2025年中考数学一轮复习：铅垂法求面积（含答案）

2025年中考数学一轮复习-专题04铅垂法求面积

例1

13

1.如图，抛物线>=7/_》+=与》轴交于A、B点、,直线/：丫=辰-3%+4与抛物线交于

44

(2)求5。即的最小值.

例2

2.如图，抛物线y=-尤2+2尤+1和y轴交于点A,与它的对称轴直线x=l交于点2,过定点

的直线V=6-左+4(左<0)与该抛物线交于点M,N.若ABMN的面积等于1,求上的值.

对应练习:

（2024•凉州区二模）

3.如图，已知：关于y的二次函数y=/+bx+c的图象与无轴交于点A（2,O）和点B,与，轴

交于点C（O,6）,抛物线的对称轴与x轴交于点。.

⑴求二次函数的表达式.

⑵有一个点"从点A出发，以每秒1个单位的速度在48上向点B运动，另一个点N从点。

与点”同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达8点时，

点M、N同时停止运动，问点”、N运动到何处时，AMAB面积最大，试求出面积.

（2024•沂源县一模）

4.如图，已知抛物线丁=办2+bx+5经过A（-5,0）,B（T,-3）两点，与x轴的另一个交

点为C,顶点为D,连接CD.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点B,C不重合），设点P的横坐标为t.

①当点P在直线BC的下方运动时，求△尸的面积的最大值及点P的坐标；

②该抛物线上是否存在点P，使得/PBC=/BCD?若存在，求出所有点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

（2024•鼓楼区校级模拟）

5.已知抛物线y=Y-2x-3与x轴交于点A,B（点A在点8的左侧），与y轴交于点C.

⑴直接写出A,B,C三点的坐标；

（2）如图，点P为直线BC下方抛物线上一点，PDLBC于点D,求产。的最大值；

（2024•翠屏区校级模拟）

6.在平面直角坐标系中，将二次函数丁=依2（。＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移

2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1,

经过点A的一次函数y=kx+b（k40）的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个

交点为。，的面积为5.

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，当“应面积的最大值时，求出此时点E的

坐标；

(2024秋•长沙期中)

7.如图，直线＞=-；工+2与〉轴、无轴分别交于点8、点C,经过8、C两点的抛物线

y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A(-l,0).

(1)求二次函数的解析式；

(2)点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当ABCP的面积最大时，求P点的坐标;

(2024秋•阜阳期中)

8.如图，在直角坐标系中，二次函数丫=：尤2+云+c的图象与x轴相交于点4(—2,0)和点

5(6,0),与V轴交于点C.

(1)求6、C的值；

(2)若点尸是抛物线2C段上的一点，当△P3C的面积最大时求出点尸的坐标，并求出3c

面积的最大值.

(2024秋•西岗区校级月考)

9.如图，二次函数y=2尤2+6x+c的图象与x轴父于A、8两点，与〉轴父于点C,点A的

坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3),连接BC.

(1)求该二次函数和直线BC的解析式；

(2)点尸是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作轴于点。交BC于点当尸〃的

长度最大时，求点P的坐标；

⑶在(2)的条件下，若△台。？的面积最大时，2C边上的高PN的值为.

(2024秋•吉林月考)

10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数+法+c的图象与无轴交于A、8两点,

与y轴交于点C(0,3),点B的坐标为(3,0),点尸是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)求点A的坐标；

(3)连接CP、3尸，当点P运动到什么位置时，ASPC的面积最大？请求出点尸的坐标和ABPC

面积的最大值；

(2023秋•大丰区月考)

11.如图，已知二次函数＞=-/+法+。的图象与X轴交于点4-4,0）和点B,与y轴相交于

点C(0,4).

（1）求该二次函数的解析式；

⑵点。在线段。4上运动，过点。作x轴的垂线，与AC交于点Q,与抛物线交于点P.连

接AP,CP,当三角形ACP的面积最大时，求此时点尸的坐标；

（2024•深圳三模）

12.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁=-/+法+。的图象与轴交于A,B点、,与y

轴交于点C（0,3）,点8的坐标为（3,0）,点尸是抛物线上一个动点.

⑴求二次函数解析式；

（2）若尸点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，ABPC的面积最大？请求出点尸的坐

标和ABPC面积的最大值

二、求四边形面积最值

例3.（2024•南召县开学）

13.综合与探究

如图，已知二次函数y=-Y+Zzx+c的图象与x轴交于点A（-4,0）和点与y轴相交于点

C(0,4).

（2）点。在线段。4上运动，过点。作x轴的垂线，与AC交于点Q,与抛物线交于点P.连

接AP,CP,当四边形AOCP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AOCP面积的最大值.

对应练习：

（2023秋•新会区校级月考）

14.如图，二次函数、=加+法+。的图象交x轴于A（-l,0）,3（2,0）,交》轴于C（0,—2）.

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点M为该二次函数图象在第四象限内的一个动点，当四边形AGWB的面积最大时求出

此时点M的坐标及四边形ACM3面积的最大值；

（2024春•江北区校级期末）

15.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁=加+4丫+3的图象与x轴交于点4（-1,0）和点

B（4,0）,与y轴交于点C,连接BC,过点A作AD〃3c交》轴于点。，连接80.

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图，点P在第一象限内的抛物线上，连接PB、PC,当四边形的面积最大时，

求出此时点P的坐标以及S四边形曲⑺的最大值；

(2024•吐鲁番市二模)

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yud+fov+c的图象与x轴交于A,B两点,

A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0),与〉轴交于点C(0,-3),点尸是直线BC下方的抛

物线上一动点.

⑴求这个二次函数的表达式；

(2)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点尸的坐标和四边形

ABPC的最大面积；

参

参考答案:

1.（1）（3,4）

⑵16

【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，涉及了一元二次方程根与系数的关系

以及二次函数与面积问题等知识点，掌握相关结论即可.

（1）方艮据y=3左+4=k"一3）+4即可求解；

（2）作3O〃y轴交直线收于，设E、尸点的横坐标分别为无则4尤2为方程

工工2-彳+[=爪-3彳+4的两根，可推出S^BEF=S«B£>E+=5*4x（无2-%）=2（马—七）；根据

玉+W=4（Z+1）,毛/=12左一13,

々一不=’（朗+占）2=J16（4+1『一4（12/_13）=左一；1+64,即可求解；

【详解】（1）解：3左+4=左（彳-3）+4,且人为任意不为。的实数,

.•.当x=3,y=4,

；•直线/过定点（3,4）；

故答案为：（3,4）；

（2）解：设E、F点的横坐标分别为再，尤2,

1Q

贝ljxvx2为方程—%+]="—3%+4的两根,

整理得九2—4（左+l）x+12左一13=。，

+%2=4(^+1),石九2=12左一13,

x2—xx=J(%2+石)2-4中2=J16(Z+1)2-4(12)一13)=J16-；J+64,

当k=；时，兀2-%有最小值，最小值为8,

13

当y=0时，T尤2_尤+0解得1,3,

44

则3(3,0),

作3£>〃y轴交直线族于£),如图,

则。（3,4）,

,,S^BEF=S&BDE+IBW=]X4x（无2一%）=2-无]）

二二的的最小值为2x8=16,

2.-3

【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，掌握数形结合思想成为解题的关键.

先求出A的坐标为(0,1),一次函数,=辰—k+4(左<0)可化为y=1)+4,则其过定点

E坐标为(1,4)；将抛物线解析式化成顶点式可得点8(1,2),则3E=4-2=2；再根据

S^BNE-S^BME=1BE-XN-1BEXM=1可得心-为=1；联立一次函数和二次函数解析式可得

4="旦"1、%=2一"产过结合/一%=1可得而万=1，据此求得上的

值即可.

【详解】解：令x=0,解得：y=l,

的坐标为(0,1)；

次函数可化为：y=Ax—左+4=左(％—1)+4,

・・・当犬=1时，y=4,即该直线所过定点E坐标为(1,4).

由抛物线的解析式得y=—Y+1=一(%一I1+2,

・,•点3(1,2),

・•・BE=4-2=2.

.S丛BMN=1，

,,S^BNE-SABME=5BE'XN——BEXM=1,

XN~XM=1，

V=kx—k+4r/、

由2得：x+（左一2）%—上+3=0,

y——x—2x+1

解得：x_2一k±d（k-2）2—4（3k）_2-k土正一^

22

则4=

22

・•・"2—8=1，解得:左=±3.

'：k<0,

k=—3.

故答案为：-3.

3.（1）y=x2-5x+6

⑵当5"］|,1］或|5|,-1］时，△脑VB面积最大，最大面积是:1

224

【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质;

（1）代入4（2,0）和C（0,6）,解方程组即可;

（2）设A运动时间为f,则QN=2f,得3M=1T,运用二次函数的顶

点坐标解决问题.

【详解】（1）解:把4（2,0）和C（0,6）代入y=f+Zzx+c,

4+2。+c=0

c=6

b=-5

解得:

c=6

・••二次函数的表达式为：y=x2-5x+6；

（2）如图2,

设A运动时间为，，由AB=1,得BM=1T,则DN=2%,

c111

•-S^MNB=-X(l-0x2r=-^?+/=—«—/)9+-,

当，=/时，S^MNB最大,最大面积为—；

即当vg,o]、N1|,1J或\,-1卜寸，刀⑷出面积最大，最大面积是;.

_2751537

4.(1)y=x^+6x+5；(2)①二，P(--,—-),②存在，P(--,——)或(0,5)

82424

【分析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；

(2)①根据SAPBC=；PG(XC-XB),即可求解；

②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可.

[25a-5&+5=0(

【详解】解：(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得：L尔,。，解得：

故抛物线的表达式为：y=x?+6x+5…①，

令y=0,则x=-l或-5,

即点C(-1,0)；

(2)①如图1,过点P作y轴的平行线交BC于点G,

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：y=x+l…②，

设点G(t,t+1),则点P(t,t2+6t+5),

13QIC

S^PBC=526(%_/)=56+1_产_6,_5)=_鼻产一_-^-6,

3

——<0,

2

527

••.S^PBC有最大值，当t=-7时，其最大值为营；

2o

VZPBC=ZBCD,.•.点H在BC的中垂线上，

线段BC的中点坐标为(-；5，-；3),

22

过该点与BC垂直的直线的k值为-1,

53

设BC中垂线的表达式为：y=-x+m,将点(-1,)代入上式并解得:

直线BC中垂线的表达式为：y=-x-4…③，

同理直线CD的表达式为：y=2x+2…④，

联立③④并解得：x=-2,即点H（-2,-2）,

同理可得直线BH的表达式为：y=gx-l…⑤，

联立①⑤并解得：X=-：或-4（舍去-4）,

2

37.

故点P（-彳，-:）；

24

当点P（P9在直线BC上方时，

VZPBC=ZBCD,；.BP，〃CD,

则直线BP，的表达式为：y=2x+s,将点B坐标代入上式并解得：s=5,

即直线BP，的表达式为：y=2x+5…⑥，

联立①⑥并解得：x=0或-4（舍去-4）,

故点P（0,5）；

37

故点P的坐标为P或（0,5）.

24

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积

计算等，其中（2）,要注意分类求解，避免遗漏.

5.⑴A（-l,0）,B（3,0）,C（0,-3）；

【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴交点，以及二次函数的图像和性质，相似三角形

的判定以及性质等知识.

（1）令x=0和y=0,解方程可求解；

（2）过点P作PELx轴于E,交BC于点F,利用待定系数法可得直线BC的解析式为

y=x—3,设尤2_2彳_3）,贝产—3）,则尸歹=*_3_（AT_2x_3）=_x2+3x,再i正

得APDFS^BCO,可得当=芸，得出产-走/+述彳，再运用二次函数的性质即

OBBC22

可求得答案；

【详解】（1）解：对于y=/-2x-3,令y=0,则0=/一2了一3,

玉二-1,X?=3,

.•.点A(-1,0),点8(3,0),

令x=0,贝!]>=-3,

・・・点C(0,-3)；

(2)解：过点尸作PELx轴于E,交BC于点、F,如图1：

W

设直线BC的解析式为y=丘+如

(3k+b=0

将点8(3,0),C(0,—3)代入>=丘+匕得：

[b=-3

解得：〈快=1一3，

・・.直线BC的解析式为y=%-3,

设尸(%,X2-2X-3),则方(%,%-3),

/.PF=x_3-(d_2%_3)=-f+3x,

・・・PE_L%轴,

・・・P£〃y轴，

；./PFD=/BCO,

•;/PDF=NBOC=90。,

APDFS^BCO,

PDPF

'~6B~~BC'

・•・6(3,0),C(0,-3),

：.OB=3,OC=3,

•••BC=3A/2,

PD-x2+3x

“3一3四’

••PD=------x-\-------x,

22

二当x=］时，尸£>最大为9日；

2a28

1311

6.⑴抛物线的解析式为y尤②-尤-：，直线AD的解析式为〉=>+；；

⑵f匕3一15

【分析】主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质.

（1）先写出平移后的抛物线解析式，再把点A（-LO）代入可求得”的值，由△ABD的面积

为5可求出点。的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由A、。的坐标可利用待定

系数法求出一次函数解析式；

（2）作EMPy轴交AD于“，利用三角形面积公式，由黑*上=S*-S^腔构建关于E点

横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题.

【详解】（1）解：将二次函数y=/（a>0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单

位，得到的抛物线解析式为y=a(x-1)2-2,

:。4=1,.•.点A的坐标为(TO),

代入抛物线的解析式得，4a-2=0,

._1

••CI—,

2

113

・••抛物线的角车析式为y=9—2,即y=

令y=0,解得％=—1,x2=3,

・・・贝3,0),

・・・AB=OA+OB=4,

・・・△ABD的面积为5,

,•5AA5。=-,%=5，

,_5

51Q

代入抛物线解析式得，|=-x2-x-j,

解得玉二-2,x2=4,

.何4,|),

设直线AD的解析式为y^kx+b,

4k+b=-〜2

2,解得：，

-k+b=O

•••直线AD的解析式为>=；尤+；；

（2）解：过点£作石MPy轴交于如图,

^△ACE=^AAME-SACME=5*EM1

1f123Q11/2C/

2122)4、

25

+一

16

当。=：3时，的面积有最大值，最大值2是5此时E点坐标为

216

1、3

7.（l）y=—xH—x+2

22

(2)(2,3)

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数与面积的综合问题，掌握

二次函数的性质是解题关键.

（1）在y=一gx+2中，令x=0,y=0,可得B（0,2）,C（4,0）,将A（TO）,5（0,2）,C（4,0）

代入y=改2+"+0即可求解;

（2）过点尸作尸£〃y轴交5C于点E,设点尸则E\m,——m+2

（0<m<4）,根据SVBS=gx（无B-XC）X（%-%）即可建立函数关系式求解;

【详解】（1）解：在y=-gx+2中，

令x=0,则y=2；令y=0,则-；x+2=0,解得x=4；

•••B（0,2）,C（4,0）,

将A（-1,O）,5（0,2）,。（4,0）代入y=ax2+fcv+c得：

O=a-b+c

2=c,解得<

0=16〃+4b+c

i3

「•二次函数的解析式为y=-2尤2+-x+2；

（2）解：如图，过点尸作PE〃y轴交5C于点区

y/kP

BAT\\

则E\m,——m+2(0<m<4)

--m+2

二—（m—2）2+4,

•・,-l<0,

...当〃z=2,即点尸（2,3）时，S/w有最大值，且最大值为4；

8.（l）Z?=-2,c=-6

（、

⑵当根=3时，S.pBc最大=257，此时尸。，一1了5）

【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合:

(1)利用待定系数法求解即可;

(2)求出C(0,-6),得到CO=6；方法1：连接。P,设点m2_2根一6),分别求出

、2

327-

S/XPOC，SABOP，SABOC，再根据S^PBC=S四边形P50C-SABOC求出S^PBC=-5(m-3)+^,据此可

得答案；方法2：作PQIAB于。，交于点。，求出直线BC的解析式为：y=x-6,

则以办租―6),PD=-^rr+3m,进而得至"力区=一|(根一3)。+§,据此可得答案.

【详解】⑴解；解：把点4(—2,0)和点以6,0)代入ygV+笈+c,

19

-x(-2)-2Z?+c=0

得

12

—x6+6/?+c=0

12

b=-2

解得

c=-6

(2)解：由(1)可知抛物线解析式为y=g尤2-2x-6,

当x=0时，＞=-6,

.•.C(0,-6),

:.CO=6,

方法一：如图1,

设点尸〔肛3疗-2m-61,

SOCX疗+加+

-''.POC=\-P=^-x6m^3m,S^BOP=-OB-\yp\=31—326

LL乙

••q=-OBOC=-x6x6=18

•Q^BOC22

…S4PBe~S四边形P3OC-SABOC

=(S△尸OC+SROB)—S田oc

=3m+sf—；加之+2m+6j-18

=-纲-3)2+；,

3

；——<0,

2

最大=§27,此时P0,-?

「•当m=3时，S.PBC

2

作尸于。，交3c于点

设5c解析式为：y=kx+t

vB(6,0),C(0,-6),

6k+t=0

t=-6

k=l

解得

「•直线3C的解析式为：y=x-6,

12c

/.PD=(m—6)—-m2-2m-6—m+3m,

22

+3mOT32

2]=-|(-)+y>

:.SPRC=-PDOB=-X6---m

-PBC222

27(15、

二当加=3时，％BC最大=万，此时北3，-万J;

1,51

9.(i)y=-x--x-3,y=-x-3

⑵P(3,-6)

⑶半

【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解

题的关键.

(1)直接利用待定系数法求函数解析式即可；

(2)由⑴知直线BC的解析式，设小得到小,/丹利用二次

函数的性质求解即可得；

(3)根据(2)中点P、X的坐标，得出尸〃，根据5上比=:P"。8求出面积的最大值，

然后求高PN即可.

【详解】(1)解：将A(TO),C(0,—3)代入＞=：/+笈+。中得：

—-Z?+c=O

,2,

c=-3

b=_l

解得：＜2,

c=—3

二二次函数的解析式y=-g尤-3；

令y=0,则0=r_]_3,

解得：西=-1,无2=6,

点B的坐标为(6,0),BC=＞]OB2+OC2=V32+62=36

•*-BC=y/OB2+OC2=732+62=345，

设直线BC的解析式为y=mx+n,

1

m=—

解得,2,

n=-3

直线BC的解析式为y=gx-3,

(2)解：由(1)知直线BC的解析式为y=gx-3,

设点P^m,^m2

,­,轴于点。交3C于点H,

H\m,—m-3|,

I2)

1151i29

/.PH=—m-3——m2+—m+3=——m2+3m=——(m-3)+—,

22222V72

v--<0,

2

.当根=3时，PH的长度最大，

将根=3代入尸〔见;机2_1,机_3)得

P(3,-6)；

(3)由(2)^PH=—m—3——m2+—m+3=——m2+3m,

2222

・・・5(6,0),

/.OB=6,

ii<i、327

S„„=-PHOB=-x6x一一m2+3m=一一(m-3)2+—,

hPBCr22I2J22

,27

APBC最大面积为—,

.PN2sSBC=27=96

BC3A/55

10.(1)y=—x2+2x+3

⑵(TO)

【分析】(1)将C(0,3)、8(3,0)代入y=-f+6x+c即可求解;

(2)解一元二次方程0=-犬+2工+3即可;

(3)过点尸作〃、轴，求出直线BC的解析式，设点P(m,-m2+2m+3),则D(m,-m+3),

根据"BCP=3*(/-2)*(力-加)即可建立函数关系式求解；

本题考查了二次函数综合问题,涉及了待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点问题,

二次函数与面积问题，掌握函数的性质是解题关键.

【详解】(1)解：将C(0,3)、8(3,0)代入y=-f+6x+c得：

(3=c

[0=-32+3b+c，

0=2

解得：。，

[c=3

y=一x2+2x+3；

(2)解：依题意，令0=-V+2x+3,

解得再=一1,々=3,

:点B的坐标为(3,0),

•・•点A的坐标(-1,0)；

(3)解：•.•点C(0,3),

设直线BC的解析式为：y=kx+3,

将3(3,0)代入、=立+3得：0=3左+3,

解得：k=T；

，直线BC的解析式为：y=-x+3,

过点尸作尸£>〃y轴，如图1所示：

图1

设点P(m,-m2+2m+3),

则+3)(0<m<3)

S.BCP=5X6一％)X(力-%)

1

=-x(3-0)x[-m92+2m+3-(-m+3)]

3(3$27

=—(m--)H---,

228

.•.当"2=|,即点Pg,，)时，S.BCP有最大值，且最大值为半

11.(i)y=-x1-3x+4

⑵(-2,6)

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键

是根据铅垂法求出S-CP表达式；

(1)根据待定系数法求二次函数的解析式即可；

(2)先求出直线AC解析式，设尸坐标为(九-川-3机+4),则点。的坐标为(根,根+4),

求出尸。，根据铅垂法求出S.CP，再根据二次函数的图象和性质求解即可.

【详解】(1)解：•••抛物线y=-x2+/+c过A(-4,0)与点C(0,4),

.J-16-46+c=0

[c=4

上;，

[c=4

；•抛物线的解析式为y=-x2-3x+4；

设直线AC解析式为y=入:+〃,

-4k+〃=0

把AT,。），C（。,4）代入得〃

k=l

解得:

n=4

直线AC解析式为>=尤+4,

设点尸坐标为（八-4-3m+4）,

,/尸£)_Lx轴,

・••点Q的坐标为（人加+4）,

PQ=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m,

1112

'''S^ACP=S-APQ+S^CPQ=-PQAD+-PQOD=-PQOA=-2m2-8”?=-2(m+2y+8,

当机=-2时，面积有最大值，此时-苏_3^+4=6,

「•此时点尸的坐标为（-2,6）.

12.⑴y=-f+2x+3

31527

Q)2?TT

【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象

和性质，是解题的关键:

（1）待定系数法求出函数解析式即可;

（2）过点尸作轴，交8c于点Q,易得\BPC=PQOB,转化为二次函数求最值即

可.

【详解】⑴解:把C（0,3）,矶3,0）代入解析式，得：

c=3c=3

,解得:

-9+3Z?+c=0b=2

・•y=-九2+2无+3；

(2)设P(%,-f+2x+3),

设直线BC的解析式为y=mx+n,

3m+n=Q

则°,解得

n=3n=3

...直线BC的解析式为y=-彳+3,

过点P作轴，交BC于点。，贝。：g(x,-x+3),

2

,C_CIc=12P-OS=1(-X+3.X)X3=-|x-|

,•OACPB—n^BPQ丁D4CPQ

3

当x=7时，△CM的面积最大,

2

3

••一x~+2x+3=一

31527

此时，点P的坐标为,ACPB的面积最大值为.

2UO

13.(l)y=-x2-3%+4

(2)(-2,6),面积最大为16

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键

是根据铅垂法求出“A。表达式;

(1)根据待定系数法求二次函数的解析式即可;

(2)先求出S/oc=8,可知当的面积最大时，边形AOCP的面积最大，求出直线AC解析

2

式，设尸坐标为(m,-W-3m+4),则点。的坐标为gm+4),求出P。，根据铅垂法求出S^ACP,

再根据二次函数的图象和性质求解即可.

【详解】⑴解：•••抛物线＞=-炉+桁+。过A(-4,0)与点C(0,4),

J-16-4Z?+c=0

[c=4

b=—3

c=4

・・・抛物线的解析式为y=-Y-3%+4；

.9.OA=4,OC=4f

SA,or=-2OA2-OC=-x4x4=8,

:四边形AOCP的面积=S,ACP+S“OC，

・••当△AC尸的面积最大时，四边形AOCP的面积最大,

设直线AC解析式为y=kx+n,

Tk+n=0

则有

n=4

k=l

解得:

n=4

，直线AC解析式为y=%+4,

设点尸坐标为(九-/-3m+4),

_Lx轴,

，点Q的坐标为(九加+4),

二.PQ=—m2—3m+4—(m+4)=—m2—4m,

Ill2

2

^S^ACP=S^APQ+SACPQ=-PQAD+-PQOD=-PQOA=-2m-Sm=-2(m+2)+8,

当机=-2时，面积有最大值，此时-苏-3加+4=6,

此时点P的坐标为(-2,6),

・・・四边形AOCP的面积最大值=S.ACP+=8+8=16.

14.(l),y=x2-x-2

⑵当点M的坐标为(L-2)时，四边形ACWB的面积最大，最大值为4

【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式,

几何图形面积的计算方法是解题的关键.

(1)运用待定系数法解二次函数解析式即可求解；

(2)如图，连接a5C,作轴交2C于点N,可求出直线BC的解析式，设点

M的坐标为(x,/-x-2),N的坐标为(x,x-2),用含x的式子表示四边形ACMB的面积，

根据二次函数图象的性质即可求解.

【详解】(1)解：•••二次函数『加+fcv+c的图象交无轴于点A(-l,0),3(2,0),交y轴于

点C(o,-2),

a-b+c=Oa=l

・，・<4〃+2b+c=0,解得<b=-l,

c--2c=-2

二二次函数的解析式为y-x-2.

(2)解：如图，连接作脑V〃y轴交5c于点N,

设直线BC的解析式为y=mx^n,将点B和点。的坐标代入y=mx^n,

2m+n=Qm=l

c，解得

n=-2n=-2

y=x-2,

；・设点M的坐标为-％-2),N的坐标为(%,x—2),

MN=x-2--x-2)=-X2+2x,

•e•S四边形ACMB=SBC+S^MBC=；xA3xOC+gxAfNxO3

——x3x2+—x(—f+2%)x2——Y+2x+3=-(%-1)+4,

・••当x=l时，四边形ACM5的面积取得最大值为4,此时y=/-%-2=-2,

AM(1,-2),

・・・当点"的坐标为(1,-2)时，四边形ACMB的面积最大，最大值为4.

3Q

15.(1)y=—)—%+3

44

⑵尸(2,3,最大值为13.5

【分析】(1)根据待定系数法求解即可；

(2)先求出直线BC为y==x+3,直线2D为y=-，进而得过点尸作

44414)

W尤轴交8C于点M,设尸］九一：加2+：根+3),贝m+31,利用面积公式构

造二次函数，利用二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：把点A(TO)和点3(4,0)代入二次函数、=加+法+3得，

JO=Q-Z?+3

10=16。+4。+3'

13

a=——

4

解得，

b=-

l4

J二次函数为y=-二3/+9X+3；

44

39

(2)解：当x=0时，y=--x2+-%+3=3,

44

.-.C(0,3),

设直线8。为、=丘+”,

把C(0,3),B(4,0)代入y=爪+”得，

JO=4左+〃

|3=n'

解得卜工

〃=3

3

*,•直线BC为＞=—%+3,

4

■:AD//BC,

3

・♦・设直线？1£)为了=__-x+d,

4

把A(—LO)代入y=-4%+d得。=一丁(一1)+"，

3

解得d=-:，

4

33

••・直线AD为町-片-“

,333

当％=0时，y=--x--=

44