2025年中考数学一轮复习：多边形与平行四边形（2大模块知识梳理+10个考点+2个重难点+1个易错点）解析版

专题12多边形与平行四边形

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘.基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）

知识模块一：多边形

知识模块二：平行四边形

03究•考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点）

考点一：多边形内角和问题

考点二：多边形外角和问题

考点三：多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合应用

考点四：利用平行四边形的性质求解

考点五：利用平行四边形的性质证明

考点六：证明四边形是平行四边形

考点七：利用平行四边形的性质与判定求解或证明

考点八：平行四边形性质和判定的应用

考点九：已知中点，取另一条线段的中点构造中位线

考点十：补全图形利用中位线定理求解

04破，重点难点：突破重难点，冲刺高分。（2大重难点）

重难点一：平行四边形与函数综合

重难点二：与平行四边形有关的新定义问题

05辨•易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（1大易错点）

易错点1：未掌握求多边形边数的方法

耀思缭3励

公式(n-2)x180°

内角和・[n:多边形边数]

知识梳理推理（n-2）个三角形

外角和等于360°与多边形边数无关

多边形

n（n-3）

n边形对角线条数二~

学法指导

多边形问题思路转化为三角形或四边形问题

多

边对边的且相等

边

对角相等

形平行四边形中角

邻角互补

与

对角线互相平分

平

距离处处相等

行两条平行^之间

四任意两条平行线段相等

知识梳理

边两组对边分别平行

形边两组对边分别相等

一组对边平行且相等是平行四边形

判定四边形

角两组对角分别相等

平行四边形对角线互相平分

证明联系全等三角形知识

公式法底X高

面积算法一

性质的应用转化法向三角形面积转化

求角和边的大小

直接用于计算

知识巧对角线范围的确定

探索平行四边形成立的条件

角考虑两组对角分别相等（或边平行）

判定应用

对角线考虑对角线互相平分

已知两组对边分别平行

边考虑

或一组对边平行且相等

三角形中位线考虑构造平行四边形

知识模块一：多边形

知识点一：多边形的相关概念

多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

多边形的相关概念：

多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.

多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.

多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.

多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角.

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

【补充】

1）多边形的边数、顶点数及角的个数相等；

2）把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线；

3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了

（n-2）个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有八——条对角线.

n

正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

【补充】1）正n边形有n条对称轴.

2）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，

对称中心是多边形的中心.

知识点二：多边形的内角和定理与外角和定理

多边形内角和定理：n边形的内角和为（九-2）xl80°（〃》3）.

多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°,与边数的多少没有关系.

易错易混

多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误：

①n边形内角和=（n—2）X180°（n,3）.

②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线

计算了两次，因此n边形共有丝沿条对角线.

③n边形的边数=（内角和+180°）+2.

④n边形的外角和是360°.

⑤n边形的外角和加内角和=nX180°.

⑥在n边形内任取一点0,连接0与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点

0,连接0点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形；连接n边形的任一顶点

A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形.

知识模块二：平行四边形

知识点一：平行四边形的性质

性质符号语言图示

•・•四边形ABCD是平行四边形

边平行四边形两组对边平行且相2

・•・AB=CD,AD=BC,AB//CD,AD//BC

•・,四边形ABCD是平行四边形

角平行四边形对角相等A_________D

AZBAD=ZBCD,NABC=NADC*

•.•四边形ABCD是平行四边形

对角线平行四边形的对角线互相平分

BC

OA=OC=-AC,BO=DO=-BD

22

知识点二：平行四边形的判定

判定符号语言（同上图）

定义一组对边分别平行的四边形是平行四边形AB/7CD,AD〃BC四边形ABCD是平行四边形

两组对边分别相等的四边形是平行四边形VAB=CD,AD=BC.•.四边形ABCD是平行四边形

边

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形VAB=CD,AB〃CD.•.四边形ABCD是平行四边形

角两组对角分别相等的四边形是平行四边形,/ZBAD=ZBCD,ZABC=ZADC.\四边形ABCD是平行四边形

对角线对角线互相平分的四边形是平行四边形VOA=OC,BO=DO.\四边形ABCD是平行四边形

【解题技巧】

一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：

1）己知一组对边平行，首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等;

2）己知一组对边相等，首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行;

3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分；

4）己知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等.

知识点三：平行线间的距离

定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离

性质：1）两条平行线间的距离处处相等.

2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.

费考点老法

考点一：多边形内角和问题

1.（2024•山东青岛•中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形4BCDE和正方

形CDFG中，CF,DG的延长线分别交4E,48于点M,N,则NFME的度数是（）

A.90°B.99°C.108°D.135°

【答案】B

【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键.

根据正五边形的内角的计算方法求出NCDE、NE,根据正方形的性质分别求出NCDF、乙CFD,根据四边形

内角和等于360。计算即可.

【详解】解：••・五边形ABCDE是正五边形，

:.乙CDE=NE=（5-2）；180。=]08。，

••・四边形CDFG为正方形，

:.乙CDF=90°,乙CFD=45°,

:ZFDE=108°-90°=18°,^DFM=180°-45°=135°,

:/FME=360°-18°-135°-108°=99°,

故选：B.

2.（2024・四川广元•中考真题）点尸是正五边形ABCDE边OE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G,

则乙BGC的度数为

A

【分析】连接2。，BE,根据正多边形的性质可证AABE三△CBD(SAS),得到BE=8。，进而得到BG是DE

的垂直平分线，即ADFG=90。，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到NFDG=72。,

再根据三角形的内角和定理即可解答.

【详解】解：连接BD,BE,

-9-AB=BC=CD=AE,乙4=Z-C

.*.△ABE=△CBD(SAS),

•••BE=BD,

・••点/是DE的中点，

・・.BG是DE的垂直平分线，

:/DFG=90°,

・•,在正五边形4BCDE中，乙CDE=仃㈤：。。=10go)

；/FDG=180°-乙CDE=72°,

；ZG=180°-4DFG-4FDG=180°-90°-72°=18°.

故答案为：18。

【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角

和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键.

3.(2024・山东威海・中考真题)如图，在正六边形ABCDEF中，AHIIFG,BI1AH,垂足为点I.若NEFG=20°,

贝SB/=.

FE

G

BC

【答案】50750®

【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内角

为120。，即NE凡4=N凡48=120。，则可求得NG凡4的度数，根据平行线的性质可求得2凡4"的度数，进而

可求出乙从48的度数，再根据二角形内角和定理即可求出NZ引的度数.

【详解】解：•.•正六边形的内角和=(6-2)X180=720°,

每个内角为：720。+6=120。，

・•.AEFA=乙FAB=120°,

•・•Z.EFG=20°,

・•・闻明=120。-20。=100。，

•••AHWFG,

Z.FAH+Z.GFA=180°,

Z.FAH=180°-/.GFA=180°-100°=80°,

・•・乙HAB=乙FAB一乙FAH=120°-80°=40°,

•・•BI1AH,

・•・乙BIA=90°,

・•・乙48/=90。-40。=50。.

故答案为：50°.

考点二：多边形外角和问题

1.(2024•江苏徐州•中考真题)正十二边形的每一个外角等于度.

【答案】30

【分析】主要考查了多边形的外角和定理.根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到

每一个外角的度数.

【详解】解：••・多边形的外角和为360度，

・••正十二边形的每个外角度数为：360°+12=30°.

故答案为：30.

2.（2024・四川遂宁.中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080。的正多

边形图案，这个正多边形的每个外角为（）

A.36°B.40°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为71,先根据内角和求出正多边形的边数，再

用外角和360。除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键.

【详解】解：设这个正多边形的边数为n,

则5-2）X180°=1080°,

.••H=8,

・•.这个正多边形的每个外角为360。+8=45°,

故选：C.

3.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）如图，是正九边形纸片的一部分，其中Z,机是正n边形两条边的一部分，

若1,小所在的直线相交形成的锐角为60。，则n的值是（）

/

A.5B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数,再用外角和360。除以外角度数即可求解,

掌握正多边形的性质是解题的关键.

【详解】解：如图，直线hm相交于点A,则NA=60。，

・••正多边形的每个内角相等，

•••正多边形的每个外角也相等，

«„1800-60°

.-.Z1=42=----------=60°,

2

故选：B.

m

考点三：多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合应用

1.（2023•山东枣庄•中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若41=44。,

则N2的度数为（）

A.14°B.16°C.24°D.26°

【答案】B

【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到44=60。,42+45=120。，平行线的性

质，得到乙3=41=44。，三角形的外角的性质，得到45=N3+44=104。，进而求出N2的度数.

【详解】解：如图：

Z3AXA1/

・•,正六边形的一个外角的度数为：殍=60。，

6

・•.正六边形的一个内角的度数为：180°-60°=120°,

即：N4=60。,42+45=120°,

・••一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，Z1=44°,

.•23=Z1=44°,

.•,z5=43+44=104°,

3=120°-z5=16°；

故选B.

【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质.熟练掌握多边形的外角和是360。，

是解题的关键.

2.(2024•江苏盐城•二模)问题情境：

在综合实践课上，吴老师和鹿鸣学堂“数理时空”社团的同学们一起研究了对角相等的六边形，发现：如图1,

在八边形414243444546中，二N/lq，442==4人6，则有414245，4243"4546，4344，

请结合图1,证明：^2||714>15.

问题探究：

小铭和小红对图1的六边形力44人6进行了特殊化，发现了以下两个结论：

结论1：如图2,若44=414,则有：

A1A2=A4AS,A2A3=A5A6.

结论2：如图3,若对角线①心、445、交于点。，则对角线44平分六边形414243a的面积，

请证明小铭和小红发现的两个结论.

【答案】见解析

【分析】问题情境:如图1,连接根据四边形的内角和，六边形的内角和证明/4①4=乙的①①，

进而可以解决问题；

问题探究:结论1：如图2,连接&&，4446,得百34/6&为平行四边形，然后证明△41443三454(AAS),

得冬上=4445,4243=为上；

结论2：连接①①，444交于点。，证明Aaioa2s△404，得笑=黑，同理可得4。=4。，

A2AS,/igiytz

Ar0=A4O,A6O=A30,然后证明△。4142三△。人4&，同理△。4146三△。44人3，△OA3A2^△OA6A5,

进而可以解决问题.

【详解】证明：问题情境：如图1,连接为4，a〃5，

图1"1=/.A4，/.A2=Z.A5,Z.A3=zX6,+/.A4+zX2+z.A5+zX3+/.A6720°,

.-N&aa+以+^-A6A5A4=360°,

AAA

••,认&4+N&6+/-6S4+NA524al=360°,

**,Z-A，2^I^4—z-A.c)A^A.-yj

•••^1^211-^4^5?

1：2,

问题探究：结论如图连接A4A6f

2•••83841141^6，

图^3^4=AtA6,

•••4344441为平行四边形，

•••^1^3=^4^6»=43/4/6，

,••442Al4_6=443/4/5，

Z-^2=Z-Ac^,

・•・△ArA2A3=△i44i45i46(AAS),

•••4送2=N4/5，4243=为46；

2：4，4/6

结论连接/通A2A5f交于点。，

图3Va力213血，

・•・AAtOA2-△A4OA5,

oA-^O

■A5OA^O

A2A3\\ASA6,A3A4\\A1A6,

.A1。人6。人5。

A^OoA2。

•,•7^20=Ac^Oy

同理4。

=A40,A6O=A3O,

•*•△0-△044/5,

RSAOA±A6=△OA4A3,△OA3A2=△OA6A5,,

.•.△的面积=△。4人的面积，△。4七的面积=△。①①的面积，△。43人2的面积=△。4645的面积，

对角线平分六边形4142a344%46的面积.

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了四边形的内角和，六边形的内角和，全等三角形的判定与性质，

相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识.

3.（2023•河北・中考真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1,正六边形边长为

2且各有一个顶点在直线/上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2,其中，中

间正六边形的一边与直线/平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图2中

⑴Na=度.

（2）中间正六边形的中心到直线/的距离为（结果保留根号）.

图1图2

【答案】302V3

【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可求解；

（2）表问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线/的距离转化为求ON=

OM+BE,再根据正六边形的特征及利用勾股定理及三角函数，分别求出。M,BE即可求解.

根据中间正六边形的一边与直线/平行及多边形外角和，得N4BC=60°,

44=z_a=90°-60°=30°,

故答案为：30；

(2)取中间正六边形的中心为。，作如下图形,

图2

由题意得：AGIIBF,AB\\GF,BF1AB,

••・四边形4BFG为矩形，

AB=GF,

•••乙BAC=(FGH,(ABC=乙GFH=90°,

•・•Rt△ABC三Rt△GF"(SAS),

・•.BC=FH,

在RtDE=1,PE=V3,

由图1知AG=BF=2PE=2V3,

由正六边形的结构特征知：OM乂2由=W，

•••BC=^BF-CH}=V3-1,

:.BD=2-AB=陋—1,

又：DE=^x2=1,

BE=BD+DE=V3,

ON=OM+BE=2V3

故答案为：2忌

【点睛】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含30度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质，解

直角三角形，解题的关键是掌握正六边形的结构特征.

考点四：利用平行四边形的性质求解

1.(2024•山东日照•中考真题)如图，以固4BCD的顶点B为圆心，4B长为半径画弧，交BC于点E,再分别

以点力，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F,画射线BF,交4。于点G,交CD的延长线于点

H.

(1)由以上作图可知，N1与42的数量关系是

(2)求证：CB=CH

(3)若AB=4,AG=2GD,4ABe=60°,求小BCH的面积.

【答案】⑴41=42

(2)证明见解析

(3)973

【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，

解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键.

(1)根据作图可知，BF为乙4BC的角平分线，即可得到答案；

(2)根据平行四边形的性质可知41=乙H,结合41=N2,从而推出42=乙H,即可证明；

(3)过点H作BC的垂线交的延长线于点M,根据平行四边形的性质4B=CD=4,乙HCM=乙4BC=60°,

空=空，结合4G=2GD,推出=：4B,从而得到=CH-sinNHCM,最后由SABCH=

DHGD22

计算即可.

【详解】(1)解：由作图可知，BF为2BC的角平分线

zl=Z.2

故答案为：zl=z2

(2)证明：•.•四边形48CD为平行四边形

AB||CD

z.1=乙H

•••z.1=Z.2

・•.Z.2=乙H

・•.CB=CH

(3)解：如图，过点”作BC的垂线交BC的延长线于点M

.・四边形为平行四边形，AB=4

・•・AB||CD,AB=CD=4

・•・乙HCM=Z.ABC=60°,△ABGDHG

AB_AG

：'~DH=~GD

XvAG=2GD

AG

•••—=2

GD

ABAG

----=—=2

DHGD

11

DH=-AB=-x4=2

22

・•.CH=DH+CD=6

.・.BC=CH=6

V3L

：.HM=CH-sinzHCM=CH-sin60°=6x—=3V3

.­.S“BCH=|BC-/7M=|x6x3V3=9V3.

2.（2024・海南.中考真题）如图，在回4BCD中，AB=8,以点。为圆心作弧，交4B于点M、N,分别以点

M,N为圆心，大于［MN为半径作弧，两弧交于点尸，作直线。F交AB于点E,若乙BCE=4DCE,DE=4,

A.22B.21C.20D.18

【答案】A

【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理.利

用勾股定理求得CE的长，再证明BE=BC,作BG_LCE于点G,求得CG=EG=2有，禾!］用tanNDCE=

tanzBCF,求得BG=A/5,再利用勾股定理求得BE=BC=5,据此求解即可.

【详解】解：••・EL4BCD,AB=8,

••.CD=AB=8,

由作图知DE128,

•^ABCD,

'.AB\\CD,

'.DE1CD,

,-DE=4,

-，-CE=V42+82=4A/5,

-MB||CP,

；/DCE=Z.BEC,

'-'Z-BCE=Z-DCE,

工人BCE=乙BEC,

••.BE=BC,

作BG1CE于点G,

则CG=EG=：CE=2V5,

Z-DCE=Z.BCE,

.•.tanzDCE=tanzBCE,

,,—,区|J-=产,

CDCG82V5

••.BG=V5,

/22

,-.BE=BC=J(V5)+(2近)=5,

四边形BCDE的周长是4+8+5+5=22,

故选:A.

3.(2024.江苏徐州.中考真题)如图，在回ABC。中，AB=6,AD=10,4BAD=60°,P为边4B上的动点.连

接PC,将PC绕点P逆时针旋转60。得到PE,过点E作EFIIAB,EF交直线2D于点F.连接PF、DE,分别取PF、

DE的中点M、N,连接MN,交4D于点Q.

(1)若点P与点B重合，则线段MN的长度为.

(2)随着点尸的运动，MN与4Q的长度是否发生变化？若不变，求出MN与4Q的长度；若改变，请说明理由.

r答案】⑴5

(2)不变，4Q=8,MN=5

【分析】(1)当点P与点B重合时，E、N、D、F、C共线，PE=PC=BC,MN为APDE的中位线，即可

求出MN的长度.

(2)构造APFG,使MN为APFG的中位线，再构造△"PE三△KCP,进而证得△PGH是等边三角形，得出

MN=GH=AD=5.然后由△力P/和△GD/为等边三角形，推导出PB=DF,然后再由4Q=Al+1Q=

8,最后得出MN和AQ的长度不变.

【详解】(1)解：当点P与点B重合时，如图①，

B(P)

图①

••・四边形4BCD是平行四边形，

：./.PCD=44=60°,AD||BC,CD||AB,BC=AD=10.

・•・将PC绕点P逆时针旋转60。得到PE,

."PC=60。，PE=PC,

.•.△EPC是等边三角形，

.■.PC=BC=PE=10.乙PCE=60°,

••・c、D、E三点共线，

-CD||AB,EF\\AB,

・•・£*、D、F、C共线，

•・•点M、N分别是PF,EO的中点，

・・・2MN=PE=10.

；.MN=5.

故答案为：5.

(2)解：结论：不变.

如解图②，连接FN并延长到点G,4吏得FN=GN,连接GE,DG,延长EG,BA交于H点,连接PG.延长至

点K,4吏得BK=BC,连接CK,CE,设PG与4。交于/点，

K

图②

•・•四边形Z5C0是平行四边形，

・•/PCD=Z.A=60°,AD||BC,CD||AB,BC=AD=10.

•・•点N为DE中点，

：.EN=DN.

,:FN=GN,

・•・四边形GEFO为平行四边形，

­.GE||AF,GD||EF.

-EFWAB,CD||AB,

­.GD||EF||HB,HG||AF.

・・・四边形/MDG为平行四边形，

'.HG=AD,

•••HG||AF

：.^BAD=^AHG=60°.

在平行四边形/BCD中，

-ABAD=60°,CD||AB,

.ZCBK=60°,

-BC=BK,

.•.△BKC是等边三角形，

.・ZK=60°.KC=BC=AD=10,

由旋转得4EPC=60°,PE=PC,

vzH=60°,乙H+乙HEP+乙HPE=180°,

・"EP+乙HPE=120°,乙HPE+乙CPK=180°-60°=120°,

.ZHEP=乙CPK,

又4K=4”=60。，PE=PC,

.-.AEHP=△PKC(AAS).

；.HP=KC=AD=HG=10,

・•.△PG”为等边三角形.

・・,点M、N为PF、GF的中点,

••.MN为△PGF的中位线，MN=+PG.

•；PG=HG=AD=10.

・•.MN=5.即MN的长度不变；

•・•△CPE^\LGP”都为等边三角形.

••.PH=PG,PE=PC,^HPG=Z.EPC=60°,APHG=^PGH=60°,

•・ZGPC=乙HPE,

/.△HPE=LGPC(SAS).

：.GC=HE=AF.

“PHG=乙PGH=60°,HG||AF

：.Z.PAI=乙PHG=乙PGH=/-PIA=AAPI=60°,

.•.△AP/为等边三角形.

同理：△GD/为等边三角形.

：.GD=ID.AP=Ah

：.AF-DI=CG-DG,

'.AI+DF=DC=6=AP+PBf

-AP=Ah

：.PB=OF,

设/P=a,贝iJPB=6-a=DF,AI=AP=a,ID=10-a,

-，-IF=ID+DF=10—a+6—a=16—2a.

・・・MN为AG”的中位线，

•,.MN||GP,

.•.丝=空=1,

IQGN

：.FQ=IQ,

•••M是PF的中点，

・•.Q为/尸中点，

：.IQ=IF=8-a,

-'-AQ=AI+IQ=Q+8—Q=8.

故MN和AQ的长度都不变.

【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形和等边三角形的性质，三角形中位线的性质以及平行线分线

段成比例.本题的难点是构造△HPESAKCP得出MN=IGH=AD=5.

考点五：利用平行四边形的性质证明

1.（2024•宁夏・中考真题）如图，在EI4BCD中，点在4D边上，AM=DN,连接CM并延长交B力的延长

线于点E,连接BN并延长交CD的延长线于点足求证：=小丽的思考过程如下:

平行四边形

i

三角形相似

对应边成比例

AE=DF

参考小丽的思考过程，完成推理.

【答案】见解析

【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明△AEMDCM,可得黑=照,

DCDM

同理可得：答=能再进一步证明黑=*即可.

ABANDCAB

【详解】证明：•・・四边形是平行四边形

AB=CD,ABWCD,

AEMDCM

AE_AM

DC-DM

同理可得，XFDN八ABN,

DF_DN

AB-AN

又「AM=DN,

AM+MNDN+MN

即AN=DM,

AEDF

DCAB

XvAB=CD,

•••AE=DF.

2.(2023•青海西宁・中考真题)如图，在EL4BCD中，点E,F分别在ZB,CD的延长线上，且BE=DF,连

接EF与4C交于点M,连接2F,CE.

(1)求证：AAEM三ACFM；

(2)若AC1EF,AF=3V2,求四边形力ECF的周长.

【答案】(1)见解析

（2）1272

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB||DC,AB=DC,进而得出NAEM=NCFM,证明力E=CF,

根据AAS证明AAEM=△CFM,即可得证；

（2）证明团4ECF是菱形，根据菱形的性质，即可求解.

【详解】（1）证明：•••四边形力BCD是平行四边形

■■-AB||DC,AB=DC（平行四边形的对边平行且相等）

.•Z4EM=NCFM（两直线平行，内错角相等）

'-'BE=DF

'.AB+BE=CD+DF即4E=CF

在△46时和4CFM中

NAME=ACMF

/.AEM=Z.CFM

、AE=CF

：.LAEM=ACFM（AAS）；

（2）解：-：AE=CF,AE\\CF

.•・四边形4ECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

又•••AC1EF

・•・回AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

..AE=EC=CF=AF（菱形的四条边都相等）

二菱形4ECF的周长=4AF=4x3或=12V2.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知

识是解题的关键.

3.（2023•黑龙江哈尔滨•中考真题）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线8。上，点尸在边8c上,

连接力E,EF,DE=BF,BE=BC.

图①图②

（1）如图①，求证△AEDmAEFB；

(2)如图②，若AB=AD,AE手ED,过点C作CHIME交BE于点H,在不添加任何辅助线的情况下，请直接

写出图②中四个角(NBAE除外),使写出的每个角都与NBAE相等.

【答案】(1)见解析；

(2)^BEA=/.EFC=Z.DCH=/.DHC=4BAE,理由见解析.

【分析】(1)由平行四边形的性质得4D=BC=BE,BC||AD,进而有N4DE=NEBF,从而利用SAS即

可证明结论成立；

(2)先证四边形4BCD是菱形，得AB=BC=BE=CD=AD,又证△4BE王△CDH(AAS),得NB4E=

乙DCH=乙BEA=乙DHC,由(1)得△力ED三△EFB(SAS)得乙4ED=乙EFB,根据等角的补角相等即可证明.

【详解】(1)证明：•.•四边形2BCD是平行四边形，BE=BC

■■.AD=BC=BE,BC||AD,

•t-Z-ADE=Z.EBF,

'-,DE=BF,Z,ADE=Z.EBF,AD=BE

・••△/EOwZkEFB(SAS)；

(2)解：乙BEA=^EFC=CDCH=(DHC=CBAE,理由如下：

-AB=ADf四边形ZBCO是平行四边形，

・•・四边形ZBCD是菱形，BC||AD.AB||CD

'.AB=BC=BE=CD=AD,Z,ADE=乙EBF,^ABE=乙CDH,

；/BEA=(BAE,

-CHWAE,

:/BEA=乙DHC,

/.△ABE=△CD”(AAS),

=Z.DCH=乙BEA=乙DHC,

由(1)得△AED三△EFB(SAS),

••Z-AED=乙EFB,

-Z.AED+乙BEA=乙EFB+乙EFC=180°,

,ZBEA=乙EFC=乙DCH=乙DHC=^.BAE.

AD

Me

"FJ—»

图②

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质以及

等角的补角相等.熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.

考点六：证明四边形是平行四边形

1.(2024・山东青岛・中考真题)如图，在四边形4BCD中，对角线力C与BD相交于点O,乙ABD=^CDB,BE1AC

于点E,DF14C于点兄S.BE=DF.

一

(1)求证：四边形28CD是平行四边形；

(2)若4B=B。，当乙4BE等于多少度时，四边形A8CD是矩形？请说明理由，并直接写出此时器的值.

【答案】(1)证明见解析

⑵当乙4BE=30。时，四边形力BCD是矩形，理由见解析，此时箓=g

【分析】(1)先证明力B||CD得到NEAB=NFCD,再由垂线的定义得到“EB=NCFD=90。，据此证明

△AEB=△CFD(AAS),得到AB=CD,由此即可证明四边形ABC。是平行四边形；

(2)当N4BE=30。时，四边形2BCD是矩形，利用三角形内角和定理得到4员4。=60。，则可证明AAOB是

等边三角形，得到。4=OB,进而可证明AC=BD,则四边形4BCD是矩形，在RtZiABC中，tanzB/lC=—=

AB

V3.

【详解】(1)证明：•.24BD=4CDB,

：.AB||CD,

••Z-EAB=Z.FCD,

-BEVAC,DF1AC,

：.Z.AEB=Z.CFD=90°,

又“BE=DF,

.-.AAEB=△CFZ)(AAS),

■■AB=CD,

又以B||CD,

.•・四边形4BCD是平行四边形；

(2)解：当乙4BE=30。时，四边形4BCD是矩形，理由如下：

，:BE1AC,

^/.AEB=90°,

-AABE=30°,

'-Z-BAO=60°,

又・・・ZB=BO,

・•.△ZOB是等边三角形，

•-OA=OB,

•・,四边形/BCD是平行四边形，

''-OB=OD,OA=OC,

••OB=OD=OA=OC,

'-AC=BD,

.•・四边形ABC。是矩形，

即当乙4BE=30。时，四边形4BCD是矩形，

：.AABC=90°,

.•.在Rt△4BC中，tanzBXC=些=%.

AB

【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判

定，等边三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形和矩形的判定定理是解题的关键.

2.(2024•山东潍坊・中考真题)如图，在矩形ABCD中，48>24D,点E,F分别在边力B,CD上.将△4DF沿

4F折叠，点。的对应点G恰好落在对角线AC上；将ACBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线4C

上.连接GE,FH.

DFC

求证：

（1）△力EH=ACFG；

（2）四边形EGFH为平行四边形.

【答案】（1）证明见解析；

⑵证明见解析.

【分析】（1）由矩形的性质可得4D=BC,NB=ND=90。，AB\\CD,即得NEAH=NFCG,由折叠的性质

可得力G=AD,CH=CB,乙CHE=ZB=90°,Z.AGF=4。=90°,即得CH=AG,/.AHE=4CGF=90°,

进而得2H=CG,即可由ASA证明△AEH=△CFG；

（2）由（1）得NAHE=NCGF=90。，AAEHCFG,即可得到E”||FG,EH=FG,进而即可求证；

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠

的性质是解题的关键.

【详解】（1）证明：•.•四边形4BCD是矩形，

：.AD=BC,48=4。=90°,ABWCD,

：./.E