2025年中考数学一轮复习：与圆有关的计算常考题型（5大热考题型）（解析版）

难点09与圆有关的计算常考题型

（5大热考题型）

自走4港

题型一：正多边形和圆

题型二：与弧长有关的运算

题型三：与扇形面积有关的计算

题型四：不规则图形的面积计算

题型五：与圆锥有关的计算

赭淮提分

题型一：正多边形和圆

【中考母题学方法】

【典例1】（山东青岛•中考真题）如图，正六边形/BCDEb内接于。。，点M在标上，则/CME的度数

为（）

A.30°B.36°C.45°D.60°

【答案】D

【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可.

【详解】解：连接。C、OD、OE,如图所示：

正六边形ABCDEF内接于。。,

：.ZCOD=—=60°,则NCO£=120。，

6

：.ZCME=g/COE=60。,

故选：D.

【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正〃多边形的中心角为出是解答的关键.

【典例2】（2023・上海・中考真题）如果一个正多边形的中心角是20。，那么这个正多边形的边数为.

【答案】18

【分析】根据正n边形的中心角的度数为360。一〃进行计算即可得到答案.

【详解】根据正"边形的中心角的度数为360。士〃，

贝！|〃=360+20=18,

故这个正多边形的边数为18,

故答案为：18.

【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键.

【变式1-1］（2024•内蒙古・中考真题）如图，正四边形4BCD和正五边形CEFG”内接于AD和斯相

交于点M,则4的度数为（）

A.26°B.27°C.28°D.30°

【答案】B

【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角

形的性质，连接OC、OE、OD,设CD与所相交于点N,由圆的内接正多边形的性质可得/CO0=9O。，

ZCOE=72°,即得/。。£=/。0。一/。0£；=18。，即可由圆周角定理得NOCE==9。，进而由三

2

角形内角和定理得/OW=NCA£=63。，再由直角三角形两锐角互余得到44MF=NDMN=27。，正确作

出辅助线是解题的关键.

【详解】解：连接。C、OE、OD,设CD与斯相交于点N,

•.•正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于，

ZCOD=360°+4=90°,ZCOE=360°+5=72°,

/DOE=ZCOD-ZCOE=90°-72°=18°,

NDCE=-ZDOE=Lx,

22

（5-2）x180°

ZCEF——1--------=108°,

5

・・・ACNE=180。一108。-9。二63。，

J/DNM=/CNE=63。,

*/ZADC=90°,

：.ZDMN=90°-63°=21°,

：.4MF=/DMN=27。,

故选：B.

【变式1-2］（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点。为正六边形尸的中心，

跖〃x轴，点区在双曲线歹=与左为常数，左＞0）上，将正六边形45czm厂向上平移百个单位长度，点。恰

x

【答案】A

【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等

等，过点E作即，x轴于〃，连接。£,可证明AOED是等边三角形，则。E=OZ）,OH=DH=^OH,

进而得到设OD=2加，则OH=加，HE=#m,则E（加，屈/）,。（2m,0）,即可得到点（2加，后

在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到左=2机加，据此求解即可.

【详解】解：如图所示，过点E作瓦轴于X,连接OE,

原点。为正六边形ABCDEF的中心，

360°

OE=OD,Z.EOD=^-=6CP,

6

・・・是等边三角形，

：・DE=OD,

丁EHLOD,

：.OH=DH=-OD,

2

__________h

JEH=^DE2-DH2=^-OD,

2

设。。=2冽，则OH=加，HE=W,

E（加，右加），D（2m,0）,

・・・将正六边形ABCDEF向上平移V3个单位长度，点。恰好落在双曲线上,

又•・,点E也在双曲线上，

k=2m-V3=m-V3m,

解得加=2或加=0（舍去），

k=2m-V3=4\/3，

故选：A.

【变式1-3]（2024•山东东营・中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”,

即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割,

则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率兀的近似值为3.1416,

如图，。。的半径为1,运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计。。的面积，可得兀的估计值为

处.若用圆内接正八边形近似估计。。的面积，可得兀的估计值为.

【答案】2V2

【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积

是解题的关键.过点/作求得乙4。3=360。+8=45。，根据勾股定理可得/M?+OA/2=。泉，

即可求解.

【详解】

如图，45是正八边形的一条边，点。是正八边形的中心，过点4作

在正八边形中，44。5=360。+8=45。

/.AM=OM

:04=1,AM2+OM2=OA2,解得：AM=—

2

:.S.0AB=goBxAM=9

二正八边形为8x正=2百

4

2行=Fx万

--71=25/2

.••兀的估计值为2收

故答案为：2立.

【变式1-4]（2024•山东潍坊・中考真题）【问题提出】

在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方

形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的

安装方案.

说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r(m)的圆面.喷洒覆盖率夕=后,

S为待喷洒区域面积，发为

S

待喷洒区域中的实际喷洒面积.

这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.

【探索发现】

(1)如图2,在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率

9

(2)如图3,在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为;m的自动喷洒装置；如图4,设计安装9个喷洒半径

2

9

均为3m的自动喷洒装置；……，以此类推，如图5,设计安装/个喷洒半径均为'm的自动喷洒装置.与

n

Cl)中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出

理由.

(3)如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案,且使得该草坪的喷洒覆盖率。=1.己

知正方形ABCD各边上依次取点F,G,H,E,使得AE=BF=CG=DH,设AE=x(m),OQ的面积为y(n?),

求了关于x的函数表达式，并求当V取得最小值时『的值.

图6

【问题解决】

（4）该公司现有喷洒半径为3am的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷

洒覆盖率。=1?（直接写出结果即可）

【答案】（1）£；（2）不能，理由见解析；（3）/=£（》-9）2+竺；当y取得最小值时厂=速；（4）9

42V722

【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；

（2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解；

（3）根据勾股定理求得x/的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可

求解；

（4）根据（3）的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为3am的圆的内接正方形的

边长为6,进而将草坪分为9个正方形，即可求解.

【详解】⑴当喷洒半径为9m时，喷洒的圆面积s=-=»x92=81加？.

2

正方形草坪的面积S=/=182=324m.

故喷洒覆盖率2=勺=券=£.

s3244

（2）对于任意的〃，喷洒面积发“=〃2万（2）2=81万m2,而草坪面积始终为324m2.

n

TT

因此，无论"取何值，喷洒覆盖率始终为彳.

这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用.

（3）如图所示，连接所，

图6

要使喷洒覆盖率夕=1,即要求8=1,其中S为草坪面积，上为喷洒面积.

,0。3，都经过正方形的中心点。，

在RtA4E/中，EF=2r,AE=x,

；AE=BF=CG=DH

：.AF=\^-x,

在RG/E尸中，AE2+AF2=EF2

：.4r2=X2+(18-X)2

.__x2+(18-x)2

・・y=兀尸2

・••当x=9时，V取得最小值，此时4/=92+92

(4)由(3)可得，当。。1的面积最小时，此时圆为边长为9m的正方形的外接圆,

则当I届时，圆的内接正方形的边长为%2x346m

而草坪的边长为18m,—=3,即将草坪分为9个正方形，将半径为3gm的自动喷洒装置放置于9个正方

形的中心，此时所用装置个数最少，

二至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率。=1

【点睛】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；本题要求我们先理解和计算喷洒覆盖率，然

后通过调整喷洒装置的数量和喷洒半径来分析喷洒覆盖率的变化，最后在一个特定的条件下找出喷洒面积

和喷洒半径之间的函数关系.解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率

的计算问题转化为面积计算和函数求解问题.同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，

如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等.最后，还需要注意将数学计算结果还原为实

际问题的解决方案.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•云南昭通•一模）如图，正八边形内接于。。，连接。4。5,则Z4O8的度数为（）

A.55°B.50°C.45°D.40°

【答案】C

【分析】本题考查正多边形的性质.根据题意，由正八边形内接于OO知，44。8=360。+8=45。.

【详解】解：••,正八边形内接于O。

.•.//。8=360°+8=45°.

故选：C.

2.（2024・河北•模拟预测）如图，正六边形和正六边形Gm血L均以点。为中心，连接

AG,BH,CI,DJ,EK,FL（A,G,〃三点共线），若C7=2,〃=3,则正六边形N3CDE厂的边长为（

C.V19D.19

【答案】C

【分析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的性质，30。直角三角形的性质，连接3,OB,OG,OH,

根据正六边形的性质证明A4OG也△80”,得到UGO=NB〃O=120。，BH=AG,即可得到2,I,H三

点共线，同理可得C,/,J三点共线，D,K,J三点共线，S.CI=DJ=2,然后在三角形CM中计算即可.

【详解】连接。4,OB,OG,OH,过。作于

・・・正六边形ABCDEF和正六边形GHIJKL均以点。为中心，

AOG=OH,OA=OB,ZLGH=AGHI=ZIJK=120°,ZAOB=NGOH=N60。，

：.ZAOG=/BOH=Z60°-/BOG,ZOHI=ZHGO=Z60°,

・•・AAOG咨ABOH,

：.ZAGO=ZBHO,BH=AG,

,・Z,G,a三点共线，

JZAGO=180。—ZHGO=120°,

・•・NAGO=NBHO=120。,

：.ZBHO+ZOHI=180°f

:・B,I,H二点共线，

同理可得C,I,J三点共线，D,K,J三点共线，且C/="=2,

・・・NCJD=60。,

*：CJLDM,

：.ZJMD=ZCMD=9009ZJDM=30°9

**•JM=-DJ=1，DM=JD2—JM2=V22—I2=y/3，

・.・C7=2,Z/=3,

：.CM=CI+IJ-JM=A,

CD7DM?+CM。="=V19)

即正六边形4BC£>EF的边长为JI?,

故选：C.

3.（2024・山西太原•模拟预测）如图，正五边形/BCDE内接于O。，C尸与。。相切于点C,则Z8C尸的度

数为（）

A.120°B.108°C.144°D.162°

【答案】C

【分析】连接oc,OB,OD,首先根据正多边形的性质得到/58=上生幽=108。，然后证明出

5

△08C名AODC(SSS),得到ZOCB=ZOCD=：NBCD=54°,然后切线的性质得到ZOCP=90°,进而求解

即可.

【详解】如图所示，连接OC,OB,OD

•：四边形ABCDE是正五边形

（5-2）x180°

NBCD——』--------=108°

5

•：OB=OD,OC=OC,BC=DC

AOBC%ODC(SSS)

ZOCB=ZOCD=-ZBCD=54°

2

与。。相切于点C,

：.OC1CP

：.ZOCP=90°

NBCP=NBCO+NOCP=54°+90°=144°.

故选：C.

【点睛】此题考查了正多边形和圆，全等三角形的性质和判定，圆切线的性质等知识，解题的关键是正确

作出辅助线.

4.(2024・湖南益阳•模拟预测)如图，正五边形的边长为5,以顶点A为圆心，的长为半径画圆,

则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）

B.7.5兀C.8兀D.10K

【答案】B

【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算.根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角

的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可.

【详解】解：••・五边形/3CDE是正五边形,

.”心（5一2:80。=]08。,

108^-X5215ru

।m——7C—7.57C,

1®3602

故选：B.

5.（2024•福建泉州•模拟预测）如图，等边三角形/8C和正方形。EFG均内接于O。，若EF=2,则5c的

长为（）

C.yjsD.V6

【答案】D

【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质并能准确计算是解题关键.连接OE、

OF、OB、OC,过点。作0〃工BC于点利用所求出圆的半径，再求出N80C和利用30。

直角三角形性质和勾股定理求出28,即可求出8C.

【详解】解：连接。£、OF,OB、OC,过点。作工BC于点石，如图，

A

・・,正方形DEFG内接于OO,

・•・NEO9=360。+4=90。，

•：OE=OF,EF=2,

••OE=OF=5/2,

••OB=OC=5/2,

•:等边三角形4BC内接于OO,

JZBOC=360°^3=120°,

•：OB=OC,OHIBC,

：.BH=CH,£BOH=0cOH=60°,

：.OH=-OB=—,

22

BH=^OB2-OH2=—,

2

BC=2BH=y[6,

故选：D.

6.（2024・广东•模拟预测）《墨子・天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆.”知圆度方，感悟数学

之美.如图，以正方形N5C。的对角线交点为位似中心，作它的位似图形N'B'C'D',若四边形的外

接圆半径为4,AB':AB=2:1,则正方形/BCD的周长为.

【答案】8&

【分析】此题考查了位似图形的性质，正多边形和圆的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知

识点.设位似中心为。，连接CM',OB',首先得到=4,然后利用勾股定理求出

A'B'=ylOA'+OB'=4^/2,然后根据位似图形的性质得到=2收，进而求解即可.

【详解】解：如图所示，设位似中心为。，连接。4',OB'

•.•正方形HB'C'D'的外接圆半径为4,

OA'=OB'=4,ZAOB=90°

/.A'B'=s/OA'+OB'=4也

A'B':AB=2:1,

•*-AB=2>/2

•*-4AB=872.

正方形ABCD的周长为8拒.

故答案为：8^/2.

二与弧长有关的运算

题型二：与弧长有关的运算

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•江苏镇江・中考真题）如图，四边形/BCD为平行四边形，以点A为圆心，NB长为半径

画弧，交8c边于点E,连接NE,AB=1,ZD=60°,则前的长/=（结果保留兀）.

【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定A42E是等边三

角形，得到乙84E=60。.

由平行四边形的性质推出/5=/。=60。，判定△ZBE是等边三角形，得到NH4E=60。，由弧长公式即可求

出彘的长.

【详解】解：•・•四边形45C。是平行四边形，

/./B=/D=60°,

由题意得：AB=AE,

..△ABE是等边三角形，

/./B4E=60。,

AB=1,

,60^x11

，/=------=一%.

1803

故答案为：；万.

【典例2】（2024・吉林长春・中考真题）一块含30。角的直角三角板/3C按如图所示的方式摆放，边AB与

直线/重合，^=12cm.现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C，落在直线/上，则点/经过

的路径长至少为cm.（结果保留"）

【答案】8兀

【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键.

由旋转的性质可得NABCuZ^'BCuGOo叁PN4%=120°,再根据点/经过的路径长至少为以B为圆心,

以为半径的圆弧的长即可解答.

【详解】解：•••将该三角板绕点8顺时针旋转，使点。的对应点C'落在直线/上，

ZABC=ZA'BC=60°,BPZA'BA=120°,

120。.万J2

点A经过的路径长至少为，。一=871.

180

故答案为：8元.

【变式2-1］（2024•江苏宿迁•中考真题）如图，已知正六边形/3CDEb的边长为2,以点£为圆心，所长

为半径作圆，则该圆被正六边形截得的方的长为.

【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形45c。斯是正六边形，根据正

多边内角和等于(〃-2)x180。，求出内角/。跖，再根据弧长公式即可得出答案.

【详解】解：,・•六边形4BCQEb是正六边形,

(6-2)x180°

JZDEF——1-------=120。,

6

4%

~3~

故答案为：？-.

【变式2-2](2024•甘肃兰州•中考真题)“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广

泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中eN的半径分别是

1cm和10cm,当。M顺时针转动3周时，eN上的点尸随之旋转〃。，则〃=.

图1

【答案】108

【分析】本题主要考查了求弧长.先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解.

【详解】解：根据题意得：点尸移动的距离为3x2%xl=6%cm,

.n°x7rxl0

)•—\)7T,

180

解得：n=108.

故答案为：108

【变式2-3](2024•山东济宁・中考真题)如图，V/3C三个顶点的坐标分别是N(1,3),3(3,4),C(1,4).

yA

6--；--；--7--!--!--

~O123456x

（1）将V/5C向下平移2个单位长度得△44G，画出平移后的图形，并直接写出点用的坐标；

⑵将△44G绕点及逆时针旋转90。得A44c2.画出旋转后的图形，并求点q运动到点c2所经过的路径长.

【答案】⑴作图见解析，4（30

⑵作图见解析，兀

【分析】本题考查了作图一平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质，

（1）利用平移的性质作出对应点，再连线即可，

（2）利用旋转的性质分别作出对应点，再连线，。运动到点&所经过的路径长即为弧长即可可求解

【详解】（i）解：吕G如下图所示:

（2）解：如上图所示:

%X4Gx90°TTX2X90°

G运动到点C所经过的路径为:---------------------------------------------------二71

2180180

【变式2-4X2024•辽宁・中考真题）如图是V/3C的外接圆，是OO的直径，点。在布上，就=丽,

£在胡的延长线上，/CEA=NCAD.

cI)

（1）如图1,求证：CE是OO的切线；

（2）如图2,ZCEA=2ZDAB,CM=8,求前的长.

【答案】（1）见详解

（2）2万

【分析】（1）连接C。，贝!JZ1=N2,故/3=/1+/2=2/2,由就=而，得至I」N4=N2,而NNC3=90。,

则/G4D+2/2=90。，由NCE/=NCAD,得NCE4+2/2=90。，因止匕NCE/1+/3=90°,故NECO=90°,

则CE是。。的切线；

90°

（2）连接CO,。。，可得23=2/2=2/4=/CE4,则/3=/CEN=下=45。，故/4=22.5。，由丽=丽,

45X77"X8

得/DOB=2/4=45。,那么丽长为=2万.

lov

【详解】（1）证明：连接co,

♦・,OC=OB,

・•・Z1=Z2,

・•・/3=/l+/2=2/2,

•・,公=前，

：.Z4=Z2,

・・•AB为直径，

：.ZACB=90°,

・・・/C4D+/4+/2=90。，即/C4O+2/2=90。,

ZCEA=/CAD，

：./出+2/2=90。，

・•・ZCEL4+Z3=90°,

/ECO=9。。,

JOC.LCE,

：・CE是OO的切线；

(2)解：连接CO。。，

由（1）得N3=2/2=2/4,

ACEA=2ZDAB,

・•・/CEA=/3,

*：NECO=90。，

90°

・・./3=/CEA=—=45。，

2

・•・Z4=22.5°,

丁丽=丽，

：.ZDOB=2Z4=45°f

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正

确添加辅助线是解决本题的关键.

【中考模拟即学即练】

1.(2024•浙江温州•一模)点4、B、。在。。上的位置如图所示，乙4=70。，的半径为3,则前的长

C.-71D.7兀

2

【答案】B

【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式，先根据圆周角定

理求出N3OC=2x70°=140°,然后根据弧长计算公式进行计算即可.

【详解】解：；乙4=70。，

NBOC=2/4=2x70°=140°,

..―.s,140x3xp7

•.5C的长lx为：-^=尸

故选：B.

JT

2.（2024・湖南•模拟预测）如图,用一个半径为6cm的滑轮将物体G向上拉升,若物体G的上升速度为:cm/s,

上升的时间为4s,假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则图中线段OP在这段时间内扫过的面积（单

位：cm2）是（）

A.2兀B.3兀C.4兀D.64

【答案】C

ITD

【分析】本题考查了弧长公式以及扇形面积公式，先得出物体G的上升距离是mx4=：7!（cm）,再设点尸

63

n2

旋转路径所对的圆心角为〃，歹|式**2/*6=2、;万，解出〃=40。，最后运用扇形面积公式列式计算，

3603

即可作答.

【详解】解：•••物体G的上升速度为?JTcm/s,上升的时间为4s,

6

7TQ

物体G的上升距离是己、4=：兀（（™）,

则在这个时间内，设点P旋转路径所对的圆心角为〃，

..x2/x6=2x—/,

3603

解得〃=40。，

线段OP在这段时间内扫过的面积=警x万x6?=4Mem?）,

2An\）

故选：C.

3.（2024•陕西商洛•模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如

图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中石的长度为？米，裙长/8=0.8米，圆心角

ZAOD=ZBOC=60°,则OB的长为（）

O

图①图②

A.1米B.1.8米C.2米D.2.2米

【答案】B

【分析】本题考查了弧长公式.由题意知，*==g乃，求得。4=1,得到03=1.8米即可.

【详解】解：由题意知，除=叱J"叫,

loO3

解得OA=1,

•.•裙长42为0.8米，

05=1.8米，

故选：B.

4.（2024・四川眉山•二模）7个半径均为『的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬币

的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余6个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移动的路径长为（

【答案】C

【分析】本题主要考查了弧长的计算的应用等知识点，根据题意确定运动路径是由由4个孤1与8个孤2

组成，然后利用弧长公式计算即可得解，熟练掌握弧长的计算是解决此题的关键.

该硬币圆心路径由4个孤1与8个孤2组成,

，由圆半径相等得，AB=AC=BC=方，

.•.V4BC为等边三角形，

，ZABC=ABAC=NCAB=60°,

ZDAC=120°,ZCBE=60°,

.,.弧1的长==：万厂，弧2的长=二^万厂，

4932

二总路径长=一乃rx4+—TZTx8——7TK,

333

故选：C.

5.（2023•内蒙古呼伦贝尔•一模）已知一弧长为加，此弧所对圆心角为120。，则此弧所在圆的半径为—

cm.

【答案】15

【分析】根据弧长公式进行求解即可.此题考查了弧长公式，/=篙Y17TV，其中〃是圆心角度数，『为半径,

180

熟练掌握弧长公式是解题的关键.

【详解】解：设扇形所在圆的半径为rcm,

1120万一

则E=i。％,

解得r=15,

故答案为：15.

6.（2024•浙江温州•三模）在半径为18cm的圆上有一段弧，弧长是12;rcm,则该弧所对的圆周角的度数

为

【答案】60。/60度

【分析】考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义.

ijjrr

根据弧长的计算公式：1=嘿（弧长为/,圆心角度数为“，圆的半径为，,），代入即可求出圆心角的度数.

1oO

【详解】根据弧长的公式/=篙

180

/日却MX18

得到：12万=------

180

解得〃=120。，

故圆周角为60。

故答案为：60°.

7.（2024•山东济南•一模）如图1,我国是世界上最早制造使用水车的国家.如图2是水车舀水灌溉示意图,

水车轮的辐条（圆的半径）0/长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水

斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150。

上升至轮子上方5处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀

水）转动到B处（倒水）所经过的路程是米.（结果保留万）

图1图2

【答案】5万

【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式进行计算，即可解答，熟练掌握弧长公式是解题的关键.

【详解】解：由题意得：叱：*6=5%（米）,

180

...水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是5万米,

故答案为：5万.

8.（2023・四川绵阳•模拟预测）如图，正三角形的高是3厘米，正方形的边长是正三角形的2倍，木块从图

①的位置开始，沿着木桩的边缘滚动，滚动过程如图②，图③所示，木块滚动一周后回到原位置，那么正

三角形正中心的点/经过的路径长度为（%=3）.

【分析】本题考查了弧长的计算、旋转的性质.找出点4轨迹是解题的关键.利用弧长公式，可以解决问

题.

【详解】解：如图,

4和4都是正三角形的中心，

AAfiC=ZA2OD=-X60°=30°,

2

，=120。，四个角上的弧所对圆心角为N&O4=210。，O4=O4=§x3=2,

第1次滚动，点/运动轨迹是以圆心。、圆心角150。，/O为半径的弧44，

第2次滚动，是以圆心。'、圆心角为210。，O4半径的弧44接下来运动类似，

如图中虚线，

.__1/心120^x2210^-2^44

二/点运动的路径长度=4|=—^~44.

I1oil1oOy5

故答案为：44.

9.(22-23九年级上•浙江绍兴•期末)如图，在OO中，CD是直径，弦48LCD,垂足为点E,连接/C,

AD.

(1)求证：NC=NBAD.

⑵若/C=30。，OC=3,求标的长度.

【答案】(1)见解析

(2)2万，见解析

【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理及推论，弧长计算；连接辅助线，从而运用圆周角定理及推论得

到角之间的关系是解题的关键.

(1)连接C8,由垂径定理，得益=丽,由圆周角定理推论知/BCD=N4CD,ZBCD=ABAD,所以

ZACD=ABAD.

（2）如图，连接ON,OB,由圆周角定理可推出乙4。8=2//。8=120。，根据弧长公式计算求解.

【详解】（1）证明：连接C5,

D

是直径，弦48LCD,

,,AD=BD•

・・・/BCD=ZACD.

又：/BCD=/BAD.

：.ZACD=/BAD；

(2)解：如图，连接CM,OB,则//O8=2乙4c5,

D

;AD=BD，

：.ZACD=/BCD,

・・・AACB=2ZACD=60°,

：.ZAOB=nO°

•••蕊的长度1=20燃4=2彳3兀=2万.

1oilJ

题型三：与扇形面积有关的计算

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•广东深圳・中考真题）如图，在矩形45CD中，BC=42AB,。为3c中点，OE=4B=4,

则扇形E。尸的面积为.

【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得=0,NCOb=45。，

得到NEOF=90°,再利用扇形的面积公式即可求解.

【详解】解：=48=4,

BC=4五,

为8c中点,

：.OB=OC=-BC=2y/2f

2

OE=4,

在RMO5E中，cosZBOE=—2也收

OE42

NBOE=45°,

同理/COF=45°,

40尸=180°—45°—45°=90°,

QOTT-42

・・・扇形EOF的面积为-=4%,

360

故答案为：47.

【典例2X2024•山东青岛・中考真题）如图，4B,C,。是。O上的点，半径3=3,蕊=CD，/DBC=25。,

连接4D，则扇形的面积为（）

555

A.-71B.-71C.一兀D.—71

48212

【答案】A

【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接。C、OD,由圆周角定理可得/COD=2/D8C=50。,

进而得乙403=/COD=50。，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计

算公式是解题的关键.

【详解】解:连接OC、OD,则ZCOD=2NDBC=50°,

50XJIX32

故选：A.

【变式3-1]（2024•山东东营•中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂.东

营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图，CM=20cm,

05=5cm,纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角44。。=120。.现需在扇面一侧绘

制山水画，则山水画所在纸面的面积为（）cn?.

B.75兀C.12571D.150TI

【答案】C

【分析】将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题.本题主要考查了扇形面

积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键.

【详解】解：由题知，

c120-^--202400（2\

$扇形。"=——=—^cm-）

所以山水画所在纸面的面积为：寸Z-3万=125万（cm）.

故选：C.

【变式3-2］（2024•河南・中考真题）如图，。。是边长为4G的等边三角形Z5C的外接圆，点。是数的

中点，连接3D,CD.以点。为圆心，5。的长为半径在0。内画弧，则阴影部分的面积为（）

A

D

A.—B.47tC.”艺D.16K

33

【答案】C

【分析】过。作于E,利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出NBDC=120。，利用弧、

弦的关系证明AD=CD,利用三线合一性质求出8E=,BC=26，ZBDE=-NBDC=60。，在RtABDE中,

22

利用正弦定义求出BD,最后利用扇形面积公式求解即可.

【详解】解：过D作。于E,

A

D

VOO是边长为4G的等边三角形4BC的外接圆,

50=473'N4=60°,Z8DC+Z4=180°，

NBDC=120°,

:点。是病的中点，

二防=①，

BD=CD,

：.BE=-BC=1^,ZBDE=-ABDC=6Q°,

22

2A/3

・・・BD=———二=4,

sinZBDEsin60°

.01207r4167r

影一F

3

故选：C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直

角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键.

【变式3-3］（2024・河北・中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴.如

图，某折扇张开的角度为120。时，扇面面积为S、该折扇张开的角度为〃。时，扇面面积为色，若机=寸

3

则加与“关系的图象大致是（）

【分析】本题考查正比例函数的应用,扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为R,根据扇形的面积公式表示

rmR”率即可得出结论.掌握扇形的面积公式是解题的关

出成2=35,进一步得出邑=—,再代入机=

360120

键.

【详解】解：设该扇面所在圆的半径为尺,

。120位?22

S=---=-n-R

3603

/.兀&=3S,

•.•该折扇张开的角度为〃。时，扇面面积为

.rmR2nnnS

••S=-------=-----xnR2=-----x3S=------,

360360360120

nS

Sionn1

m=—n=-L型=---=----n

SS120120

加是〃的正比例函数,

,/M>0,

.••它的图像是过原点的一条射线.

故选：C.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•云南•模拟预测）已知扇形的弧长为4»cm,面积为24〃cm2,则此扇形的圆心角为度.

【答案】60

【分析】本题考查求扇形的圆心角，根据扇形的面积公式进行求解即可.

【详解】解：设扇形的半径为厂，圆心角的度数为〃。，

由题意，得：—x4^r=247T,

2

Ar=12,

〃=60；

故答案为：60.

2.（2024・北京•三模）已知一个扇形的面积是12兀，弧长是2无，则这个扇形的半径为.

【答案】12

【分析】本题考查扇形面积公式S=（》,根据扇形面积公式直接代入求解即可得到答案.

【详解】解：•••一个扇形的面积是12兀，弧长是2万，

127r=-x27ir,

2

解得：r二12,

故答案为：12.

3.（2024•黑龙江大庆•中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作

等边三角形/5C；分别以点A,B,。为圆心，以48的长为半径作前，AC，AB.三段弧所围成的图形

就是一个曲边三角形.若该“莱洛三角形”的周长为3兀，则它的面积是.

2

【分析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，如果

周长为3兀,则其中的一段弧