)=。，不符合题意；

当a..O时，又"0,所以0,所以M(X)即g'(x)在区间(0,+。)上单调递减，

所以g'(x)，，g'(0)=0,所以g(x)在区间(0,+巧上单调递减，所以g(x)“g(0)=0,不符合题意.

综上，a的取值范围为.

18.解：(1)零假设为〃°：是否喜欢排球与性别无关联.

根据表中的数据，经计算得到

_________400x(78x88—122x112)24624

Z*2-----«11.589>10,828

(78+122)x(112+88)x(78+112)x(122+88)399

=X0.0015

所以依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断〃。不成立，可以认为是否喜欢排球与性别有关联.

(2)(i)由题意知p]=；,0角=g(l—0)+O.p,=—gp“+g,

i13311

设。“+1+2=一不(2“+2)，所以夕"+1=一5)"一54,所以一54=不，解得彳=

所以P

又白_工=工，故数列1p〃是以[为首项，—g为公比的等比数列，所以P"—；=g]

36I

所以―,即第力次传球后球在乙手中的概率为』+工

36

(ii)因为p,.+,i=l,2,---,n>

所以当〃eN*时，y的数学期望

1-1

+…+夕“=|+-|xii

E(y)=0+?2__|--x

I36

372+1：x(一,即y的数学期望为即土1—1x(—工

9912；9912

22

19.(1)解：由题意知椭圆G：右+、=1的长轴长为4行，短轴长为4,椭圆

=l(a〉6〉0)的长轴长为2a,短轴长为26,又G与G的相似比为2,所以

b2

生旦=汽=2,解得。=0,b=l,

2a2b

丫2

所以。2的方程为］+/=1.

(2)(i)证明：由(1)知尸(1,0),显然直线/的斜率不为0,设直线/的方程为》=叼+1,

[x2y21

+=

TTS#(222m

由＜m+2)j+2mv-7=0,设/(再,%),8(%,为)，所以