2025年中考数学一轮复习：特殊平行四边形（3大模块知识梳理+12个考点+6个重难点+2个易错点）解析版

专题13特殊平行四边形

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘•基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理）

知识模块一：矩形的性质与判定

知识模块二：菱形的性质与判定

知识模块三：正方形的性质与判定

03究•考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（12大基础考点）

考点一：根据特殊四边形的性质求角度

考点二：根据特殊四边形的性质求线段长

考点三：根据特殊四边形的性质求周长

考点四：根据特殊四边形的性质求面积

考点五：根据特殊四边形的性质求点的坐标

考点六：利用特殊四边形的性质证明

考点七：特殊四边形的折叠问题

考点八：证明四边形是特殊四边形

考点九：根据特殊四边形的性质与判定求角度

考点十：根据特殊四边形的性质与判定求线段长

考点十一：根据特殊四边形的性质与判定求周长

考点十二：根据特殊四边形的性质与判定求面积

04破•重点难点：突破重难点，冲刺高分。（6大重难点）

重难点一：与特殊平行四边形有关的最值问题

重难点二：中点模型

重难点三：十字架模型

重难点四：半角模型

重难点五：一线三垂直模型

重难点六：对角互补模型

05辨•易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点）

易错点1：未掌握矩形，菱形，正方形的判定定理

易错点2：求菱形面积时出错

思维¥槌

具有的四边形所有14S

四个角都是直角

对角线相等

既是中心对称图形，又是轴对称图形

有一个角是直角的平行四边形

角-----------------------------

有三个角是直角的四边形

判定对角线对角线相等的平行四边形

运用勾股定理求边或对角线的长

应用

运用对角线相等证明四个小三角形的面积相等

具有平行四边形所有蟠

边四条边都相等

两条又捅线互相垂直

对角线

菱形每一条对角线平分一组对角

有一组邻边相等的平行四边形

特殊平行四边形&边

四条边都相等的四边形

判定

对角线互相垂直的平行四边形

具有帝亍四娜所有瞳

边四条边都相等

角四个角都是直角

相等

对角线互相垂直平分

每条对角线平分一组对角

正方形轴对称图形4条对称轴

对称性

中心对称图形

边有一组邻边相等的矩形

角有一个角是直角的菱形

判定

对角线互相垂直的朝

对角线

对角线相等的美形

盒基森如说、

知识模块一：矩形

知识点一：矩形的性质

性质符号语言图示

边两组对边平行且相等•/四边形ABCD是矩形

，AB=CD,AD=BC,AB//CD,AD//BCAD

角四个角都是直角四边形ABCD是矩形

・•・NBAD=NBCD二NABC二NADC=90°

BC

对角线两条对角线互相平分・・・四边形ABCD是矩形

且相等.*.A0=C0=B0=D0

【补充】

1）矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质；

2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题.

3）利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.

知识点二：矩形的判定

判定定理符号语言图示

一个角是直角的平行四在平行四边形ABCD中，AD

边形是矩形VZABC=90°,二平行四边形ABCD是矩o

BC

角形

二个角是直角的四边形在四边形ABCD中，D

是矩形VZB=ZA=ZD=90°,

BC

**•四边形ABCD是矩形

对角线对角线相等的平行四边在平行四边形ABCD中，AD

形是矩形：AC=BD,.•.平行四边形ABCD是矩形

BX

C

知识模块二：菱形

知识点一：菱形的性质

性质定理符号语言图示

・・・四边形ABCD是菱形

边四条边都相等

L

.\AB=CD=AD=BC

四边形ABCD是菱形，AC_LBD,

对角对角线互相垂直，且每一条——

AC平分/BAD,AC平分/BAD,

线对角线平分一组对角r

AC平分/BAD,AC平分/BAD

【补充】

1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质；

2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.

3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.

4）菱形的面积公式：

①菱形的面积=底义高，即

②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即S=’根”.

2

知识点二：菱形的判定

判定定理符号语言图示

四条边相等的四边形是在四边形ABCD中，

边菱形.：AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是菱

形

一组邻边相等的平行四在平行四边形ABCD中，c

边形是菱形.VAB=BC,平行四边形ABCD是菱形

对角线对角线互相垂直的平行在平行四边形ABCD中，A

四边形是菱形.VAC±BD,平行四边形ABCD是菱形

B

C

知识模块三：正方形

知识点一：正方形的性质

1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行.

2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

【补充】

1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.

2）一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°.

3）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

4）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半.

知识点二：正方形的判定

定义法平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边

形是正方形

判定定理矩形+一组邻边相等有一组邻边相等的矩形是正方形

矩形+对角线互相垂直对角线互相垂直的矩形是正方形

菱形+一个角是直角有一个角是直角的菱形是正方形

菱形+对角线相等对角线相等的菱形是正方形

⑹著点司法

考点一：根据特殊四边形的性质求角度

1.（2023•黑龙江哈尔滨•中考真题）矩形4BCD的对角线4C,BD相交于点0,点F在矩形4BCD边上，连接0F.若

4ADB=38°,4BOF=30°,贝！JNHOF=.

【答案】46。或106。

【分析】根据题意画出图形，分点F在48上和BC上两种情况讨论即可求解.

【详解】解：：四边形4BCQ是矩形，

：.0A=0D,

Z-ADO=Z.OAD,

,:乙ADB=38°,

：.Z.ADO=AOAD=38°

：.Z.AOB=乙ADO+/LOAD=76°,

如图所示，当F点在ZB上时，

■:(BOF=30°,

：.^AOF=AAOB一乙BOF=76°-30°=46°

如图所示，当点F在上时,

VzBOF=30°,

C.Z.AOF=乙AOB+乙BOF=76°+30°=106°,

故答案为：46。或106。.

【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，分类讨论是解题的关键.

2.（2023.黑龙江大庆.中考真题）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若NB4D=戊，乙CBE=6，则夕=

13

45。+三aC.90°--aD.900--a

2222

【答案】D

【分析】由题意可得NFBG=/.DAB=a,由菱形的性质可得4DIIBC,^ABD=4CBD=a+£,由平行线

的性质可得ACMB+4ABC=180°,进行计算即可得到答案.

【详解】解：根据题意可得：4FBG=4DAB=a,

•••四边形48CD为菱形，

•••AD||BC,/.ABD=乙CBD=a+£,

•••/.DAB+/.ABC=180°,

•••乙ABC=乙ABD+乙CBD=a+/?+a+/?=2a+2s

・•・a+2a+2/?=180°,

:B=90°--a,

"2

故选：D.

【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质、平行线的性质，是解题的关键.

3.（2023•山东・中考真题）如图，点E是正方形2BCD内的一点，将△力BE绕点8按顺时针方向旋转90。得到

F

【答案】80

【分析】先求得NBEF和NCBE的度数，再利用三角形外角的性质求解即可.

【详解】解：•••四边形4BCD是正方形，

：.Z.ABC=90°,

'：Z.ABE=55。，

:.乙CBE=90°-55°=35°,

1/△ABE绕点B按顺时针方向旋转90。得到△CBF

J.A.EBF=90°,BE=BF,

."BEF=45°,

C./.EGC="BE+乙BEF=35°+45°=80°,

故答案为：80.

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转图形的性质和三角形外角的性质，利用旋转图

形的性质求解是解题的关键.

考点二：根据特殊四边形的性质求线段长

4.（2024.四川巴中.中考真题）如图，矩形4BCD的对角线4C与BD交于点0,DE14C于点E,延长DE与BC交

于点F.若48=3,BC=4,则点F到BD的距离为.

【答案以

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点尸作FH14B,垂足为X,利

用勾股定理求出4C的长，利用角的余弦值求出DF的长，再利用勾股定理求出FC,从而得出BF,利用三角形

面积求出尸H即可.

【详解】解：如图，过点F作FH1DB,垂足为“，

•••ABAD=乙BCD=90°,AC=BD,

AB=3,BC=4,

AC=BD=7AB2+BC2=V32+42=5,

S—DC=-DC=|xc-DE,即|x4x3=|x5xDE,

解得：DF=y

12

•••cosZ-lEaDcC=—DE=—DC,B口Rn—W=—3

DCDF3DF

解得：

DF=-4,

...FC=y/DF2—DC2=-32=£

97

BF=BC-FC=4--=-

44f

・•.S〉BDF=-BDFH=-BF♦DC,即三x5xFH=三x2x3,

△a”22224

解得：尸”=豢

故答案为：fi.

5.（2024.海南・中考真题）如图，菱形4BCD的边长为2,乙4BC=120。，边4B在数轴上，将4C绕点A顺时

针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3,则点A表示的数是（）

【答案】D

【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理.作CF14E于点尸，利用菱形的性质，直

角三角形的性质，勾股定理计算即可.

【详解】解：作于点尸，

:.乙FBC=60°,

,:BC=2,

：.BF=\BC=1,CF=y/BC2-BF2=V3,

：.AF=AB+BF=3,

：.AE=AC=VAF2+CF2=J32+(V3)2=2痔

7点E表示的数是3,

点A表示的数是3-2百，

故选：D.

6.（2024・吉林・中考真题）如图，正方形A8CD的对角线相，8。相交于点。，点E是04的中点，点厂是。。上

一点.连接EF.若NFE0=45。，则察的值为.

【答案】|

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到NO4D=45。,

AD=BC,再证明EFII4。，进而可证明△OEFsAtMD,由相似三角形的性质可得整=芸=；,即暮="

【详解】解：•・•正方形的对角线4C,80相交于点。，

：.^OAD=45°,AD=BC,

・・•点E是。4的中点，

,OE_1

・・0/一2，

,：Z-FEO=45°,

：.EF||AD,

△OEFOAD,

.•.里=丝=工，即处=工，

ADOA2BC2

故答案为：|.

考点三：根据特殊四边形的性质求周长

7.（2023•辽宁丹东•中考真题）如图，在矩形48CD中，对角线4C与BD相交于点O,NABD=60°,AE1BD,

垂足为点E,尸是。。的中点，连接£尸，若EF=2w,则矩形4BCD的周长是（）

AD

A.16V3B.8V3+4C.4>/3+8D.8—+8

【答案】D

【分析】根据矩形的性质得出。4=OB,即可求证AAB。为等边三角形，进而得出点E为。B中点，根据中

位线定理得出BC=2EF=4V3,易得心CBD=30°,求出CD=BC-tanzBCD=4,即可得出矩形的周长.

【详解】解：•••四边形4BCD是矩形，

/.OA=OB,

'J/.ABD=60°,

.•.△48。为等边三角形，

,：AE1BD,

.•.点E为。B中点，

\•尸是OC的中点,若EF=2后

：.BC=2EF=4V3,

'：Z.ABD=60°,

:.乙CBD=30°,

CD=BC-tanzBCA=4V3X—=4,

3

矩形4BCD的周长=2（BC+CD'）=2（4^/3+4）=8V3+8,

故选：D.

【点睛】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关键

是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及

解直角三角形的方法和步骤.

8.（2023•内蒙古・中考真题）如图，在菱形4BCD中，AB=4,ZX=120。，顺次连接菱形力BCD各边中点E、

F、G、H,则四边形EFGH的周长为（）

C.4+4A/3D.6+4V3

【答案】C

【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，再求对角线长度，然后利用三角形

中位线定理求出此平行四边形边长即可求出周长.

【详解】

F、G、“分另ij是边4B、BC、CD、D4的中点,

22

EF=GH,同理EH=FG,

••・四边形EFGH是平行四边形，

••・四边形2BCD是菱形，AB=4,乙4=120°,

・•・对角线AC、BD互相垂直,

•••ADWBC,

•••LA+/.ABC=180°,

•••乙ABC=60°,AB=BC=4,

.•.△ABC是等边三角形，

•••AC=4,

在RtAAOB中，AB=4,OA=|AC=2,

OB=V42-22=2A/3,

BD=4V3,

EF=-AC=2,EH=-BD=2百，

22

四边形EFGH的周长为（2+2V3）X2=4+4遍.

故选：C.

【点睛】本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，菱形的性质及平行四

边形的判定与性质进行计算.

9.（2024.江苏连云港.中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长

是80cm,则图中阴影图形的周长是（）

A.440cmB.320cmC.280cmD.160cm

【答案】A

【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是80cm的正方形的周长加上

边长是80cm的正方形的两条边长再减去2x20cm,由此解答即可.

【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条边

长再减去2x20cm,

••・阴影图形的周长是：4x80+2x80-2x20=440cm,

故选：A.

考点四：根据特殊四边形的性质求面积

10.（2022•湖南邵阳•中考真题）已知矩形的一边长为6cm,一条对角线的长为10cm,则矩形的面积为

cm2”.

【答案】48

【分析】如图，先根据勾股定理求出=V102-62=8cm,再由S矩形=48x8C求解即可.

【详解】解：在矩形中，BC-6cm,AC=10cm,

DC

：.在Rt△ABC中，AB=V102-62=8(cm),

2

'S矩形ABCD="8xBC=8x6=48(cm).

故答案为：48.

【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知上述知识.

11.（2024・广东•中考真题）如图，菱形力BCD的面积为24,点E是4B的中点，点E是BC上的动点.若△BEF

的面积为4,则图中阴影部分的面积为.

【答案】10

【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出S-DE=6,

S&ABF=8,根据和菱形的面积求出第=|，*=2,则可求出4CDF的面积，然后利用S阴影=S菱形一

^l^ADE~^hBEF~-

【详解】解：连接2尸、BD,

:菱形4BCD的面积为24,点£是48的中点，ABEF的面积为4,

,,^hADE=5sA4BD=£X&S菱形ABCD=6，SAABF—2ShBEp=8,

设菱形4BCD中8C边上的高为h,

则S&ABF=处,即且=迦，

S菱形ABCDBCh24BC

,BF_2

••=）

BC3

・BF_Q

••一z,

CF

.S"BF_：BF仇_BF_

••一1——乙,

S&CDF-CFhCF

•・S〉cDF=%

・・S阴影=S菱形力Re。-S^AOE-S^BEF~S^CDF=10，

故答案为：10.

12.（2023・湖南•中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形纸

板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部

【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得。E的长，即可求解.

依题意，OD*AD=2四,OE=30D=也

...图中阴影部分的面积为0E2=（V2）=2

故答案为：2.

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键.

考点五：根据特殊四边形的性质求点的坐标

13.(2024•吉林・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2).以。4OC

为边作矩形04BC,若将矩形。力BC绕点。顺时针旋转90。，得到矩形。小夕C，，则点次的坐标为()

A------|夕

B________C

AOCx

A.(-4,-2)B.(—4,2)C.(2,4)D.(4,2)

【答案】C

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到。4=4,OC=2,再

由矩形的性质可得AB=OC=2,2LABC=90°,由旋转的性质可得04=。4=4,A'B'=AB=2,

NO&B'=90°,据此可得答案.

【详解】解：•••点A的坐标为(—4,0),点C的坐标为(0,2),

/.OA=4,OC=2,

•••四边形。ABC是矩形，

：.AB=OC=2,4ABC=90°,

:将矩形。ABC绕点。顺时针旋转90。，得到矩形CM0。，

OA'=。4=4,A'B'=48=2,Z.OA'B'=90°,

：.A'B'轴，

.•.点9的坐标为(2,4),

故选：C.

14.(2024・辽宁・中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形20BC的顶点4在x轴负半轴上，顶点B在

直线y=上，若点B的横坐标是8,为点C的坐标为()

4

C.(-3,6)D.(-4,6)

【答案】B

【分析】过点B作BD_Lx轴，垂足为点£),先求出8(8,6),由勾股定理求得B。=10,再由菱形的性质得到

BC=8。=10,BC||x轴，最后由平移即可求解.

【详解】解：过点2作BOlx轴，垂足为点。，

:顶点B在直线y==乂上，点B的横坐标是8,

D

.•.如=8x-=6,即BD=6,

4

.,.5(8,6),

■:BD1x轴，

由勾股定理得：BO=y/BD2+DO2=10,

•.•四边形2BCD是菱形，

：.BC=BO=10,BC||x轴，

二将点B向左平移10个单位得到点C,

...点C(—2,6),

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加

辅助线是解题的关键.

15.(2024・河南・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，正方形4BCD的边4B在无轴上，点A的坐标为(-2,0),

点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点尸的坐标为(0,6),则点E的坐标为.

【分析】设正方形4BCD的边长为a,CD与y轴相交于G,先判断四边形40GD是矩形，得出。G=AD=a,

DG=AO,AEGF=90°,根据折叠的性质得出BF=BC=a,CE=FE,在RtABOF中，利用勾股定理构建

关于。的方程，求出。的值，在RtAEGF中，利用勾股定理构建关于CE的方程，求出CE的值，即可求解.

【详解】解：设正方形4BCD的边长为a,CD与y轴相交于G,

：.0G=AD=a,DG=AO,NEGF=90°,

•••折叠，

：.BF=BC=a,CE=FE,

..,点A的坐标为(一2,0),点尸的坐标为(0,6),

=2,FO=6,

'.BO-AB—AO—a—2,

在RtZiBOF中，BO2+FO2=BF2,

(a-2)2+62=a2,

解得a=10,

：.FG=OG-OF=4,GE=CD-DG-CE=8-CE,

在RtAEGF中，GE2+FG2=EF2,

：.(8-CEY+42=CE2,

解得CE=5,

AGE=3,

.♦.点E的坐标为(3,10),

故答案为:(3,10).

【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用

勾股定理求出正方形的边长是解题的关键.

考点六：利用特殊四边形的性质证明

16.(2024•山东东营・中考真题)如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD,BC,BD于点E,F,O,

下列条件中，不能证明ABOF三ADOE的是()

A.。为矩形A8CD两条对角线的交点B.EO=FO

C.AE=CFD.EF1BD

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的

判定是解题的关键.

由矩形的性质得出4。=BCADWBC,再由平行线的性质得出NOBF=NODE,乙OFB=M)ED,然后由全等

三角形的判定逐一判定即可.

【详解】解：：四边形4BCD是矩形，

：.AD=BCADWBC,

:.乙OBF=LODE,乙OFB=LOED,

A、:0为矩形力BCD两条对角线的交点，

：.0B=OD,

在ABOF和ADOE中，

Z.OFB=Z.OED

Z-OBF=乙ODE,

OB=OD

：.△BOF三△DOE(AAS),

故此选项不符合题意；

B、在ABOF和△QOE中，

Z.OFB=Z.OED

Z.OBF=Z-ODE,

FO=E0

：.△BOF三△DOE(AAS),

故此选项不符合题意；

C、'：AE=CF,

：.BC-CF=AD-AEf

即BF=DE,

在ABOF和△OOE中,

Z.OFB=乙OED

BF=DE，

/OBF=Z.ODE

：.^BOF三△OOE(ASA),

故此选项不符合题意；

D、'：EF1BD,

:.乙BOF=Z.DOE=90°,

两三角形中缺少对应边相等，所以不能判定△BOFSADOE,

故此选项符合题意；

故选：D.

17.(2024•山东青岛•中考真题)如图，菱形ABCD中，BC=10,面积为60,对角线AC与8。相交于点O,

过点A作AELBC,交边BC于点E,连接E0,则E。=.

【答案】V10

【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求出

AC,BD的长度.根据菱形的面积公式结合8C的长度即可得出8。、4C的长度，在Rt△80C中利用勾股定理

即可求出C。的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论.

【详解】解：；四边形4BCD为菱形，

：.AC1BD,0A=OC,OB=OD,AB=BC=CD=DA=10,

；S菱形80=60,

：.AC-BD=120,

：.B0-OC=30.

\'BO2+CO2=BC2=100,

(BO+OC)2-2B0-CO=100,

：.BO+CO=4V10(负值已舍去)，

：.B0=4V10-OC,

：.BO2+CO2=102,

2

/.(4V10-OC)+CO2=100,

：.CO=V10,CO=3V10(舍去).

'：AE±BC,AO=CO,

：.EO=CO=V10.

故答案为：Vio.

18.(2023・四川绵阳•中考真题)如图，在边长为4的正方形A8CD中，点G是BC上的一点，且8G=3GC,

DElAG^-^E,BF||DE,且交4G于点R贝！Jtan/EDF的值为()

【答案】A

【分析】由正方形性质可求出BG的长，进而求出4G的长，证△力DEs^GAB,利用相似三角形对应边成比

例可求得ZE、DE的长，ffiAXBF=LDAE,得力F=DE,根据线段的和差求得EF的长即可.

【详解】解：•.・四边形ZBCD是正方形，AB=4,

•••BC=CD=DA=AB=4,乙BAD=Z.ABC=90°,AD||BC,

•••Z.DAE=Z.AGB,

•・•BG=3CG,

BG=3,

二在RtUBG中，AB2+BG2=AG2,

则由勾股定理可得/G=V42+32=5,

vDE1AG,

・•・^DEA=乙DEF=/.ABC=90°,

•••△ADEGAB,

AD-.GA=AE\GB=DE:AB,

即4:5=4E:3=DE:4,

“L12cl16

•••AE=—,DE=—,

又BF||DE,

・•・乙AFB=乙DEF=90°,

又•・•AB=AD,乙DAE=乙ABF,

=△DAE（ASA）f

4尸=DE=y,

16174

：.EF=AF-AE=

555

y»nlEF1

・•・tanzEDF=—=一，

DE4

故选：A.

【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正

切的定义等知识，灵活运用相似三角形的判定与性质求出线段的长是解答本题的关键.

考点七：特殊四边形的折叠问题

19.（2024・山东淄博・中考真题）如图所示，在矩形4BCD中，BC=2AB,点、M,N分别在边BC,AD1..连

接MN,将四边形CMND沿MN翻折，点C,。分别落在点4,E处.贝肚an/AMN的值是（）

A.2B.V2C.V3D.V5

【答案】A

【分析】连接4C交MN于点R设4B=2m,则BC=2AB=4小,利用勾股定理求得4C=y/AB2+BC2=2V5m,

由折叠得到4M=CM,MN垂直平分4C,则4F=CF=|XC=V5m,由AB?+BM2=AM?代入求得AM=|m,

则MF=—4尸2=匹刊,所以tan乙4MN="=2,于是得到问题的答案.

2MF

【详解】解：连接4C交MN于点R

E

设4B=2m,贝ijBC=2AB=4m,

•.•四边形28CD是矩形，

:.乙B=90°,

：.AC=7AB2+BC2=2V5m

:将四边形CMNO沿MN翻折，点C,。分别落在点A,E处，

.•.点C与点A关于直线MN对称，

：.AM=CM,MN垂直平分AC,

：.BM=BC—CM=4m-AM,/.AFM=90°,4F=CF=-AC=V5m,

2

'：AB2+BM2=AM2,

(2m)24-(4m—AM)2=AM2

.'.AM=-m,

2

：.MF=y]AM2-AF2=-m

2

.,..--AF\fSm「

・・tanZ_4MNr=—=—>=-=2.

MF和

故选：A.

【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解

题的关键.

20.(2023•江苏南京・中考真题)如图，在菱形纸片4BCD中，点E在边4B上，将纸片沿CE折叠，点B

落在B'处，CB'1AD,垂足为F若CF=4cm,FB'=1cm,贝UBE=—cm

【答案琦喏

【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可.

【详解】解：VCF=4cm,FB'=1cm,

：.CB'=CF+FB'=5cm,

由翻折，菱形的性质，得：CB=CD=CBr=5cm,CB||AD,乙B=^D,

,,

：CBLADf

：.CB'1BC,

=90°,

工人BCE=乙B，CE=45°,

'：CD=5,CF=4,ZCFD=90°,

：.FD=3,

过点E作EGJ.8C,

设CG=x,贝（JEG=x,BG=5-x,

Vzj?=ZD,乙BGE=CDFC,

△EGBCFD,

.EG_EB_GB

・•CF-DC-DF'

,X_EB_5-x

**4-5-3

解得：x=

：.BE=—,

7

故答案为：y.

【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题

的关键.

21.（2023・湖北•中考真题）如图，将边长为3的正方形4BCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边力。上

（点M不与点4D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点、P,折痕分别与边4B,CD交于点E,F,连接BM.

⑴求证：4AMB=乙BMP；

(2)若DP=1,求MD的长.

【答案】(1)证明见解析

12

(2)M£>=

【分析】(1)由折叠和正方形的性质得到4EMP=NEBC=90。，EM=EB,则NEM8=4EBM,进而证明

乙BMP=乙MBC,再由平行线的f生质证明N4MB=NMBC即可证明NAMB=乙BMP；

(2)如图，延长MN,BC交于点Q.证明△DMP-ACQP得到QC=2MD,QP=2MP,

设MD=x,贝UQC=2x,BQ=3+2x.由NBMQ=乙MBQ,得到MQ=BQ=3+2x.则MP=|M<?=等.由

勾股定理建立方程/+12=(等解方程即可得到MD=冷.

【详解】(1)证明：由翻折和正方形的性质可得，乙EMP=4EBC=90°,EM=EB.

:.乙EMB=乙EBM.

:•乙EMP一乙EMB=Z.EBC-乙EBM,BRzBMP=乙MBC,

・・•四边形/BCD是正方形，

：.AD\\BC.

：.Z.AMB=Z.MBC.

：.Z.AMB=乙BMP.

(2)解：如图，延长MN,BC交于点Q.

U：AD\\BC,

：.△DMP八CQP.

又・・・DP=1,正方形ZBC。边长为3,

/.CP=2

,MD_MP_DP_1

'・QC-QP-CP-2’

：.QC=2MD,QP=2MP,

设MO=%,贝！JQC=2%,

•9•BQ=3+2%.

■:乙BMP=乙MBC,即NBMQ=ZMBQ,

：.MQ=BQ=3+2x.

：.MP=-MQ.

3<3

在Rt^OMP中，MD2+DP2=MP2,

.../+M=（甯2.

解得：=0（舍），X2=y.

：.MD=—12.

5

【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定

理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

考点八：证明四边形是特殊四边形

22.（2024.吉林长春・中考真题）如图，在四边形48CD中，乙4=AB=90。,。是边4B的中点，乙4。。=NBOC.求

证：四边形4BCD是矩形.

【答案】证明见解析.

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关

键.利用SAS可证明△40。=AB0C,得出40=BC,根据乙4=ZB=90。得出4。||BC,即可证明四边形ABC。

是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形4BCD是矩形.

【详解】证明：：。是边48的中点，

.\0A=0B,

亿力=NB=90°

在△力。。和AB0C中，0A=0B,

.Z-AOD=Z.BOC

:.&AODSABOC,

：.AD=BC,

VZ.X=NB=90°,

：.AD||BC,

四边形4BC0是平行四边形，

VzX=NB=90°,

四边形4BCD是矩形.

23.(2024.内蒙古呼伦贝尔•中考真题)如图，在平行四边形48CD中，点尸在边4。上，AB=AF,连接8F,

点。为BF的中点，4。的延长线交边BC于点E,连接EF

AFD

(1)求证：四边形ABEF是菱形：

(2)若平行四边形4BCD的周长为22,CE=1,^BAD=120°,求4E的长.

【答案】(1)见解析

(2)AE=5

【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识：

(1)由平行四边形的T生质得=Z.EBF,/.FAE=NBEA,再证明△2。/三△EOB,得出BE=4尸,

证明出四边形48EF是平行四边形，由4B=4/得出四边形48EF是菱形：

(2)求出菱形48EF的周长为20,得出48=5,再证明△48E是等边三角形，得出4E=4B=5.

【详解】(1)证明：•..四边形48CD是平行四边形，

：.AD\\BC,^AFWE,

：./.AFB=4EBF,乙FAE=/.BEA,

・・・。为的中点,

：.B0=F0,

△AOF=△EOB,

：.BE=FA,

'：AF\\BEf

四边形2BEF是平行四边形，

又AB=AF,

四边形4BEF是菱形；

(2)解：'：AD=BC,AF=BE,

：.DF=CE=1,

•.•平行四边形48CD的周长为22,

菱形力BEF的周长为：22-2=20,

：.AB=20+4=5,

二•四边形2BEF是菱形，

J./-BAE=-^BAD=-x120°=60°,

22

又AB=AE,

...△4BE是等边三角形，

'：AE=AB=5.

24.（2023・湖北十堰•中考真题）如图，回ABCD的对角线47,8。交于点0,分别以点B,C为圆心，长

为半径画弧，两弧交于点P,连接BP,CP.

⑴试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；

（2）请说明当团4BCD的对角线满足什么条件时，四边形BPC。是正方形？

【答案】（1）平行四边形，见解析

（2）力C=BDS.AC1BD

【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到BP=lAC=OC.CP=\BD=OB,根据两组对边分别相等的四

边形是平行四边形判定即可.

（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可.

【详解】（1）四边形BPC。是平行四边形.理由如下：

0XBCD的对角线4C,8。交于点0,