2025学年八年级数学下册专项训练：三角形的证明（解析版）

专题01三角形的证明（易错必刷41题13种题型专项训练）

型大裳合

A角平分线的性质A线段垂直平分线的性质

A等腰三角形的性质A等腰三角形的判定

A等腰三角形的判定与性质A等边三角形的性质

A等边三角形的判定A等边三角形的判定与性质

A含30度角的直角三角形

A直角三角形的性质A勾股定理的证明

A勾股定理

A勾股定理的证明

盛型大通关

角平分线的性质（共7小题）

1.如图，在四边形ABCZ）中，ZA=90°,AD=3,连接8。，BDLCD,ZADB=ZC.若P是8C边上一

动点，则DP长的最小值为（）

3D.12

【答案】C

【解答】解：过点。作交8c于点H,如图所示：

BH

\'BD±CD,

：.ZBDC=90°,

又：NC+NBOC+NZ）2c=180°,

ZADB+ZA+ZABD=180°

ZADB^ZC,ZA=90°,

/ABD=NCBD,

：.BD是ZABC的角平分线，

JL'.'ADIAB,DHLBC,

：.AD^DH,

又：AO=3,

：.DH=3,

又.•.点。是直线BC外一点，

...当点尸在BC上运动时，点P运动到与点H重合时。尸最短，其长度为。8长等于3,

即。尸长的最小值为3.

故选：C.

2.如图，直线/1,12,/3表示三条相交叉的公路.现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则

可供选择的地点有（）

A.四处B.三处C.两处D.一处

【答案】A

【解答】解：满足条件的有：

(1)三角形两个内角平分线的交点，共一处；

(2)三角形外角平分线的交点，共三处.

故选：A.

3.如图，△ABC的三边A3、AC.BC的长分别为4、6、8,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则

SAOAB：SAOAC：SAOBC=()

A.2：3：4B.1：1：1C.1：2：3D.4：3：2

【答案】A

【解答】解：过点。作OD_LA8于。，OELACE,OF_LBC于R

是三角形三条角平分线的交点，

：.OD=OE=OF,

\'AB=4,AC=6,BC=8,

.♦.SAOAB：S^OAC：S^OBC=2：3：4.

故选：A.

4.在△ABC内一点P到三边的距离相等，则点P一定是△ABC()

A.三条角平分线的交点

B.三边垂直平分线的交点

C.三条高的交点

D.三条中线的交点

【答案】A

【解答】解：•••点P到AABC的三边的距离相等，

点P应是AABC三条角平分线的交点.

故选：A.

5.如图：在△ABC中，是N3AC的平分线，DE1ACE,DFLABF,且FB=CE,则下列结论:

①DE=DF,②AE=AF,③BD=CD,@AD±BC.其中正确的个数有（）

【答案】D

【解答】解：平分/BAC,DE±AC,DFLAB,

：.DE=DF,...①正确；

由勾股定理得：加2_0.2,AE=4皿2_pE2,

"：AD=AD,DF=DE,

：.AE^AF,...②正确；

"：AF=AE,BF=CE,

：.AB=AC,

平分NBAC,

：.BD=DC,AD±BC,

③④都正确；

.♦.正确的有4个.

故选：D.

A

6.如图，在Rt^ABC中，/C=90°,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M、N,

再分别以点M、N为圆心，大于工的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交边BC于点。，若

2

C£>=3,AB=10,则△AB。的面积是15.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，作于E,

由基本尺规作图可知，40是△ABC的角平分线，

VZC=90°,DELAB,

：.DE=DC=3,

：.AABD的面积=_lxABXr）E=JLX10X3=15,

22

故答案为：15.

7.两个城镇A、8与两条公路ME,M尸位置如图所示，其中ME是东西方向公路.现电信部门需在C处修

建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME,板的距离也必须

相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C（不写已知、求作、作法，只保

留作图痕迹）

广

A•/

ME

【答案】图形见解答内容.

点C即为所求作的点.

二.线段垂直平分线的性质（共2小题）

8.如图，在△A8C中，AB边的中垂线QE,分别与AB、AC边交于点。、E两点，BC边的中垂线EG,分

别与BC、AC边交于点AG两点，连接BE、8G.若△BEG的周长为16,GE=1.则AC的长为（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】B

【解答】解：：DE是线段的中垂线，GF是线段BC的中垂线，

：.EB=EA,GB=GC,

△BEG周长为16,

；.EB+GB+EG=16,

：.EA+GC+EG=16,

：.GA+EG+EG+EG+EC=16,

；.AC+2EG=16,

"：EG=l,

：.AC=14,

故选：B.

9.如图，△ABC中，。是AB的中点，DELAB,ZAC£+ZBC£=180°,EF_LAC交AC于尸，AC=12,

BC=8,则AP=10

D.

E

BC

【答案】见试题解答内容

【解答】解：连接AE,BE,过E作EG_LBC于G,

•.,。是A3的中点，DELAB,

...■DE垂直平分AB,

：.AE=BE,

VZACE+ZBCE^180°,NECG+/BCE=18。°,

ZACE=ZECG,

XVEFXAC,EGLBC,

：.EF=EG,ZFEC^ZGEC,

'：CF±EF,CG±EG,

：.CF=CG,

在Rt/XAEF和RtABEG中，

[AE=BE,

IEF=EG，

RtAAEF^RtABEG(HL),

：.AF=BG,

设CF=CG=x,贝!IAF=AC-CF=12-x,BG=BC+CG=S+x,

/.12-x=8+x,

解得x=2,

：.AF=12-2=10.

三.等腰三角形的性质（共6小题）

10.如图，在△ABC中，AB=AD=DC,ZB=70°,则/C的度数为（)

【答案】A

【解答】解：中，AB=AD,NB=10°,

:.NB=/ADB=70°,

AZADC=180°-ZADB=U0°,

\'AD=CD,

，NC=（180°-ZADC）+2=（180°-110°）+2=35°,

故选：A.

11.已知等腰三角形的一个外角等于100。，则它的顶角是（）

A.80°B.20°C.80°或20°D.不能确定

【答案】C

【解答】解：①若100°是顶角的外角，则顶角=180°-100°=80°；

②若100°是底角的外角，则底角=180°-100°=80°,那么顶角=180°-2X80°=20°.

故选：C.

12.在等腰△ABC中，AB^AC,中线2。将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形

的底边长为（）

A.7B.11C.7或11D.7或10

【答案】C

【解答】解：设等腰三角形的底边长为x,腰长为y,则根据题意，

ZZ

X垮=15X专=12

得。或②{

y+f=12y+y=15

解方程组①得：1x=ll,根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；

Iy=8

解方程组②得：,根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，

ly=10

即等腰三角形的底边长是11或7；

故选：c.

13.如图，一钢架中，ZA=15°,焊上等长的钢条来加固钢架.若AP=PP2,则这样的钢条最多只能焊

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解答】解：如图:

NA=NPP2A=15°

・•・/尸2Plp3=30°,NPP3P2=30°

・・・/尸1尸2尸3=120°

・•・NP3P2尸4=45°

・・・NP3尸4P2=45°

・•・NP2P3P4=90°

・・・/尸4尸3P5=60°

・•・NP3P5P4=60°

・・・/尸3尸4尸5=60°

・・・NP5P4尸6=75°

・・・/尸4尸6尸5=75°

・・・NP4尸5尸6=30°

・・・/尸6尸5尸7=90°,此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条.故应选8.

p

p7

Pi5

Pl

&P&P6P6

14.如图，在等腰△ABC中，AB^AC,点。在8C上，5.AD=AE.

(1)若/A4c=90°,ZBAD=30°,求/即C的度数.

(2)若NBAC=a(a>30°),ZBAD=30°,求/EQC的度数.

(3)猜想NEOC与/氏4。的数量关系.(不必证明)

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)解：：NR4C=90°,AB=AC,

：.ZB=ZC=1.(180°-ZBAC)=45°,

2

ZADC=ZB+ZBAD=450+30°=75°,

VZDAC=ZBAC-ZBAD=90°-30°=60°,

"：AD=AE,

：.ZADE=ZAED=1.(180°-Z£>AC)=60°,

2

；./EDC=NADC-NADE=75°-60°=15°,

答：NEQC的度数是15°.

(2)解：与(1)类似：ZB=ZC=1(180°-ZBAC)=90°-la,

22

ZADC=ZB+ZBAD=900-4+30°=120°-Aa,

22

'：ZDAC=ZBAC-ZBAD=a-3QQ,

ZADE=ZAED^l.(180°-ZDAC)=105°-Aa,

22

ZEDC=ZADC-ZADE=(120°-Aa)-(105°-Aa)=15°,

22

答：/皮＞。的度数是15°.

(3)/EDC与NR4D的数量关系是

2

15.如图，在△ABC中，AB=AC,。是8C上任意一点，过点D分别向48、AC引垂线，垂足分别为£、

F,CG是A3边上的高.

(1)当。点在8C什么位置时，DE=DF?并证明；

(2)线段。E,DF,CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)当点。在BC的中点时，DE=DF,理由如下:

•.•。为中点,

：.BD=CD,

'：AB^AC,

：.ZB=ZC,

'：DE1AB,DFLAC,

；./DEB=/DFC=90°,

在ABED和△CFD中

rZB=ZC

-ZDEB=ZDFC-

BD=CD

:.△BEDWACFD(A45),

：.DE=DF.

(2)DE+DF=CG.

证明：如图，连接AD,贝1JSZ\ABC=S/\ABD+SZ\ACD,

^1.AB-CG=1AB'DE+1AC'DF,

222

'：AB=AC,

：.CG=DE+DF.

四.等腰三角形的判定（共2小题）

16.已知△ABC的三边长分别为4、4、6,在△ABC所在平面内画一条直线，将AABC分割成两个三角形,

使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解答】解：如图所示:

当AC=C。，AB=BG,AF=CF,时，都能得到符合题意的等腰三角形（ADAE,AF,AG分

别为分割线）.

故选：B.

17.如图，己知每个小方格的边长为1,A,8两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C,使aABC

为等腰三角形，则这样的顶点C有（）

A.8个B.7个C.6个D.5个

【答案】A

【解答】解：当48为底时，作的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个,

当A3为腰时，分别以A、3点为顶点，以A2为半径作弧，可找出格点C的个数有3个;

，这样的顶点C有8个.

故选：A.

五.等腰三角形的判定与性质（共3小题）

18.如图，BP是/ABC的平分线，APLBP于P,连接PC,若△ABC的面积为1CM?,则的面积为

)

A.0.4cm2B.0.5cm2C.0.6cm2D.不能确定

【答案】B

【解答】解：如图，延长AP交8c于E,

尸平分NABC,

ZABP=ZEBP,

'AP±BP,

：.ZAPB=ZEPB=9Q°,

:.AABP咨AEBP(ASA),

：.AP=PE,

:&ABP=SAEBP,SAACP=5AECP,

.".SAPBC——S^ABC——X1=0.5(cm2),

22

故选：B.

19.如图，在△ABC中，AB^AC,A。是高，AM是△ABC外角NCAE的平分线.

（1）用尺规作图方法，作/AOC的平分线。N；（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN与AM交于点尸，判断△ADF的形状.（只写结果）

（2）的形状是等腰直角三角形,

理由是：\'AB=AC,ADLBC,

：.ZBAD=ZCAD,

尸平分NEAC,

：.ZEAF=ZFAC,

VZE4D=ZMC+ZDAC=AZEAC+AZBAC=AX180°=90°,

222

即△ADF是直角三角形，

"：AB=AC,

：.ZB=ZACB,

'：ZEAC^2ZEAF=ZB+ZACB,

：.ZEAF=ZB,

J.AF//BC,

ZAFD=ZFDC,

/平分/ADC,

ZADF=ZFDC=ZAFD,

：.AD=AF,

即直角三角形ADF是等腰直角三角形.

20.已知在△ABC中，AB=AC,点。是边AB上一点，ZBCD=ZA.

（1）如图1,试说明CZ）=C8的理由；

（2）如图2,过点B作BELAC,垂足为点E,8E与C。相交于点?

①试说明NBCD=2NCBE的理由；

②如果AB。歹是等腰三角形，求/A的度数.

【答案】（1）说明过程见解答；

（2）①说明过程见解答；

②如果△BD尸是等腰三角形，NA的度数为45°或36°♦

【解答】解：（1）-：AB^AC,

ZABC=ZACB,

9：ZBDC是△ADC的一个外角，

AZBDC=ZA+ZACD,

VZACB=ZBCD^-ZACD,ZBCD=ZA,

：.ZBDC=ZACB,

：.ZABC=ZBDC.

：.CD=CB；

(2)®VBE±AC,

：.ZBEC=90°,

：.ZCBE+ZACB^90°,

设NC3E=a,则NACB=90°-a,

JZACB=ZABC=/BDC=9U°-a,

：.ZBCD=180°-ZBDC-ZABC=180°-(90°-a)-(90°-a)=2a,

：.ZBCD=2ZCBE；

②;ZBFD是ACBF的一个外角，

・•・ZBFD=ZCBE+ZBCD=a+2a=3a,

分三种情况：

当尸时，

：.ZBDC=ZBFD=3a,

*：ZACB=ZABC=/BDC=9U°-a,

90°-a=3a,

・・・a=22.5°,

AZA=ZBCZ)=2a=45°；

当尸时，

：.ZDBE=ZBFD=3a,

・・・ZDBE=ZABC-/CBE=90°-a-a=90°-2a,

.*.90°-2a=3a,

・・・a=18°,

AZA=ZBCZ)=2a=36°；

当FB=FD^,

：.ZDBE=ZBDF,

,/NBDF=ZABOZDBF,

，不存在FB=FD,

综上所述：如果△8。B是等腰三角形，NA的度数为45°或36°♦

六.等边三角形的性质(共2小题)

21.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是。，则六边形的周长是

30a.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，

比如右下角的第二小的三角形，设它的边长为尤，

则等边三角形的边长依次为x,x+a,x+a,x+2a,x+2a,x+3a,

所以六边形周长是，

2x+2(x+a)+2(x+2a)+(x+3a)=rlx+9a,

而最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍，

即x+3a=2x,

故x=3a.

所以周长为7x+9a=30a.

故答案为：30a.

22.如图，在等边△ABC中，已知点E在直线A3上(不与点A、B重合)，点。在直线BC上，且成＞=

EC.

(1)若点E为线段AB的中点时，试说明。8=AE的理由；

(2)若△ABC的边长为2,AE=1,求的长.

备用图

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）••.△ABC是等边三角形，E为A5的中点,

/.ZBCE=30°,BE=AE,

•：ED=EC,

：.ZEDB=ZBCE=30°,

VZABD=nO°,

:・NDEB=3U°,

:・DB=EB,

：.AE^DB；

（2）如图1,E在线段AB上时，

*：AB=2,AE=1,

・•・点七是AS的中点，

由（1）知，BD=AE=L

：.CD=BC^BD=3；

如图2,£在线段AB的反向延长线上时，

VAE=1,A5=2,

:・BE=3,

「△ABC是等边三角形，

：.ZBAC=ZBCA=60°,AB=BC=AC=2,

过E作EH//AC交BC的延长线于H,

:・NBEH=/BHE=6U°,

是等边三角形，

；・BE=EH=BH=3,ZB=ZH=60°,

・：ED=EC,

，/EDC=AECD,

：.ZB+ZBED=ZH+ZHEC,

：.ZBED=ZHEC,

在△①)£和中，

fBE=HE

-ZBED=ZHEC>

ED=EC

：./\BDE^/\HCE(SAS),

：.BD=HC=BH-BC=3-2=1,

：.CD=BH-BD-HC=3-1-1=1.

综上所述，CO的长为1或3.

23,下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个

顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边

三角形的有（）

A.①②③④B.①②④C.①③D.②③④

【答案】4

【解答】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形；

②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；

③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；

④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等.

所以都正确.

故选：A.

八.等边三角形的判定与性质（共1小题）

24.边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，

记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2

个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，

按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）

A55

-yX(-1)aB.1X(-1)a

c/xg)6aD.x得儿

【答案】A

【解答】解：连接A。、DF、DB.

'：六边形ABCDEF是正六边形，

AZABC=ZBAF=ZAFE,AB=AF,ZE=ZC=120°,EF=DE=BC=CD,

：.NEFD=/EDF=/CBD=/BDC=30°,

VZAFE=ZABC=12Q°,

/.ZAFD=ZABD=90°,

在RtAABZ)和RtAFD中

[AF=AB

IAD=AD

Z.RtAABD^RtAAFDqHL),

：.ZBAD=ZM£>=Ax120°=60°,

2

.\ZE4D+ZAF£=60°+120°=180°,

：.AD//EF,

•:G、7分别为A尸、DE中点,

：.GI//EF//AD,

：.ZFGI=ZFAD=60°,

•.,六边形ABCDEF是正六边形，是等边三角形，

.\ZEDM=60°=NM,

：.ED=EM,

同理AF=QR

即AF=QF=EF=EM,

•..等边三角形QKM的边长是a,

.•.第一个正六边形ABCDEF的边长是工z,即等边三角形QKM的边长的工，

33

过产作FZ_LG/于Z,过E作EALLG/于N,

贝UFZ//EN,

'：EF//GI,

...四边形FZNE是平行四边形，

:.EF=ZN=L,

3

VGF=^-AF=—X1-a—l-a,AFGI—60°（已证），

2236

，NGFZ=30°,

GZ—工GF=-1-a,

212

同理IN=-L-a,

12

；.G/=L+!"+」_a=L,即第二个等边三角形的边长是L,与上面求出的第一个正六边形的边长的

1231222

方法类似，可求出第二个正六边形的边长是lxL；

32

同理第第三个等边三角形的边长是工义工a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第

22

三个正六边形的边长是工XJLXLZ；

322

同理第四个等边三角形的边长是!X」xL,第四个正六边形的边长是」XJLXJLXL；

2223222

第五个等边三角形的边长是』XXxla,第五个正六边形的边长是lxlxlxL；

222232222

第六个等边三角形的边长是」_1义_kxAa,第六个正六边形的边长是＞XxAxAxAxAxAfl,

22222322222

即第六个正六边形的边长是专义g/a,

故选：A.

九.直角三角形的性质（共1小题）

25.阅读理解：如图1,在AABC的边AB上取一点P,连接CP,可以把△ABC分成两个三角形，如果这

两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边A8上的完美点.

（1）如图2,△ABC中，ZACB=90°,试找出边4B上的完美点P,并说明理由.

（2）如图3,已知NA=36°,△ABC的顶点2在射线/上，点尸是边A8上的完美点，请认真分析所

有符合要求的点2,直接写出相应的的度数.

【答案】（1）见上面过程（2）见上面做的图.

【解答】解：⑴取A2的中点尸，连接尸C即可如图①

VZACB=90°,P是A8的中点，

：.CP=^AB,AP=BP=1-AB,

22

：.AP=PB=CP.

AAPC,△PBC是等腰三角形.

.,.点P是边AB上的完美点.(2)满足条件的点B如图所示：②③④⑤⑥

26.如图，已知乙4。8=30°，点尸在边0A上，0P=14,点E,尸在边08上，PE=PF,EF=6.若点。

是边0B上一动点，则/PZ)E=45°时，。尸的长为4或10.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，过点尸作尸打，。2于点

,:PE=PF,

:.EH=FH=LEF=3,

2

VZAOB=30°,。尸=14,

:.PH=1OP=7,

2

,：ZPDE=45°,

：.ZDPH=45°,

:.PH=DH=7,

：.DF=DH-FH=1-3=4；

当点D运动到点P左侧时，

D'F=D'H+FH=7+3=10.

所以OF的长为4或10.

故答案为4或10.

27.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=4cm,动点尸、。同时从A、8两点出发，分别在A8、

8C边上匀速移动，它们的速度分别为Vp=2c%/s,VQ=lcm/s,当点尸到达点8时，P、。两点同时停止

运动，设点尸的运动时间为fs.

（1）当f为何值时，APB。为等边三角形?

（2）当f为何值时，△P8Q为直角三角形？

（2）弋卫或f=L

5

【解答】解：在△ABC中，VZC=90°,ZA=30°,

ZB=60°.

：4+2=2,

.,.0<tW2,BP=4-2t,BQ=t.

（1）当2尸=2。时，△P2。为等边三角形.

即4-2t=t.

当土奇时，△PB。为等边三角形；

（2）若△PB。为直角三角形，

①当NBQP=90°时，BP=2BQ,

即4-2t=23

/.t=1.

②当NBPQ=90°时，BQ=2BP,

即t=2（4-20,

•8

・卡

即当t=1或f=l时，△PB。为直角三角形.

一十一.勾股定理（共11小题）

28.如图所示，AB=BC=CD=DE=1,AB±BC,ACLCD,ADLDE,贝UAE=()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】D

【解答】解：,/AB=BC=CD=DE^l,ABLBC,AC±CD,ADLDE,

：.AC=VAB2+BC2=V12+12=V2；

AD=VAC2+CD2=V(V2)2+l2=V3；

A£=VAD2+DE2=V(V3)2+l2=2-

故选：D.

29.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方

形G的边长是6cm,则正方形A,B,C,D,E,F,G的面积之和是（）

A.18cm2B.36cm2C.72cm2D.108cm2

【答案】D

【解答】解：由图可得，A与8的面积的和是E的面积；C与。的面积的和是产的面积；而E,尸的面

积的和是G的面积.

即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积.

的面积是62=36CMJ2,

；.A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36X3=108CTW2.

故选：D.

30.在△ABC中，A8=15,AC=13,BC上的高A。长为12,则△ABC的面积为()

A.84B.24C：.24或84D.42或84

【答案】c

A

【解答】解：(1)BDC

△ABC为锐角三角形，高AZ)在△ABC内部.BD=VAB2-AD2=9,C£）=VAC2-AD2=5

.,△ABC的面积为工X(9+5)X12=84；

2

A

A.

(2)BCD

△ABC为钝角三角形，高A£＞在△ABC外部.方法同（1）可得到2。=9,CD=5

.♦.△ABC的面积为工义(9-5)X12=24.

2

故选：C.

31.如图，以RtZXABC的三条边作三个正三角形,则Si、S2、S3、S4的关系为（）

AB

A.Si+S2+S3=S4E>.S1+S2=S3+S4

C.S1+S3=S2+S4D.不能确定

【答案】C

【解答】解：如图，设Rtz\A2C的三条边AB=c,AC=b,BC=a,

AACG,△BCH,AAB尸是等边三角形，

2=，2

S1=S^ACG-55=VS_/7-S5,S3=S^BCH-Sf)^-Cl-S6,

44

：.Sl+S3=J^-(/+/)-S5-S6,

4

52+54=SAABF-S5-S6=^^-C2-S5-S6,

4

c1=a2+b2,

S1+S3=S2+S4,

32.如图，要将楼梯铺上地毯，则需要7米的地毯.

4米

【答案】见试题解答内容

【解答】解：根据勾股定理，另一直角边=便彳=3,

；.3+4=7,

故应填7.

33.如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=8厘米，点。为A3的中点，如果点M在线段2C上以

2厘米/秒的速度由8点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使与ACMN

全等，则点N的运动速度应为2或3厘米/秒.

D

BL~~--------

V

【答案】见试题解答内容

【解答】-：AB=AC,

：.ZB=ZC,

①当8O=CM=6厘米，BM=CN时，ADBM冬丛MCN,

.•.8M=CN=2厘米，f=2=l,

2

•••点N运动的速度为2厘米/秒.

②当BD=CN,时，LDBMm/\NCM,

.•.BM=CM=4厘米，f=>l=2,CN=BD=6厘米，

2

；•点N的速度为：旦=3厘米/秒.

2

故点N的速度为2或3厘米/秒.

故答案为：2或3.

34.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美"四边形ABCD对角线AC、

BD交于点、0.若A£>=5,BC=12,则人心⑦二口9.

【答案】169.

【解答】解：,••BDLAC,

ZCOB=ZAOB=ZAOD=ZCOD=90°,

在RtACOB和RtAAOB中，根据勾股定理得,

BO^+CO2=CB1,OI^+OA2=AD2,

/.BO^+CO^OD^+OA2=25+144,

'：AB2=BO2+AO2,CD2=OC2+OD2,

.*.AB2+CD2=169；

故答案为：169.

35.如图，已知在RtZXABC中，ZBAC=90°,BC=4,分别以A8,AC,BC为边向外作等边三角形，面

【解答】解：：如图，分别以Rt^ABC的三边为边向外作三个等边三角形，

；.S3=®C2,S2=近/,51=返/，

444

又•:△ABC是直角三角形，

a2+b2=cz,

/.S1+S2=S3.

；・S1+S2+S3=2S3=2义1_义42=8«.

4

故答案为：873.

36.如图，已知在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=16,。是AC上的一点，CZ)=3,点P从8点

出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点尸的运动时间为f.连接AP.

(1)当f=3秒时，求AP的长度(结果保留根号)；

（2）当AABP为等腰三角形时，求，的值；

（3）过点。作OELAP于点E.在点尸的运动过程中，当f为何值时，能使。E=C。?

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）根据题意，得BP=2r,PC=16-2t=16-2X3=10,AC=8,

在Rtz^APC中，根据勾股定理，得AP=dAc2+pc2=V^R=2VZL

答：AP的长为2aL

(2)在RtZ\ABC中，AC=8,BC=16,

根据勾股定理，得48=加4+256=«^=8泥

若BA=BP,贝U2t=8炳,解得f=4而；

若AB=AP,则3尸=32,2/=32,解得f=16；

若B4=PB,则(2f)2=(16-2力2+82,解得r=5.

答：当△ABP为等腰三角形时，f的值为4我、16、5.

(3)①点尸在线段BC上时，过点。作。ELA尸于E,如图1所示:

则NAE£)=NP££)=90°,

矶)=/ACB=90°,

平分NAPC,

ZEPD=ZCPD,

，ZPED=ZPCD

<ZEPD=ZCPD>

PD=PD

:.4PDE会/\PDCCAAS),

:.ED=CD=3,PE=PC=16-2t,

：.AD^AC-CD=8-3=5,

：.AE=4,

：.AP=AE+PE=4+16-2t=20-It,

在RtZiAPC中,由勾股定理得：82+(16-2r)2=(20-2r)2,

解得：r=5；

②点P在线段8C的延长线上时，过点。作。ELA尸于E,如图2所示:

同①得：APDE出APDC(A4S),

:.ED=CD=3,PE=PC=2t-16,

：.AD=AC-CD=S-3=5,

：.AE=4,

：.AP=AE+PE^4+2t-16=2/-12,

在RtZkAPC中，由勾股定理得：82+(2r-16)2=(2L12)2,

解得:r=ll；

综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使。E=CD.

图2

图1

37.如图，△ABC中，ZABC=90°,AC=20,BC=12.

Cl)直接写出A3的长度16.

(2)设点尸在A3上，若NP4C=NPCA.求AP的长；

(3)设点M在AC上，若△M8C为等腰三角形，直接写出AM的长.

B

p

【答案】(1)16；

(2)互

2

(3)8或10或丝.

5

【解答】解：(1)'：ZABC=9Q°,AC=20,BC=12,

/MB=VAC2-BC2=V202-122=16,

故答案为：16；

(2)VZB4C=ZPCA,

：.AP^PC,

设AP=PC=x,

：.PB^16-x,

VZB=90°,

：.BP1+BC1=CP1,

(16-x)2+122=X2,

解得：x=25,

2

：.AP=^--,

2

(3)AM的长为8或10或骰.

5

如图(1),当C2=CM=12时，AM^AC-CM=20-12=8；

如图(2),当W=CM时，AM=BM=CM=^AC^10；

2

如图(3),当时，过2作B8_LAC于点孙

则BH=AB・BC=壁,

AC5

CH=VBC2-BH2=J122-(^)2=^

Vbb

:.CM=ICH=TL,

5

J.AM^AC-CM=20-卫=丝，

55

综上所述，AM的长为8或10或驾.

38.问题再现：

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而