阿基米德三角形与椭圆、双曲线焦点三角形内切圆问题（3大题型）原卷版-2025高考数学重难题型解题技巧

i重难题型•解题技巧攻略

J_________________________________________________________

专题14阿基米德三角形与椭圆、双曲线焦点三角形内切圆问题

检-----------题型归纳•定方向----------*>

目录

题型①阿基米德三角形.........................................................................1

题型02椭圆中焦点三角形的内切圆..............................................................5

题型03双曲线中焦点三角形的内切圆............................................................8

-----------题型探析,明规律-----------♦>

题型01阿基米德三角形

①抛物线焦点弦与抛物线的交点

②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点

对于点M

③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点

④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点

满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形

3、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）

1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.

2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C（x。，%）,则另一顶点P的轨迹为一条直线.

3、若直线/与抛物线没有公共点，以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.

4、底边长为“的阿基米德三角形的面积的最大值为C.

8P

5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点。的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p2.

6、点P的坐标为］上黄,?亍;

7、底边AB所在的直线方程为（石+元2）%-2刃-斗工2=。；

8、的面积为S皿」为7.

8P

9、若点尸的坐标为（x0,%）,则底边的直线方程为无°x-p（y+%）=0.

10、如图1,若E为抛物线弧AB上的动点，点E处的切线与上4,PB分别交于点C,D,则

\AC\_\CE\_\PD\

\CP\~\ED\~\DB\'

11、若石为抛物线弧AB上的动点，抛物线在点石处的切线与阿基米德三角形△PR的边B4,PB分别交

q

于点C,D,贝IJ上旦殳=2.

q

".PCD

12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的2.

3

【典例训练】

一、单选题

1.（2024高三・全国•专题练习）A8为抛物线丁=24（0>0）的弦，久久口乃），/冷,火）分别过作的抛

物线的切线交于点称一为阿基米德三角形，弦48为阿基米德三角形的底边.若弦A3过焦点

尸，则下列结论错误的是（）

A.xt+x2=2x0

B.底边A3的直线方程为XoX-p（y+%）=O；

C.是直角三角形；

D.AMfi面积的最小值为2P2.

2.（2024.陕西西安.二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天

文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点48处的切线交于点

P,称三角形为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：/二分的焦点为己过a,8两点的直线的方程为

屈-3>+6=0,关于“阿基米德三角形”△出8,下列结论不正确的是（）

32

A.|AB|=yB.PA±PB

C.PF±ABD.点P的坐标为（若，-2）

二、多选题

3.（2024・山东•模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知

抛物线C:/=8y,阿基米德三角形9,弦48过C的焦点其中点A在第一象限，则下列说法正确的

是（）

A.点尸的纵坐标为-2B.C的准线方程为》=-2

C.若|A可=8,贝ijA3的斜率为如D.加面积的最小值为16

4.（23-24高三上.江苏南京•阶段练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米

德三角形.己知三角形&R为抛物线y?=2x的“阿基米德三角形”，线段A3为抛物线的弦，设线段AB中点

为M,下列命题正确的是（）

A.5〃〃》轴

B.若A3过点（2,0）,则点S在直线％=-2上

C.若AB=4,则ASAB面积的最大值为4

D.若过点（go],则SA_LSB

5.（2024・湖北黄冈•模拟预测）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形,

阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线

上.设抛物线9=4尤，弦A5过焦点为"的中点，。为坐标原点，.钻。为其阿基米德三角形，则

（）

A.存在点Q,使得Q4QB>0B.任意点Q,都有

C.任意点Q,都有0H〃。/D.面积的最小值为4

6.（24-25高三上•陕西榆林・期末）若过点C可以作抛物线的两条切线，切点分别是AB,则称VABC为“阿

基米德三角形已知抛物线E:y2=8x的焦点为歹，过下的直线/交E于AB两点，以AB为顶点的“阿基

米德三角形”为VABC,则（）

JT

A.点C的横坐标为-2B.ZACB=-

2

C.\BCf>\AB\-\BF\D.VABC面积的最小值为16

三、填空题

7.（24-25高三上•上海・单元测试）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A、B处的两条切线所围成的PAB

（尸为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”.抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段经过抛

物线的焦点尸时，一上钻具有以下性质：

①尸点必在抛物线的准线上；②③尸产_LAB.

己知直线/：）=左（》-1）与抛物线/=4x交于42两点，若|皿|=8,则抛物线的“阿基米德三角形。R4B

的顶点P的坐标为.

四、解答题

8.（23-24高三下•重庆•阶段练习）过抛物线外一点尸作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,我们称一R4s

为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“冏边形”，且已知“冏边形”的面

积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二.如图，点P是圆。:尤?+（y+5）2=4上的动点，一上4B是抛物线

「无2=20；5>0）的阿基米德三角形，尸是抛物线「的焦点，且12刊出=6.

⑴求抛物线「的方程；

(2)利用题给的结论，求图中“冏边形”面积的取值范围；

⑶设。是“圆边形”的抛物线弧AB上的任意一动点(异于48两点)，过。作抛物线的切线/交阿基米德三

角形的两切线边外，PB于M,N,证明：

题型02椭圆中焦点三角形的内切圆

【解题规律•提分快招】

焦点三角形双内切圆模型1

22

点,%)为椭圆++2=1上任意一点，点P为APGK的内心，点G为APFR的重心o

性质1、假设焦点公产片工的内切圆半径为厂，则S=(a+c)r.

性质2、MA=MB=a-c

性质3、MF,-MF,=2x

141

性质4、XL%%=六八5入BE

PQ_o

性质5、丽

性质6、^^〜-一近彳

玉）为、

性质7、0（于7

性质8A/G=彳（"—QC）

22

性质9、P的轨迹为，+L=l（yNO）

Cbc2

（a+c）2

焦点三角形内切圆模型2

22

点P（XO，为）为椭圆=+多=1上任意一点，点I为旁切圆圆心，A,B,C为切点。

ab

y

结论：x,=±a'J（a°}

I"，（a+c）%o'

焦点三角形双内切圆模型3

4/

........—r+e2-1,左为直线AB的倾斜角

k'=（1—田2

【典例训练】

一、单选题

22

1.（23-24高三上.吉林・期末）已知椭圆方程为C:土+二=1,尸为椭圆上一点，若/耳尸工=90。，r为FyPF2

82一一

的内切圆，贝1）厂=（）

A.A/6-A/2B.2A/2-76C.2拒+#D.76+72

2.（23-24高三上•吉林延边•期中）点尸是椭圆上+汇=1上一点，可,工是椭圆的两个焦点，且.尸KK的

167

内切圆半径为1,当点P在第一象限时，尸点的纵坐标为（）

cc7-59

A.2B.—C.D.

334

/2、,2

3.（24-25高三上・北京・期末）若五一F?是椭圆C：二+2=1的左、右焦点，尸为椭圆C上一

ab

点（不是顶点），点,为.尸片区的内心，若•产月区的面积是有且面积的3倍，则椭圆C的离心率为（）

A.-B.|C.—D.也

3223

22

4.（24-25高三上•福建泉州•期中）己知椭圆C：・+「=l（a>b>0）的左、右焦点分别为与区,点尸（国,乂）

ab

是C上的一点，尸耳工的内切圆圆心为。（%,%），当玉=石时，2=1,则椭圆C的离心率为（）

A.3B.73-1C.@D.2-73

23

22

5.（2024高三下•全国・专题练习）已知片，F?分别是椭圆C：\+?=1的左、右焦点，尸为第一象限内椭

圆C上一点，P耳鸟的内心为点/，则直线/耳与外的斜率之积为（）

AA/50^5「V5-3「V5-3

5842

22

6.（浙江省台州市2024-2025学年高三上学期期末质量评估数学试题）已知椭圆E:（■+%=1（0<6〈近）的

左右焦点分别为与月，点M伉,%）是椭圆E上第一象限的一点，△叫乙的内心为N（4%）,若毛=百七,

则椭圆E的方程为（）

AJ2[RX—

A.——+y=1D.-----1-----=1

552

D.JJ1

54

22

7.（23-24高三上•四川成都•期中）已知椭圆£:上+乙=1的左、右焦点分别为耳,鸟，P是椭圆E在第一象限

43

的任意一点，/为尸片K的内心，点。是坐标原点，贝IJtanNF。/的最大值为（）

A.迈B.五C.士D.空

12623

22

8.（24-25高三上•浙江杭州•阶段练习）已知椭圆C:=+与=10>。>0）的左、右焦点分别为4,耳.点尸

ab

在C上且位于第一象限，圆（01与线段耳尸的延长线，线段PF]以及无轴均相切，一尸耳旦的内切圆为圆。2.若

圆。|与圆。2外切，且圆。|圆。2的面积之比为9,则C的离心率为（）

A•三B-Ic-TD-T

题型03双曲线中焦点三角形的内切圆

【解题规律•提分快招】

一、双曲线焦点三角形内切圆的统一性质

22

【性质1】如图，已知片，鸟为双曲线C:1-当=1（。>0）>0）的左、右焦点，则△尸片鸟的内切圆与X轴

ab

切于双曲线的顶点；且当P点为双曲线左支时，切点为左顶点；且当尸点为双曲线右支时，切点为右顶点.

22

【性质2】如图，双曲线C的标准方程为1r-方=l（a>0,b>0）,片，鸟为双曲线C的左、右焦点，P为双

曲线C上异于实轴端点的任意一点，△尸£区的内切圆圆心为/,且圆/与三边相切于点设

尸,%）,/（七,%）,则闺。|=|耳M=a+c,X/=0.

【注】性质2的证明逻辑上同样是利用“算两次”构造方程求解.同理可得，尸为双曲线C的左支上异于实

轴端点的任意一点，|玛。|=|月M=a+c,x,=-a.若点尸为双曲线C的上异于实轴端点的动点，△尸片入内

心/的轨迹为％=G或%=_〃，且yw0.

22

【性质3】如图，已知耳，心为双曲线。:亍-云二：1,〉。/〉。）的左、右焦点，过右焦点工作倾斜角为。的

直线/交双曲线于4,3两点，若AAE工，的内切圆圆心分别为/一八，半径分别为小马,贝心1）/,,/2

单内切圆模型3：QC=a

单内切圆模型5：QC=2a

双内切圆模型6：小马分别为△AEK45与弱的内切圆半径，。为直线A3的倾斜角，直线A5

与右支交于AB两点。

①与r,=(c-a)2②彳+弓e2c-2a,—(2c-2a)

-LbJ

(3)-re\-—(2c-2a),—(2c-2a)|=——AfN在x=a上

2IbbJ④4tan?⑤

一、单选题

22

1.(24-25高三上•云南丽江•阶段练习)已知点P为双曲线♦-==l(a>0,6>0)右支上一点，片,尸2分别

db

为双曲线的左右焦点，且I耳工|=——，/为尸片工的内心，若S△尸甲=5-%+掂”也，则力的值为（）

A.也B.—C.yD.—

223

22

2.（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）双曲线C:=-^=l的右支上一点尸在第一象限，K，F?分别为双曲

916

线C的左、右焦点，/为尸耳鸟的内心，若内切圆/的半径为1,则尸4歹2的面积等于（）

A.24B.12C.—D.—

33

22

3.（2024.河南郑州.模拟预测）已知第一象限内的点P在双曲线C：A—2r=1（。〉0,b>0）上，点尸关

ab

于原点的对称点为。，可，尸2，是。的左、右焦点，点M是，尸EK的内心（内切圆圆心），M在％轴上的

射影为“，记直线PMIQAT的斜率分别为左，右，且勺=则。的离心率为（）

上2M

A.2B.8C.2.72D.2质

22

4.（23-24高三上.湖北襄阳.期末）已知耳，6分别为双曲线C:3暇=1的左、右焦点，E为双曲线C的右

顶点.过F?的直线与双曲线C的右支交于A,8两点（其中点A在第一象限），设M,N分别为AFXF2,BFXF2

的内心，则|ME|+|NE|的取值范围是（）

22

5.（2024•山东济宁•三模）已知双曲线C:=-2=1（〃>0,。>0）的左、右焦点分别为耳耳，根据双曲线的

ab

光学性质可知，过双曲线C上任意一点尸（X。,%）的切线/:警-岑=1（“>0”>0）平分/耳尸马.直线/1过户2

ab

交双曲线C的右支于A,8两点，设AFtF2,BFF2,的内心分别为44,/,若〃/与-的面积之

3

比为则双曲线C的离心率为（）

6.（2024.四川.模拟预测）已知双曲线。:工-5=1（。>0）>0）的左、右焦点分别为4,入，离心率为2,焦

ab

点到渐近线的距离为76.过F2作直线/交双曲线C的右支于A3两点，若",G分别为AAF遥与△朗区的内

心，则|"G|的取值范围为（）

A.[2^,4]B,["2）。・卜喇D.警、

二、多选题

22

7.（23-24高三上.吉林长春.期末）设斗鸟分别是双曲线土-当=1的左右焦点，过F?的直线与双曲线的右

4b-

支交于A,8两点，鸟的内心为/,则下列结论正确的是（）

A.若ABK为正三角形，则双曲线的离心率为g

B.若直线Q4交双曲线的左支于点。，则月D//AB

C.若片为垂足，则|0川=2

D.△A£鸟的内心/一定在直线尤=4上

22

8.（24-25高三上•山东泰安•阶段练习）已知双曲线C$一彳=l（a>0">0）的左、右焦点分别为耳，工.过

弱的直线/交双曲线C的右支于A3两点，其中点A在第一象限.居的内心为4，A/1与X轴的交点

为P,记心的内切圆人的半径为今,△8月月的内切圆八的半径为则下列说法正确的有（）

A.若双曲线渐近线的夹角为60。，则双曲线的离心率为冬8

3

B.若且怛耳|-|4耳|=2a,则双曲线的离心率为芈

C.若a=l,b=6,则1-马的取值范围是卜百,6）

D.若直线/的斜率为百，A4=21]P,则双曲线的离心率为。

三、填空题

22

9.（2024•山西晋中•一模）己知点尸为双曲线5-e=1（。>0,。>0）右支上的一点，点与，F?分别为双曲线

ab

的左、右焦点，若M为力眼的内心，且S△啊=以《叫+飙”叱2,则双曲线的离心率为.

22

10.（2024.全国.模拟预测）在平面直角坐标系中，己知双曲线C:，珠=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别

为6,鸟，过片且斜率为g的直线/与双曲线C的左、右两支分别交于43两点（8在第一象限），入的

重心为G,内心为/,且G/〃y轴，则双曲线C的离心率为

o-----------题型通关•冲高考-----------*>

一、单选题

丫2V2,

1.（2024.广东茂名.二模）若椭圆C:=+多=l（a>6>0）的离心率为J,两个焦点分别为耳（-的0）,

ab乙

F2（G0）（C>0）,M为椭圆C上异于顶点的任意一点，点尸是AMFE的内心，连接MP并延长交「鸟于点Q,

则\PM胃\一

A.2B.1C.4D.；

22

2.（2024•江西•模拟预测）已知椭圆土+乙=1的左右焦点分别为小F2,P为椭圆上异于长轴端点的动点,

1612

G,/分别为工尸耳工的重心和内心，则P/.PG=（）

416

A.—B.5/3C.2D.—

33

3.（24-25高三上•黑龙江•期中）若椭圆C:上+上=1的左、右焦点分别为片，F2,点尸是椭圆C上一点，

43~

且P在第一象限，尸的尸2的内心为/，直线";与直线生的斜率分别为尤、k2,则心自=（）

134

A」R_c_D_

3443

22

4.（23-24高三上•广东揭阳•阶段练习）已知椭圆的方程为=+1=1（。>人>0）,片,凡分别为椭圆的左、右焦

ab

点，”为椭圆上在第一象限的一点，/为久耳的内心，直线,与X轴交于点N,若8MI=5MN，贝该

椭圆的离心率为（）

2r3

A.—B.—C.—D.一

5583

22序

5.（2024.陕西.一模）已知%F?分别为双曲线r二一当=1的左、右焦点，且闺居|=幺，点尸为双曲线右支

abla

上一'点,M为.耳尸工的内心，若S=S〃尸产2+4S峥%成立，则％的值为（）

A.q+2B.s/5-2C.2D.竽

6.（2024.河北•三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发

展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质.已知抛物线

y2=4x,过焦点的弦AB的两个端点的切线相交于点则下列说法正确的是（）

A./点必在直线x=-2上，且以48为直径的圆过“点

B.M点必在直线％=-1上，但以AB为直径的圆不过M点

C.M点必在直线x=-2上，但以A8为直径的圆不过M点

D.〃点必在直线尸-1上，且以为直径的圆过“点

二、多选题

7.（23-24高三上.江苏连云港.期中）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角

形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设A,8是抛物线C：V=4y上两个不同的

点，以A,2为切点的切线交于尸点.若弦过尸（0/），则下列说法正确的有（）

A.点P在直线丁=-1上B.AP±BP

C.AB±PFD.△段山面积的最小值为8

8.（2024高三下.江苏・专题练习）（多选）如图，上钻为阿基米德三角形.抛物线/=2勿（°>0）上有两个

不同的点4（孙月）,BO2,%），以A，B为切点的抛物线的切线PAP8相交于点尸.给出如下结论，其中正确

的为（）

A.若弦43过焦点，贝为直角三角形且NAP3=90°

B.点尸的坐标是竽J

C.B40的边A3所在的直线方程为（％+々）彳一20;-%彳2=。

D.一R4B的边上的中线与y轴平行（或重合）

9.（23-24高三上・四川乐山・期末）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德

三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设抛物线y?=2px（。>0）,弦A3过

焦点/，AS。为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（）

A.点。在抛物线V=2px（p>0）的准线尤=-点上

B.存在点。，使得。4QB>0

C.\QFf=\AF\-\BF\

D.面积的最小值为"

三、填空题

22

10.（23-24高三上•山西吕梁•阶段练习）已知椭圆C：2+£=l（a>b>0）,4,F?为其左、右焦点，尸为

椭圆C上任一点，耳尸工的重心为G,/是内心，且有/G