2025年中考数学一轮复习：特殊三角形（含勾股定理）（4大模块知识梳理+11个考点+5个重难点+3个易错点）（原卷版）

专题09特殊三角形（含勾股定理）

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘.基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理）

知识模块一：等腰三角形

知识模块二：等边三角形

知识模块三：直角三角形

知识模块四：勾股定理

03究•考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大考点）

考点一：分类讨论思想在特殊三角形中的应用

考点二：利用特殊三角形的性质求解

考点三：特殊三角形的判定

考点四：特殊三角形性质与判定综合

考点五：与特殊三角形性质有关的折叠问题

考点六：与特殊三角形性质有关的多结论问题

考点七：与特殊三角形性质有关的规律探究问题

考点八：利用勾股定理及其逆定理求解

考点九：利用勾股定理及其逆定理与网格问题

考点十：用勾股定理逆定理解决实际生活问题

考点十一：特殊三角形与函数综合

04破■重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点）

重难点一：手拉手模型

重难点二：赵爽弦图

重难点三：利用等面积法探究线段关系（维维尼亚模型）

重难点四：求最短路径问题

重难点五：勾股树模型

05辨•易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（5大易错点）

易错点一：等腰三角形腰上的高，中线误用三线合一定理

易错点二：机械的运用勾股定理逆定理求解

易错点三：等腰三角形中未利用分类讨论思想求解

思维学松

等边对等角

等腰三角形J

判定等角对等边

三个角相等都等于60°

等边三角形三个角相等

一般三角形|----Z----------

-------------Jj三条边相等

判定

知识梳理

等腰三角形有一个角60°

两锐角互余

斜边的中皤于斜边的一半

30°角所对的边等于斜边的一半

两直角边的平方和等于斜边的平方

直角三角形

Y角是直角

两个内角互余

判定三角形

一边上的中线等于这条边的一半

特殊三角形（含勾股定理）a2+b2=c2

未利用分类讨论思想解决等腰三角形的相关问题

等腰三角形混淆等腰三角形的性质与判定

等腰三角形的三线合一是有条件的，等边三角形的三线合件的

正整数a,b,c

勾股数定义

满足a2+b2=c2

直角三角形

学法误区a2+b2-c2

逆定理内容三角形是直角三角形

要明确该三角形是直角三角形

运用直角三角形性质【--------------

明确斜边和直角边

S^ABC=^ab=^ch

解题技巧

，/a+b-c

内切圆半径：—

外接圆半径：4=品斜边上的中线

.......盒基础如常

知识模块一：等腰三角形

知识点一：等腰三角形的定义

定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的

角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

知识点二：等腰三角形的性质

等腰三角形性质：

1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴，

①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴，

②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴.

2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角“）.

3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.

【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线.

知识点三：等腰三角形的判定

等腰三角形的判定：

1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形；

2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边“）.

【总结】证明两个角相等的方法：

1）如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明.

2）如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决.

【易错易混】

1）底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形.（即顶

角36°,底角72°）.

2）等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等

关系的重要依据.

3）等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分，若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶

角还是底角，需要分类讨论.

知识模块二：等边三角形

知识点一：等边三角形的定义

定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形.

知识点二：等边三角形的性质

1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；

2）等边三角形的三条边相等；

3）二个内角都相等，并且每个内角都是60°.

知识点三：等边三角形的判定

等边三角形的判定：

1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形；

2）三个角都相等的三角形是等边三角形.

3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

【补充】

1）等边三角形具有等腰三角形的一切性质.

2）等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合.

3）在等腰三角形中，只要有一个角是60°,无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形.

4）等边三角形面积的求解方法：S正三角形二，边长2

4

知识模块三：直角三角形

知识点一：直角三角形的定义

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

知识点二：直角三角形的性质

性质直角三角形两个锐角互直角三角形斜边上的中线等于斜边在直角三角形中，30°角所对的

余.的一半.直角边等于斜边的一半.

知识点二：直角三角形的判定

判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.

2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a?+b2=c2,那么这个三角形是直角三角

形.

知识模块四：勾股定理

知识点一：勾股定理的内容

文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么口2+块=。2.

变式：a2=c2—广，fo2=c2—a2,

c=Va2+b2,a=Vc2—b2,b=Vc2—b2.

【易错点】

1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定

理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；

2)如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解

时必须进行分类讨论，以免漏解.

3)应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+》2=。2时，斜边只能是c.若b为斜边，则关

系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是炉+0?=a?.

知识点二：勾股定理的证明

方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以Q—a)为边长的小正方形和一个以c为边长

的大正方形.即4SA+S正方形EFGH=S正方形ABCD，所以4X之ab+(b-a)?=c?,化简可证.

方法二(图二)：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4x|ab+c2=2ab+c2

大正方形面积为S=(a+b)2=a2+2ab+b2,所以a?+b2=c2

方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.

S梯形=“a+b).(a+b),S梯形=2S&ADE+SAABE=2X}ab+卜2,化简得证a?+b2=c2

知识点三：勾股数

勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系a?+炉=c2的3个正整数a,

b,c称为勾股数.

勾股数需要满足的两个条件：1)这三个数均是正整数；

2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.

常见的勾股数：1)3,4,5；2)6,8,10；3)5,12,13等.

知识点四：勾股定理逆定理

内容：如果三角形三边长a,b,c满足02+》2=。2,那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.

【补充说明】

1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法；

2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平

方和口2+炉与较长边的平方c2作比较，①若小+62=02时，以a,b,c为三边的三角形是直角三角形；

②若。2+62<。2时，以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形；

③若a2+b2>c2时，以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形

君点君法

考点一：分类讨论思想在特殊三角形中的应用

1.（2024•江苏镇江.中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为.

2.（2024.四川雅安・中考真题）如图，在AABC和△2DE中，AB=AC,ABAC=Z.DAE=40°,将AADE绕

点A顺时针旋转一定角度，当4D1BC时，NB4E的度数是.

3.（2011・山东济南・中考真题）已知一个直角三角形的两边长分别为6和8,则第三边的长是

考点二：利用特殊三角形的性质求解

1.（2024•甘肃临夏・中考真题）如图，等腰A48C中，AB^AC=2,Z.BAC=120°,将AABC沿其底边中

线力D向下平移，使4的对应点4满足力A=（4。，则平移前后两三角形重叠部分的面积是.

2.（2024甘肃兰州・中考真题）如图，四边形48（7£）为正方形,44£^为等边三角形,£1尸148于点R若2D=4,

则EF=

3.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，A/IBC内接于。。，力。是直径，若NB=25。，贝此C4D

考点三：特殊三角形的判定

1.（2024・四川自贡・中考真题）如图，在△ABC中，DEWBC,乙EDF=KC.

⑴求证：Z.BDF=ZX；

（2）若乙4=45。，平分N8DE,请直接写出△4BC的形状.

2.（2023・广东广州•中考真题）如图，在正方形力BCD中，E是边4。上一动点（不与点A,。重合）.边BC关

于BE对称的线段为BF,连接力F.

（1）若乙4BE=15。，求证：AABF是等边三角形;

（2）延长凡4,交射线BE于点G；

①ABGF能否为等腰三角形？如果能，求此时N4BE的度数；如果不能，请说明理由；

②若AB=V3+V6,求4BGF面积的最大值，并求此时2E的长.

3.（2024・广东潮州.一模）如图所示，△48c和AOEF都是等腰直角三角形，^ACB=4DFE=90。，。是4B的

中点，CF1FG,EG=V2.

（1）求证:/-CDF=45°；

（2）求AB的长.

考点四：特殊三角形性质与判定综合

1.（2024•山东东营・中考真题）在Rt△力BC中，ZXCB=90°,AC=1,BC=3.

⑴问题发现

如图1,将4C4B绕点C按逆时针方向旋转90。得到△CDE,连接ZD,BE,线段力。与BE的数量关系是

AD与BE的位置关系是；

⑵类比探究

将AOIB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到ACDE,连接2D,BE,线段力。与BE的数量关系、位置关系

与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点、N,请结合图2说明理由;

（3）迁移应用

如图3,将△C4B绕点C旋转一定角度得到△CDE,当点。落到边上时，连接8E,求线段BE的长.

2.（2024•江苏常州•中考真题）将边长均为6cm的等边三角形纸片4BC、DEF叠放在一起，使点E、B分别

在边力C、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G,边BC、DE相交于点"

(2)如图2,若EFIIBC,求两张纸片重叠部分的面积的最大值；

(3)如图3,当FB>BD时，4E与FB有怎样的数量关系？试说明理由.

3.(2024.山东泰安.中考真题)如图1,在等腰RtAABC中，Z71BC=90。，AB=CB,点、D,E分别在

CB上，DB=EB,连接力E,CD,取4E中点尸，连接BF.

(1)求证：CD=2BF,CD1BF；

(2)将4OBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.

①请直接写出与CD的位置关系：

②求证：CD=2BF.

考点五：与特殊三角形性质有关的折叠问题

1.(2024・湖北•中考真题)在矩形力BCD中，点E,尸分别在边AD,BC上，将矩形4BCD沿EF折叠，使点A

的对应点尸落在边CD上，点2的对应点为点G,PG交BC于点、H.

图1图2图3

⑴如图1,求证：4DEP“4CPH；

(2)如图2,当尸为CD的中点，AB=2,力。=3时，求GH的长；

(3)如图3,连接BG,当尸，X分别为CD,BC的中点时，探究8G与4B的数量关系，并说明理由.

2.(2021•吉林・中考真题)如图①，在RtAABC中，^ACB=90°,乙4=60。，CD是斜边48上的中线，点E为

射线BC上一点，将ABDE沿OE折叠，点B的对应点为点F.

图①图②

(1)若AB=a.直接写出CD的长(用含a的代数式表示)；

(2)若DF1BC,垂足为G,点尸与点。在直线CE的异侧，连接CF,如图②，判断四边形ADFC的形状，并

说明理由；

(3)若DF14B,直接写出NBDE的度数.

3.(2024•河北张家口•模拟预测)如图，将等腰直角三角形纸片4BC对折，折痕为CD.展平后，再将点B折

叠在边2C上(不与4C重合)，折痕为EF,点B在2C上的对应点为M,设CD与EM交于点P,连接PF.已

知BC=4.

(1)若“为AC的中点，求CF的长;

（2）随着点M在边ac上取不同的位置，

①APFM的形状是否发生变化？请说明理由;

②求△PFM的周长的取值范围.

考点六：与特殊三角形性质有关的多结论问题

1.（2023・湖北・中考真题）如图，△BZCGDEB和△?!£1/都是等腰直角三角形，NB4C=乙DEB=^AEF=90°,

点E在AABC内，BE>AE,连接DF交4E于点G,DE交2B于点H,连接CF.给出下面四个结论：®^DBA=

乙EBC；②乙BHE=LEGF；@AB=DF；@AD=CF.其中所有正确结论的序号是.

BC

2.（2024・山东济南.中考真题）如图1,ATIBC是等边三角形，点。在边4B上，BD=2,动点P以每秒1个

单位长度的速度从点B出发，沿折线BC-C4匀速运动，到达点力后停止，连接DP.设点P的运动时间为t（s）,

DP?为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论：

①4B=3；②当t=5时，y=l；③当4WtW6时，lWyW3；④动点P沿BC-C4匀速运动时，两个时

刻匕，t2（G<功）分别对应力和、2,若匕+£2=6,则%>%•其中正确结论的序号是（）

A.①②③B.①②C.③④D.①②④

3.（2024•山东泰安・中考真题）如图，中，ZXBC=90°,分别以顶点A,C为圆心，大于12C的长

为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N,作直线MN分别与BC,2C交于点E和点F；以点A为圆心，任意

长为半径画弧，分别交力B,4C于点H和点G,再分别以点H,点G为圆心，大于|HG的长为半径画弧，两弧

交于点P,作射线2P,若射线力P恰好经过点E,则下列四个结论：@ZC=30°；②4P垂直平分线段BF；

③CE=2BE；®SLBEF=\SLABC.其中，正确结论的个数有（）

6

C.3个D.4个

考点七：与特殊三角形性质有关的规律探究问题

1.（2024.山东东营・中考真题）如图,在平面直角坐标系中，已知直线I的表达式为y=x，点4的坐标为（VXO）,

以。为圆心，。&为半径画弧，交直线1于点2,过点当作直线1的垂线交x轴于点出；以。为圆心，。4为半

径画弧，交直线/于点过点当作直线/的垂线交x轴于点①；以。为圆心，。&为半径画弧，交直线/于点4,

过点当作直线I的垂线交X轴于点力炉……按照这样的规律进行下去，点4024的横坐标是.

2.（2024.山东济南.二模）如图，在平面直角坐标系中，将等边A04B绕点4旋转180。得到△。〃当，再将

△34B1绕点01旋转180。得到△。1人殳，再将△。14殳绕点4旋转180。得到△da%,按此规律进行下去，

若点8的坐标为（-2,0）,则点殳024的坐标为.

3.（2024•河南商丘.三模）如图，在平面直角坐标系中，点。，01，A,A，B,B»C,Q,……都是平行

四边形的顶点，点力，B,C,在x轴的正半轴上，乙4。。1=30。，OA=V3,AB=2V3,BC=3<3,。。］=

2,a4=4,8当=6,…，平行四边形按此规律依次排列，则第8个平行四边形对称中心的坐标是（）

A.(36百,4)B.(36,4V3)C.(36,4)D.(4,36)

考点八：利用勾股定理及其逆定理求解

1.（2024.西藏・中考真题）如图，在RtAABC中，ZC=90°,以点8为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC,

B力于点。，E,再分别以点。，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在N4BC的内部相交于点P,作

射线BP交AC于点F.已知CF=3,AF=5,贝的长为.

2.（2024•山东淄博.中考真题）如图，在边长为10的菱形48CD中，对角线2C,B。相交与点0,点E在BC延

长线上，OE与CD相交与点F.若〃CD=2NOEC,则菱形4BCD的面积为________.

FE6

3.（2024.江苏南通・中考真题）如图，△力8c中，AB=3,AC=4,BC=5,。2与8c相切于点Z）.

（1）求图中阴影部分的面积；

（2）设。4上有一动点P,连接CP,BP.当CP的长最大时，求BP的长.

考点九：利用勾股定理及其逆定理与网格问题

1.(2024・安徽・中考真题)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系％Oy,

格点(网格线的交点)A、B,C、D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).

(1)以点。为旋转中心，将AZBC旋转180。得到AAiBiCi，画出△儿当心；

(2)直接写出以3,G，C为顶点的四边形的面积；

(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线4E平分NB4C,写出点E的坐标.

2.(2024.天津•中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点4F,G均在格点上.

(2)点E在水平网格线上，过点力，E,F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与力E,4F的延长

线相交于点B,C,△力BC中，点M在边BC上，点N在边力B上，点P在边AC上.请用无刻度的直尺，在如图

所示的网格中，画出点M,N,P,使△MNP的周长最短，并简要说明点M,N,P的位置是如何找到的(不

要求证明).

3.(2024・广东.模拟预测)如图，在6x7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,四边形2BCD的顶

点均在网格的格点上.

⑴求sin。的值.

（2）操作与计算：用尺规作图法过点C作CE14D,垂足为E,并直接写出CE的长.（保留作图痕迹，不要

求写出作法）

考点十：用勾股定理逆定理解决实际生活问题

1.（2024・四川成都・中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知2（3,0）,8（0,2）,过点B作y轴的垂线

I,P为直线I上一动点，连接PO,PA,则P0+P4的最小值为.

2.（2023•江苏宿迁•模拟预测）如图，A,B两地被大山阻隔，C地在A地的北偏东60。的方向上，在2地西

北方向上，且A,C两地间距离为20km,若要从A地到B地，现只能沿着的公路先从A地到的C地，再由

C地到2地.计划开凿隧道，使A,B两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路

程将缩短多少？（结果精确到0.1km,参考数据a=1.414,V3«1,732）

3.（2023•海南海口•模拟预测）深秋已至，稻客张师傅在一块四边形（如图）的田地里收割稻谷.已知四

边形4BCD中，NC=90°,BC=15m,CD=20m,48=24m,AD=7m,若张师傅的收割价格为0.65元/m2,

请你计算这块田地张师傅应该收费多少元？

B\

考点十一：特殊三角形与函数综合

1.(2023・四川成都・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a/+c经过点尸(4,-3),

与y轴交于点4(0,1),直线y=kx(k大0)与抛物线交于2,C两点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若△力BP是以48为腰的等腰三角形，求点B的坐标；

(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线于点D,交直线AC于点E.试探究：是否存在常数m,使得OD1OE

始终成立？若存在，求出机的值；若不存在，请说明理由.

2.(2024•黑龙江牡丹江.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y=%+b与无轴的正半轴交于点A,

与y轴的负半轴交于点。，点2在x轴的正半轴匕四边形4BCD是平行四边形，线段。4的长是一元二次方

程/一4%-12=0的一个根.请解答下列问题：

(1)求点D的坐标；

(2)若线段BC的垂直平分线交直线4。于点E,交x轴于点尸，交BC于点G,点E在第一象限，AE=3V2,

连接BE,求tan/ABE的值；

(3)在(2)的条件下，点M在直线DE上，在x轴上是否存在点N,使以E、M、N为顶点的三角形是直角边

比为1：2的直角三角形？若存在，请直接写出AEMN的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理

由.

3.(2023・四川绵阳•中考真题)如图，过原点。的直线与反比例函数为=5(kKO)的图象交于2(1,2),B

两点，一次函数%=6久+。(机40)的图象过点人与反比例函数交于另一点C(2,n).

(1)求反比例函数的解析式；当月＞%时，根据图象直接写出尤的取值范围；

(2)在y轴上是否存在点M,使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

4.(2024・四川成都.二模)如图1,在平面直角坐标系“Oy中，直线y=—£与反比例函数y=§的图象

交于2,8两点，其中点4的坐标为(a,6).

(1)求反比例函数的解析式;

(2)如图2,连接4。，BO,求AAOB的面积;

(3)作直线AM,BN分别垂直于x轴和y轴，垂足为M,N,4M与BN交于点C,在第一象限内存在一点D使得

乙BDC=90。,连接4),若点P是力。的中点，连接CP,当CP最大时，求出此时点。的坐标及CP的值.

€点嫩点

重难点一：手拉手模型

1.(2022・青海・中考真题)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶

点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

(1)问题发现：

如图1,若△ABC和AADE是顶角相等的等腰三角形，BC,DE分别是底边.求证：BD=CE；

(2)解决问题：如图2,若AACB和ADCE均为等腰直角三角形，NACB=ADCE=90。，点A,D,E在同一

条直线上，CM为ADCE中DE边上的高，连接BE,请判断乙4即的度数及线段CM,AE,BE之间的数量

关系并说明理由.

图2

2.(2024・辽宁大连•一模)【模型定义】

它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.他

们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手,

两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手.

【模型探究】

(1)如图1,若AACB和ADCE均为等边三角形，点力、D、E在同一条直线上，连接BE,则N&E8的度数为」

线段BE与a。之间的数量关系是一

【模型应用】

(2)如图2,AB=BC,N4BC=N8DC=60。，求证：AD+CD=BD；

(3)如图3,P为等边A4BC内一点，且P4：PB：PC=3：4：5,以BP为边构造等边ABPM,这样就有两

个等边三角形共顶点B,然后连接CM,求N4PB的度数是一.

【拓展提高】

(4)如图4,在△ABC中，AB=AC,^BAC=m°,点E为△ABC外一点，点。为BC中点，乙EBC=LACF,

ED求NR4F的度数.(用含有机的式子表示)

(5)如图5,两个等腰直角三角形△ABC和AADE中，AB=AC,AE=AD,^.BAC=/.DAE=90°,连接8。，

CE,两线交于点P,请证明BD和CE的数量关系和位置关系.

重难点二：赵爽弦图

1.(2024・湖北武汉•中考真题)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是

由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形4BCD.直线MP交正方形4BC。的两

边于点E,F,记正方形ABCD的面积为S],正方形MNPQ的面积为52.若BE=kAE(k>1),则用含k的式

子表示兽的值是.

A

E

R

2.(2020・湖北孝感・中考真题)如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这

个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得

到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2,大正方形的边长为小，小正方形的边长为

若S】=S2,则争勺值为.

图1图2

3.（2024・河北•模拟预测）如图1,嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方形4BCD

的面积为25,小正方形EFGH的面积为1.

图I

（1）如图2,连接。G,CF,BE,2"得到一个风车图案（阴影部分），则风车图案的周长为

（2）如图3,连接4C,交BG于点P,交。E于点M,则SAAFP-SACGP=.

重难点三：利用等面积法探究线段关系（维维尼亚模型）

1.（2023•湖南永州•二模）如图，在等腰三角形力BC中，AB=AC,点P是底边BC上任意一点（不与B、C重

合），过C作CD14B于。，为AB边上的高过点「作「用_L4B,PN1AC,垂足为M、N,由等面积法可知

S^ABC^S^APB+S^APC,即=1A8-PM+/C-PN,从而可得：CD=PM+PN.即：等腰三角

形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高.

⑴如图1,在矩形4BCD中，AB=3,AD=4,P是4。上不与4和。重合的一个动点，过点P分别作4C、BO的

垂线，垂足分别为E、F.求PE+PF的值；

⑵如图2,在矩形ABCD中，点M、N分别在边4D、8c上，将矩形48CD沿直线MN折叠，使点。恰好与点B重

合，点C落在点C，处.点P为线段MN上一动点（不与点M,N重合），过点P分别作直线8M、BC的垂线，垂足

分别为E、F,以PE、PF为邻边作平行四边形PEGF,若DM=13,CN=5,求平行四边形PEGF的周长；

（3）如图3,当点P是等边AABC外一点时，过点P分别作直线的垂线，垂足分别为点心、若

PHr-PH2+PH3=3,直接写出△ABC的面积.

2.（2023・广西贵港•模拟预测）阅读理解学习

如图1,在△力BC中，AB=AC,BD是AABC的高，P是BC边上一点，PM,PN分另1J与直线AB,4C垂直，

垂足分别为M,N,求证：B。=PM+PN.小刚发现：连接2P,有S-BC=S-BP+SA4CP，^AC-BD=

^AB-PM+^AC-P